§4.2换元积分法(第二类换元法)

§ 4.2 换元积分法(第二类)

I 授课题目(章节)：

§ 4.2 换元积分法(第二类换元积分法)

n 教学目的与要求：

1.了解第二类换元法的基本思想

2.掌握几种典型题的第二类换元积分法解法

川教学重点与难点：

重点：第二换元法中的三角代换及根式代换

难点：积分后的结果进行反代换

IV 讲授内容：

第一类换元积分法的思想是：在求积分g(x)dx时.如果函数g(x)可以化为f[：:(x)]：「(x)的形式.那么

g(x)dx = f[ (x)] (x)dx 二f[ (x)]d ;:(x)^(x\ f (u)du

= F(u) C =F[ (x)] C

所以第一换元积分法体现了“凑”的思想?把被积函数凑出形如 f [- (x)F (x)函数来.对于某些

函数第一换元积分法无能为力，例如..a^x2dx.对于这样的无理函数的积分我们就得用今天要

学习的第二类换元积分法。

第二类换元的基本思想是选择适当的变量代换x二(t)将无理函数f (x)的积分.f (x)dx化为有理式(t)卜(t)的积分.(t)F (t)dt。即卩

f (x)dx= . f「(t)「(t)dt

若上面的等式右端的被积函数f「(t)「(t)有原函数G(t)，则.(t)]：(t)dt = G (t) ? C,

然后再把「(t)中的t还原成4(x)，所以需要一开始的变量代换x = ' (t)有反函数。

定理2设x =?(t)是单调、可导的函数，且；(t) = 0，又设f「：(t)]；(t)有原函数叮」(t)，则.f (x)dx「(t)]，(t)dt =「(t) C_1(x)] C 分析要证明.f(x)dx =叫'4(x)] C ,只要证明叮4(x)]的导数为f (x),

dt dx

=(2 - 2cos2 t)dt = 2t - sin 2t C dt 1

证明；x=t(t)单调、可导，. x= (t) 存在反函数t =屮J (x)，且——=—

dx dx dt

'■ (t)

>?：「」(x)] =

dx 二f (x)

- A(x)]是f (x)是一个原函数 f (x)dx —'(x)] C .

第二换元法，常用于如下基本类型

类型1 ：被积函数中含有；a2- x2( a 0),可令x=asint (并约定t冷)则=a2-x2= a cost，dx = acostdx，可将原积分化作三角有理函数的积分

例 1 求\/：;a2- x2dx (a 0)

解令x = asint ■■ 2 2

，t ( ,)，贝U . a -x -acost dx^acostdt

2 2

.i _a2「x2dx 二a costa costdt i i 2 2

(

cos2t)d^l t 7sin2t C

2 2 2 ____________________________________________________________ =——sin tcost +C = ^arcsin △J a2 _x2 +C .

2 2 2 a 2

借助下面的辅助三角形把sin t , cost用x表示.

例2求-4_x2dx

解令x = 2sint ,

」」；2

t ( ,)，则、4 - x 二2cost , dx 二2costdt

2 2

4sin 2t

2cost

2costdt =

1- cos2t

X x -

---------- 2

=2t - 2sin t cost C = 2arcsin

4 - x C

2 2

■ -------- 冗冗

类型2 :被积函数中含有 ■. a 2 x 2 （a 0）可令 x = ata nt 并约定t （-…「），则

2 2

a 2 x 2二asect ； dx 二asec 2tdt ；可将原积分化为三角有理函数的积分

解令 x“tant , t (石，2)，则、口 med ,

d -

asec 2tdt

解令 x = 3tant ，贝V x 2 9 二 9sec 21， dx = 3sec 2 tdt 3sec 2

t dt 二丄 cos 2 tdt 27 L

例3求——

J x 2 +a 2

(a 0)

dx =「sectdt =ln sect +tant +C

\ 4 x 2 = 2sect , dx = 2 sec 2

tdt dx 2sec t x 2

.4 x 2

4tan t 2sect

叭t 』

4 tan 2

^dsi nt 」—

sin t

4 si nt

cost

sin2t dt

cos 2

4 x 2

例 5

求(x 2.9)2

（分母是二次质因式的平方）

dx (x 2 9)2

81sec 41

x 2

a 2

C = In

解令 x =2tant ，t

则

x 21 4

22)

x 十 J x 2 +a 2

+C 1. 例4求

类型3 被积分函数中含有x2-a2（a 0），当x —a时，可令x = asect，并约定

2 2

t （0, 2），则x -a ata nt , dx 二asect ta ntdt，当 x 一—a 时，可令u = —x，贝y u 一a，可dx

2 2 .x -

(a 0)

解被积函数的定义域为（―?_a）（a, ■：：），

当x (a,：：)时，令x = asect，t (0, —)，

贝V x2- a2= ata nt，dx=asectta ntdt 有

丄迪1醴二sectdt

..x2-a2ata nt

/ 2 2 p _____________________________________

二ln(sec t tan t) C = In(兰———) C = ln(x 、x2- a2) G . a a

(1 cos2t)dt -

cos2tdt -

54 54 54 54

练习：

1 一

求 2 2dx （第一换兀积分法

分）

解(x2 -2x 5)2=[22 - (x -1)2]2，令x -1 =2tant

(cos2td2t

2 54

54 2 54

sin 2t

sin t cost C

P C

t dx

(x-2x 5)2

2sec21

2wl dt=—(1 cos2t)dt -

16 16

1 sin t cost C

1 x -1

arcta n —

16 2

1 x -1

-- ! -------------------------

8 x -2x 5

1 x 1

=—arcta n ———

例6求

当x 三（-：：,-a ）时，令x - -u ，则u 三（a, —）有

22 = -1 n(u +p u ? — a 2) +G = 一1 n( —x + J x 2 _a 2) + C 1 、.u 2 - a 2

二上2 CT —a 2)「a 2) C i

~~2 2

x - . x - a

2 2 2

—In

■' C i — ln( _x _ x ■ ■ a ) (C i _ In a )

二 ln( _x _ 一 x 2 -a 2) C 2

二 x E (-叫-a) U (a,+呵时，f , 2x = | nx+lx 2-a 2 +C

、Jx 2 - a 2

注意：（1）以上三种三角代换，目的是将无理式的不定积分化为三角有理函数的不定积分（2）

在利用第二类换元积分法时将积分的结果还原

为

x 的函数时，常常用到同角三角函数的关

系，一种较简单和直接的方法是作“辅助三角形”

（3）

在既可用第一换元法也可用第二换元法的时候，用第一换元法就使计算更为简洁

解 x (1,：：)时，令 x = sect , t = (0, —)则-x 2

-1 - tant , dx = sect tantdt ，有

u (1,::)有

dx x 厂x 2：1

du u 厂u 2=

例7求

x ( Y ；1)时，令 u - -X , dt = costdt = sin t C =

-无论x T 或x 1均有

-1

dx f~2

x i x - a

解法一(用第一换元法)

V 归纳总结

1、第二类换元积分法的思想

若.f (x)dx 中的被积函数 f(x)为无理函数，可以选择适当的变量代换

f (x)的积分.f (x)dx 化为有理式的积分 f[ (t)「(t)dt .

.f (x)dx x =

(t)

f 「(t)F (t)dt 二(t) C 二，(x)] C

2、第二类换元积分法适用的被积函数类型

(a .0)

f -f

2 2 -

2 c !

d(-)

x 1-(旦)2 x

二-arccos a C , a

x ” -a 时，令u --x 则

dx -du (-u). u 2

-a 2

二-arccos a C = — arcco a

u a

两式合并——dx

f ' 2

x.x 「a

1 arccos a

解法二(第二换元法)

(1 )当 x a 时,

x = asect , t (0,—)则x 2 - a 2

ata nt , dx = a sect tan tdt dx

x ； x 2 - a 2

a sect ta nt 一 dt

a secta tant =丄1dt 丄C

a a

1 arccos- a

C . x

(2)当 x ：：： -a 时，令 u = -x dx r~2 2

xi x - a

-du r~2 2 —u i u -a

u \ u 2

-a

1 a arccos- a u

1 a C arccos — a -x 由

(1)(2)

两种情况可得f 2 xV x dx

-2

-a

1 arccos a

x 二■ (t)，将无理函数

-a

x 、x x a 时

a 2

x 2