浙江大学 计算机 考博试题 计算理论及答案

计算理论

字母表：一个有穷的符号集合。

字母表上的字符串是该字母表中的符号的有穷序列。

一个字符串的长度是它作为序列的长度。

连接反转Kleene星号L* ，连接L中0个或多个字符串得到的所有字符串的集合。

有穷自动机：描述能力和资源极其有限的计算机模型。

有穷自动机是一个5元组M=(K,∑,δ,s,F),其中

1）K是一个有穷的集合，称为状态集

2）∑是一个有穷的集合，称为字母表

3）δ是从KX∑→K的函数，称为转移函数

4）s∈K是初始状态

5）F?K是接收状态集

M接收的语言是M接收的所有字符串的集合，记作L(M).

对于每一台非确定型有穷自动机，有一台等价的确定型有穷自动机有穷自动机接受的语言在并、连接、Kleene星号、补、交运算下是封闭的。

每一台非确定型有穷自动机都等价于某一台确定型有穷自动机。一个语言是正则的当且仅当它被有穷自动机接受。

正则表达式：称R是一个正则表达式，如果R是

1）a，这里a是字母表∑中的一个元素。

2）ε，只包含一个字符串空串的语言

3） ，不包含任何字符串的语言

4)(R1∪R2),这里R1和R2是正则表达式

5）(R10R2),这里R1和R2是正则表达式

6）(R1*),这里R1*是正则表达式

一个语言是正则的当且仅当可以用正则表达式描述。

2000年4月

1、根据图灵机理论,说明现代计算机系统的理论基础。

1936年，图灵向伦敦权威的数学杂志投了一篇论文，题为《论数字计算在决断难题中的应用》。在这篇开创性的论文中，图灵给“可计算性”下了一个严格的数学定义，并提出著名的“图灵机”(Turing Machine)的设想。“图灵机”不是一种具体的机器，而是一种思想模型，可制造一种十分简单但运算能力极强的计算机装置，用来计算所有能想像得到的可计算函数。这个装置由下面几个部分组成：一个无限长的纸带，一个读写头。（中间那个大盒子），内部状态（盒子上的方块，比如A,B,E,H），另外，还有一个程序对这个盒子进行控制。这个装置就是根据程序的命令以及它的内部状态进行磁带的读写、移动。工作带被划分为大小相同的方格，每一格上可书写一个给定字母表上的符号。控制器可以在带上左右移动，它带有一个读写出一个你期待的结果。这一理论奠定了整个现

代计算机的理论基础。“图灵机”更在电脑史上与“冯·诺依曼机”齐名，被永远载入计算

机的发展史中。

图灵机在理论上能模拟现代数字计算机的一切运算,可视为现代数字计算机的数学模型。实际上,

一切"可计算"函数都等价于图灵机可计算函数,而图灵机可计算函数类又等价于一般递归函数类。

2、说明按乔姆斯基分类，语言、文法、自动机的关系

乔姆斯基将语言定义为，按一定规律构成的句子或符号串string 的有限的或无限的集

合，记为L 。数目有限的规则叫文法，记为G 。刻画某类语言的有效手段是文法和自动机。

文法与自动机的关系:形式文法是从生成的角度来描述语言的,而自动机是从识别的角度来描

述语言的.文法和自动机是形式语言理论的基本内容。对某种语言来说,如果存在一个该语言

的生成过程,就一定存在一个对于它的识别过程.就描述语言来讲,形式语言和自动机是统一

的.文法在形式上定义为四元组：G ＝（VN,VT,S,P ）,VN 是非终极符号，VT 是终极符号，S

是VN 中的初始符号，P 是重写规则。

? 文法是定义语言的一个数学模型，而自动机可看作是语言的识别系统。

? 对于一个文法产生的语言，可以构造相应自动机接受该语言：一个自动机接受的语

言，可以构造对应的文法产生该语言。一定类型的自动机和某种类型的文法具有等

价性。

2、乔姆斯基根据转换规则将文法分作4类。每类文法的生成能力与相应的语言自动机

最常见文法的分类系统是 诺姆·乔姆斯基 于 1956年 发展的 乔姆斯基谱系 ，这个分

类谱系把所有的文法分成四类型： 无限制文法 、 上下文相关文法 、 上下文无关文法 和

正规文法 。四类文法对应的语言类分别是 递归可枚举语言 、 上下文相关语言 、 上下文

无关语言 和 正规语言 。这四种文法类型依次拥有越来越严的产生式规则，同时文法所能

表达的言也越来越少。尽管表达能力比无限文法和上下文相关文法要弱，但由于高效率的实

现，四类文法中最重要的上下文无关文法和正规文法。例如对下文无关语言存在算法可以生

成高效的LL 分析器和LR 分析器。

3、证明HALT(X R,X)不是可计算的。

4、（1）、证明递归集都是递归可枚举集。

（2）、举例属于递归可枚举集但不是递归集的集合，并证明之。

5、（1）、证明L＝{(a,b)*|a,b的个数相同}为上下文无关语言。（2）、并证明其不是正则的。P56

假设L是正则的，则根据在交下的封闭性，L∩a*b*也是封闭的，而后者正好是L1={ a i b i:i ≧0},假设L1是正则的，则存在满足泵引理的整数n。考虑字符串w= a n b n∈L。根据定理可以写成w=xyz使得|xy|≦n，且y≠e，即y=a i，其中i＞0.但是xz= a n-i b n L，与定理矛盾。2000年10月

1、

（1）给出图灵机的格局、计算及图灵机μ计算函数f的精确定义。

(2 ) 对图灵机模型而言，church论题是什么？

（3）当x是完全平方时值为3x，否则为3x+1证明其是原始递归函数。

2、证明φ（X，X）是不可计算的。

3、证明L={ambn|m,n>0,m≠n}是上下文无关的，但不是正则的。

利用上下文无关语言在并、连接、Kleene星号下是封闭的。

正则语言在交运算下封闭。

4、A为有穷字母表，L是A*的无穷子集，

（1）证明存在无穷序列ω0,ω1,ω2…，它由L的所有字组成，每个字恰好在其中只出现一次。

（2）是否存在从L构造序列ω0,ω1,ω2…,的算法（即i由计算ωi），为什么？

2001年4月

1、（1）当x是完全平方时值为2x，否则为2x+1证明其是原始递归函数。

（2）对图灵机模型而言，church论题是什么？

（3）通用图灵机的描述。

2、（1）用有穷自动机构造正则语言，以a2b结尾的字符串组成的正则语言L

（2）L={a3n bn |n>0}为上下文无关,但不是正则。

3、A为字母表，L为A*上任意的语言。阐述其乔姆斯基层次及用可计算性表述它们的关系。

4、证明不存在可计算函数h(x)，使φ(x,x)↓时h(x,x)= φ(x,x)+a,a∈N,φ(x,y)是编号为y输入为x时的程序。

2001年10月

1、{a，b}上递归枚举语言是否可数？证明

2、L={a，b，c数目相同的语言}是否CFL（上下文无关）？证明p95

证：不是上下文无关的。假设L是上下文无关的，则它与正则语言a* b*c*的交也是上下文无关的。令L1={a n b n c n:n≧0}假设L1是上下文无关语言。

取常数p，ω＝a p b p c p ,∣ω∣＝3p≥p

将ω写成ω＝uvxyz使得v或y不是空串且uv i xy i z∈L1 I=0,1,2……其中∣xy∣≥1 且∣xuy∣≤p.

有两种可能他们都导致矛盾。

如果vy中a、b、c三个符号都出现，则v和y中必有一个至少含有abc中的两个符号。于是uv2xy2z中abc的排列顺序不对，有的b在a前或c在a或b前。

如果vy中只出现a、b、c中的一个或两个符号，则uv2xy2z 中a、b、c的个数不相等。

∴与L1是上下文无关语言假设矛盾。

综上，L不是2型语言。

3、被2，3整除的非负整数的十进制表示的集合是否正则。

∑={1，2，……9}，L ∑*，令L1是非负整数十进制表示的集合，容易看到

L1=0∪{1，2，……9}∑*，由于L1是用正则表达式表示的，故它是一个正则语言。令L2是可以被2整除的非负整数的十进制表示的集合。L2正好是以0，2，4，6，8结尾的L1的成员组成的集合，即L2=L1∩∑*{0，2，4，6，8}，根据正则语言在交运算下封闭原则，故L2也是一个正则语言。令是可以被3整除的非负整数的十进制表示的集合.一个数可以被3整除当且仅当它的数字之和可以被3整除。构造一台有穷自动机，用它的有穷控制器保存输入数字的模3和。L3是这台有穷自动机接受的语言与L1的交。最后L=L2∪L3，它一定是个正则语言。

4、NonSelfAccepting是否递归集合

2002年4月

1．能被5整除的字符串是正则集吗

2．用图灵机表示下列字符串。Φ，e，{a},{a}*

3． s->ss, s->asb, s->abs, 证明由s推得的字符串不可能以abb开头。（可能记忆有误，具体形式就是这样）。

4 证明不是所有的递归可枚举集都是递归的。

定理：语言

不是递归的；所以，递归语言类是递归可枚举语言类的真子集。

2002年10月

1、什么是计算？计算理论研究的内容和意义是什么？为什么要使用计算的抽象模型？

2、请写出一个正则表达式，描述下面的语言：在字母表{0,1}上，不包含00子串且以1结尾。

4、语言L={a n:n是素数}是不是正则语言，是不是上下文无关的？

5、一个succ(n+1)的组合Turing机描述，说出它的作用。P127

6、什么是Turing机的停机问题？它是可判定的么？为什么？

H={“M”“w”：Turing机M在输入w上停机}，

ATM ＝{|M是一个TM，且M接受ω}

证明：假设ATM是可判定的，下面将由之导出矛盾。设H是ATM的判定器。

令M是一个TM，ω是一个串。在输入上，如果M接受ω，则H就停机且接受ω；如果M不接受ω，则H也会停机，但拒绝ω。换句话说，H是一个TM使得：接受如果M接受ω

H()=

拒绝如果M不接受ω

现在来构造一个新的图灵机D，它以H作为子程序。当M被输入

它自己的描述是，TM D就调用H，以了解M将做什么。一旦

得到这个信息，D就反着做，即：如果M接受，它就拒绝；如果M

不接受，它就接受。下面是D的描述。

D＝”对于输入，其中M是一个TM：

1) 在输入>上运行H。

2) 输出H输出的相反结论，即，如果H接受，就拒绝；

如果H拒绝，就接受。”

总而言之，接受如果M不接受

D()=

拒绝如果M接受

当以D的描述作为输入来运行D自身时，结果会怎样呢？我们得到：

接受如果D不接受

D()=

拒绝如果D接受

不论D做什么，它都被迫相反地做，这显然是一个矛盾。所以，TM D和

TM H都不存在。

它是不可判定的。

假设H是递归的，那么H1={“M”：Turing机M在输入字符串“M”上停机}也是递归的。H1表示对角化程序的halts（X，X）部分。假设存在判定H的Turing 机M0，那么判定H1的TuringM1只需要把输入字符串

检查一个图灵机是否接受一个给定的串问题。

在证明之前，先来证明ATM是图灵可识别的。这样，定理5.9表面识别器

确实比判定器更强大。要求TM在所以输入上都停机限制了它能够识别

的语言种类。下面的图灵机U识别ATM.

U=“对于输入,其中M是一个TM，ω是一个串：

1) 在输入ω上模拟M ；

2) 如果M进入接受状态，则接受；如果M进入拒绝状态，则拒绝。”

注意，如果M在ω上循环，则机器U在输入上循环，这就是U不判定ATM的原因。假如M知道自己在ω上不停机，它能拒绝ω，但事实上，它不

知道。所以ATM有时被称为停机问题。

7、证明这个问题不可判定：一个Turing机半判定的语言等于这样的一个语言，这个语言是w和w的转置的连接。

定理：任何递归或递归可枚举语言，以及任何递归函数，分别可用随机存取Turing判定、半可判定和计算。

1、判定下述语言是否正则：包含aaaaa子串的语言L。

2、画出判定下述语言的图灵机：空集，e，a。

3、用数学归纳法证明一个上下文无关语言不包含ab子串，语言的描述忘记啦。

4、证明H是非递归的。

2003年4月

1、判断题目，好像有二十分左右，都是书上的概念，譬如：递归语言是递归可枚举语言（错），一个语言如果是正则的，那么它一定是上下文无关语言（对），如果一个语言是图灵可识别的，那么、、、. （）。后面的记不住了。

2、证明题，第1个是要证某种语言是正则语言，第2个是证该语言是上下文无关语言，中间还有一个是要证明某种语言是非上下文无关语言（有可能是非正则语言）。最后一个是证明该语言是图灵可判语言。该题在上几届的考题中都曾变换个样式出现过。

3、识图题，画了一个图，让写出该图所识别的语言是什么。我记得它是英文参考书上的一个例题，所识别的是：不全包含{a,b,c}中所有字符的字符串。该题6分。

4、我没做，给出了一个式子，好像是y=a+b,让构造出计算该式的图灵机。这个题目好像也

是6分。

2003年10月

1、5个判断，比如

例如：

1. 也为正则语言。

2. 对于两个任意的正则表达式R1和R2，判断L(R1)=L(R2)为不可判定问题。

3、｛xy|x属于正则语言L，y属于其补｝是正则语言；

4、存在非递归的递归可枚举语言。

2、｛（a^m）（b^m）c（a^2n）（b^2n），m，n∈N∩m、n≧1｝，写出产生它的上下文无关文法和识别它的确定下推自动机。

3、判断谓词是否递归;设P(x,y)为原始递归谓词，请证明也是原始递归谓词。

4、写出识别｛（0^n）（1^n）（2^n）n≧0｝的图灵机，和a^nb^nc^n类似，参考书的答案有问题！

5）L = {a 2n+1 | n >=0 } 不是上下文无关语言，用泵引理证明（其中，2为平方）

?在字母表T={a}上，L = {a 2n+1 | n >=0 }

?表示任意一对aa (包括0对) 后跟一个a的字符串。（即含有奇数个a的字

符串。）

6）L是一上下文无关文法，任给一正规文法R，L∈R可以判定吗，说明理由。

2004年4月

1、8个判断题

2、证明

（1）L1是正则语言，L2是非正则语言，若L1和L2的交为有限语言，则L1与L2的并为非正则语言。

（2）L1是正则语言，L2是非正则语言，若L1和L2的交为无限语言，则L1与L2的并为正则语言。举例说明符合条件的L1和L2 3、有n个自然数x1,x2,...,xn，问是否存在素数p

使得[x(p)]^p=x(1)+x(2)+...+x(p-1)+x(p+1)+...+x(n)（式子类似这样的）

给出算法的描述,复杂度,并证明属于P类

4、给出图灵机的符号表示：该图灵机计算函数f(x) ;x为偶数f(x)=x/2,x为奇数f(x)=x+1

5、用泵定理证明语言L不是上下文无关的L={w∈(a,b)*:w不同于W R}

2004年10月

1、构造上下文无关文法来生成语言

L1={a m b n c p:m不等于n，且m、n、p >1}

L2={a m b n c p:n不等于p，且m、n、p >1},并证明{{a,b,c}*-(L1∪L2)}不是上下文无关的

2、给出一个Turing包括转移关系等

根据给定的Turing的计算过程求出它所接受的语言L(M);并构造一个文法来生成L(M)

3、一个有关递归的判断题，并说出理由，有3句话。

4、一个根据语言描述来判定两个语言之间关系的选择题。如1是2的真子集，2是1的真子集，1=2，1、2无任何关系。

2005年4月

1、判断题

2、判定下列语言是否为正则语言，请具体说出理由

L1={w1|w∈{a,b}* ,Na(w)-Nb(w) mod 3 ≠0}

L2={ w1|w∈{a,b}* ,Na(w)-Nb(w)≠0}这里Na(w)、Nb(w)分别表示字符串w中a,b的个数

3、给出上下文无关文法生成语言L3=｛xcy|2|x|=|y|,x,y∈{a,b}*｝

证明L4={a i b j c i d j:i,j∈N, i,j ≧1}不是上下文无关语言。

4、证明语言L5={“M”|Turing在空串e上停机}是非递归的，其中M表示Turing M的编码。

5、给定n个数，x1,x2,……xn,判定是否存在不同的i1,i2……ik,使满足下列两个条件：

（1）Xi1+Xi2+……Xik=(X1+X2+……Xn)/2

(2) Xi1+Xi2+……Xik不是素数，给出一个算法，并估计其计算时间，说明这个问题属于NP类，是给算法描述即可。

2006年4月

1、设上下文无关语言L={a}*

（1）假设L为无限语言，且上下文无关文法G生成该语言，即L=L（G）。设K〉1为相对于文法G的泵定理常数，设r=k。证明下列结论：对于任意w∈L，如果|w|≧k，则{wa m |n≧0}?L

（2）对于每个i（0≦i

（3）证明如果L ?{a}*为上下文无关语言，则L为正则语言

2、设语言L1={u?v}，u、v∈{a，b}*则，|v|≦|u|≦2|v|

（1）给出一个上下文无关的文法生成语言L1

（2）给出一个下推自动机产生语言L1

3、分别给出满足条件的语言的例子，或说明其不存在

(1)该语言是递归的，但是它的补语言非递归

（2）该语言是递归可枚举的，但是它的补语言是递归

（3）该语言是递归可枚举的，它的补语言也是递归可枚举不存在（4）该语言是递归可枚举的，它的补语言却非递归可枚举

若语言是递归的，则它是递归可枚举的。如：L={a n b n c n:n≧0}

若L是递归语言则它的补也是递归的。

若L是递归可枚举语言，则它的补是非递归可枚举的。

4、语言L称为前缀封闭（Prefix closed）定义如下：对于任意w∈L都有w的所有前缀均属于Ｌ。利用停机问题的规约证明下列语言。Ｈ＝｛“Ｍ”｜Ｌ（Ｍ）为前缀封闭的｝

５、说明如下问题：

ＩＳＯ＝{|无向图Ｇi=(Vi,Ei)(i=1,2)同构}是ＮＰ的。（只需要给出一个非形式化的描述）

下面是ISO的验证机V

V=“对输入

”

2007年4月

1、判断题（简单）

如：字母表E上的语言是递归可枚举语言（）

2、证明题

给定关系u~v 的定义

（1）证明uv 当且仅当vu

（2）证明具有这个关系的语言是正规的。

3、给出一个语言，（ww*，其中w*和w的转置至少有一个字母不一样）

（1）证明该语言是CFL

（2）给出PDA

4、给出一个问题（）

（1）给出该问题的图灵算法

（2）证明该问题是NPC（规约到顶点覆盖问题）

200８年4月

１、Ｌ１和Ｌ２如果Ｌ１交Ｌ２正则，Ｌ１和Ｌ２是否均正则

２、设Ｍ是上下文无关语言，Ｎ为正则语言，Ｍ属于Ｎ是否可判定３、存在能被图灵机计算的非原始递归函数

４、ＮＰ类问题Ｌ＝{a i b j c k| i+k ≧j},写出该语言的上下文无关文法和下推自动机

５、判断下列语言是否是正则的

（１）语言Ｌ＝（ａ，ｂ），其中ａ至少出现Ｋ次

（２）语言Ｌ＝（ａ，ｂ），其中ａ至多出现Ｋ次

６、判断一些语言是否是递归语言，还是递归可枚举

７、一个图的问题ＳＡＴ多项式时间规约

图灵机Turing Machine

图灵机的模型

掌握ＴＭ机器的构造方法：识别语言的装置，用上下文无关语言表示不了的语言，可以用图灵机来表示；用有限自动机和下推自动机表示的语言，可以改造成用图灵机表示

递归&递归可枚举

判定&半判定

通用图灵机UTM

文法及分类

不可判定性，可判定，不可判定，停机问题，证明方法，关于TM的不可判定问题，

关于文法的不可判定问题，Rice定理

19、用归约说明{L(M)=e}不是递归的。

20、

21、找到一个数Pn; 满足PnXn（Xn的M次方，不会表达）＝P0X0＋P1X1＋…＋

P（n－1）X（n－1）＋P（n＋1）X(n+1) + …+PmXm;

a）计算时间复杂度；

b）证明这是个P问题。

注：括号里表示下标。