求数列通项公式方法经典总结
求数列通项公式方法
（1）．公式法（定义法）
根据等差数列、等比数列的定义求通项
1..数列{}n a 满足1a =8，022124=+-=++n n n a a a a ，且 （*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；
2.设数列}{n a 满足01=a 且
111
111=---+n
n a a ，求}{n a 的通项公式
3. 已知数列{}n a 满足112,12
n
n n a a a a +=
=+，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列}{n a 满足2
122142++=?==n n n a a a a a 且， （*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；
5.已知数列}{n a 满足，21=a 且1
152(5)n n n n a a ++-=-（*∈N n ），求数列{}n a 的通项
公式； —
6. 已知数列}{n a 满足，21=a 且1
15223(522)n n n n a a +++?+=+?+（*∈N n ），求
数列{}n a 的通项公式；
7.数列已知数列{}n a 满足111
,41(1).2
n n a a a n -=
=+>则数列{}n a 的通项公式= （2）累加法
累加法 适用于：1()n n a a f n +=+
若1()n n a a f n +-=，则
21321(1)
(2)
()
n n a a f a a f a a f n +-=-=-=
两边分别相加得 111
()n
n k a a f n +=-=∑
例：1.已知数列{}n a 满足1
41,2
1211-+
==
+n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式。
2. 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
&
3.已知数列{}n a 满足112313n
n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。
4.设数列}{n a 满足21=a ，1
2123-+?=-n n n a a ，求数列}{n a 的通项公式
（3）累乘法
适用于： 1()n n a f n a +=
若
1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n n
a a
a
f f f n a a a +===，，
， 两边分别相乘得，1
11
1()n
n k a a f k a +==?∏ ~
例：1. 已知数列{}n a 满足112(1)53n
n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。
2.已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1
1+=+，求n a 。
3.已知31=a ，n n a n n a 2
31
31+-=
+ )1(≥n ，求n a 。 （4）待定系数法
适用于
)
1≠,0≠(+=1+p p q pa a n n
.}+
{ , ),+
(=+.:1+求通项化为等比数列为待定系数其中令待定系数法求法λa λλa p λa n n n
|
例：1. 已知数列{}n a 中，111,21(2)n n a a a n -==+≥，求数列{}n a 的通项公式
2.（重庆,文,14）在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项
n a =_______________
3.（ 福建.理22.本小题满分14分）已知数列{}n a 满足*
111,21().n n a a a n N +==+∈求
数列{}n a 的通项公式；
（5）递推公式为n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为常数）。
先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++ 其中s ，t 满足??
?-==+q
st p
t s
1. 已知数列{}n a 满足211256,1,2n n n a a a a a ++=-=-=，求数列{}n a 的通项公式。
]
2.已知数列{}n a 满足*
12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈
（I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；（II ）求数列{}n a 的通项公式； 3.已知数列{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3
1
3212+=
++，求n a （6）递推公式中既有n S
分析：把已知关系通过11,1
,2
n n n S n a S S n -=?=?-≥?转化为数列{}n a 或n S 的递推关系，然后采
用相应的方法求解。
1.（北京卷）数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，11
3
n n a S +=，n =1，2，3，……，求a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式．
2.（山东卷）已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*
15()n n S S n n N +=++∈，
证明数列{}1n a +是等比数列．
3．已知数列{}n a 中，，31=a 前n 和1)1)(1(2
1
-++=
n n a n S ①求证：数列{}n a 是等差数列②求数列{}n a 的通项公式
4. 已知数列{}n a 的各项均为正数，且前n 项和n S 满足1
(1)(2)6
n n n S a a =
++，且249,,a a a 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式。