最新数学建模小实例

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1、司乘人员配备问题

某昼夜服务的公交路线每天各时间区段内需司机和乘务人员如下：

班次时间最少需要人数

1 6:00—10:00 60

2 10:00—14:00 70

3 14:00—18:00 60418:022:050

522:02:020

62:06:030

设司机和乘务人员分别在各时间区

段一开始上班，并连续工作八小时，问该公交线路至少配备多少名司机

和乘务人员？

x i班应报到第的人员解: 设为

i(i?1,2,?,6)，建立线性模型如下：

6?x min Z?i1i?精品文档．

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x?x?60?61?x?x?70?12?x?x?6032?s.t.x?x?50?43?x ?x?2045?x?x?30?65?x,x,...,x?0?162LINGO程序如下：

MODEL:

min=x1+x2+x3+x4+x5+x6;

x1+x6>=60;

x1+x2>=70;

x2+x3>=60;

x3+x4>=50;

x4+x5>=20;

x5+x6>=30;

END

得到的解为:

x1=60,x2=10,x3=50,x4=0,x5= 30,x6=0;

配备的司机和乘务人员最少为150人。

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2、铺瓷砖问题

要用40块方形瓷砖铺下图所示形状

的地面，但当时市场上只有长方形瓷砖，每块大小等于方形的两块。一人买了20块长方形瓷砖，试着铺地面，结果无法铺好。试问是这人的功夫不

到家还是这个问题根本无解呢？

解答:

0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1 0

1 0 1 0 1 0 1

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棋子颜色问题3、然随机排成一个圆圈。n在任意拿出黑白两种颜色的棋子共个，在两颗颜色不同的棋后在两颗颜色相同的棋子中间放一颗黑色棋子，再重复以上的放完后撤掉原来所放的棋子，子中间放一颗白色棋子，问这样重复进行下去这样放下一圈后就拿走前次的一圈棋子，过程，各棋子的颜色会怎样变化呢？分析与求解：两颗不同色的棋子中间由于在两颗同色棋子中放一颗黑色棋子，这表示。表示，白色棋子用-1放一颗白色棋子，故可将黑色棋子用1这代表两颗同色棋子中放一颗黑色棋子；，×1=1，1×(-1)=11是因为-，这代表两颗不同色的棋子中间放一颗白色棋子。 -11×(-1)=为初始状态。设棋子数为，a,a,a,n n12

时当n=3)

(舍掉偶次项状态步数a aa0 213aaaaaa 1 133221aa aaaa 2 213132aa aaaa 3 213132精品文档．

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aa aaaa 4 132132说明当n=3时，经过3步进入初始状态。

当n=4时

步数状态(舍掉偶次项)

a aa0 a2341aaaaaa aa 1

32211443aaaa aa aa 2 33114242aaaaaaaaaaaaaaaa 3 41142134212333422222222222222222aaaaaaaaaaaaaaaa 4 4243121213142334说明当n=4时，经过4步全变为黑色棋子。

既不循环也不全为黑子

nnn222时次操作，就可以全部变为黑子，当棋子数不为结论：当棋子数为时，至多经过则一般不能全变为黑子。

Matlab程序:进行实验

%棋子颜色问题演示

% 1---黑子,-1 -----白子

n=4; %定义棋子数

times=6;%定义迭代次数

x0=zeros(1,n);

x1=zeros(1,n); %定义数组

for i=1:n

k=rand(1,1);

if(k>0.5) x0(i)=1;

else x0(i)=-1;

end

end; % 赋初值

x0

for i=1:times

i

for k=1:n-1

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x1(k)=x0(k)*x0(k+1);

end

x1(n)=x0(n)*x0(1);

x1 %显示各次结果

x0=x1;

end

程序语句解释：

1.zeros(m,n),产生一个m×n的0矩阵，通常用于定义一个指定大小的矩阵.zeros(1,n)则产生一个全部为0的行向量。

2.rand(m,n),产生一个m×n的随机矩阵，每个元素都服从[0,1]上的均匀分布.rand(1,1)则产生一个服从[0,1]上的均匀分布的数字。

4. 选修课策略问题

某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学习过两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课。这些课程的编号、名称、学分、所属类别和先修课要求如表1所示。那么，毕业时学生最少可以学习这些课程中哪些课程。

如果某个学生既希望选修课程的数量少，又希望所获得的学分多，他可以选修哪些课程？

表1 课程情况

模型的建立不考虑学分情形：11?x0x?表示i表示第门课程选修，门课程的编号。设表示，…，，

记i=1299ii第门课程不选。问题的目标为选修的课程总数最少，即i9?xZ?min

i1?i约束条件包括两个方面：精品文档．

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第一方面是课程数量的约束：

每个人最少要学习2门数学课，则

x?x?x?x?x?252341每个人最少要学习3门运筹学课，则

x?x?x?x?x?395683每个人最少要学习2门计算机课，则有：x?x?x?x?29746第二方面是先修课程的关系约束：

x?11x?，这，必须如“数据结构”的先修课程是“计算机编程”，这意味着如果74x?xx0x?没有限制）个条件可以表示为时对（注意当。这样，所有课程的先修课要7474求可表为如下的约束

“最优化方法”的先修课是“微积分”和“线性代数”，有：

x?x,x?x2313“数据结构”的先修课程是“计算机编程”，有：

x?x74“应用统计”的先修课是“微积分”和“线性代数”，有：

x?x,x?x2515“计算机模拟”的先修课程是“计算机编程”，有：

x?x76“预测理论”的先修课程是“应用统计”，有：x?x58“数学实验”是“微积分”和“线性代数”，有：

x?x,x?x2991这样一来，总的0-1规划模型为：

9?x min Z?i1?i精品文档．

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x?x?x?x?x?2?53214?x?x?x?x?x?3?35689?x?x?x?x?29764?x?x,x?x?2313?x?x?74s..t

?x?x,x?x?5521?x?x76?x?x?58?x?x,x?x?9921?x,x,,x?0或1?912解得：

x?1,x?1,x?1,x?1,x?1,x?1。972316即选修课程为：微积分,线性代数.最优化方法,计算机模拟,计算机编程,数学实验。

LINGO程序为：

model:

sets:

item/1..9/:c,x;

endsets

data:

c=5,4,4,3,4,3,2,2,3;

enddata

min=@sum(item(i):x(i));!课程最少;

x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)>=2;

x(3)+x(5)+x(6)+x(8)+x(9)>=3;

x(4)+x(6)+x(7)+x(9)>=2;

x(3)<=x(1);

x(3)<=x(2);

x(4)<=x(7);

x(5)<=x(1);

x(5)<=x(2);

x(6)<=x(7);

x(8)<=x(5);

x(9)<=x(1);

x(9)<=x(2);

@for(item(i):@bin(x(i)));

end

2 考虑学分情形：

c，则增加学分最大的目标函数为：当要求学分最多时，设各门课程学分为i精品文档．

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9?c?x max Z iii?1这样总的双目标0-1规划模型为：

9?x?min Z i11i?9?xc max Z?i2i1i?

x?x?x?x?x?2?53214?x?x?x?x?x?3?35689?x?x?x?x?29674?x?x,x?x?2313?x?x?74s..t

?x?x,x?x?2551?x?x76?x?x?58?x?x,x?x?9219?x,x,,x?0或1?921当把选修课程指定为6门时，对学分最大求最优，解得：

x?1,x?1,x?1,x?1,x?1,x?1。最大学分为z=22。927513即选修课程为：微积分,线性代数.最优化方法, 应用统计,计算机编程,数学实验。学分达到22分。

LINGO程序为：

model:

sets:

item/1..9/:c,x;

endsets

data:

c=5,4,4,3,4,3,2,2,3;

enddata

max=@sum(item(i):c(i)*x(i));

@sum(item(i):x(i))=6; !课程为6门; x(1)+x(2)+x(3)+x(4)+x(5)>=2;

x(3)+x(5)+x(6)+x(8)+x(9)>=3;

x(4)+x(6)+x(7)+x(9)>=2;

x(3)<=x(1);

x(3)<=x(2);

x(4)<=x(7);

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x(5)<=x(1);

x(5)<=x(2);

x(6)<=x(7);

x(8)<=x(5);

x(9)<=x(1);

x(9)<=x(2);

@for(item(i):@bin(x(i)));

end

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