(1)求这7条鱼中至少有6条被QQ 先生吃掉的概率; (2)以ξ表示这7条鱼中被QQ 先生吃掉的鱼的条数,求ξ的分布列及其数学期望E ξ. 18.解:(1)设QQ 先生能吃到的鱼的条数为ξ QQ 先生要想吃到7条鱼就必须在第一天吃掉黑鱼,()177 P ξ== ……………2分 QQ 先生要想吃到6条鱼就必须在第二天吃掉黑鱼,()61667535 P ξ==?= ……4分 故QQ 先生至少吃掉6条鱼的概率是()()()1166735P P P ξξξ≥==+== ……6分 (2)QQ 先生能吃到的鱼的条数ξ可取4,5,6,7,最坏的情况是只能吃到4条鱼:前3天各吃掉1条青鱼,其余3条青鱼被黑鱼吃掉,第4天QQ 先生吃掉黑鱼,其概率为 64216(4)75335P ξ==??= ………8分 ()6418575335 P ξ==??=………10分 所以ξ的分布列为(必须写出分布列, 否则扣1分) ……………………11分 故416586675535353535 E ξ????= +++=,所求期望值为5. (12) 20.∵a 2=5,a 4+a 6=22,∴a 1+d=5,(a 1+3d )+(a 1+5d )=22, 解得:a 1=3,d=2. ∴12+=n a n …………2分 在n n n na b b b =+++-1212 2 中令n=1得:b 1=a 1=3, 又b 1+2b 2+…+2n b n+1=(n+1)a n+1, ∴2n b n+1=(n+1)a n+1一na n . ∴2n b n+1=(n+1)(2n+3)-n (2n+1)=4n+3,
高考数学数列大题训练答案版
高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项,且1,641≠=q a 公比 (Ⅰ)求n a ;(Ⅱ)设n n a b 2log =,求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析: (1)设该等差数列为{}n c ,则25a c =,33a c =,42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即:223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-,Q 1q ≠, ∴121, 2q q ==,∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ,{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时,0n b ≥,∴(13)2 n n n n T S -== (8分) 当8n ≥时,0n b <,12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ,其中.154=a (Ⅰ)求321,,a a a ; (Ⅱ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅲ)求数列}{n a 的前n 项和n S 解:(1)由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得:,73=a 同理得.1,312==a a (2)由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a
(完整版)高考数列专题复习
专题数列知识网络
专题训练 一.选择题 1.设数列{}n a的前n项和 2 n S n =,则 8 a的值为 (A) 15 (B) 16 (C) 49 (D)64 2.设等差数列 {} n a 的前n项和为n S,若111 a=-, 46 6 a a +=-,则当 n S取最小值时,n 等于 A.6 B.7 C.8 D.9 3.如果等差数列 {} n a 中,34512 a a a ++=,那么 127 ... a a a +++= (A)14 (B)21 (C)28 (D)35 4.已知等比数列{m a}中,各项都是正数,且1a,32 1 ,2 2 a a 成等差数列,则 910 78 a a a a + = + A.12 + B. 12 - C. 322 +D322 - 5.在等比数列 {} n a 中,11 a=,公比1 q≠ .若12345 m a a a a a a =,则m= (A)9 (B)10 (C)11 (D)12
6.等比数列 {} n a 中,15252||1,8,, a a a a a ==->则 n a = A .1 (2)n -- B .1 (2)n --- C .(2)n - D .(2)n -- 7.设{n a }是由正数组成的等比数列,n S 为其前n 项和,已知24a a =1, 37 S =, 则 5S = (A )152 (B)314 (C)33 4 (D)172 8.设 n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知3432S a =-,2332 S a =-,则公比q = (A )3 (B )4 (C )5 (D )6 9.(文)设{}n a 是等比数列,则“123a a a <<”是数列{}n a 是递增数列的 (A )充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件、 (C )充分必要条件 (D )既不充分也不必要条件 (理)设{}n a 是首项大于零的等比数列,则“12 a a <”是“数列{}n a 是递增数列”的 (A )充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 10.已知{ n a }是首项为1的等比数列,n S 是{n a }的前n 项和,且36 9S S =。则数列 n 1a ?? ?? ??的前5项和为 (A )158或5 (B )3116或5 (C )3116 (D )15 8 11.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,2580a a +=,则5 2S S = (A )11 (B )5 (C )8- (D )11- 12.设{}n a 是任意等比数列,它的前n 项和,前2n 项和与前3n 项和分别为,,X Y Z ,则下列等式中恒成立的是
高三数列综合专题复习
高三数列综合专题复习 班级 姓名 探究点3 数列与函数、不等式的综合问题 1.[2011·青岛一模] 数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=t ,点(S n ,a n +1)在直线y =2x +1上,n ∈N *. (1)当实数t 为何值时,数列{a n }是等比数列? (2)在(1)的结论下,设b n =log 3a n +1,T n 是数列???? ??1b n b n +1的前n 项和,求T 2011的值. 2.[2011·广州二模] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且S 10=55,S 20=210. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =a n a n +1 ,是否存在m 、k (k >m ≥2,k ,m ∈N *),使得b 1、b m 、b k 成等比数列?若存在,求出所有符合条件的m 、k 的值;若不存在,请说明理由.
3. [2011·惠州一模] 已知f (x )=log m x (m 为常数,m >0且m ≠1),设f (a 1),f (a 2),…,f (a n )(n ∈N *)是首项为4,公差为2的等差数列.(1)求证:数列{a n }是等比数列; (2)若b n =a n f (a n ),记数列{b n }的前n 项和为S n ,当m =2时,求S n ; (3)若c n =a n lg a n ,问是否存在实数m ,使得{c n }中每一项恒小于它后面的项?若存在,求出实数m 的取值范围. [思路] (1)由已知可得数列{f (a n )}的通项公式,利用函数f (x )的解析式,可得{a n }的通项公式,再根据等比数列的定义可证明数列{a n }是等比数列;(2)由数列{b n }的通项公式,知符合错位相减法求和;(3)由条件得不等式c n -1,且()2 3331212n n a a a a a a +++=+++. (1)求1a ,2a 的值;(2)求数列{}n a 的通项公式n a ;(3)设数列21n n a a +?????? 的前n 项和为n S ,不等式()1log 13 n a S a >-对任意的正整数n 恒成立,求实数a 的取值范围.
高考数列专题总结(全是精华)
数列专题复习(0929) 一、证明等差等比数列 1. 等差数列的证明方法: (1)定义法:1n n a a d +-=(常数) (2)等差中项法:112(2)n n n a a a n +-+=≥ 2.等比数列的证明方法: (1)定义法: 1 n n a q a +=(常数) (2)等比中项法:211(2)n n n a a a n +-=≥ 例1.设{a n }为等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7,S 15=75, T n 为数列{ n S n }的前n 项和,求T n . 解:设等差数列{a n }的公差为d ,则 S n =na 1+21 n (n -1)d .∴S 7=7,S 15=75,∴???=+=+,7510515,721711d a d a 即???=+=+,57,131 1d a d a 解得a 1=-2,d =1.∴ n S n =a 1+21(n -1)d =-2+21 (n -1). ∵ 2111=-++n S n S n n ,∴数列{n S n }是等差数列,其首项为-2,公差为21 , ∴T n = 41n 2-4 9 n . 例2.设数列{a n }的首项a 1=1,前n 项和S n 满足关系式: 3tS n -(2t +3)S n -1=3t (t >0,n =2,3,4,…) 求证:数列{a n }是等比数列; 解:(1)由a 1=S 1=1,S 2=1+a 2,得a 2=t t a a t t 323,32312+= + 又3tS n -(2t +3)S n -1=3t ① 3tS n -1-(2t +3)S n -2=3t ② ①-②得3ta n -(2t +3)a n -1=0 ∴ t t a a n n 33 21+= -,(n =2,3,…) 所以{a n }是一个首项为1,公比为t t 33 2+的等比数列. 练习:已知a 1=2,点(a n ,a n+1)在函数f (x )=x 2+2x 的图象上,其中=1,2,3,… (1) 证明数列{lg(1+a n )}是等比数列; (2) 设T n =(1+a 1) (1+a 2) …(1+a n ),求T n 及数列{a n }的通项; 答案 .(2) 2 1 3n n T -=,2 1 31n n a -=-; 二.通项的求法 (1)利用等差等比的通项公式 (2)累加法:1()n n a a f n +-= 例3.已知数列{}n a 满足211=a ,n n a a n n ++=+211,求n a 。 解:由条件知:1 1 1)1(112 1+-=+=+= -+n n n n n n a a n n 分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ,代入上式得)1(-n 个等式累加之,即 )()()()(1342312--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a )111()4131()3121()211(n n --+??????+-+-+-=所以n a a n 1 11-=- 211=a ,n n a n 1231121-=-+=∴ (3)构造等差或等比 1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+ 例4.已知数列{}n a 满足*111,21().n n a a a n N +==+∈ 求数列{}n a 的通项公式; 解:* 121(),n n a a n N +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+ {}1n a ∴+是以112a +=为首项,2为公比的等比数列。 12.n n a ∴+= 即 *21().n n a n N =-∈ 例5.已知数列{}n a 中,11a =,1111 ()22 n n n a a ++=+,求n a . 解:在1111 ()22 n n n a a ++= +两边乘以12+n 得:112(2)1n n n n a a ++?=?+ 令2n n n b a =?,则11n n b b +-=,解之得:111n b b n n =+-=-,所以1 22 n n n n b n a -= =.
天津市高三数学总复习 综合专题 数列 理 (学生版)
数列(理) 考查内容:本小题主要考查等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式、 不等式证明等基础知识,考查分类讨论的思想方法,考查运算能力、 推理论证能力及综合分析、解决问题的能力。 1、在数列{}n a 中,11a =,122n n n a a +=+。 (1)设1 2 n n n a b -= 。证明:数列{}n b 是等差数列; (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。 2、设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知()21n n n ba b S -=- (1)证明:当2b =时,{} 12n n a n --?是等比数列; (2)求{}n a 的通项公式 3、已知数列{}n a 的首项12 3 a = ,121n n n a a a +=+,1,2,3,n =…。 (1)证明:数列? ?? ?? ?-11n a 是等比数列; (2)数列? ?? ?? ?n a n 的前n 项和n S 。 4、已知数列{}n a 满足:1±≠n a ,2 11=a ,()() 2211213n n a a -=-+,记数列21n n a b -=,221n n n c a a +=-, n N *∈。 (1)证明数列 {}n b 是等比数列; (2)求数列{}n c 的通项公式; (3)是否存在数列{}n c 的不同项k j i c c c ,,,k j i <<,使之成为等差数列?若存在请求出这样的不同项 k j i c c c ,,,k j i <<;若不存在,请说明理由。 5、已知数列{}n a 、{}n b 中,对任何正整数n 都有:
11213212122n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=--L 。 (1)若数列{}n a 是首项和公差都是1的等差数列,求证:数列{}n b 是等比数列; (2)若数列{}n b 是等比数列,数列{}n a 是否是等差数列,若是请求出通项公式,若不是请说明理由; (3)若数列{}n a 是等差数列,数列{}n b 是等比数列,求证:1132 n i i i a b =<∑ 。 6、设数列{}n a 满足11a =,22a =,121 (2)3 n n n a a a --= +,(3,4,)n =L 。数列{}n b 满足11,(2,3,)n b b n ==L 是非零整数,且对任意的正整数m 和自然数k ,都有 111m m m k b b b ++-≤+++≤L 。 (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)记(1,2,)n n n c na b n ==L ,求数列{}n c 的前n 项和n S 。 7、有n 个首项都是1的等差数列,设第m 个数列的第k 项为mk a , (,1,2,3,,, 3)m k n n =L ≥,公差为m d ,并且123,,,,n n n nn a a a a L 成等差数列。 (1)证明1122m d p d p d =+,n m ≤≤3,12,p p 是m 的多项式,并求12p p +的值; (2)当121, 3d d ==时,将数列{}m d 分组如下:123456789(), (,,), (,,,,),d d d d d d d d d L (每组数的个数构成等差数列),设前m 组中所有数之和为4()(0)m m c c >,求数列{2}m c m d 的前n 项和n S 。 (3)设N 是不超过20的正整数,当n N >时,对于(2)中的n S ,求使得不等式1 (6)50 n n S d ->成立的所有N 的值。 8、数列}{n a 的通项公式为?? ? ? ?-=3sin 3cos 22 2 ππn n n a n ,其前n 项和为n S 。 (1)求n S ; (2)设n n n n S b 4 3?= ,求数列}{n b 的前n 项和n T 。 9、数列}{n a 满足}221221,2,(1cos )sin ,1,2,3,.22 n n n n n a a a a a n ππ+===++=L 满足。
高考数列大题专题精选
高考数列大题专题 (内部资料勿外 传) 1.已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足. (1)设c n=3n+6,{a n}是公差为3的等差数列.当b1=1时,求b2、b3的值; (2)设,.求正整数k,使得对一切n∈N*,均有b n≥b k; (3)设,.当b1=1时,求数列{b n}的通项公式. 2.设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2,a3=a2+4. (Ⅰ)求{a n}的通项公式; (Ⅱ)设{b n}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n+b n}的前n项和S n. 3.已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R)设数列的前n项和为S n,且,,成等比数列. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及S n; (Ⅱ)记A n=+++…+,B n=++…+,当a≥2时,试比较A n与B n的大小. 4.已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=﹣10
(I)求数列{a n}的通项公式; (II)求数列{}的前n项和. 5.成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5. (I)求数列{b n}的通项公式; (II)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列{S n+}是等比数列. 6.在数1 和100之间插入n个实数,使得这n+2个数构成递增的等比数列,将这n+2个数的乘积计作T n,再令a n=lgT n ,n≥1. (I)求数列{a n}的通项公式; (Ⅱ)设b n=tana n?tana n+1,求数列{b n}的前n项和S n. 7.设a1,d为实数,首项为a1,公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n,满足S5S6+15=0. (Ⅰ)若S5=5,求S6及a1; (Ⅱ)求d的取值范围. 8.已知等差数列{a n}的前3项和为6,前8项和为﹣4. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式; (Ⅱ)设b n=(4﹣a n)q n﹣1(q≠0,n∈N*),求数列{b n}的前n项和S n.
2016高考数学二轮精品复习材料数列综合
第八讲 数列综合 ★★★高考在考什么 【考题回放】 1.已知a b c d ,,,成等比数列,且曲线 2 23y x x =-+的顶点是()b c ,,则ad 等于( B ) A.3 B.2 C.1 D.2- 2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若1221S =,则25811a a a a +++= .7 3. 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于 A .1 2 2n +- B.3n C. 2n D.31n - 【解析】因数列{}n a 为等比,则12n n a q -=,因数列{}1n a +也是等比数列, 则 2212112221 2 (1)(1)(1)22(12)01n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++?+=++?+=?+-=?= 即 2 n a =,所以 2n S n =,故选择答案C 。 4.设集合{1 23456}M =,,,,,, 12k S S S ,,,都是M 的含两个元素的子集,且满足:对任意的 {} i i i S a b =,, {} j j j S a b =,(i j ≠,{1 23}i j k ∈、,,,,),都有min min j j i i i i j j a b a b b a b a ??????≠???? ??????,,(min{}x y ,表示两个数x y ,中的较小者),则k 的最大值 是( B ) A .10 B .11 C .12 D .13 5. 已知正项数列{an},其前n 项和Sn 满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列,求数列{an}的通项an . 解析:解: ∵10Sn=an2+5an+6, ① ∴10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2或a1=3. 又10Sn -1=an -12+5an -1+6(n≥2),② 由①-②得 10an=(an2-an -12)+6(an -an -1),即(an+an -1)(an -an -1-5)=0 ∵an+an -1>0 , ∴an -an -1=5 (n≥2). 当a1=3时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15不成等比数列∴a1≠3; 当a1=2时,a3=12, a15=72, 有a32=a1a15 , ∴a1=2, ∴an=5n -3. 6.已知公比为(01)q q <<的无穷等比数列{}n a 各项的和为9,无穷等比数列{}2 n a 各项的和为 81 5.
高三理科数列专题训练
高三数列专题复习 题型一:等差等比的基本计算、裂项相消与错位相减求和 例1. 已知等差数列}{n a 满足:}.{26,7753n a a a a =+=的前n 项和为.n S (Ⅰ)求4a 及n S ; (Ⅱ)令1 1 2 -=n n a b )(*N n ∈,求数列}{n b 的前n 项和.n T 能力训练: 1.已知数列{}n a 满足111,3n n a a a +==,数列{}n b 的前n 项和2 21n S n n =++. (1)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (2)设n n n c a b =?,求数列{}n c 的前n 项和n T . 题型二:已知n a 与n S 的递推关系,求n a (或n S ) 例2.已知数列{}n a 的各项均为正数,其前n 项和为n S ,满足4n n a S += (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)设221()2log n n b a =-,数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证:当2n ≥时,21 n n T n -<. 能力训练: 1.已知数列{}n a 各项均为正数,其前n 项和为n S ,点(,)n n a S 在曲线2 (1)4x y +=上. (1)求{}n a 的通项公式; (2)设数列{}n b 满足11112 3,,11 n n n n b n n n b b b b a c b b +++-=== +--,求数列{}n c 的前n 项和n T . 题型三:可转换为等差或等比的递推关系 例3.已知各项均为正数的数列{}n a 满足22 112320n n n n a a a a +++?-=,n 为正整数, 且31 32 a +是24,a a 的等差中项. (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)若12 log n n n a c a =-,12n n T c c c =+++,求使12125n n T n ++?>成立的正整数n 的最小值. 能力训练: 1.设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,142n n S a +=+. (1)若12n n n b a a +=-,证明数列{}n b 是等比数列; (2)求数列{}n a 的通项公式; (3)若2(32) n n n c a n =+,n T 为数列{}n c 的前n 项和,求证:23n T < 题型四:分组求和,分奇偶项的讨论. 例4等比数列{}n a 中,123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且123,,a a a 中
高三数学教案: 数列的综合运用
专 题 训 练 第十讲: 数列的综合运用 学校 学号 班级 姓名 知能目标 1. 进一步理解等差数列和等比数列的概念和性质. 2. 能熟练应用等差数列与等比数列的通项公式, 中项公式,前n 项和公式, 强化综合运用这些公式解题的能力. 3. 在解数列综合题的实际中加深对基础知识, 基本技能和基本数学思想方法的认识, 沟通各类知识的联系, 形成完整的知识网络, 提高分析问题和解决问题的能力. 综合脉络 1. 揭示数列本质 数列与函数的关系 数列是一类特殊的函数. 从函数的观点看, 对于一个定义域为正整 数集*N (或它的有限子集}n ,,4,3,2,1{Λ )的函数来说, 数列就是这个函数当自变量从小到 大依次取值时对应的一列函数值. 等差数列与函数的关系 公差0d ≠时, n n S ,a 分别是n 的一次函数和二次函数. 反过来, 如果n a 是n 的一次函数, 那么}a {n 一定是公差不为0的等差数列; 如果n S 是n 的二次函数且 常数项为0, 那么}a {n 一定是公差不为0的等差数列. 通项n a 与前n 项和n S 之间的关系: .)2n (S S )1n (S a 1 n n 1n ?? ?≥-==- 2. 分析高考趋势 数列是初等数学与高等数学衔接和联系最密切的内容之一, 是进一步学习高等数学的基础, 数列的题目形态多变, 蕴含丰富的数学思想和数学方法, 是高考的热点之一. 在近几年新教材的高考试题中, 对数列的考查多以解答题的形式出现, 数列与函数, 数列与不等式等的综合知识, 在知识的交汇点处设计题目, 成为高考对能力和素质考查的重要方面. 在数列方面的考查, 对能力方面的要求, 呈现越来越高的趋势, 对知识考查的同时, 伴随着对数学思想方法的考查. 在近几年新教材的高考试题中, 数列约占9%左右, 考查的内容主要有: ①等差数列、等比数列的基本知识 (定义、通项公式、前n 项和公式); ②等差数列、等比数列与其他知识点的综合运用, 及应用数列知识解决实际问题; ③ 函数和方程的思想, 化归思想, 分类讨论思想, 待定系数法等. (一) 典型例题讲解: 例1. 已知2)1(f =, 2 1 )n (f 2)1n (f +=+)N n (*∈, 求)101(f 的值.