《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案

?复变函数与积分变换?期末试题（A ）答案及评分标准 ?复变函数与积分变换?期末试题（A ）

一．填空题（每小题3分，共计15分）

1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是

（ i 432ln 21π+ ）；3. 211)(z z f +=，=)0()5(f （ 0 ）；

4．0=z 是 4sin z

z z -的（一级）极点；5． z z f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1）； 二．选择题（每小题3分，共计15分）

1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ B ）；

（A ）

y x iu u z f +=')(； （B ）y x iu u z f -=')(； （C ）y x iv u z f +=')(； （D ）x y iv u z f +=')(.

2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （ D ），则0d )(=?C z z f ．

（A ） 23-z ； （B ）2

)1(3--z z ； （C ）2)2()1(3--z z ； （D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n n n

z c 在2=z 点收敛，则级数在（ C ）

（A ）2-=z

点条件收敛 ； （B ）i z 2=点绝对收敛； （C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．

４．下列结论正确的是( B )

（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析；

(B) 如果)(z f 在C 所围成的区域解析， 则0)(=?C dz z f

（C ）如果0)(=?C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域一定解析；

（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域均为调和函数．

5．下列结论不正确的是（ D ）． (A) 的可去奇点；为z

1sin ∞ (B) 的本性奇点；为z sin ∞ (C) ;1sin 1

的孤立奇点为z ∞ (D) .sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共计40分）

（1）设)()(2

222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a （2）．计算?-C z z z z e d )

1(2其中C 是正向圆周：2=z ； （3）计算?=++33

42215

d )2()1(z z z z z （4）函数32

32)

(sin )3()2)(1()(z z z z z z f π-+-=在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.

四、（本题14分）将函数)

1(1)(2-=z z z f 在以下区域展开成罗朗级数； （1）110<-

五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题

???='==+'-''-1

)0()0()(4)(5)(y y e x y x y x y x

六、（本题6分）求

)()(0>=-ββt e t f 的傅立叶变换，并由此证明：

t e d t ββπωω

βω-+∞=+?2022cos 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）

（1）．设)()(2

222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a

解：因为)(z f 解析，由C-R 条件

y v x u ??=?? x

v y u ??-=?? y dx ay x 22+=+,22dy cx by ax --=+

,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c

给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

（2）．计算?-C z

z z

z e d )1(2其中C 是正向圆周： 解：本题可以用柯西公式\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程 因为函数z

z e z f z

2)1()(-=在复平面只有两个奇点1,021==z z ，分别以21,z z 为圆心画互不相交互不包含的小圆21,c c 且位于c ???-+-=-21d )1(d )1(d )1(222C z C z C z

z z z e z z

z e z z z e i z e i z e i z z z z πππ2)1(2)(202

1=-+'===

无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。

（3）．?=++33

42215

d )2()1(z z z z z 解：设)(z f 在有限复平面所有奇点均在：3

]),([Re 2d )2()1(3342215

∞-=++?=z f s i z z z z z π -----（5分）

]1)1([Re 22z

z f s i π= ----（8分） 2342215

21))1(2()11()1(1)1(z z z

z z z f ++= 0,z )12()1(11)1(3

4222=++=有唯一的孤立奇点z z z z z f 1)

12()1(11)1(]0,1)1([Re 34220202lim lim =++==→→z z z z zf z z f s z z ?==++∴33

42215

2d )2()1(z i z z z z π --------（10分） （4）函数23

32)3()(sin )2)(1()(-+-=z z z z z z f π在扩充复平面上有什么类型的奇点？，如果有极点，请指出它的级.

解 ：

∞±±±==-+-=，的奇点为 ,3,2,1,0,)

(sin )3()2)(1()(32

32k k z z z z z z z f π（1）的三级零点，）为（032103=±±±==z k k z πsin ,,,,,

（2）的可去奇点，是的二级极点，为，)()(,z f z z f z z 210-=±==

（3）的一级极点，为)(3z f z

= （4）的三级极点；，为)(4,3,2z f z ±-=

（5）的非孤立奇点。为)(z f ∞

备注：给出全部奇点给5分 ，其他酌情给分。

四、（本题14分）将函数)

1(1)(2-=z z z f 在以下区域展开成罗朗级数； （1）110<-

解：（1）当110<-

])

11(1[)1(1)1(1)(2'+---=-=z z z z z f 而])1()1([])11(1[0

'--='+-∑∞=n n n z z ∑∞

=---=01)1()1(n n n z n

∑∞

=-+--=021)1()1()(n n n z n z f -------6分

（2）当10<

)

1(1)1(1)(22z z z z z f --=-==∑∞

=-021n n z z ∑∞=--=0

2n n z -------10分

（3）当∞<

)11(1)1(1)(32z

z z z z f -=-=

∑∑∞=+∞===03031)1(1)(n n n n z z z

z f ------14分 每步可以酌情给分。

五．（本题10分）用Laplace 变换求解常微分方程定解问题：

?

??='===+'-''-1)0(1)0()(4)(5)(y y e x y x y x y x

解：对)(x y 的Laplace 变换记做)(s L ，依据Laplace 变换性质有

11)(4)1)((51)(2+=

+----s s L s sL s s L s …（5分） 整理得

)4(151)1(65)1(101 1

1)4(151)1(61)1(101 1

1)4)(1)(1(1)(-+-++=-+-+--+=-+--+=

s s s s s s s s s s s s L …（7分） x x x e e e x y 415165101)(++=

- …（10分） 六、（6分）求)()(0>=-ββt e

t f 的傅立叶变换，并由此证明： t e d t ββπωωβω-+∞=+?20

22cos 解：)()(0>=-+∞∞--?βωβω dt e e F t t i --------3分

)()(00

0>+=-+∞-∞--??βωβωβω dt e e dt e e F t t i t t i )()()(000>+=??+∞

+-∞--βωβωβ dt e dt e t i t

i )()()(000>+--=+∞+-∞

--βωβωβωβωβ i e i e t

i t i

)()(02112

2>+=++-=βωββωβωβω i i F ------4分 )()()(021>=?+∞∞-βωωπ

ω d F e t f t i - -------5分 )(022122>+=?+∞

∞-βωω

ββπω d e t i )()sin (cos 0122>++=?+∞

∞-βωωωωββπ d t i t )(sin cos 0222022>+++=??+∞

∞-+∞

βωωβωβπωωβωπβ

d t i d t )(cos )(02022>+=?+∞

βωω

βωπβ

d t t f ， -------6分

t e d t ββπωωβω-+∞=+?20

22cos ?复变函数与积分变换?期末试题（B)

一．填空题（每小题3分，共计15分）

二．1．

21i -的幅角是（ ）；2.)(i Ln +-的主值是（ ）； 3. a =（ ），)

2(2)(2222y xy ax i y xy x z f +++-+=在复平面处处解析．4．0=z 是 3sin z

z z -的（ ）极点；5． z z f 1)(=，=∞]),([Re z f s （ ）；

二．选择题（每小题3分，共计15分）

1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（ ）；

（A ）x y iv u z f +=')(； （B ）

y x iu u z f -=')(； （C ）y x iv u z f +=')(； （D ）y x iu u z f +=')(.

2．C 是正向圆周2=z ，如果函数=)(z f （ ），则0d )(=?C z z f ．

（A ） 13-z ； （B ）1

3-z z ； （C ）2)1(3-z z ； （D ）2)1(3-z . 3．如果级数∑∞

=1

n n n z c 在i z 2=点收敛，则级数在

（A ）2-=z 点条件收敛 ； （B ）i z 2-=点绝对收敛；

（C ）i z +=1点绝对收敛； （D ）i z 21+=点一定发散．