安徽大学期末试卷QM15-1.doc

一、简答题（1——8题，每题5分，共40分）

1. 用球坐标表示，粒子波函数表为()?θψ,,r 。写出粒子在),(?θ方向的立体角Ωd 中且半径在a r <<0范围内被测到的几率。 解： ()?Ω=a

dr r r d P 02

2

,,?θψ。

2. 写出三维无限深势阱

?

??∞<<<<<<=其余区域,0,0,0,0),,(c

z b y a x z y x V

中粒子的能级和波函数。 解：能量本征值和本征波函数为 ???

? ?

?=

+

+2

22

2222

22c n b n a n m

E z y

x n n n z

y x πη， Λ

Λ,3,2,1,00,0,0,sin sin sin 8),,(=??

?

??<<<<<<=n c z b y a x c

z

n b y n a x n abc z y x z y x n n n z y x 其余区域πππψ

3. 量子力学中，一个力学量Q 守恒的条件是什么？用式子表示。 解：有两个条件：0],[,0==??H Q t

Q

。

4. ）

（z L L ,2

的共同本征函数是什么？相应的本征值又分别是什么？ 解：(

)

z L L ,2

的共同本征函数是球谐函数),(?θlm Y 。

),(),(,

),()1(),(22?θ?θ?θ?θlm lm z lm lm Y m Y L Y l l Y L ηη=+=。

5. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开：

∑=n

n n x c x )()(ψψ，

写出展开式系数n c 的表达式。 解： ()dx x x x x c n n n ?==)()()(,)(*

ψψψψ。

6. 一个电子运动的旋量波函数为 ()()()???

? ??-=2,2,,η?η?

?

r r s r z ψψψ，写出表示电子自旋向上、位置在r ?

处的几率密度表达式，以及表示电子自旋向下的几率的表达式。

解：电子自旋向上（2η=z s ）、位置在r ?

处的几率密度为

()2

2/,η?

r ψ；

电子自旋向下（2η-=z s ）的几率为()

2

32/,?

-η?

r r d ψ。

7. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？

解：在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。在弱磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为)12(+j 条（偶数）的现象称为正常塞曼效应。原子置于外电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。

8. 对于阶梯形方势场

??

?><=a

x V a x V x V ,

,

)(21 ，

如果（12V V -）有限，则定态波函数)(x ψ连续否？其一阶导数 )(x ψ'连续否？ 解：定态波函数)(x ψ连续；其一阶导数 )(x ψ'也连续。

二、计算证明题

9. 设粒子处于一维无限深势阱

()??

?><∞<<=a

x x a x x V 或

0,

0,

中，求处于定态()x n ψ中的粒子位置x 的平均值。（10分）

解： ()??

?

??><<<=a x x a x a

x

n a x n 或0,00,sin 2πψ ， 2

sin 202a xdx a x n a x a

==?π 。

10. 已知厄米算符A 、B 互相反对易：{}0,=+=BA AB B A

；b 是算符B 的本征态：b b b B =，本征值0≠b

。求在态b 中，算符A 的平均值。（15分） 解： {},0A B AB BA =+=Q

，

{}0,2A B b b AB b b BA b b b A b ∴==+=。 但0≠b ，从而有

0A b A b ==，

即在态b 中，算符A 的平均值为零。

11. 氢原子处于状态),()(2

3

),()(21),,(11211021?θ?θ?θψ-+=

Y r R Y r R r 。试求： （1）能量算符H 、角动量平方算符2

L 和角动量z 分量z L 的可能取值； （2）上述三个量取各可能值的几率； （3）上述三个量的平均值。 （15分） 解：氢原子波函数为),,(?θψr nlm ，能量2

24

2n e E n ημ-

=，2L 的本征值为2

)1(η+l l ，z

L 的本征值为ηm 。本题中，氢原子所处的状态为210ψ和121-ψ二本征态的叠加。在这二本征态中，0,1,2===m l n 或1-。

故H 只可能取值2

4

2

2

4

282

2η

ηe e E μμ-

=?-

=，出现的几率为1（因二本征态对应的能量同

为2E ），平均值2

4

28ηe E H μ-

==；

2L 只可能取值222)11(1ηη=+，出现的几率为1，平均值222η=L ；

z L 的可能取值有两个：0、η-，出现0的几率为41212

=??

?

??，出现η-的几率为

43

232

=???

? ??，平均值()ηη4343410-=?-+?=z L 。

12. 质量为μ的粒子受微扰后，在一维势场

?????

><∞≤≤=a

x x a x a

x A x V ,0,0,

cos )(π

中运动。

（1）题中应当把什么看作微扰势？

（2）写出未受微扰时的能级和波函数；

（3）用微扰论计算基态能量到二级近似，其中2

2

210a A μπη=。

解：（1）应当把

?????

><≤≤='a

x x a x a

x A H ,0,00,cos π

看作微扰势。

（2）未受微扰时的波函数和能级分别为

Λ

η,3,2,1,2,

sin 2)(2

222)

0()0(===n a

n E

a

x

n a x n

n

μππψ

（3）未受微扰时的基态波函数和能量分别为

2

2

2)

0(1

)0(1

2,sin 2)(a E

a

x a x μππψ

η=

=

， 基态能量的一级修正： a x d a x A dx a x A a x a H E

a

a

πππππsin sin 2cos sin 20

20211)1(1

??=?='= 0sin 320

3==a

a x

A ππ，

基态能量的二级修正： ∑-'=n

n

n

E E H E )

0()0(12

1)

2(1

'

，

220

0012

22sin sin 2sin sin

sin cos 2sin sin 2cos sin 2

n n a

a

a

n

A A y

yd ny A

a

x

d a x a x n A

dx a

x a x a x n a A dx a

x a a x A a x n a H δδπππ

πππππππππππ

=?=

?=?=??=??='????

所以 ()()2

2222

222)

0(2

)0(12

)

2(1

64121

42η

ηπμμπA a a A E E A E

-=-?=-=

。 2222

2222

22

600106a a a μπμππμηηη

-=???

? ?

??-=。 2

2

2222222)2(1

)1(1

)0(1

16002996002a

a a E

E

E

E μπμπμπηηη=-=++=。