10电光调制器解析

10电光调制器解析
10电光调制器解析

第10课:电光调制器(光学BPM)

本课介绍如何制作一个3D模拟的线性电光效应(Pockels效应)改性的材料。参考波导设计[1]如图1所示。本节中,该波导被创建时,电位被施加到电极上,并将结果进行比较,参考文献[1]。

图1:这是参考1图2,绘制倒挂。该波导是一个“底- 删除”的设计,使包层是BCB,用胶水波导到另一个基板,未显示的聚合物。这种安装暴露AlGaAs敷层在空气中,并在背面电极蒸发那里。

所有的长度都在微米。

OptiBPM中有另一个,老年人,电光模块。此遗留功能是专门三个共面的电极上扩散电极在铌酸锂中使用时。参见第14课:马赫-曾德尔干涉仪开关。如果不需要你想要的符合模型,以这种特定的情况下,系统,以及有关电极阻抗的信息,你可能要考虑所描述的电极区域功能第14课:马赫-曾德尔干涉仪开关。对于所有其他电光模拟,在本教程中所描述的功能应该被使用。

在这个例子中的材料系统是砷化铝镓。脊结构形成波导和支持TE 和TM波,虽然只有TE模式被激发在我们的例子。电极是金属和不显著相交的引导模式。当电极有电势差时,大多垂直电场出现在支持光模的材料。的材料的折射率由electo光效应略有修改。的影响小,但它可以使在光学波的相位的显著差异传播很长的距离后,1厘米的顺序。根据文献[1],采用17.8 V该顶面和背面电极之间的电位差应在波导的基本模式1厘米传播后,引起皮的相位变化。

为了使模拟电压依赖性光学相移项目,请按照下列步骤。一个完成的项目可以在教程Samples目录中找到名为

Lesson10_ElectroOptic.bpd。

建议您已经完成了第1课:入门。这也是一个好主意,已经完成了第9课:创建一个芯片到光纤对接耦合器为好,以熟悉无电光效果的3D BPM模拟问题。

定义介质材料

步行动

1 在新的项目中,打开配置文件设计,并在科材料/绝缘创建砷化镓一种新材料。命名材料GaAs155,并在新材料的二维和三维各向同性选项卡中输入的3.421076的折射率。折射率的这个值是从参考文献2。砷化镓电光张量具有非零分量R41 = R5

2 = R63在晶体中的坐标系。但是,该设备的波导轴旋转时在XZ平面上由45°相对于晶轴,使垂直(平行于Y)的静电场由电光系数等于R41影响到在TE模式。在这个项目中,我们将模拟一个TE模式,因此进入R41系数为RV,垂直电光系数。(选择的电子光学效应的复选框)的电场的水平部分不影响水平偏振的TE模式,所以相对湿度应该被设置为零。

图2:折射率和材料的GaAs的电光系数λ= 1.55微米。N =

3.421076,RV = 1.42×10-12 [M / V]

2 单击静态介电常数选项卡上,输入13.18的静态介电常数张量的XX和YY成分[3]。

图3:砷化镓的静态介电常数。

3 点击商店进入新材料到项目中。

4 重复步骤1-3的其它介质材料项目。所有的介电性能中的项目的名称和性质示于下表8中。

表8:电介质材料在图1的波导中使用属性。1。从BCB楼盘采

取的折射率。4。

定义电极材料

的材料作为电极的定义是,电极在OptiBPM中引入的方式。配置文件和波导定义光波导的几何形状,以及这些对象都充满了材料,在其中定义了光的折射率。如果材料被定义为电极材料,然后用于指定波导的几何形状相同的名称和波导可用于指定电极的几何形状。

在OptiBPM中,电极被假定为理想导体。由于内部有理想导体无静电场,材料性能RH,RV,EpsXX和EpsYY并不适用于电极,而不是在电极材料对话框中找到。

电极确实有光学性质。这是允许的光学特性为具有透明电极的器件的精确定义。在金属电极或其他电极是不透明的情况下,电极通常远放在离波导的光场,并因此在电极的光学性能没有在设备功能显著。在这种情况下,光学电极的性能不应该设置到金属的实际的光学性质,但应设置为某个值,这将不会造成与要用于仿真的光束传播法数值麻烦。我们建议选择一个真实的折射率比包层的折射率稍微小一些,或在附近发现的其它材料的折射率。实际上,该电极由透明的光束传播模拟器,并且不直接在光学模拟参与。该电极材料的效果是通过电光效应只,根据需要在电光装置。

5 在配置文件设计的科材料/电极,创建一个名为Electrode1(默认名称)的新材料。输入的2D和3D 1.6折射率。这种材料是金属电极,并且会被放在远离光波。的1.6的折射率将防止电极从干扰模拟的光束传播法。见注释中上段。

6 点击商店进入新材料到项目中。

电光效应和电光调制

电光效应和电光调制 当给晶体或液体加上电场后,该晶体或液体的折射率发生变化,这种现象成为电光效应。1875年克尔(Kerr)发现了第一个电光效应。即某些各向同性的透明介质在外电场作用下变为各向异性,表现出双折射现象,介质具有单轴晶体的特性,并且其光轴在电场的方向上,人们称这种光电效应为克尔效应。1893年普克尔斯(Pokells)发现,有些晶体,特别是压电晶体,在加了外电场后,也能改变它们的各向异性性质,人们称此种电光效应为普克尔斯效应。电光效应在工程技术和科学研究中有许多重要应用,它有很短的响应时间(可以跟上频率为1010Hz的电场变化),因此被广泛用于高速摄影中的快门,光速测量中的光束斩波器等。由于激光的出现,电光效应的应用和研究得到了迅速发展,如激光通信、激光测量、激光数据处理等。 一.实验目的 1.掌握晶体电光效应和电光调制的原理和实验方法。 2.观察电光效应所引起的晶体光性的变化和会聚偏振光的干涉现象。 3.学会用简单的实验装置测量LN(LiNbO3铌酸锂)晶体半波电压。观察电光调制的工作性质。 二.仪器用具 电光效应实验仪,电光调制电源,LN晶体横向电光调制器,接收放大器,He-Ne激光器,二踪示波器和万用表。 三.实验装置与原理 (一)实验装置 (1)电光效应实验仪面板如图所示。 (2)晶体电光调制电源:调制电源由-200V—+200V之间连续可调的直流电源、单一频率振荡器(振荡频率约为1kHz)、音乐片和放大器组成,电源面板上有三位半数字面板表,可显示直流电压值。晶体上加的直流电压的极性可以通过面板上的“极性”键改变,直流电压的大小用“偏压”旋钮调节。调制信号可由机内振荡器或音乐片提供,此调制信号是用装在面板上的“信号选择”键来选择三个信号中的任意一个信

电光调制实验实验报告

广东第二师范学院学生实验报告 院(系)名称物理系班 别11物理 本四B 姓名 专业名称物理教育学号 实验课程名称近代物理实验(2) 实验项目名称电光调制实验 实验时间2014年12月 18日实验地点物理楼五楼 实验成绩指导老师签名 内容包含:实验目的、实验使用仪器与材料、实验步骤、实验数据整理与归纳(数据、图表、计算等)、实验 结果与分析、实验心得 【实验目的】 1. 掌握晶体电光调制的原理和实验方法 2. 学会利用实验装置测量晶体的半波电压,计算晶体的电光系数 3. 观察晶体电光效应引起的晶体会聚偏振光的干涉现象 【实验仪器】 铌酸锂晶体,电光调制电源,半导体激光器,偏振器,四分之一波片,接收放大器,双踪示波器 【实验内容及步骤】 一、调整光路系统 1. 调节三角导轨底角螺丝,使其稳定于调节台上。在导轨上放置好半导体光源部分滑块,将小孔光栏置于导轨上,在整个导轨上拉动滑块,近场远场都保证整个光路基 本处于一条直线,即使光束通过小孔。 放上起偏振器,使其表面与激光束垂直,且使光束在元件中心穿过。再放上检偏器,使其表面也与激光束垂直,转动检偏器,使其与起偏器正交,即,使检偏器的主 截面与起偏器的主截面垂直,这时光点消失,即所谓的消光状态。 2. 将铌酸锂晶体置于导轨上,调节晶体使其x轴在铅直方向,使其通光表面垂直于激光束(这时晶体的光轴与入射方向平行,呈正入射),这时观察晶体前后表面查看 光束是否在晶体中心,若没有,则精细调节晶体的二维调整架,保证使光束都通过晶体,且从晶体出来的反射像与半导体的出射光束重合。 3. 拿掉四分之一波片,在晶体盒前端插入毛玻璃片,检偏器后放上像屏。光强调到 最大,此时晶体偏压为零。这时可观察到晶体的单轴锥光干涉图,即一个清楚的暗十字线,它将整个光场分成均匀的四瓣,如果不均匀可调节晶体上的调整架。如图四所示 4. 旋转起偏器和检偏器,使其两个相互平行,此时所出现的单轴锥光图与偏振片垂

电光调制实验实验报告

电光调制实验实验报告 【实验目的】 1、掌握晶体电光调制的原理和实验方法 2、学会利用实验装置测量晶体的半波电压,计算晶体的电光系数 3、观察晶体电光效应引起的晶体会聚偏振光的干涉现象 【实验仪器】 铌酸锂晶体,电光调制电源,半导体激光器,偏振器,四分之一波片,接收放大器,双踪示波器 【实验内容及步骤】 一、调整光路系统 1、调节三角导轨底角螺丝,使其稳定于调节台上。在导轨上放置好半导体光源部分滑块,将小孔光栏置于导轨上,在整个导轨上拉动滑块,近场远场都保证整个光路基本处于一条直线,即使光束通过小孔。放上起偏振器,使其表面与激光束垂直,且使光束在元件中心穿过。再放上检偏器,使其表面也与激光束垂直,转动检偏器,使其与起偏器正交,即,使检偏器的主截面与起偏器的主截面垂直,这时光点消失,即所谓的消光状态。 2、将铌酸锂晶体置于导轨上,调节晶体使其x轴在铅直方向,使其通光表面垂直于激光束(这时晶体的光轴与入射方向平行,呈正入射),这时观察晶体前后表面查看光束是否在晶体中

心,若没有,则精细调节晶体的二维调整架,保证使光束都通过晶体,且从晶体出来的反射像与半导体的出射光束重合。 3、拿掉四分之一波片,在晶体盒前端插入毛玻璃片,检偏器后放上像屏。光强调到最大,此时晶体偏压为零。这时可观察到晶体的单轴锥光干涉图,即一个清楚的暗字线,它将整个光场分成均匀的四瓣,如果不均匀可调节晶体上的调整架。如图四所示 4、旋转起偏器和检偏器,使其两个相互平行,此时所出现的单轴锥光图与偏振片垂直时是互补的。如图五所示图四图五 6、晶体加上偏压时呈现双轴锥光干涉图,说明单轴晶体在电场作用下变成双轴晶体,即电致双折射。如图六所示 7、改变晶体所加偏压极性,锥光图旋转90度。如图七所示图六图七8 只改变偏压大小时,干涉图形不旋转,只是双曲线分开的距离发生变化。这一现象说明,外加电场只改变感应主轴方向的主折射率的大小、折射率椭球旋转的角度和电场大小无关。 二、依据晶体的透过率曲线(即T-V曲线),选择工作点。测出半波电压,算出电光系数,并和理论值比较。我们用两种测量方法: 1、极值法晶体上只加直流电压,不加交流信号,并把直流偏压从小到大逐渐改变时,示波器上可看到输出光强出现极小值和极大值。

晶体电光调制实验

晶体电光调制与光通信实验 实验人: 合作人: (物理科学与工程技术学院,光信息科学与技术 2011 级 1 班,学号11343026) 一.实验目的 1.掌握晶体电光调制的原理和实验方法。 2.学会用简单的实验装置测量晶体半波电压、电光常数的实验方法。 3.观察电光效应所引起的晶体光学特性的变化和会聚偏振光的干涉现象。 二.实验原理 1.电光效应 当给晶体或液体加上电场后,该晶体或液体的折射率发生变化,这种现象成为电光效应。 电场引起的折射率的变化: +++=2 00bE aE n n 其中a 和b 为常数, 0n 为0E =0时的折射率。 光在各向异性晶体中传播时,因光的传播方向不同或者是电矢量的振动方向不同,光的 折射率也不同。在主轴坐标中,折射率椭球及其方程为: 1 2 3 22 2 22 1 2 =+ + n z n y n x 式中1n 、2n 、3n 为椭球三个主轴方向上的折射率,称为主折射率。当晶体加上电场后,折射率椭球的形状、大小、方位都发生变化,椭球方程变成: 1 222212 213 223 233 2 222 2 211 2 =+ + + + + n xy n xz n yz n z n y n x 晶体的一次电光效应分为纵向电光效应和横向电光效应两种。纵向电光效应是加在晶体上的电场方向与光在晶体里传播的方向平行时产生的电光效应;横向电光效应是加在晶体上的电场方向与光在晶体里传播方向垂直时产生的电光效应,本实验研究铌酸锂晶体的一次电光效应。铌酸锂晶体属于三角晶系,3m 晶类,主轴z 方向有一个三次旋转轴,光轴与z 轴重合,是单轴晶体,折射率椭球是旋转椭球,其表达式为 1 22 20 2 2=+ +e n z n y x 加上电场后折射率椭球发生畸变,当x 轴方向加电场,光沿z 轴方向传播时,晶体由单轴晶变为双轴晶,垂直于光轴z 轴方向的折射率椭球截面由圆变为椭圆,此椭圆方程为 1 2)1 ( )1 ( 222 2220 2 2220 =-++-xy E y E n x E n x x x γγγ 2.电光调制原理

10电光调制器解析

第10课:电光调制器(光学BPM) 本课介绍如何制作一个3D模拟的线性电光效应(Pockels效应)改性的材料。参考波导设计[1]如图1所示。本节中,该波导被创建时,电位被施加到电极上,并将结果进行比较,参考文献[1]。 图1:这是参考1图2,绘制倒挂。该波导是一个“底- 删除”的设计,使包层是BCB,用胶水波导到另一个基板,未显示的聚合物。这种安装暴露AlGaAs敷层在空气中,并在背面电极蒸发那里。 所有的长度都在微米。

OptiBPM中有另一个,老年人,电光模块。此遗留功能是专门三个共面的电极上扩散电极在铌酸锂中使用时。参见第14课:马赫-曾德尔干涉仪开关。如果不需要你想要的符合模型,以这种特定的情况下,系统,以及有关电极阻抗的信息,你可能要考虑所描述的电极区域功能第14课:马赫-曾德尔干涉仪开关。对于所有其他电光模拟,在本教程中所描述的功能应该被使用。 在这个例子中的材料系统是砷化铝镓。脊结构形成波导和支持TE 和TM波,虽然只有TE模式被激发在我们的例子。电极是金属和不显著相交的引导模式。当电极有电势差时,大多垂直电场出现在支持光模的材料。的材料的折射率由electo光效应略有修改。的影响小,但它可以使在光学波的相位的显著差异传播很长的距离后,1厘米的顺序。根据文献[1],采用17.8 V该顶面和背面电极之间的电位差应在波导的基本模式1厘米传播后,引起皮的相位变化。

为了使模拟电压依赖性光学相移项目,请按照下列步骤。一个完成的项目可以在教程Samples目录中找到名为 Lesson10_ElectroOptic.bpd。 建议您已经完成了第1课:入门。这也是一个好主意,已经完成了第9课:创建一个芯片到光纤对接耦合器为好,以熟悉无电光效果的3D BPM模拟问题。 定义介质材料 步行动 1 在新的项目中,打开配置文件设计,并在科材料/绝缘创建砷化镓一种新材料。命名材料GaAs155,并在新材料的二维和三维各向同性选项卡中输入的3.421076的折射率。折射率的这个值是从参考文献2。砷化镓电光张量具有非零分量R41 = R5 2 = R63在晶体中的坐标系。但是,该设备的波导轴旋转时在XZ平面上由45°相对于晶轴,使垂直(平行于Y)的静电场由电光系数等于R41影响到在TE模式。在这个项目中,我们将模拟一个TE模式,因此进入R41系数为RV,垂直电光系数。(选择的电子光学效应的复选框)的电场的水平部分不影响水平偏振的TE模式,所以相对湿度应该被设置为零。

铌酸锂晶体电光调制器的性能测试_OK

铌酸锂(LiNb03)晶体电光调制器的性能测试 铌酸锂(LiNbO3)晶体是目前用途最广泛的新型无机材料之一,它是很好的压电换能材料,铁电材料,电光材料,非线性光学材料及表面波基质材料。电光效应是指对晶体施加电场时,晶体的折射率发生变化的效应。有些晶体部由于自发极化存在着固有电偶极矩,当对这种晶体施加电场时,外电场使晶体中的固有偶极矩的取向倾向于一致或某种优势取向,因此,必然改变晶体的折射率,即外电场使晶体的光率体发生变化。铌酸锂调制器,应具有损耗低、消光比高、半波电压低、电反射小的高可靠性的性能。 【实验目的】 1.了解晶体的电光效应及电光调制器的基本原理性能. 2. 掌握电光调制器的主要性能消光比和半波电压的测试方法 3. 观察电光调制现象 【实验仪器】 1.激光器及电源 2.电光调制器(铌酸锂) 3.电光调制器驱动源 4. 检流计 5.示波器 6.音频输出的装置 7.光具台及光学元件 【实验原理】 1.电光效应原理 某些晶体在外电场作用下,构成晶体的原子、分子的排列和它们之间的相互作用随外电场E 的改变发生相应的变化,因而某些原来各向同性的晶体,在电场作用下,显示出折射率的改变。这种由于外电场作用而引起晶体折射率改变的现象称为电光效应。折射率N 和外电场E 的关系如下: ΛΛ++=-2 20 211RE rE n n (1) 式中,0n 为晶体未加外电场时某一方向的折射率,r 是线性电光系数,R 是二次电光系数。通常把电场一次项引起的电光效应叫线性电光效应,又称泡克尔斯效应;把二次项引起的电光效应叫做二次电光效应,又称克尔效应。其中,泡克尔斯效应只在无对称中心的晶体中才有,而克尔效应没有这个限制。只有在无对称中心的晶体中,与泡克尔斯效应相比,克尔效应较小,通常可忽略。 目前普遍采用线性电光效应做电光调制器,这样就不再考虑(1)式中电场E 的二次项和高次项。因此(1)式为:

3晶体的电光效应与电光调制_实验报告

晶体的电光效应与光电调制 实验目的: 1) 研究铌酸锂晶体的横向电光效应,观察锥光干涉图样,测量半波电压; 2) 学习电光调制的原理和试验方法,掌握调试技能; 3) 了解利用电光调制模拟音频通信的一种实验方法。 实验仪器: 1) 晶体电光调制电源 2) 调制器 3) 接收放大器 实验原理简述: 某些晶体在外加电场的作用下,其折射率将随着外加电场的变化而变化,这种现象称为光电效应。晶体外加电场后,如果折射率变化与外加电场的一次方成正比,则称为一次电光效应,如果折射率变化与外加电场的二次方成正比,则称为二次电光效应。晶体的一次光电效应分为纵向电光效应和横向电光效应 1、 电光调制原理 1) 横向光电调制 如图 入射光经过起偏器后变为振动方向平行于x 轴的线偏振光,他在晶体感应轴x ’,y’上的投影的振幅和相位均相等,分别设为 wt A e x cos 0'=wt A e y cos 0'= 用复振幅表示,将位于晶体表面(z=0)的光波表示为A E x =)0('A E y =)0(' 所以入射光的强度为22 '2 '2)0()0(A E E E E I y x i =+=?∝ 当光通过长为l 的电光晶体后,x’,y’两分量之间产生相位差A l E x =)('δi y Ae l E -=)(' 通过检偏器出射的光,是这两个分量在y 轴上的投影之和

() 12 45cos )()('0-= ?=-δ δi i y y e A e l E E 其对应的输出光强I t 可写为()()[] 2 sin 2*2200δ A E E I y y t =?∝ 由以上可知光强透过率为2 sin 2δ==i t I I T 相位差的表达式()d l V r n l n n y x 223 0'' 22λ π λ π δ= -= 当相位差为π时?? ? ??= l d r n V n 223 02λ 由以上各式可将透过率改写为()wt V V V V V T m sin 2sin 2sin 02 2 +==π π π π可以看出改变V0或 Vm ,输出特性将相应变化。 1) 改变直流电压对输出特性的影响 把V0=Vπ/2带入上式可得 ()?? ???? ???? ??+=+==wt V V wt V V V V V T m m sin sin 121sin 2sin 2sin 02 2 πππππ π 做近似计算得?? ???????? ??+≈ wt V V T m sin 121ππ 即T ∝Vmsinwt 时,调制器的输出波形和调制信号的波形频率相同,即线性调制 如果Vm >Vπ,不满足小信号调制的要求,所以不能近似计算,此时展开为贝塞尔函数,即输出的光束中除了包含交流信号的基波外,还有含有奇次谐波。由于调制信号幅度比较大,奇次波不能忽略,这时,虽然工作点在线性区域,但输出波形依然会失真。

电光调制实验报告(1)

光电工程学院 2013 / 2014学年第 2 学期 实验报告 课程名称:光电子基础实验 实验名称:电光调制实验 班级学号 1213032809 学生姓名丁毅 指导教师孙晓芸 日期:2014年 5 月07 日

电光调制实验 【实验目的】 1、掌握晶体电光调制的原理和实验方法; 2、学会用实验装置测量晶体的半波电压,绘制晶体特性曲线,计算电光晶体的消光比和透射 率。 【实验仪器及装置】 电光调制实验仪(半导体激光器、起偏器、电光晶体、检偏器、光电接收组件等)、示波器。 实验系统由光路与电路两大单元组成,如图3.1所示: 图3.1 电光调制实验系统结构 一、光路系统 由激光管(L)、起偏器(P)、电光晶体(LN)、检偏器(A)与光电接收组件(R)以及附加的减光器(P1)和λ/4波片(P2)等组装在精密光具座上,组成电光调制器的光路系统。 注:?本系统仅提供半导体激光管(包括电源)作为光源,如使用氦氖激光管或其他激光源时,需另加与其配套的电源。 ?激光强度可由半导体激光器后背的电位器加以调节,故本系统 未提供减光器(P 1 )。 ?本系统未提供λ/4波片(P 2 )即可进行实验,如有必要可自行配置。

二、电路系统 除光电转换接收部件外,其余包括激光电源、晶体偏置高压电源、交流调制信号发生、偏压与光电流指示表等电路单元均组装在同一主控单元之中。 图3.2 电路主控单元前面板 图3.2为电路单元的仪器面板图,其中各控制部件的作用如下: ?电源开关用于控制主电源,接通时开关指示灯亮,同时对半导体激光器供电。 ?晶体偏压开关用于控制电光晶体的直流电场。(仅在打开电源开关后有效) ?偏压调节旋钮调节直流偏置电压,用以改变晶体外加直流电场的大小。 ?偏压极性开关改变晶体的直流电场极性。 ?偏压指示数字显示晶体的直流偏置电压。 ?指示方式开关用于保持光强与偏压指示值,以便于读数。 ?调制加载开关用于对电光晶体施加内部的交流调制信号。(内置1KHz的正弦波) ?外调输入插座用于对电光晶体施加外接的调制信号的插座。(插入外来信号时内置信号自动断开) ?调制幅度旋钮用于调节交流调制信号的幅度。 ?调制监视插座将调制信号输出送到示波器显示的插座。 ?解调监视插座将光电接收放大后的信号输出到示波器显示的插座,可与调制信号进行比较。 ?光强指示数字显示经光电转换后的光电流相对值,可反映接收光强大小。?解调幅度旋钮用于调节解调监视或解调输出信号的幅度。

电光调制器

第三章电光调制器

内容 ?电光调制的基本原理 ?铌酸锂(LiNbO3)电光调制器?半导体电吸收调制器(EAM)

电光调制 电光调制:将电信息加载到光载波上,使光参量随着电参 量的改变而改变。光波作为信息的载波。 强度调制的方式 作为信息载体的光载波是一种电磁场:()() 0cos E t eA t ωφ=+r r 对光场的幅度、频率、相位等参数,均可进行调制。在模拟信号的调制中称为AM 、FM 和PM ;在数字信号的调制中称为ASK 、FSK 和PSK 。调制器:将连续的光波转换为光信号,使光信号随电信号的变化而变化。性能优良的调制器必须具备:高消光比、大带宽、低啁啾、低的偏置电 压。

电光调制的主要方式 直接调制:电信号直接改变半导体激光器的偏置电流,使输出激光强度随电信号而改变。 优点:采用单一器件 成本低廉 附件损耗小 缺点:调制频率受限,与激光器弛豫振荡有关 产生强的频率啁啾,限制传输距离 光波长随驱动电流而改变 光脉冲前沿、后沿产生大的波长漂移 适用于短距离、低速率的传输系统

电光调制的主要方式 外调制:调制信号作用于激光器外的调制器上,产生电光、热光或声光等物理效应,从而使通过调制器的激光束的光参量随信号 而改变。 优点:不干扰激光器工作,波长稳定 可对信号实现多种编码格式 高速率、大的消光比 低啁啾、低的调制信号劣化 缺点:额外增加了光学器件、成本增加 增加了光纤线路的损耗 目前主要的外调制器种类有:电光调制器、电吸收调制器

调制器调制器连续光源 光传输 NRZ 调制格式 其他调制格式: ?相位调制 ?偏振调制 ?相位与强度调制想结合光传输RZ 调制格式 脉冲光源电光调制 折射率的改变通过 电介质晶体Pockels 效应和半导体材料 中的电光效应 光吸收的改变通过半导体材料中的Franz-Keldysh效应量子阱半导体材料中的量子限制的Stark 效应光与物质相互作用 相位调制 偏振调制 (双折射材料) 强度调制强度调制通过-干涉仪结构-定向耦合

电光调制基础

电光调制 ? 基础 EOM (Electrooptic Modulator ) 将信息加载于激光的过程称之为调制,完成这一过程的装置称为调制器,激光称为载波,起控制作用的低频信息称为调制信号。 电光在激光器外的光路中进行调制,为外调制。 (内调制:加载调制信号在激光振荡过程中进行,调制信号改变激光器的震荡参数,从而改变激光输出。激光谐振腔内放置元件。) ? 分类 调幅、调频、调相、强度调制 1. 振幅调制 使载波的振幅随调制信号而变化,简称调幅。 produces an output signal that has twice the bandwidth of the original baseband signal. 激光载波的电场强度为:0000()cos()E t A t ωφ=+ 调制信号()m m co a t A s t ω= A m 和m ω分别是调制信号的振幅和角频率。 调制之后,激光振幅0A 与调制信号成正比。 其调幅波的表达式为: 000000000000()[1cos ]cos() ()cos()cos[()cos[]] ()22 a a a m m m t t m m t A A E t A m E t A t t ωωφωφωωφωωφ=+=-+++++++ 0/m a m A A =为调幅系数。 调幅波的频谱三个频率成分:第一项是载频分量,二、三项是因调制而产生的新分量,为边频分量。

PS: Single-sideband modulation Arefinement of amplitude modulation uses transmitter power and bandwidth more efficiently. Single -sideband modulation avoids the bandwidth doubling and takes advantage of the fact that the entire original signal is encoded in either one of these sidebands. 00 ()()cos( 2)()sin(2)()ssb s t s t t s t t f f quadrature amplitude modulation ππ=- 单边带调制最常用的是滤波法 是分双边带信号形成和无用边带抑制两步完成的。 双边带信号由平衡调制器形成。由于调制器的平衡作用,载频电平被抑制到很低。 无用边带的抑制,是由紧跟在平衡调制器后面的边带滤波器完成的。 边带滤波器是一带通滤波器,若下边带为无用边带,则恰当地选择其中心频率和通带宽度,让上边带信号通过而抑制下边带。当需要形成多路独立边带信号时,就需要有相应数目的单边带信号产生器,它们具有不同的载频和不同中心频率的边带滤波器。然后把这些占有不同频段的单边带信号线性相加,便可得到多路独立边带信号。 0m 0m

电光调制器

电光调制器的原理 要用激光作为传递信息的工具,首先要解决如何将传输信号加到激光 辐射上去的问题,我们把信息加载于激光辐射的过程称为激光调制,把完成这一过程的装置称为激光调制器.由已调制的激光辐射还原出所加载信息 的过程则称为解调.因为激光实际上只起到了"携带"低频信号的作用,所以称为载波,而起控制作用的低频信号是我们所需要的,称为调制信号,被调 制的载波称为已调波或调制光.按调制的性质而言,激光调制与无线电波调制相类似,可以采用连续的调幅,调频,调相以及脉冲调制等形式,但激光调制多采用强度调制.强度调制是根据光载波电场振幅的平方比例于调制信号,使输出的激光辐射的强度按照调制信号的规律变化.激光调制之所以常采用强度调制形式,主要是因为光接收器一般都是直接地响应其所接受的 光强度变化的缘故. 激光调制的方法很多,如机械调制,电光调制,声光调制,磁光调制和电源调制等.其中电光调制器开关速度快,结构简单.因此,在激光调制技术及混合型光学双稳器件等方面有广泛的应用.电光调制根据所施加的电场方 向的不同,可分为纵向电光调制和横向电光调制.利用纵向电光效应的调制,叫做纵向电光调制,利用横向电光效应的调制,叫做横向电光调制编辑本段电光调制器的应用 在电通信系统中,原始率数字信号电平的峰-峰值只有0.8V。因为数据率大于2.5Gb/s的铌酸锂调制器的半波电压(Vp)较高,故都需要用驱动器来推动调制器。驱动器不仅要有很宽的工作频带,并且要能提供足够大的微波输出功率。例如:对于10Gb/s、Vp=5.5V的调制器,需要驱动器具有75KHz 到8GHz的工作频带及20dBm(100mW)的1dB输出功率。制作率的驱动器是非常困难的,因此制作具有低Vp的调制器是很受欢迎的。 当然,也要求调制器有良好的其他性能,如低的光插入损耗、大的消光比、小的光反射损耗、弱的电反射损耗和合适的啁啾(chirp)参量。 电光调制器有很多用途。相位调制器可用于相干光纤通信系统,在密集波分复用光纤系统中用于产生多光频的梳形发生器,也能用作激光束的电光移频器。 电光调制器有良好的特性,可用于光纤有线电视(CATV)系统、无线通信系统中基站与中继站之间的光链路和其他的光纤模拟系统。 电光调制器除了用于上述的系统中用于产生高重复频率、极窄的光脉冲或光孤子(Soliton),在先进雷达的欺骗系统中用作为光子宽带微波移相器和移频器,在微波相控阵雷达中用作光子时间延迟器,用于光波元件分析仪,测量微弱的微波电场等。

电光调制实实验讲义

电光调制实验实验讲义 一、实验背景 电光效应在工程技术和科学研究中有许多重要应用。尤其是激光出现以后,电光效应的研究和应用得到了迅速发展,电光器件被广泛应用在激光通信、激光测距、激光显示和光学数据处理等方面。晶体电光调制实验可以模拟电光效应在激光通信中的应用,验证激光通信传输速度快,抗干扰能力强,保密性好等优点。通过该实验可以加深对偏振光干涉、双折射、非线性光学等知识的理解,培养学生的动手能力,提高学生的工程意识。实验系统结构简单,易于操作,实验效果理想。 二、实验目的 1. 观察电光效应引起的晶体光学性质的变化(单轴晶体、双轴晶体的偏振干涉图)。 2. 观察直流偏压对输出特性的影响,记录数据并绘制输出特性曲线。 3 观察铌酸锂晶体交流调制输出特性。 4. 模拟光通信。 三、实验仪器 图1 实验仪器实物图(双踪示波器自备) 1.半导体激光器及四维可调支架 2.起偏器 3.铌酸锂晶体 4.检偏器(及1/4波片) 5.光屏 6.导轨 7.电光调制电源箱 8.接受放大器 四、实验原理 晶体分各向同性晶体与各向异性晶体。其中各向异性晶体会发生双折射,而各向同性晶体只会发生普通折射。光束入射到各向异性的晶体,分解为o 光和e 光。如果光束沿着光轴的方向传播不会发生双折射现象。这里光轴并非指一条直线,而是一个特殊的方向。晶体中o 光与光轴构成的平面叫o 光主平面,e 光与光轴构成的平面叫e 光主平面。o 光振动方向垂直于o 光主平面,e 光的振动方向平行于e 光主截面。一般情况下,o 光主平面与e 光主平面不重合,但是理论与实践均表明,当入射线在晶体主平面时o 光主平面与e 光主平面重合。实用中一般均取入射线在晶体主截面内的情况。各向异性晶体中o 光与e 光的传播速度一般不同。速度e o v v >的晶体称为正晶体,e o v v <的晶体称为负晶体。铌酸锂晶体是各向异性负晶体。由于双折射现象,当入射光不沿光轴方向入射时,产生的o 光与e 光对应不同的折射率o n 与e n 。寻常光o 的折射率对于介质来说是各向同性的,其波面是个球面;非寻常光的折射率对于介质来说是各向异性的,其波面通常是椭球面。当o 光与e 光以不同的速度垂直穿过相同厚度晶体时,会产生一定的相位差()o e o l n n -= λ π δ2 铌酸锂晶体具有优良的压电、电光、声光、非线性等性能。本实验中采用的是LiNbO 3晶体的光电特性。 (一)会聚偏振光的干涉 汇聚偏振光的实验装置如图2所示,4321L L L L 、、、是透镜,21 、P P 是正交偏振片,C 是光轴与晶体表面垂直的晶片。短焦距透镜2L 将透过1P 的平行偏振光转化为一束会聚偏振光入射到晶片C 上的Q 点,从C 出射的光再经同样的透镜3L 后转化为平行光入射到偏振片2P ,最后透镜4L 把3L 的后焦面成像于屏幕M 上。这样,凡以相同方向通过晶片C 的光线,最后将会会聚到屏幕M 上同一点。易见该光路对装置轴线BO 具有对称性。这种装置产生的干涉图样示于图13,它也具有中心对称性,是一组明暗相间的同心圆环,

电光调制器实验

实验二电光调制器实验 一、实验目的 1、掌握电光调制器的工作原理和使用方法。 2、巩固书上所学的关于电光调制器的应用原理、范围。 二、实验仪器 1、电光调制器实验仪1台 2、半导体激光器或He-Ne激光器1台 35V、24V直流电源各1台 4 双踪示波器1台 三、实验原理和电路说明 光在晶体中传播的性质可用折射率椭球来描述,电场对光学介质的影响,是电场使介质的折射率椭球主轴方向和大小发生变化。当不给克尔盒加电压时,盒中的介质是透明的,各向同性的非偏振光经过P后变为振动方向平行P光轴的平面偏振光。通过克尔盒时不改变振动方向。到达Q时,因光的振动方向垂直于Q光轴而被阻挡(P、Q分别为起偏器和检偏器,安装时,它们的光轴彼此垂直。),所以Q没有光输出;给克尔盒加以电压时,盒中的介质则因有外电场的作用而具有单轴晶体的光学性质,光轴的方向平行于电场。这时,通过它的平面偏振光则改变其振动方向。所以,经过起偏器P产生的平面偏振光,通过克尔盒后,振动方向就不再与Q光轴垂直,而是在Q光轴方向上有光振动的分量,所以,此时Q 就有光输出了。Q的光输出强弱,与盒中的介质性质、几何尺寸、外加电压大小等因素有关。对于结构已确定的克尔盒来说,如果外加电压是周期性变化的,则Q的光输出必然也是周期性变化的。由此即实现了对光的调制。 四、实验内容与步骤 1、显示电光调制波形,观察电光调制现象 2、测试电光晶体的调制特性曲线 3、测量电光晶体的特征参量

4、进行电光调制的光通讯实验研究与演示 5、模拟声光调制的光通讯实验研究与演示 五、实验结果 1、实验数据表格为: 2、特性曲线图为: 3、电光调制器由哪些部分组成?各部分的作用是什么? 答:电光调制器由起偏器、电光晶体、1/4波片、检偏器组成。 起偏器:产生线偏振光。 电光晶体:当有外加电压时,通过它的平面偏振光则改变其偏振方向。 所以,经过起偏器P产生的平面偏振光,通过电光晶体后, 振动方向就不再与Q光轴垂直,而是在Q光轴上有光振动 的分量,所以,此时Q就有光输出了。Q的光输出强弱, 与晶体性质、几何尺寸、外加电压大小等因素有关。对于已

电光调制器工作基本知识是什么

电光强度调制器的设计 一、电光强度调制 利用晶体的电光效应,即某些晶体在外加电场的作用下,其折射率将发生变化,当光波通过此介质时,其传输特性就受到影响而改变,可控制光在传播过程中的强度。 强度调制是使光载波的强度(光强)随调制信号规律变化的激光振荡,如图下图所示。光束调制多采用强度调制形式,这是因为接收器一般都是直接响应其所接收的光强变化。 1、电光强度调制装置示意图及原理 它由两块偏振方向垂直的偏正片及其间放置的一块单轴电光晶体组成,偏振片的通振方向分别与x,y轴平行。

根据晶体光学原理,在电光晶体上沿z 轴方向加电场后,由电光效应产生的感应双折射轴'x 和'y 分别与x,y 轴成45°角。设'x 为快轴,'y 为慢轴,若某时刻加在电光晶体上的电压为V ,入射到晶体的在x 方向上的线偏振激光电矢量振幅为E ,则分解到快轴'x 和慢轴'y 上的电矢量振幅为'x E ='y E =E/2。同时,沿'x 和'y 方向振动的两线偏振光之间产生如下式表示的相位差 V 6330 2γμλ δπ = 0μ-晶体在未加电场之前的折射率 63γ-单轴晶体的线性电光系数,又称泡克尔系数

从晶体中出射的两线偏振光在通过通振方向与y 轴平行的偏振片检偏,产生的光振幅如下图分别为y E x'、y E y',则有y E x'=y E y'=E/2,其相互间的相位差为()πδ+。此二振动的合振幅为 () () ()δδπδcos 121 cos 21 41cos 22222''2 '2'2'-=-+= +++=E E E E E E E E E y y y x y y y x 因光强与振幅的平方成正比,所以通过检偏器的光强可以写成 令比例系数为1: 2 sin 2 sin 2 02 22'δ δ I E E I === 即 V I I λ γπμ63 302 0sin = 显然,当晶体所加电压V 是一个变化的信号电压时,通过检偏器的光强也随之变化。如下图I/0I -V 曲线的一部分及光强调制的工作情形。

电光调制器工作原理是什么

电光调制器工作原理是什么

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电光强度调制器的设计 一、电光强度调制 利用晶体的电光效应,即某些晶体在外加电场的作用下,其折射率将发生变化,当光波通过此介质时,其传输特性就受到影响而改变,可控制光在传播过程中的强度。 强度调制是使光载波的强度(光强)随调制信号规律变化的激光振荡,如图下图所示。光束调制多采用强度调制形式,这是因为接收器一般都是直接响应其所接收的光强变化。 1、电光强度调制装置示意图及原理 它由两块偏振方向垂直的偏正片及其间放置的一块单轴电光晶体组成,偏振片的通振方向分别与x,y轴平行。

根据晶体光学原理,在电光晶体上沿z 轴方向加电场后,由电光效应产生的感应双折射轴'x 和'y 分别与x,y 轴成45°角。设'x 为快轴,'y 为慢轴,若某时刻加在电光晶体上的电压为V ,入射到晶体的在x 方向上的线偏振激光电矢量振幅为E ,则分解到快轴'x 和慢轴'y 上的电矢量振幅为'x E ='y E =E/2。同时,沿'x 和'y 方向振动的两线偏振光之间产生如下式表示的相位差 V 6330 2γμλ δπ = 0μ-晶体在未加电场之前的折射率 63γ-单轴晶体的线性电光系数,又称泡克尔系数

从晶体中出射的两线偏振光在通过通振方向与y 轴平行的偏振片检偏,产生的光振幅如下图分别为y E x'、y E y',则有y E x'=y E y'=E/2,其相互间的相位差为()πδ+。此二振动的合振幅为 () ()() δδπδcos 121 cos 21 41cos 22222''2 '2'2'-=-+= +++=E E E E E E E E E y y y x y y y x 因光强与振幅的平方成正比,所以通过检偏器的光强可以写成 令比例系数为1: 2 sin 2 sin 2 02 22'δ δ I E E I === 即 V I I λ γπμ63 302 0sin = 显然,当晶体所加电压V 是一个变化的信号电压时,通过检偏器的光强也随之变化。如下图I/0I -V 曲线的一部分及光强调制的工作情形。

实验四、1电光调制实验综述

晶体的电光调制 当给晶体或液体加上电场后,该晶体或液体的折射率发生变化,这种现象成为电光效应。电光效应在工程技术和科学研究中有许多重要应用,它有很短的响应时间(可以跟上频率为1010Hz 的电场变化),可以在高速摄影中作快门或在光速测量中作光束斩波器等。在激光出现以后,电光效应的研究和应用得到迅速的发展,电光器件被广泛应用在激光通讯、激光测距、激光显示和光学数据处理等方面。 【实验目的】 1.掌握晶体电光调制的原理和实验方法。 2.了解一种激光通信的方法。 【实验原理】 1.一次电光效应和晶体的折射率椭球 由电场所引起的晶体折射率的变化,称为电光效应。通常可将电场引起的折射率的变化用下式表示: n = n 0 + aE 0 +bE 02+ (1) 式中a 和b 为常数,n 0为不加电场时晶体的折射率。由一次项aE 0 引起折射率变化的效应,称为一次电光效应,也称线性电光效应或普克尔(Pokells )效应;由二次项bE 02引起折射率变化的效应,称为二次电光效应,也称平方电光效应或克尔(Kerr )效应。一次电光效应只存在于不具有对称中心的晶体中,二次电光效应则可能存在于任何物质中,一次效应要比二次效应显著。 光在各向异性晶体中传播时,因光的传播方向不同或者是电矢量的振动方向不同,光的折射率也不同。如图1,通常用折射率球来描述折射率与光的传播方向、振动方向的关系。在主轴坐标中,折射率椭球及其方程为 1232222212 =++n z n y n x (2) 图 1主折射率椭球 式中n 1、n 2、n 3为椭球三个主轴方向上的折射率,称为主折射率。当晶体加上电场后,折射率椭球的形状、大小、方位都发生变化,椭球方程变成

电光调制实验

实验二 电光调制实验 激光是一种光频电磁波,具有良好的相干性,与无线电波相似,可作为传递信息的载波。激光具有很高的频率(约1013~1015Hz ),可供利用的频带很宽,故传递信息的容量很大。再有,光具有极短的波长和极快的传递速度,加上光波的独立传播特性,可以借助光学系统把一个面上的二维信息以很高的分辨率瞬间传递到另一个面上,为二位并行光信息处理提供条件。所以激光是传递信息的一种很理想的光源。电光效应在工程技术和科学研究中有许多重要应用,它有很短的响应时间(可以跟上1010Hz 的电场变化),可以在高速摄影中作快门或在光速测量中作光束斩波器等。在激光出现以后,电光效应的研究和应用得到迅速的发展,电光器件被广泛应用在激光通讯,激光测距,激光显示和光学数据处理等方面。 要用激光作为信息的载体,就必须解决如何将信息加到激光上去的问题。例如激光电话,就需要将语言信息加在与激光,由激光“携带”信息通过一定的传输通道送到接收器,再由光接收器鉴别并还原成原来的信息。这种将信息加在与激光的过程称之为调制,到达目的地后,经光电转换从中分离出原信号的过程称之为解调。其中激光称为载波,起控制作用的信号称之为调制信号。与无线电波相似的特性,激光调制按性质分,可以采用连续的调幅、调频、调相以及脉冲调制等形式。但常采用强度调制。强度调制是根据光载波电场振幅的平方比例于调制信号,使输出的激光辐射强度按照调制信号的规律变化。激光之所以常采用强度调制形式,主要是因为光接收器(探测器)一般都是直接地响应其所接收的光强度变化的缘故。 【实验目的】 1. 掌握晶体电光调制的原理和实验方法。 2. 学会利用实验装置测量晶体的半波电压,计算晶体的电光系数。 3. 观察晶体电光效应引起的晶体会聚偏振光的干涉现象。 【实验仪器】 铌酸锂晶体,电光调制电源,半导体激光器,偏振器,四分之一波片,接收放大器,双踪示波器。 【实验原理】 1.电光调制的基本原理 某些晶体(固体或液体)在外加电场中,随着电场强度E 的改变,晶体的折射率会发生改变,这种现象称为电光效应。通常将电场引起的折射率的变化用下式表示: 02 00n n aE bE =+++?????? (1) 式(1)中a 和b 为常数,0 n 为E 0=0时的折射率。由一次项aE 0引起折射率变化的效应,称为一次电光效应,也 称线性电光效应或普克尔电光效应(pokells );由二次项引起折射率变化的效应,称为二次电光效应,也称平方电光效应或克尔效应(kerr )。由(1)式可知,一次电光效应只存在于不具有对称中心的晶体中,二次电光效应则可能存在于任何物质中,一次效应要比二次效应显著。 光在各向异性晶体中传播时,因光的传播方向不同或者是电矢量的振动方向不同,光的折射率也不同。通常用折射率椭球来描述折射率与光的传播方向、振动方向的关系,在主轴坐标中,折射率椭球方程为 123 2 2222 12=++n z n y n x (2) 式中1n 、2n 、3n 为椭球三个主轴方向上的折射率,称为主 折射率。如图2-1所示,从折射率椭球的坐标原点O 出发,向 任意方向作一直线OP ,令其代表光波的传播方向k 。然后, 通过O 垂直OP 作椭圆球的中心截面,该截面是一个椭圆, 其长短半轴的长度OA 和OB 分别等于波法线沿OP ,电位移 图2-1 晶体折射率椭球 矢量振动方向分别与OA 和OB 平行的两个线偏振光的折射率n '和n ''。显然k 、OA 、OB 三者互相垂直,如果光波的传播方向k 平行于x 轴,则两个线偏光波的折射率等于2n 和3n 。 同样当k 平行于y 轴和z 轴时,相应的光波折射率亦可知。 当晶体上加上电场后,折射率椭球的形状、大小、方位都发生变化,椭球的方程变为 222222222112233231312 2221x y z yz xz xy n n n n n n +++++= (3) 只考虑一次电光效应,式(3)与式(2) 相应项的系数之差和电场强度的一次方成正比。由于晶体的各向

晶体电光调制实验讲义

电光调制实验 一、实验目的: 1、了解电光调制的基本原理及铌酸锂晶体横向调制的基本机构。 2、掌握铌酸锂电光调制器的调试方法并测量和计算晶体的特性参数。 二、实验仪器: DGT-1电光调制实验仪,晶体电光调制器,半导体激光器,双踪示波器等。 三、实验原理: 某些晶体在外加电场的作用下,其折射率随外加电场的改变而发生变化的 现象称为电光效应,利用这一效应可以对透过介质的光束进行幅度,相位或频率 的调制,构成电光调制器。电光效应分为两种类型: (1)一级电光(泡克尔斯—Pockels )效应,介质折射率变化正比于电场强度。 (2)二级电光(克尔—Kerr )效应,介质折射率变化与电场强度的平方成正比。 本实验仪使用铌酸锂(LiNbO 3)晶体作电光介质,组成横向调制(外加电 场与光传播方向垂直)的一级电光效应。 图1 横向电光效应示意图 如图1所示,入射光方向平行于晶体光轴(Z 轴方向),在平行于X 轴的外 加电场(E )作用下,晶体的主轴X 轴和Y 轴绕Z 轴旋转45°,形成新的主轴 X ’轴—Y ’轴(Z 轴不变),它们的感生折射率差为Δn ,并正比于所施加的电场强 度E : rE n n 3 0=? 式中r 为与晶体结构及温度有关的参量,称为电光系数。 n 0为晶体对寻常光的折射率。 当一束线偏振光从长度为l 、厚度为d 的晶体中出射时,由于晶体折射率 的差异而使光波经晶体后出射光的两振动分量会产生附加的相位差δ,它是外加 电场E 的函数:

1 U d l r n rE n nl ?? ? ??==?=3030222λπλπ λπ δ (1) 式中λ为入射光波的波长;同时为测量方便起见,电场强度用晶体两极面 间的电压来表示,即U=Ed 。 当相差πδ=时,所加电压 l d r n U U 302λ π== (2) πU 称为半波电压,它是一个可用以表征电光调制时电压对相差影响大小的 重要物理量。由(2)式可见,半波电压 决定于入射光的波长λ以及晶体材料 和它的几何尺寸。由(1)、(2)式可得: δ(U )=(πU / U π)+δ0 (3) 式中δ0为U=0时的相差值,它与晶体材料和切割的方式有关,对加工良好 的纯净晶体而言δ0=0 。 图2 电光调制器工作原理 图2为电光调制器的工作原理图。 由激光器发出的激光经起偏器P 后只透射光波中平行其透振方向的振动分 量,当该偏振光I P 垂直于电光晶体的通光表面入射时,如将光束分解成两个线 偏振光,则经过晶体后其X 分量与Y 分量会产生)(U δ的相差,然后光束再经检 偏器A ,产生光强为I A 的出射光。当起偏器与检偏器的光轴正交(A ⊥P )时, 根据偏振原理可求得输出光强为: ()()?? ????=2sin 2sin 22U I I P A δα (4) 式中x p θθα-=,为P 与X 两光轴间的夹角。 若取?±=45α,这时U 对I A 的调制作用最大,并且 I A = I P sin 2 [δ(U )/2] (5) 再由(3)式可得 I A = I P sin 2 [(1/2) (πU/U π)] πU

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