(通用版)202x高考数学一轮复习 2.3 函数的奇偶性与周期性讲义 理

第三节函数的奇偶性与周期性

1．函数的奇偶性

奇偶性定义图象特点

偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－

x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数

关于y轴对称

奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－

x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数

关于原点对称

口诀记忆

奇偶性有特征，定义域要对称；

奇函数，有中心，偶函数，有对称.

(1)周期函数

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

(2)最小正周期

如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．

并不是所有周期函数都有最小正周期，如f(x)＝5.

[熟记常用结论]

1．奇偶性的5个重要结论

(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.

(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(－x)＝f(|x|)．

(3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种类型，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集．

(4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．

(5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．2．周期性的4个常用结论

设函数y＝f(x)，x∈R，a>0.

(1)若f(x＋a)＝f(x－a)，则函数的周期为2a；

(2)若f(x＋a)＝－f(x)，则函数的周期为2a；

(3)若f(x＋a)＝1

f x

，则函数的周期为2a；

(4)若f(x＋a)＝－1

f x

，则函数的周期为2a.

3．对称性的3个常用结论

(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；

(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；

(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．

[小题查验基础]

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)

(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．( )

(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )

(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．( )

(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．( )

(5)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．( )

答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√

二、选填题

1．下列函数中为偶函数的是( )

A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x

C．y＝|ln x| D．y＝2－x

解析：选B A中函数为奇函数，B中函数为偶函数，C与D中函数均为非奇非偶函数，故选B.

2．下列函数为奇函数的是( )

A．y＝x B．y＝e x

C．y＝|x| D．y＝e x－e－x

解析：选D A、B选项中的函数为非奇非偶函数；C选项中的函数为偶函数；D选项中的函数为奇函数，故选D.

3．若y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在y＝f(x)图象上的是( ) A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a))

C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a))

解析：选B 因为(a ，f (a ))是函数y ＝f (x )图象上的点，且y ＝f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，所以点(－a ，f (－a ))，即(－a ，－f (a ))一定在y ＝f (x )的图象上．

4．已知f (x )＝ax 2

＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________． 解析：∵f (x )＝ax 2

＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.

又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝1

3.

答案：13

5．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝

?

??

??

－4x 2

＋2，－1≤x ＜0，x ，0≤x ＜1，则f ? ??

??32＝________.

解析：∵f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，

∴f ? ????32＝f ? ????2－12＝f ? ????－12＝－4×? ??

??－122

＋2＝－1＋2＝1. 答案：1

考点一

[基础自学过关]

函数奇偶性的判定

判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝(x ＋1)

1－x

1＋x

； (2)f (x )＝?????

－x 2

＋2x ＋1，x >0，

x 2

＋2x －1，x ＜0；

(3)f (x )＝

4－x

2

x 2

；

(4)f (x )＝log a (x ＋x 2

＋1)(a >0且a ≠1)． 解：(1)因为f (x )有意义，则满足1－x

1＋x ≥0，

所以－1＜x ≤1，

所以f (x )的定义域不关于原点对称， 所以f (x )为非奇非偶函数． (2)法一：定义法

当x >0时，f (x )＝－x 2

＋2x ＋1，

－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝－f(x)；当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1，

－x >0，f (－x )＝－(－x )2

＋2(－x )＋1＝－x 2

－2x ＋1＝－f (x )． 所以f (x )为奇函数． 法二：图象法

作出函数f (x )的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f (x )为奇函数．

(3)因为?

????

4－x 2

≥0，

x 2

≠0，所以－2≤x ≤2且x ≠0，

所以定义域关于原点对称． 又f (－x )＝4－－x

2

－x

2

＝

4－x

2

x 2

，

所以f (－x )＝f (x )．故函数f (x )为偶函数． (4)函数的定义域为R ， 因为f (－x )＋f (x ) ＝log a [－x ＋

－x

2

＋1]＋log a (x ＋x 2

＋1)

＝log a (x 2

＋1－x )＋log a (x 2

＋1＋x ) ＝log a [(x 2

＋1－x )(x 2

＋1＋x )] ＝log a (x 2

＋1－x 2

)＝log a 1＝0.

即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．

[名师微点]

判断函数奇偶性的3种常用方法 (1)定义法：

确定函数的奇偶性时，必须先判定函数定义域是否关于原点对称．若对称，再化简解析式后验证f (－x )＝±f (x )或其等价形式f (－x )±f (x )＝0是否成立．

(2)图象法：

(3)性质法：

设f (x )，g (x )的定义域分别是D 1，D 2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

[提醒] 分段函数奇偶性的判断，要分别从x >0或x ＜0来寻找等式f (－x )＝f (x )或

f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．

(1)(2019·广州调研)已知函数f (x )＝2

x

2x －1＋a 为奇函数，则实数a ＝________.

(2)函数f (x )在R 上为奇函数，且x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x ＜0时，f (x )＝________. (3)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 017)＋f (2 019)的值为________．

[解析] (1)易知f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即2

－x

2－x －1＋a ＝－2x 2x －1－a ，所以2a ＝－2x 2x －1－2－x 2－x －1＝－2x

2x －1－11－2x ＝

－1，所以a ＝－1

2

.

(2)∵f (x )为奇函数，x >0时，f (x )＝x ＋1， ∴当x ＜0时，－x >0，

f (x )＝－f (－x )＝－(－x ＋1)＝x －1，

即x ＜0时，f (x )＝x －1.

(3)由题意得，g (－x )＝f (－x －1)，

∵f (x )是定义在R 上的偶函数，g (x )是定义在R 上的奇函数， ∴g (－x )＝－g (x )，f (－x )＝f (x )， ∴f (x －1)＝－f (x ＋1)， 即f (x －1)＋f (x ＋1)＝0.

∴f (2 017)＋f (2 019)＝f (2 018－1)＋f (2 018＋1)＝0. [答案] (1)－1

2

(2)x －1 (3)0

[解题技法]

与函数奇偶性有关的问题及解题策略

(1)求函数的值：利用奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解．

(2)求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．

(3)求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f (x )为奇函数?f (－

x )＝－f (x )，f (x )为偶函数?f (x )＝f (－x )，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x

＝0处有定义的奇函数f (x )，可考虑列等式f (0)＝0求解．

[过关训练]

1．设f (x )－x 2

＝g (x )，x ∈R ，若函数f (x )为偶函数，则g (x )的解析式可以为( )

A ．g (x )＝x 3

B ．g (x )＝cos x

C ．g (x )＝1＋x

D ．g (x )＝x e x

解析：选B 因为f (x )＝x 2

＋g (x )，且函数f (x )为偶函数，所以有(－x )2

＋g (－x )＝x

2

＋g (x )，即g (－x )＝g (x )，所以g (x )为偶函数，由选项可知，只有选项B 中的函数为偶函数，故选B.

2．设函数f (x )＝???

??

log 21－x ，x ＜0，

g x ＋1，x >0，

若f (x )是奇函数，则g (3)的值是( )

A ．1

B ．3

C ．－3

D ．－1

解析：选 C ∵函数f (x )＝???

?

?

log 21－x ，x ＜0，g x ＋1，x >0，

f (x )是奇函数，∴f (－3)＝－

f (3)，∴lo

g 2(1＋3)＝－(g (3)＋1)，则g (3)＝－3.故选C.

3．若关于x 的函数f (x )＝2tx 2

＋2t sin ?

????x ＋π4＋x

2x 2

＋cos x

(t ≠0)的最大值为a ，最小值为b ，且a ＋b ＝2，则t ＝________.

解析：f (x )＝2tx 2

＋2t sin ?

????x ＋π4＋x

2x 2

＋cos x ＝t ＋t sin x ＋x 2x 2＋cos x

， 设g (x )＝t sin x ＋x

2x 2＋cos x

，则g (x )为奇函数，g (x )max ＝a －t ，g (x )min ＝b －t .∵g (x )max ＋g (x )min

＝0，∴a ＋b －2t ＝0，即2－2t ＝0，解得t ＝1.

答案：1

考点三

[师生共研过关]

函数的周期性

(1)已知函数f (x )＝?

??

??

21－x ，0≤x ≤1，

x －1，1＜x ≤2，如果对任意的n ∈N *

，定义f n (x )＝

，那么f 2 019(2)的值为( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

(2)设定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2

，则f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝________.

[解析] (1)∵f 1(2)＝f (2)＝1，f 2(2)＝f (1)＝0，f 3(2)＝f (0)＝2， ∴f n (2)的值具有周期性，且周期为3，

∴f2 019(2)＝f3×673(2)＝f3(2)＝2，故选C.

(2)∵f(x＋2)＝f(x)，

∴函数f(x)的周期T＝2，

∵当x ∈[0,2)时，f (x )＝2x －x 2

， ∴f (0)＝0，f (1)＝1，

∴f (0)＝f (2)＝f (4)＝…＝f (2 018)＝0，

f (1)＝f (3)＝f (5)＝…＝f (2 019)＝1.

故f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 019)＝1 010. [答案] (1)C (2)1 010

[解题技法]

函数周期性有关问题的求解策略

(1)求解与函数的周期性有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)周期函数的图象具有周期性，如果发现一个函数的图象具有两个对称性(注意：对称中心在平行于x 轴的直线上，对称轴平行于y 轴)，那么这个函数一定具有周期性．

[口诀记忆]函数周期三类型：一类直接定义求；二类图象题中有，图象重复是破口；三类图见两对称，隐藏周期别疏忽.

[过关训练]

1．[口诀第2句]已知函数f (x )的定义域为R ，当x ＜0时，f (x )＝x 3

－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ? ????x ＋12＝f ? ??

??x －12，则f (6)等于( )

A ．－2

B ．－1

C ．0

D ．2

解析：选D 当x >12时，f ? ????x ＋12＝f ? ????x －12，即周期为1，则f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝－[(－1)3

－1]＝2.

2．[口诀第3、4句]已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，

f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )

A ．6

B ．7

C ．8

D ．9

解析：选B 当0≤x ＜2时，令f (x )＝x 3

－x ＝x (x 2

－1)＝0，所以y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标分别为x 1＝0，x 2＝1.

当2≤x ＜4时，0≤x －2＜2，又f (x )的最小正周期为2，所以f (x －2)＝f (x )， 所以f (x )＝(x －2)(x －1)(x －3)，

所以当2≤x＜4时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x3＝2，x4＝3.

同理可得，当4≤x＜6时，y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标分别为x5＝4，x6＝5.

当x7＝6时，也符合要求．

综上可知，共有7个交点．

3．[口诀第5、6句]已知定义在R上的奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且当x ∈[0,1]时，f(x)＝log2(x＋1)，则下列不等式正确的是( )

A．f(log27)＜f(－5)＜f(6)

B．f(log27)＜f(6)＜f(－5)

C．f(－5)＜f(log27)＜f(6)

D．f(－5)＜f(6)＜f(log27)

解析：选C 因为奇函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(1＋x)＝f(1－x)，f(－x)＝－f(x)，所以f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f(－5)＝f(－1)＝－f(1)＝－1，f(6)＝f(2)＝f(0)＝0.于是，结合题意可画出函数f(x)在[－2,4]上的大致图象，如图所示．又2＜log27＜3，所以结合图象可知－1＜f(log27)＜0，故f(－5)＜f(log27)＜f(6)，故选C.

考点四

[全析考法过关] 函数性质的综合应用

考法(一) 单调性与奇偶性综合

[例1] (2018·石家庄质检)已知f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)单调递增，f(1)＝0，若f(x－1)>0，则x的取值范围为( )

A．{x|0＜x＜1或x>2} B．{x|x＜0或x>2}

C．{x|x＜0或x>3} D．{x|x＜－1或x>1}

[解析] 因为函数f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝0，又函数f(x)

在(0，＋∞)上单调递增，所以可作出函数f(x)的示意图，如图，则不等式f(x

－1)>0可转化为－1＜x－1＜0或x－1>1，解得0＜x＜1或x>2，故选A.

[答案] A

考法(二) 奇偶性与周期性综合

[例2] (2019·赣州月考)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋3)＝f(x)．若f(2)>1，f(7)＝a，则实数a的取值范围为( )

A．(－∞，－3) B．(3，＋∞)

C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)

[解析] ∵f(x＋3)＝f(x)，

∴f(x)是定义在R上的以3为周期的函数，

∴f(7)＝f(7－9)＝f(－2)．

又∵函数f(x)是偶函数，

∴f(－2)＝f(2)，∴f(7)＝f(2)>1，

∴a>1，即a∈(1，＋∞)．故选D.

[答案] D

考法(三) 单调性、奇偶性与周期性结合

[例3] (2019·达州模拟)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且在[－1,0]上单调递减，设a＝f(－2.8)，b＝f(－1.6)，c＝f(0.5)，则a，b，c的大小关系是( ) A．a>b>c B．c>a>b

C．b>c>a D．a>c>b

[解析] ∵偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，∴函数的周期为2.∴a＝f(－2.8)＝f(－0.8)，b＝f(－1.6)＝f(0.4)＝f(－0.4)，c＝f(0.5)＝f(－0.5)．∵－0.8＜－0.5＜－0.4，且函数f(x)在[－1,0]上单调递减，∴a>c>b，故选D.

[答案] D

[规律探求]

[过关训练]

1．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )

A．－50 B．0

C ．2

D ．50

解析：选C ∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．

由f (1－x )＝f (1＋x )，得－f (x －1)＝f (x ＋1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )，

∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数得f (0)＝0. 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，

∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，

∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50) ＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.

2．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上单调递减，则f (x )在[1,3]上是( )

A ．增函数

B ．减函数

C ．先增后减的函数

D ．先减后增的函数 解析：选D 根据题意，∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，∴函数

f (x )的周期是2.又∵f (x )在定义域R 上是偶函数，在[－1,0]上是减函数，∴函数f (x )在[0,1]

上是增函数，∴函数f (x )在[1,2]上是减函数，在[2,3]上是增函数，∴f (x )在[1,3]上是先减后增的函数，故选D.

3．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足

f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．

解析：∵f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (－2)＝f (2)， ∴f (2

|a －1|

)＞f (2)，∴2

|a －1|

＜2＝21

2

，

∴|a －1|＜12，即－12＜a －1＜12，即12＜a ＜3

2

.

答案：? ??

??12，32

[课时跟踪检测]

一、题点全面练

1．(2018·天水一模)下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝－x 2

C ．y ＝1x

D ．y ＝x |x |

解析：选D 对于A ，y ＝x ＋1为非奇非偶函数，不满足条件．对于B ，y ＝－x 2

是偶函数，不满足条件．对于C ，y ＝1

x

是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件．对于D ，

设f (x )＝x |x |，则f (－x )＝－x |x |＝－f (x )，则函数为奇函数，当x >0时，y ＝x |x |＝x 2

，此时为增函数，当x ≤0时，y ＝x |x |＝－x 2

，此时为增函数，综上，y ＝x |x |在R 上为增函数．故选D.

2．设函数f (x )为偶函数，当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝log 2x ，则f (－2)＝( ) A ．－12

B.12 C ．2

D ．－2

解析：选B 由已知得f (－2)＝f (2)＝log 22＝1

2

.故选B.

3．函数f (x )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ? ??

??52的值为( )

A.12

B.14 C ．－14

D ．－12

解析：选A ∵f (x ＋1)＝－f (x )，∴f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，即函数f (x )的周期为2.∴f ? ????52＝f ? ????12＋2＝f ? ??

??12＝2×12×? ????1－12＝12.

4．(2018·佛山一模)已知f (x )＝2x

＋a

2x 为奇函数，g (x )＝bx －log 2(4x

＋1)为偶函数，则f (ab )＝( )

A.174

B.52 C ．－154

D ．－32

解析：选D 根据题意，f (x )＝2x

＋a 2x 为奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0，即?

????2－x

＋a

2－x ＋

?

????2x ＋a 2x ＝0，解得a ＝－1.