1有理数知识点+典型例题+习题

中考数学专题复习：有理数

（一）数的分类（强化记忆）

?????????????????????????????

正整数正有理数正实数正分数

正无理数实数负整数负有理数负实数负分数负无理数 ???

??????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数

（按符号分） （按定义分、按性质分）

注意点：

(1)凡能写成)0p q ,p (p

q ≠为整数且形式的数，都是有理数 （2）正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.

（3）0即不是正数，也不是负数。0是正数与负数的分界；0不仅表示没有，还表示某种量

的基准。如0错误!未找到引用源。不能理解为没有温度。

（4）初中范围内 数是指实数 正数是指正实数 负数是指负实数

（5）对于正数和负数，不能简单理解为带“+”号的数是正数，带“—”号的数是负数

误认为凡带正号的数就是正数，误认为凡带负号的数就是负数

例-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；

（6）π不是有理数，而是无理数；

（7）非负整数应理解成“非负的整数”，不能理解成“‘非'负整数”，即正整数与零。

例1、把下列各数填在相应的集合里

{}

?????????????????????????????????正整数整数零负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数 负无理数

5，-2，4.6，错误!未找到引用源。，0，-2.25，1错误!未找到引用源。，+0.34，+13，-3.1416，错误!未找到引用源。

整数集合｛ 5，-2，0，+13，…｝非负整数集合{5，0，+13，… }

负分数集合｛错误!未找到引用源。，-2.25， -3.1416，…｝正有理数集合｛5， 4.6，1错误!未找到引用源。，+0.34，+13，错误!未找到引用源。｝

例2：一种商品的标准价格是200元，但是随着季节的变化商品的价格可浮动±10％，

（1）±10％的含义是什么？（2）请你计算出该商品的最高价格和最低价格。

（3）如果以标准价为“基准”，超过“基准”记为“+”，低于“基准”记为“-”，那么该商品价格浮动的范围又可以怎样表示。

解：（1）±10％的含义是在标准价格的基础上加价和降价的幅度不超过10％。

（2）最高价格：200×（1+10％）=220（元）最低价格：200×（1-10％）=180（元）

（3）180-200=-20（元）220-200=20（元）

以标准价格是200元为“基准”，该商品价格浮动的范围为±20元。

例3、光盘的质量标准中规定：厚度为(1.2±0.1)mm的光盘是合格品，说说1.2mm和±0.1mm所表示的意义。

解：1.2mm表示光盘的标准厚度；±0.1mm表示光盘厚度最大不超过标准厚度0.1mm,

最小不低于标准厚度的0.1mm.

（二）正数与负数表示具有相反意义的量。这样使用负数后，在表示具有相反意义的两个词语之中，只用一个词语就可以把事情说清。如减少5hm2就可以说成增加 -5hm2.(注意“两变”）

常见的相反意义的量：高于与低于，零上与零下，盈利与亏损，增加与减少，上升与下降。

例1.“甲比乙大-2岁”表示的意义是（ A）

A、甲比乙小2岁

B、甲比乙大2岁

C、乙比甲大-2岁

D、乙比甲小2岁

（三）数轴、相反数、绝对值、倒数的概念（强化记忆）

1、数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.

数轴的含义：（1）数轴是一条直线，可以向两边无限延伸（2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度、这三者缺一不可（3）数轴一般取右（或向上）为正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。（4）同一数轴的单位长度必须一致

2．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0；

(2)相反数的和为0 ?a+b=0 ? a、b互为相反数.（3）互为相反数的两数绝对值相等。

3.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；

注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；

(2) 绝对值可表示为：?????<-=>=)

0a (a )0a (0)0a (a a 或???<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 注：2x =的解为2±=x ；而22=-，但少部分同学写成 22±=-．

4.倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a ≠0，那么a 的倒数是

a 1； a

1也可表示为a -1,若ab=1? a 、b 互为倒数；若ab ＝－1? a 、b 互为负倒数. 例1.已知A 、B 两点坐标分别为﹣3、﹣6，若在数在线找一点C ，使得A 与C 的距离为4；找一点D ，使得B 与D 的距离为1，则下列何者不可能为C 与D 的距离（ ）

A 、0

B 、2

C 、4

D 、6

分析：将点A 、B 、C 、D 在数轴上表示出来，然后根据绝对值与数轴的意义计算CD 的长度．

解：根据题意，点C 与点D 在数轴上的位置如图所示：

在数轴上使AC 的距离为4的C 点有两个：C 1、C 2数轴上使BD 的距离为4的D 点有两个：D 1、D 2 ∴①C 与D 的距离为：C 2D 2=0；②C 与D 的距离为：C 2D 1=2；

③C 与D 的距离为：C 1D 2=8；④C 与D 的距离为：C 1D 1=6；

综合①②③④，知C 与D 的距离可能为：0、2、6、8．故选C ．

点评：此题综合考查了数轴、绝对值的有关内容，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，且不容易遗漏，

体现了数形结合的优点．

（四）非负数定理：几个非负数之和为0，则每一个非负数都为0 （强化记忆）

注：非负数：零和正数统称非负数。常见的非负数的形式：|a| 、2a ；

例1、已知2(3)30x y -++= ,求332010()()()x

x y y -+-- 的值。

解：∵2(3)30x y -++= ∴ x-3=0,y+3=0 ∴x=3,y=-3

∴原式=(-3)3+33-(-1)2010=-27+27-1=-1

（五）实数大小的比较（强化记忆）

（1）利用数轴：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；

（2）利用绝对值：正数＞0＞负数，正数＞负数，两个负数，绝对值大的反而小；

（5）平方法：先平方再作差

（6）倒数法 例1、已知有理数a,b 在数轴上的位置如图所示，现比较a,b,-a,-b 的大小

b<-a

b

例2、比较下面两列算式结果的大小：（在横线上选填“>”、“<”、“=”）

…… 通过观察归纳，写出能反映这种规律的一般结论，并加以证明。

解：横线上填写的大小关系是＞、＞、、=．

一般结论是：如果a 、b 是两个实数，则有a 2+b 2≥2ab ）

证明：作差∵a 2+b 2﹣2ab =（a ﹣b ）2≥0 ∴a 2+b 2≥2ab

（六）实数的加、减、乘、除、乘方运算（强化记忆）

1. 加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

（3）一个数与0相加，仍得这个数.

2．加法运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）.

3．减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）.

注：有理数加减法法则 （口诀记法）

先定符号，再计算,同号相加不变号.异号相加“大”减“小”，符号跟着“大数”跑.

4.乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定,当负因数个数为奇数个时积为负，当负因数个数为偶数个时，积为正。

5.乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；

（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac . 0,0,0a b a b a b a b a b a b a b

->?>-=?=-

>?>=?=

6．有理数除法法则：同号为正，异号为负，并把绝对值相除。除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0

a .

7．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；

（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；

8．有理数乘方的法则：（1）正数的任何次幂都是正数；

（2）负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n 为正奇数时: (－a)n =-a n

或(a －b)n =－(b －a)n , 当n 为正偶数时: (－a)n =a n 或 (a －b)n =(b －a)n .

特殊情况:当n 为正奇数时: (－1)n =－1;当n 为正偶数时: (－1)n =1 注：“奇负偶正”的应用·

（1）、如下符号的化简（指负号的个数与结果符号的关系），如：-{+[-(-2)]}= -2

（2）、连乘式的积（指负因数的个数与结果符号的关系），如：

(-1)×(-2)×(-3)×(+4)=-24(-1)×(-2)×(-3)×(-4)=24

（3）、负数的乘方(指乘方的指数与结果符号的关系)，如：(-2)3=-8, (-3)2=9

（4）、分数的符号法则（指的是分子、分母及分数本身三个符号中，同时改变两个，值不变，

但改变一个或三个都改变时，分数的值就变相反了），如：212121-=-=-；b

a b a b a -=-=-

9.混合运算法则：先乘方，后乘除，最后加减. 有括号先算括号里的运算。在较复杂的运算中，不注意运算顺序或者不合理使用运算律，从而使运算出现错误.如5÷

51×5. 10. 整数指数幂的有关运算及乘法公式

①(,)m n m n a a a

m n +=g 是整数表述: 同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ②÷

(,)m n m n a a a m n =－是整数表述: 同底数幂相除，底数不变，指数相减， ③()(,)m n mn a a m n =是整数表述: 幂的乘方，底数不变，指数相乘，

④()()n n n ab a b n =是整数表述:积的乘方等于乘方的积

⑤01(0)a a =≠表述:任何不等于0的数的0次幂等于1 ⑥1(0,)p p

a a p a -=≠为正整数表述: 任何不等于0的数的-p 次幂,等于这个数的p 次幂的倒数 ⑦()(n

n n a a n b b

=是整数)表述:分式的乘方等于分子分母各自乘方。 ⑧平方差公式：22

()()a b a b a b +-=-表述:两个数的和与两个数差的积等于这两个数的平方差。 ⑨完全平方和公式：

22()2a b a ab b +=++表述: 两个数和的平方，等于它们的平方和，加上它们的乘积的2倍 ⑩完全平方差公式：

22()2a b a ab b -=-+表述:两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们的乘积的2倍

例1、已知3,2a b == ,且a-b<0,求a+b 的值。 解：∵3,2a b == ∴a=±3，b=±2. ∵a-b<0 ∴a

当a=-3,b=-2 时 a+b=（-3）+（-2）=-5 当a=-3,b=2 时a+b=-3+2=1

∴a+b 的值为-5或1

例2、a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值等于2,试求220092010()()()x a b cd x a b cd ++++++-的值。

解：∵a 、b 互为相反数 ∴a+b=0 ∵c 、d 互为倒数 ∴cd=1 ∵2x = ∴x=±2

∴当x=2时，原式=22009201020120142017++?++-=+++=（）（）

当x=-2时，原式=220092010(2)01(2)0142013-+

+?-++-=-++=（）（）

例3、用“＞”，“＜”、“＝”填空。 （1）212+（） ＝ 2212122+??+ (2)2

(35)+ ＝ 2232355+??+ （3）2[(2)(3)]-+- ＝ 22(2)2(2)(3)(3)-+?-?-+-

请通过以上式子观察归纳，试猜想：对于任意两个数a 、b 总有22()2a b a ab b +=++ 结论成立。

例4、计算、观察、猜想与应用：

（1）算一算：下面两组算式235?（） 与2235? ；2[(2)3]-?与22

(2)3-? ,每组两个算式的结果是否相同？ （2）想一想：3()ab 等于什么？

（3）猜一猜：当n 为正整数时，()n ab 等于什么？你能用乘方的意义说明理由吗？

（4）用一用：利用上述结论，求201120121(8)()8

-? 的值。 解:(1) ∵223515225?==（），2235925225?=?=； 22[(2)3]636-?=

-=（） 22(2)34936-?=?= ∴每组两个算式的结果相同

（2）3

()ab 等于33a b (3)猜想：当n 为正整数时()n n n

ab a b =

理由：()()()()()()()n n n n ab n a n b ab ab ab ab ab a a a a b b b b a b =??????=????????????=g g g g g g g g g g 1444424444314424431442443

个个个

（七）周期性问题即同余问题（强化记忆）

这类问题要紧紧抓住周期与余数，余数相同性质也相同。

例1、（2011浙江省舟山）一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示，则被截去部分纸环的个数可能是（ ）

（A ）2011 （B ）2011 （C ）2012 （D ）2013

解: ∵纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列 ∴周期为5 ,故可设截去部分纸环的个数为x 个，则

(8+x+1)被5后余数为2，仅D 选项符合要求。

例2、（2011山东日照）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2011应标在（ ）

（A ）第502个正方形的左下角 （B ）第502个正方形的右下角

（C ）第503个正方形的左上角 （D ）第503个正方形的右下角

解：通过观察发现：正方形的左下角是4的倍数，左上角是4的倍数余3，右下角是4的倍数余1，右上角是4的倍数余2 ∵2011÷4=502…3， ∴数2011应标在第503个正方形的左上角． 故选C ．

例3、（2011河北）如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5.若从某一顶点开始，沿正五边形的

边顺时针方向行走，顶点编号的数字是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”.如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”.若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”后，则他所处顶点的编号为___________． 5432

1

解：∵2→3→4, 4→5→1→2→3, 3→4→5→1 , 1→2 ∴小宇从编号为2的顶点开始，四次移位为一个循环，

第10次“移位”，即连续循环两次，再移位两次，即第十次移位所处的顶点和第二次移位所处的顶点相同， 故回到顶点3．故填：3．

例4、（2010安徽）下面两个多位数1248624……，6248624……，都是按照如下方法得到的：将第1位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位;若积为两位数，则将其个位数字写在第2位，对第2位数字再

… …

红 黄 绿 蓝 紫 红 黄 绿 黄 绿 蓝 紫

进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数了进行如上操作得到的，当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是（ ）

A 、495

B 、497

C 、501

D 、503

解：当第1位数字是3时，按如上操作得到一个多位数36 2486 2486 2486 2486 …．

仔细观察36 2486 2486 2486 2486 …中的规律，这个多位数前100位中前两个为36，接着出现2486 2486 2486…，所以36 2486 2486 2486 2486 …的前100位是36 2486 2486 2486…2486 1486 1486 24（因为98÷4=24余2，所以，这个多位数开头两个36中间有24个2486，最后两个24，因此，这个多位数前100位的所有数字之和=（3+6）+（2+4+8+6）×24+（2+4）=9+480+6=495．故选A ．

例5、归纳猜想：1234567822,24,28,216,232,264,2128,,2256======== ……

（1）通过观察，发现2n 的个位数是由 4___种数字组成的，它们分别是 __2，4，8，6__；

（2）用你发现的规律写出下列数的个位数字：102 __4__，112 __8__，

（3）猜想：20102

的个位数字，并说明理由；（4）猜想：98 的个位数字，并说明理由. 解：（3）∵2n 的个位数按2,4,8,6依次循环，且2010÷4＝502 (2)

∴2010

2 的个位数字与22 的个位数字相同。∴20102 的个位数字为4. （4）∵ 939278(2)2== 且 27÷4＝6 (3)

∴98 的个位数字与3

2 的个位数字相同。∴98的个位数字为8

（八）科学计数法、近似数与有效数字（强化记忆）

1．科学记数法：（1）当原数的绝对值≥10时，写成±a×10n 其中1≤a ＜10, n ＝整数位数－1。

（2）当原数的绝对值＜1时，写成±a×10n －，其中1≤a ＜10,，n ＝原数中左起第一个非零数字前面 所有零的个数（含小数点左边的那个零）．如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－

5.

2.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.

误差＝近似值－准确值。误差可以是正数、0、负数，误差的绝对值越小，近似值就越接近准确值， 近似程度就越高

3.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字. 如

0.030是2个有效数字（3,0）精确到千分位；3.14×105是3个有效数字；精确到千位.3.14万是3个有效

数字（3,1,4）精确到百位．

例1、(2012年安徽）2011年安徽省棉花产量约378000吨，将378000用科学计数法表示应是______________. 例2．(2011年安徽）安徽省2010年末森林面积为3804.2千公顷，用科学计数法表示3804.2千．

正确的是【 】 A ．3804.2×103 B ．380.42×104 C ．3.8042×106 D ．3.8042×107

例3、(2010年安徽）2010年第一季度，全国城镇新增就业人数为289万人，用科学记数法表示289万正确的是（ ） A 、71089.2? B 、61089.2? C 、5109.28? D 、41089.2?

数学有理数易错题练习提及答案

1．填空：

(1)当a________时，a 与－a 必有一个是负数。

(2)在数轴上，与原点0相距5个单位长度的点所表示的数是________。

(3)在数轴上，A 点表示＋1，与A 点距离3个单位长度的点所表示的数是________。

(4)在数轴的原点左侧且到原点的距离等于6个单位长度的点所表示的数的绝对值是________。

(5)在数轴上到原点的距离等于__ ___。

(5)在数轴上到原点的距离等于__ ___。

(7)绝对值小于4.5而大于3的整数是____ ____。

(8)代数式－|x|的意义是 。

(9)绝对值不大于4的负整数是____ ____。绝对值不大于2的整数 。绝对值小于5的偶数是 。

(10)如果－x=－(－11)，那么x=___ _____。

(11)用语言叙述代数式－a －3为 。

(12)如果四个有理数相乘，积为负数，那么负因数个数是________；

(13)若0,a =且0a b

=，则b 满足的条件是 。 (14),a b 互为相反数，则()a b +是 。

2．用“有”、“没有”填空：

在有理数集合里，________最大的负数，________最小的正数，________绝对值最小的有理数。

3．用“都是”、“都不是”、“不都是”填空：

(1)所有的整数________负整数；

(2)小学里学过的数________正数；

(3)带有“＋”号的数________正数；

(4)有理数的绝对值________正数；

(5)若|a|＋|b|=0，则a ，b________零；

(6)比负数大的数________正数。

4．用“一定”、“不一定”、“一定不”填空：（其中n 为自然数）

(1)－a________是负数；

(2)当a ＞b 时，________有|a|＞|b|；

(3)在数轴上的任意两点，距原点较近的点所表示的数________大于距原点较远的点所表示的数；

(4)|x|＋|y|________是正数；

(5)一个数________大于它的相反数；

(6)一个数________小于或等于它的绝对值；

(7)21(1)n +- _______是负数；2(1)n +-_______是负数；1(1)(1)n n +-+-________是零。

(8)有理数的平方________是正数；

(9)一个负数的偶次幂________大于这个数的相反数；

(10)小于1的数的平方________小于原数；

(11)一个数的立方________小于它的平方

5．用适当的符号(＞、＜、≥、≤)填空：

(1)若a 是负数，则a________－a ；(2)若a 是负数，则－a_______0；

(3)如果a ＞0，且|a|＞|b|，那么a________ b ．

(1)若b 为负数，则a ＋b________a ；(2)若a ＞0，b ＜0，则a －b________0；

(3)若a 为负数，则3－a________3．

(4)比较4a 和－4a 的大小

6．用“都”、“不都”、“都不”填空：

(1)如果ab≠0，那么a ，b________为零；

(2)如果ab ＞0，且a ＋b ＞0，那么a ，b________为正数；

(3)如果ab ＜0，且a ＋b ＜0，那么a ，b________为负数；

(4)如果ab=0，且a ＋b=0，那么a ，b________为零。

7．根据所给的条件列出代数式：

(1)a ，b 两数之和除a ，b 两数绝对值之和；

(2)a 与b 的相反数的和乘以a ，b 两数差的绝对值；

(3)一个分数的分母是x ，分子比分母的相反数大6；

(4)x ，y 两数和的相反数乘以x ，y 两数和的绝对值．

(5)比a 的相反数大11的数．

8．若a 为有理数，求a 的相反数与a 的绝对值的和。

9．由|a|=|b|一定能得出a=b 吗？

10．若|a|=4，|b|=2，且|a＋b|=a＋b，求a－b的值。

11．由|x|=a能推出x=±a吗？

12．列式并计算：－7与－15的绝对值的和。

13．把下列各数从小到大，用“＜”号连接：

14．把下列各式先改写成省略括号的和的形式，再求出各式的值．

(1)(－7)－(－4)－(＋9)＋(＋2)－(－5)；

(2)(－5)－(＋7)－(－6)＋4．

15．下列叙述是否正确？若不正确，改正过来．

(1)平方等于16的数是(±4)2；

(2)(－2)3的相反数是－23；

18．计算下列各题：

19．计算下列各题：

（1）

6 (5)(6)()

5 -÷-÷-

7

(2)7(35)

9

-÷+

22 (3) 1.430.57()

33

?-?-

33 (4)(32)32

-?+?

44

(5)2(2)

---

（6）－15×12÷6×5（7）2

2(4)

-÷-

（8）

2

42

2

1(10.5)2(3)

3

??---?÷---

??

20．下列各题中的横线处所填写的内容是否正确？若不正确，改正过来．

(1)有理数a的四次幂是正数，那么a的奇数次幂是负数；

(2)有理数a与它的立方相等，那么a=1；

(3)有理数a的平方与它的立方相等，那么a=0；

(4)若|a|=3，那么a3=9；

(5)若x2=9，且x＜0，那么x3=27．

21．用科学记数法记出下列各数：(1)314000000；(2)0.000034．

22．判断并改错(只改动横线上的部分)：

(1)用四舍五入得到的近似数0.0130有4个有效数字．

(2)用四舍五入法，把0.63048精确到千分位的近似数是0.63．

(3)由四舍五入得到的近似数3.70和3.7是一样的．

(4)由四舍五入得到的近似数4.7万，它精确到十分位．

23．改错(只改动横线上的部分)：

(1)已知5.0362=25.36，那么50.362=253.6，0.050362=0.02536；

(2)已知7.4273=409.7，那么74.273=4097，0.074273=0.04097；

(3)已知3.412=11.63，那么(34.1)2=116300；

(4)近似数2.40×104精确到百分位，它的有效数字是2，4；

(5)已知5.4953=165.9，x3=0.0001659，则x=0.5495．

有理数·错解诊断练习答案

1．(1)不等于0的有理数；(2)＋5，－5；(3)－2，＋4；(4)6．

2．(1)没有；(2)没有；(3)有．

3．(1)不都是；(2)不都是；(3)不都是；(4)不都是；(5)都是；(6)不都是．原解错在没有注意“0”这个特殊数(除(1)、(5)两小题外)．

4．(1)不一定；(2)不一定；(3)不一定；(4)不一定；(5)不一定；(6)一定．

上面5，6，7题的原解错在没有掌握有理数特别是负数大小的比较．8．(1)－11；(2)－1，－2，－3，－4；(3)4，－4．

10．x绝对值的相反数．

11．(1)＜；(2)＞；(3)＞．

12．－2，－1，0，1，2．

13．不一定能推出x=±a，例如，若|x|=－2．则x值不存在．

14．不一定能得出a=b，如|4|=|－4|，但4≠－4．

15．－2，－4，0，2，4．

16．－a＋11．

17．a的相反数与3的差．

18．读作：负三、正五、负七、正二、负九的和，或负三加五减七加二减九．19．(1)原式=－7＋4－9＋2＋5=－5；

(2)原式=－5－7＋6＋4=－2．

21．＜；＞；＞．

22．当a≥0时，－a＋|a|=0，当a＜0时，－a＋|a|=－2a．

23．由|a＋b|=a＋b知a＋b≥0，根据这一条件，得a=4，b=2，所以a－b=2；a=4，b=－2，所以a－b=6．

24．－7＋|－15|=－7＋15=8．

26．(1)都不；(2)都；(3)不都；(4)都．

27．(1)正数、负数或零；(2)正数、负数或零；(3)正数、负数或零；(4)0．

28．(1)3或1；(2)b≠0．

30．当a＞0时，4a＞－4a；当a=0时，4a=－4a；当a＜0时，4a＜－4a．

(5)－150．

32．当b≠0时，由|a|=|b|得a=b或a=－b，

33．由ab＞0得a＞0且b＞0，或a＜0且b＜0，求得原式值为3或－1．

34．(1)平方等于16的数是±4；(2)(－2)3的相反数是23；(3)(－5)100．

36．(1)不一定；(2)一定；(3)一定．

37．(1)负数或正数；(2)a=－1，0，1；(3)a=0，1；(4)a3＝±27；(5)x3＝－27．

38．(1)不一定；(2)不一定；(3)不一定；(4)不一定．

40．(1)3.14×108；(2)3.4×10-5．

41．(1)有3个有效数字；(2)0.630；(3)不一样；(4)千位．

42．(1)2536，0.002536；(2)409700，0.0004097；(3)341；(4)百位，有效数字2，4，0；

(5)0.05495．

七年级数学有理数单元测试题(新人教版)

一、选择题（本题共有10个小题，每小题都有A、B、C、D四个选项，请你把你认为适当的选项前的代号填入题后的括号中，每题2分，共20分）

1、下列说法正确的是（）

A 整数就是正整数和负整数

B 负整数的相反数就是非负整数

C 有理数中不是负数就是正数

D 零是自然数，但不是正整数

2、下列各对数中，数值相等的是（）

A －27与(－2)7

B －32与(－3)2

C －3×23与－32×2

D ―(―3)2与―(―2)3

3、在－5，－9，－3.5，－0.01，－2，－212各数中，最大的数是（）

A －12

B －9

C －0.01

D －5

4、如果一个数的平方与这个数的差等于0，那么这个数只能是（）

A 0

B －1

C 1

D 0或1

5、绝对值大于或等于1，而小于4的所有的正整数的和是（）

A 8

B 7

C 6

D 5

6、计算：(－2)100+(－2)101的是（）

A 2100

B －1

C －2

D －2100

7、比－7.1大，而比1小的整数的个数是（）

A 6

B 7

C 8

D 9

8、2003年5月19日，国家邮政局特别发行万众一心，抗击“非典”邮票，收入全部捐赠给卫生部门用以支持抗击“非典”斗争，其邮票发行为12050000枚，用科学记数法表示正确的是( )

A．1.205×107 B．1.20×108 C．1.21×107 D．1.205×104

9、下列代数式中，值一定是正数的是( )

A．x2 B.|－x+1| C.(－x)2+2 D.－x2+1

10、已知8.622＝73.96，若x2＝0.7396，则x的值等于（）

A 86. 2

B 862

C ±0.862

D ±862

二、填空题（本题共有9个小题，每小题2分，共18分）

11、一幢大楼地面上有12层，还有地下室2层，如果把地面上的第一层作为基准，记为0，规定向上为正，那么习惯上将2楼记为；地下第一层记作；数－2的实际意义为，数＋9的实际意义为。

12、如果数轴上的点A对应有理数为-2，那么与A点相距3个单位长度的点所对应的有理数为___________。

13、某数的绝对值是5，那么这个数是。134756≈（保留四个有效数字）

14、( )2＝16，(－ )3＝。

15、数轴上和原点的距离等于3 的点表示的有理数是。

16、计算：（-1）6+（-1）7=____________。

17、如果a、b互为倒数，c、d互为相反数，且m=-1，则代数式2ab-（c+d）+m2=_______。

18、＋5.7的相反数与－7.1的绝对值的和是。

19、已知每辆汽车要装4个轮胎，则51只轮胎至多能装配辆汽车。

三、解答题

20、计算：（本题共有8个小题，每小题4分，共32分）

（1）8＋(― )―5―(―0.25) （2）―82+72÷36

（3）7 ×1 ÷(－9＋19) （4）25×(―18)+(―25)×12＋25×(－10 )

（5）(－79)÷2 ＋×(－29) （6）(－1)3－(1－7)÷3×[3―(―3)2]

（7）2(x-3)-3(-x+1) (8) –a+2(a-1)-(3a+5)

21、一天小明和冬冬利用温差来测量山峰的高度。冬冬在山脚测得的温度是4℃，小明此时在山顶测得的温度是2℃，已知该地区高度每升高100米，气温下降0.8℃，问这个山峰有多高？5分

22、有一种“二十四点”的游戏，其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24。例如对1，2，3，4，可作如下运算：(1+2+3)×4＝24（上述运算与4×(1＋2＋3)视为相同方法的运算）

现有四个有理数3，4，－6，10，运用上述规则写出三种不同方法的运算式，可以使用括号，使其结果等于24。运算式如下：（1），

（2），

（3）。

另有四个有理数3，－5，7，－13，可通过运算式

（4）使其结果等于24。（4分）23、下表列出了国外几个城市与北京的时差（带正号的数表示同一时刻比北京的时间早的时数）。现在的北京时间是上午8∶00

（1）求现在纽约时间是多少？

（2）斌斌现在想给远在巴黎的姑妈打电话，你认为合适吗？3分

24、画一条数轴，并在数轴上表示：3.5和它的相反数，－4和它的倒数，绝对值等于3的数，最大的负整数和它的平方，并把这些数由小到大用“<”号连接起来。6分

25、体育课上，全班男同学进行了100米测验，达标成绩为15秒，下表是某小组８名男生的成绩斐然记录，其中＂＋＂表示成绩大于15秒．

问：（１）这个小组男生的达标率为多少？（）

（２）这个小组男生的平均成绩是多少秒？6分

26、有若干个数，第一个数记为a1，第二个数记为a2，…，第n个数记为a n。若a1=1/2，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面那个数的差的倒数”。试计算：a2=______，a3=____，a4=_____，a5=______。这排数有什么规律吗？由你发现的规律，请计算a2004是多少？6分

四、提高题（本题有2个小题，共16分）

1、同学们都知道,|5－(－2)|表示5与－2之差的绝对值,实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离。试探索：(1)求|5－(－2)|=______。

(2)找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x-2|=7这样的整数是___________。

(3)由以上探索猜想对于任何有理数x，|x－3|+|x－6|是否有最小值？如果有写出最小值如果没有说明理由。(8分)

2、若a、b、c均为整数，且∣a－b∣3＋∣c－a∣2＝1，求∣a－c∣＋∣c－b∣＋∣b－a∣的值(8分)

七年级数学有理数单元测试题答案

一、选择题: 每题2分，共20分

1:D 2:A 3:C 4:D 5:C

6:D 7:C 8:A 9:C 10:C

二、填空题（本题共有9个小题，每小题2分，共18分）

11:+2;-1;地下第2层;地面上第9层. 12:-5,+1 13: ±5;1.348×

105 14:±4;-8/27 15: ±

3.5 16:0 17:3 18 :1.4 19:12

三、解答题:

20: 计算：（本题共有8个小题，每小题4分，共32分）

① 3 ②-80 ③21/16 ④ 0

⑤ -48 ⑥ 0 ⑦5x-9 ⑧ -2a-7

21:解: (4-2)÷0.8×100=250(米)

22:略

23: ①8-(-13)=21时②巴黎现在的时间是1时,不可以打电话.

24:解:数轴略;-3.5＜-3＜-2＜-1＜-0.5＜1＜3＜3.5

25: ①成绩记为正数的不达标,只有2人不达标,6人达标.这个小组男生的达标率=6÷8=75% ②-0.8+1-1.2+0-0.7+0.6-0.4-0.1=-1.6

15-1.6÷8=14.8秒

26 a2=2，a3=-1，a4=1/2，a5=2。这排数的规律是:1/2,2,-1循环. a2004=-1

四、提高题（本题有3个小题，共20分）

2: ①7

②画出数轴,通过观察:-5到2之间的数

都满足|x+5|+|x-2|=7,这样的整数有-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2

③猜想对于任何有理数x，|x－3|+|x－6|有最小值=3.因为

当x在3到6之间时, x到3的距离与x到6的距离的和是3,并且是最小的.

当x＜3和x＞6时, x到3的距离与x到6的距离的和都＞3.

3:解: ∵∣a－b∣3＋∣c－a∣2＝1,并且a、b、c均为整数

∴∣a－b∣和∣c－a∣=0或1

∴当∣a－b∣=1时∣c－a∣=0,则c=a, ∣c－b∣=1

∴∣a－c∣＋∣c－b∣＋∣b－a∣=0+1+1=2

当∣a－b∣=0时∣c－a∣=1,则b=a, ∣c－b∣=1

∣a－c∣＋∣c－b∣＋∣b－a∣=1+1+0=2