广东省广州市天河区2020-2021学年高二上学期期末数学(理)试题

广东省广州市天河区2020-2021学年高二上学期期末数学（理）

试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．设命题p ：x R ?∈，2

10x ，则p ?为（ ） A ．0x R ?∈，2010x +>

B ．0x R ?∈，2010x +≤

C ．0x R ?∈，2010x +<

D ．0x R ?∈，2010x +≤

2．某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一600人、高二680人、高三720人中抽取50人进行问卷调查，则高二抽取的人数 是（ ）

A ．18

B ．17

C ．16

D ．15

3．双曲线22

134

y x -=的渐近线方程是（ ）

A ．y x =

B ．y x =

C ．34y x

D ．43y x =± 4．下列有关命题的说法错误的是（ ）

A ．“若22am bm <，则a b <”的逆命题为假命题

B ．命题“如果()()150x x +-=2=”的否命题是真命题

C ．若p q ∧为假命题，则p 、q 均为假命题

D ．若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题

5．已知向量()()1,1,0,1,0,2,a b ==-且ka b +与2a b -互相垂直，则k =（ ） A ．75 B ．1 C ．35 D ．15

6．已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）

A ．求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和

B ．求首项为1，公比为4的等比数列的前1010项的和

C ．求首项为1，公比为2的等比数列的前2017项的和

D ．求首项为1，公比为2的等比数列的前2018项的和

7．“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数列结合的方法给出了勾股定理的详细证明.如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为4的大正方形，若直角三角形中较大的锐角3π

α=，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在

小正方形内的概率是（ ）

A ．12-

B

C ．44-

D 8．二面角l αβ--为60°，A 、B 是棱l 上的两点，AC 、BD 分别在半平面,αβ内，AC l ⊥，BD l ⊥，且AB ＝AC ＝a ，BD ＝2a ，则CD 的长为( )

A ．2a

B

C ．a D

9．某校100名学生的数学测试成绩的频率分布直方图如图所示，分数不低于a 即为优秀，如果优秀的人数为20，则a 的估计值是( )

A ．130

B ．140

C ．133

D ．137

10．已知椭圆1C 与双曲线2C 有相同的焦点1F 、2F ，点P 是1C 与2C 的一个公共点，12PF F ?是一个以1PF 为底的等腰三角形，14PF =，1C 的离心率是

67，则2C 的离心率是（ ）

A ．67

B ．76

C ．65

D ．3 11．已知命题():0,p x ?∈+∞，1102x m ??+-> ???

；命题():0,q x ?∈+∞，2410mx x +-=，则命题p 是命题q 的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

12．已知双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>，过原点O 作直线与双曲线交于A 、B 两点，点M 为双曲线上异于A 、B 的动点，且直线MA 、MB 的斜率分别为1k 、2k ，若双曲

12k k ?=（ ）

A B ．3 C D ．2

二、填空题

13．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，则点数和为5的概率是_____.

14．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x =______.

15．已知动圆M 与直线2y =相切，且与定圆()2

2:31C x y ++=外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为______.

16．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 分别是线段1CC 、BD 上的点，R 是直线AD 上的点，且12CP C P =，//PQ 平面11ABC D ，PQ RQ ⊥，则PR 的长为______.

三、解答题

17．已知抛物线()2

20y px p =>，其焦点到准线的距离为4. （1）求该抛物线的标准方程.

（2）过点()1,1M 的直线交该抛物线于,A B 两点，如果点M 恰是线段AB 的中点，求直线AB 的方程.

18．如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且SD AD =，E 是SA 的中点.

（1）求证：//SC 平面BED ；

（2）求直线SA 与平面BED 所成角的正弦值.

19．在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司推广线下分店，计划在S 市的A 区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了初步处理后得到下列表格.记x 表示在各区开设分店的个数，y 表示这个x 个分店的年收入之和.

(1)该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回

归方程??y bx

a =+ (2)假设该公司在A 区获得的总年利润z (单位:百万元)与x ，y 之间的关系为

20.05 1.4z y x =--，请结合(1)中的线性回归方程，估算该公司应在A 区开设多少个分店时，才能使A 区平均每个分店的年利润最大?

(参考公式:??y bx a =+，其中1

22

1?n i i

i n i i x y nxy b x

nx ==-=-∑∑，??a y bx =-) 20．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，平面11BCC B ⊥平面ABC ，四边形11BCC B 为菱形，点M 是棱AC 上不同于A 、C 的点，2AB BC ==，90ABC ∠=，1160BB C ∠=.

（1）求证：1B C ⊥平面1ABC ；

（2）若二面角1A BC M --为30，求AM 的长.

21．设椭圆22

22:1x y E a b +=()0a b >>的一个焦点为()2,0-，且椭圆E

过点(M ，O 为坐标原点，

（1）求椭圆E 的标准方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A 、B ，且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求AB 的最大值，若不存在说明理由. 22．已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C 的直角坐标方程为22

220x y x y ++-=，直线l 的参数方程为1x t y t

=-+??=?(t 为参数)，射线OM 的极坐标方程为3π4θ=. （1）求圆C 和直线l 的极坐标方程；

（2）已知射线OM 与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.

参考答案

1．B

【解析】

试题分析：全称命题的否定是特称命题,所以命题p 的否定为200,10x R x ?∈+≤,故选B.

考点：命题否定 全称命题 特称命题

2．B

【分析】

直接根据分层抽样的比例关系得到答案.

【详解】 抽取人数为：

6805017600680720

?=++. 故选：B .

【点睛】

本题考查了分层抽样，意在考查学生的计算能力.

3．A

【分析】

直接根据渐近线公式得到答案.

【详解】

曲线22134y x -=的渐近线方程是：2

y x =±. 故选：A .

【点睛】

本题考查了双曲线的渐近线，属于简单题.

4．C

【分析】

写出逆命题和否命题，判断正误，根据或和且的命题真假判断命题真假得到答案.

【详解】

逆命题为：若a b <，则22am bm <，当0m =是不成立，故为假命题，A 正确；

否命题为：如果()()150x x +-≠2≠，为真命题，B 正确；

若p q ∧为假命题，则p 、q 不同时为真，C 错误；

若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题，D 正确；

故选：C .

【点睛】

本题考查了逆命题和否命题，或和且命题的判断，意在考查学生的推断能力.

5．A

【分析】

首先表示出ka b +与2a b -的坐标，再根据ka b +与2a b -互相垂直，得到

()()20ka b a b +-=计算可得；

【详解】

解：因为()1,1,0a =，()1,0,2b =-

()1,,2ka b k k ∴+=-，()23,2,2a b -=-

又因为ka b +与2a b -互相垂直，所以()()20ka b a b +-=，

33240k k ∴-+-=，解得75

k =

故选：A .

【点睛】 本题考查空间向量的坐标运算，属于基础题.

6．A

【分析】

由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．

【详解】

由已知中的程序框图可知：该程序的循环变量n 的初值为1，终值为2019，步长为2， 故循环共执行了1009次

由S 中第一次累加的是21﹣1＝1，第二次累加的是23﹣1＝4，……

故该算法的功能是求首项为1，公比为4的等比数列的前1009项的和，

故选A ．

【点睛】

本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．

7．A

【分析】

计算阴影图形边长为2-，面积为16-.

【详解】

易知阴影部分图形为正方形，其边长为：4sin 4cos 233π

π

-=，

故阴影部分面积为()22

16=-1p ==. 故选：A .

【点睛】 本题考查了几何概型，意在考查学生的应用能力.

8．A

【解析】

试题分析：根据异面直线上两点间的距离公式EF = ，对于本

题中，d a =，m a =，2n =，60θ=，

故2CD a ==． 考点：异面直线上两点间距离,空间想象能力．

9．C

【解析】 由题意可知：90﹣100分的频率为0.005×

10=0.05，频数为5人 则100﹣110分的频率为0.018×

10=0.18，频数为18人 110﹣120分的频率为0.03×10=0.3，频数为30人

120﹣130分的频率为0.022×10=0.22，频数为22人

130﹣140分的频率为0.015×10=0.15，频数为15人

140﹣150分的频率为0.010×10=0.05，频数为10人

而优秀的人数为20人，140﹣150分有10人，130﹣140分有15人，取后10人

∴分数不低于133即为优秀，

故选C ．

点睛：由频率分布直方图分析可得每一个分数段上的频率，再由频率与频数的关系，以及获得优秀的频数可得a 的值．本题要看清纵坐标表示频率比上组距，组距为10，计算频率时需要让纵坐标乘以10,不然很容易做错，属于基础题．

10．C

【分析】 根据题意得到12224242PF a a c =-=+=，得到12a c =+，22a c =-，

167

c a =计算得到答案.

【详解】 不妨设椭圆1C ：2222111x y a b +=，双曲线2C ：22

2222

1x y a b -=， 则14PF =，故12224242PF

a a c =-=+=，故12a c =+，22a c =-. 1C 的离心率是67，即167c a =，故1212,14,10c a a ===，故22126105c e a ===. 故选：C .

【点睛】

本题考查了椭圆和双曲线的综合应用，意在考查学生的综合应用能力.

11．A

【分析】

分别计算得到m 1≥和4m ≥-，根据范围大小判断得到答案.

【详解】

():0,p x ?∈+∞，1102x m ??+-> ???，即112x m ??>- ???，易知函数()112x

f x ??=- ???

单调递增，故m 1≥. 命题():0,q x ?∈+∞，2410mx x +-=， 2

214124m x x x ??=-=-- ???

，故4m ≥-. 故命题p 是命题q 的充分不必要条件.

故选：A .

【点睛】

本题考查了根据命题求参数，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.

12．D

【分析】 化简得到222212x y a a

-=，设(),M x y ，(),A m n ，故(),B m n --，得到()22222y n x m -=-，计算斜率化简得到答案.

【详解】

c a =b =，即22

2212x y a a

-=. 设(),M x y ，(),A m n ，故(),B m n --，故22

2212x y a a -=，222212m n a a

-=， 两式相减得到：()2222

2y n x m -=-，故22

12222y n y n y n k k x m x m x m -+-?=?==-+-. 故选：D .

【点睛】

本题考查了双曲线中斜率的定值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.

13．19

【分析】

分别求出基本事件总数，点数和为5的种数，再根据概率公式解答即可．

【详解】

根据题意可得基本事件数总为6636?=个.

点数和为5的基本事件有()1,4，()4,1，()2,3，()3,2共4个.

∴出现向上的点数和为5的概率为41369

P ==. 故答案为：

19

. 【点睛】 本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 14．3

【分析】

根据中位数相等得到5y =，再根据平均值相等得到答案.

【详解】

甲组的中位数为65，乙组的中位数也是65，故5y =. 乙组的平均值为：5961656778665++++=，故5662657074665

x +++++=，故3x =.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查了中位数和平均数，意在考查学生的计算能力.

15．212x y =-

【分析】

M 到()0,3-的距离等于到3y =的距离，故轨迹为抛物线，得到答案.

【详解】

设动圆半径为r ，则M 到直线2y =的距离为r ，1MC r =+，

故M 到()0,3-的距离等于到3y =的距离，故轨迹为抛物线，即2

12x y =-. 故答案为：212x y =-.

【点睛】

本题考查了抛物线的轨迹方程，意在考查学生对于抛物线定义的理解.

16．3

【分析】

如图所示，过点P 作1//PM BC 交MC 于点M ，连接,,QM QC RC ，证明2DQ QB =，RQ QC ⊥，再利用勾股定理计算得到答案.

【详解】

如图所示：过点P 作1//PM BC 交MC 于点M ，连接,,QM QC RC .

1//PM BC ，1BC ?平面11ABC D ，故//PM 平面11ABC D ，//PQ 平面11ABC D ，

PM PQ P =，故平面//PQM 平面11ABC D ，故//QM AB ，故2DQ QB =.

1CC ⊥平面ABCD ，RQ ?平面ABCD ，故1CC RQ ⊥，PQ RQ ⊥，PQ

RQ Q =. 故RQ ⊥平面PQC ，QC ?平面PQC ，故RQ QC ⊥.

故CR ==

=3PR ===.

故答案为：

3.

【点睛】

本题考查了立体几何中的线段长度，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

17．（1）28y x =；（2）43y x =-.

【分析】

（1）根据抛物线定义得到4p =，得到答案.

（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，代入相减得到()()()1212128y y y y x x +-=-，故4k =，得到答案.

【详解】

（1）抛物线()220y px p =>，其焦点到准线的距离为4，故4p =，故28y x =.

（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，故2118y x =，2228y x =，

两式相减得到：()()()1212128y y y y x x +-=-，即12

84k y y =

=+， 故直线方程为：()41143y x x =-+=-.

【点睛】 本题考查了抛物线方程，点差法求直线，意在考查学生的综合应用能力.

18．（1）证明见解析；（2

）

3. 【分析】

（1）连接AC 与BD 交于点O ，连接EO ，证明//OE AC 得到答案.

（2）以,,DA DC DS 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，计算平面BED 的法向量为()1,1,1n =-，计算得到答案.

【详解】

（1）如图所示：连接AC 与BD 交于点O ，连接EO ，

易知O 为AC 中点，E 是SA 的中点，故//OE AC ，OE ?平面BED ，

故//SC 平面BED .

（2）如图所示，以,,DA DC DS 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.

设1AD =，故()0,0,0D ，()1,0,0A ，()0,0,1S ，()1,1,0B ，11,0,22E ?? ???

. 设平面BED 的法向量为(),,n a b c =，故00n DE n DB ??=??=?，即01102

2a b a c +=???+=??. 取1x =-，则()1,1,1n =-，()1,0,1AS =-.

故cos ,3n AS

n AS n AS

?===?， 故直线SA 与平面BED 所成角的正弦值为

3.

【点睛】

本题考查了线面平行，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.

19．(1)0.850.6y x =+;(2)该公司应开设4个分店时，在该区的每个分店的平均利润最大

【分析】

（1）由表中数据先求得,x y .再结合公式分别求得??,b

a ,即可得y 关于x 的线性回归方程. （2）将（1）中所得结果代入20.05 1.4z y x =--中,进而表示出每个分店的平均利润,结合

基本不等式即可求得最值及取最值时自变量的值.

【详解】

（1）由表中数据和参考数据得:

2345645x ++++==, 2.534 4.5645

y ++++==, 因而可得()52110i

i x x =-=∑,()()5

18.5i i i x x y y =--=∑, 再代入公式计算可知()()()

1

218.5?0.8510

n i

i i n

i i x x y y b x x ==--===-∑∑, ∴??440.850.6a

y bx =-=-?=, ∴0.850.6y x =+

.

（2）由题意,可知总收入的预报值?z 与x 之间的关系为:2?0.050.850.8z x x =-+-, 设该区每个分店的平均利润为t ,则z t x

=, 故t 的预报值?t

与x 之间的关系为0.880?0.050.850.0150.85t x x x x ??=--+=-++ ???, 当且仅当805x x

=时取等号,即4x =或4x =-（舍） 则当4x =时,?t

取到最大值, 故该公司应开设4个分店时,在该区的每个分店的平均利润最大.

【点睛】

本题考查了线性回归方程的求法,基本不等式求函数的最值及等号成立的条件,属于基础题. 20．（1）证明见解析；（2

）5

AM =

【分析】

（1）证明1AB B C ⊥，11B C BC ⊥得到答案.

（2）以,,BA BC BD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设AM m =，平面1ABC 的法向量

为()

10,n =，平面1MBC

的法向量为22m n ?? ??=????，计算夹角得到答案. 【详解】

（1）90ABC ∠=，平面11BCC B ⊥平面ABC ，故AB ⊥平面11BCC B ，

1B C ?平面11BCC B ，故1AB B C ⊥.

四边形11BCC B 为菱形，故11B C BC ⊥，1AB BC B =，故1B C ⊥平面1ABC . （2）设D 为11B C 中点，易知DB BC ⊥，故DB ⊥平面ABC .

以,,BA BC BD 为,,

x y z 轴建立空间直角坐标系，设AM m =，

故(

)2,0,0A ，()0,0,0

B ，(1

C ，2,,022M m m ??- ? ???.

设平面1ABC 的法向量为()1111,,n x y z =，故11100n AB n BC ??=???=??

，即11

100x y =???+=??，取11z =，

故()

10,n =. 设平面1MBC 的法向量为()2222,,n x y z =，故22

100n MB n BC ??=???=??，

即2222200x y ???+=? ? ?????+=?，取11z =

，故2622m n ?? ? ?= ???

. 故12243cos ,22n n n ==

?，故2

433n =，解得5m =，即5

AM =.

【点睛】

本题考查了线面垂直，根据二面角求长度，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.

21．（1）2218

4

x y +=；（2）存在2283x y +=，max AB =【分析】

（1）根据2c =，且22421a b +=，解得答案. （2）设切线方程为y kx m =+，根据垂直得到2

23880m k --=，故22

2813m r k ==+，得到

22

83x y +=

，AB =考虑0k =和0k ≠和斜率不存在三种情况，分别计算得到答案.

【详解】

（1）根据题意：2c =，且22421a b +=，解得228,4a b ==，故标准方程为：22184

x y +=. （2）假设存在圆222x y r +=满足，当斜率存在时，设切线方程为y kx m =+.

22

184x y y kx m ?+=???=+?

，故()222124280k x knx m +++-=. ()()()22222216412288840k m k m k m ?=-+-=-+>，即22840k m -+>.

122

212241228

12km x x k m x x k ?+=-??+?-?=?+?

， ()()()()

22222221212121222

2841212k m k m y y kx m kx m k x x kn x x m m k k -=++=+++=-+++22

2812m k k

-=+. OA OB ⊥，即12120x x y y +=，故222

2228801212m m k k k

--+=++，即223880m k --=

. r =222813m r k ==+，故2283x y +=. 当直线AB

斜率不存在时，根据对称性不妨取A ??

，B ??

， 满足OA OB ⊥. 综上所述：存在2283

x y +=使题目条件成立.

||AB ===

==

当0

k=

时，

3

AB=；

当0

k≠

时，AB==≤

2

2

1

4k

k

=

，即

2

k=±时等号成立；

当斜率不存在时，易知

3

AB=；

综上所述：AB

的最大值为

【点睛】

本题考查了椭圆方程，最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.

22．（1）圆C

：

π

4

ρθ??

=-

?

??

；直线l：sin cos1

ρθρθ

-=；（2

）

2

【分析】

（1）结合直角坐标方程、参数方程及极坐标方程间的关系，求出圆C和直线l的极坐标方程即可；

（2）将

3π

4

θ=与圆C和直线l的极坐标方程联立，可求得,P Q的极坐标，进而可求得线

段PQ的长.

【详解】

（1）由于222

x yρ

+=，cos

xρθ

=，sin

yρθ

=，又圆C的直角坐标方程为22220

x y x y

++-=，则圆C的极坐标方程为22cos2sin0

ρρθρθ

+-=

，即

π

4

ρθ??

=-

?

??

.

直线l 的参数方程为1x t y t =-+??=?

(t 为参数)，消去t 后得y ＝x ＋1， 直线l 的极坐标方程为sin cos 1ρθρθ-=.

（2）当3π4θ=

时，3ππ||44OP ??=-= ??

? 则点P

的极坐标为3π4?

? ???，

||222OQ ==，则点Q

的极坐标为3π24?? ? ???

，

故线段PQ

的长为=. 【点睛】

本题考查直角坐标方程、参数方程与极坐标方程间的转化，利用极坐标求两点间的距离是解决本题的关键，属于基础题.