LS 高一数学函数值域求法及例题

君子有三乐,而王天下不与存焉。父母俱存,兄弟无故,一乐也；仰不愧于天,俯不怍于人,二乐也；得天下英才而教育之,三乐也。 函数值域（最值）的常用方法

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一、基本函数的值域：

一次函数()0y kx b k =+≠的值域为R ．

二次函数()2

0y ax bx c a =++≠，当0a >时的值域为24,4ac b a ??-+∞????，

当0a <时的值域为24,4ac b a ??--∞ ??

?． 反比例函数()0k y k x

=≠的值域为{}0y R y ∈≠． 指数函数()01x y a a a =>≠且的值域为{}0y y >．

对数函数()log 01a y x a a =>≠且的值域为R ．

正，余弦函数的值域为[]1,1-，正，余切函数的值域为R ．

二、其它函数值域

一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数）

1、求242-+-=x y 的值域．

2

、求函数y =

的值域．

二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域）

1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域．

说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制．

2、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求xy 的最大值。

三、反表示法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易反解出自变量的函数类型）

对于存在反函数且易于求得其反函数的函数，可以利用“原函数的定义域和值域分别为其反函数的值域和定义域”这一性质，先求出其反函数，进而通过求其反函数的定义域的方法求原函数的值域。

1、求函数1

2+=

x x y 的值域．

2、求函数2241x y x +=-的值域．

四、判别式法（分子、分母中含有二次项的函数类型，此函数经过变形后可以化为

0)()()(2=++y C x y B x y A 的形式，再利用判别式加以判断）

1、求函数3

274222++-+=x x x x y 的值域．

2、求函数2122

x y x x +=

++的值域． 3、

五、换元法（通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是无理函数、三角函数（用

三角代换）等）

1、求函数x x y 41332-+-=的值域．

六、数形结合法（对于一些能够准确画出函数图像的函数来说，可以先画出其函数图像，然后利用函数图像求其值域）

1、求函数13y x x =-+-的值域。

七、不等式法（能利用几个重要不等式及推论来求得最值．（如：ab b a ab b a 2,222≥+≥+），

利用此法求函数的值域，要合理地添项和拆项，添项和拆项的原则是要使最终的乘积结果中不含自变量，同时，利用此法时应注意取""=成立的条件．）

1、求函数1(0)y x x x =+>的值域．

君子有三乐,而王天下不与存焉。父母俱存,兄弟无故,一乐也；仰不愧于天,俯不怍于人,二乐也；得天下英才而教育之,三乐也。

注意：在使用此法时一定要注意a b +≥a ＞0，b ＞0，且能取到a ＝b ．

八、部分分式法（分离常数法）（分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为)(x f k y ±=(为k 常数)的形式）

1、求函数1

22+--=x x x x y 的值域．

九、单调性法（利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域）

十、利用导数求函数的值域（若函数f 在（a 、b ）内可导，可以利用导数求得f 在（a 、b ）内

的极值，然后再计算f 在a ，b 点的极限值。从而求得f 的值域）

十一、最值法（对于闭区间[a ，b ]上的连续函数y =f (x )，可求出y =f (x )在区间[a ，b ]内的极值，

并与边界值f (a )、f (b )作比较，求出函数的最值，可得到函数y 的值域）

十二、构造法（根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合）

十三、比例法（对于一类含条件的函数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值

求函数的值域

①31y x =+， x∈{1，2，3，4，5 }．( 观察法 )

②246y x x =-+，x ∈[)1,5．( 配方法 ：形如2y ax bx c =++ )

③2y x =( 换元法

：形如y ax b =+④1x y x =

+．( 分离常数法：形如cx d y ax b

+=+ )

⑤221y x x =+． ( 判别式法：形如21112222a x b x c y a x b x c ++=++)

变式1．求下列函数的值域

①2243y x x =-+

．②y x =

③ y ＝213x x +-．④2224723

x x y x x +-=++．

⑤37y x x =-++． ⑥93(0)4y x x x =+>