奥数 小二教案 44 二年级提高班第十一讲教师版讲义
第十一讲 简单推理
同学们，生活中你遇到过这样的推理问题吗？遇到这样的问题你是怎样解决的
呢？对于这些需要我们去判断的问题，其实只要弄清楚条件之间的关系，根据关系有理有据地进行判断、推敲，充分利用每次的结论作为下一次推理的依据，这样就能一步一步推断出正确的结论了.今天这节课我们就一起来学习推理的方法吧！
＊我是推理小能手＊
【例1】 张山是张川的新弟弟，张海是张湖的哥哥，张海是张川的父亲.张湖说自己不是张山的叔叔，张湖是张山的什么人呢?
【分析】根据问题中的条件，我们这样来表示张家四人之间的关系：是同辈关系的并排写出他们的姓名，同辈中年龄大的写在前面，长辈的姓名写在晚辈的上面.
这样，张湖是张山的什么人，一看就知道了.张湖如果是男的，他就是张川爸爸的弟弟，就应叫叔叔.如果张湖是女的，她就是张川爸爸的妹妹，就应叫姑姑. 张山是张川的新弟弟，张湖说自己不是张山的叔叔，那么她应该是张山的姑姑.
【例2】 小红、小芳、小玲比赛背英语单词，小红记得比小玲多，小芳记得比小红少，小玲记得比小芳少，那么，三人里谁记得最多，谁记得最少？
【分析】根据“小红比小玲多”“小芳比小红少”这两个已知条件我们知道了，小红比小玲和小芳都要多，也就是说三个人中小红是最多的.我们再来比较小玲和小芳谁多，根据第三个已知条件“小玲比小芳少”，我们就知道了最小的是小玲.那么这三人背单词的情况排列是：小红背的单词＞小芳背的单词＞小玲背的单词，背得最多的是小红，背得最少的是小玲.
你 知 道 吗 ?
拓展训练
小美，小丽，小娇在谈论谁高谁矮，两人比高矮时，由第三人判断.小美说：小娇比小丽矮2厘米，小娇说：小美比小丽高2厘米.三人中，谁最矮？最矮的比最高的矮多少厘米？
【答案】小丽的身高是一个标准.她与小美，小娇都比了高矮，并且知道小美比小丽高，说明小丽比小美矮，而小娇又比小丽矮，当然就推出了谁最矮.小娇最矮.比小丽矮2厘米，比小美矮4厘米.
【例3】兄弟四人放学后依次回到家，已知老二比老四回家早，老三比老四回家晚，老大比老二回家早，你知道这四兄弟回家的顺序是怎样的？
【分析】根据“老二比老四早，老三比老四晚”这两个已知条件，我们知道这三人的顺序为：老二、老四、老三；现在我们只需要判断老大是什么时候回来的就可以得到结果了.根据“老大比老二回家早”这个已知条件，我们知道老大比老二早，也就比老四、老三都早，因此这四兄弟回家的顺序应该是：老大、老二、老四、老三.
拓展训练
体育馆里正在进行一场精彩的乒乓球双打比赛．两位熟悉运动员的观众正相互议论这四个运动员：
“关超比李明年轻．”
“赵奇比他的两个对手年龄都大.”
“关超比张辉年龄大．”
“李明比赵奇年龄大．”
请分析一下他们四人的年龄顺序，谁得年龄最大？谁得年龄最小？
【答案】通过条件1“关超比李明年轻”和条件3 “关超比张辉年龄大”，我们知道关超、李明、张辉这三个人中，李明＞关超＞张辉.现在我们只需要考虑赵奇了.“李明比赵奇年龄大．”说明赵奇应排在李明的后面，排在后面第几呢？我们再来看这个条件“赵奇比他的两个对手年龄都大”也就是说比赵奇年龄小的应该有两个人，那么赵奇应该排在第二，他的对手是关超和张辉.现在这四人的年龄顺序就应该是李明＞赵奇＞关超＞张辉，年龄最大的是李明，年龄最小的是张辉.
【例4】盘子里有香蕉、苹果、橘子三种水果．小刚说：“每人只吃一种水果，我不吃橘子．”小林说：“我既不吃苹果，也不吃橘子．”大江问：“请你猜一猜我们三人各吃什么水果?”
【分析】根据小林说的“我既不吃苹果，也不吃橘子”，可以判断出：小林吃的水果是香蕉.又根据小刚说的“我不吃橘子”，可以得出，小刚可能吃的是香蕉或苹果，而香蕉是小林吃的，小刚只能吃的是苹果．
最后可以判定大江吃的是橘子．在推理过程中，我们一般可以采用列表法，把每个条件进行梳理，这样更有助于我们快速、准确的判断出结果.
最后我们得出结论：小刚吃的是苹果，小林吃的是香蕉，大江吃的是橘子．
拓展训练
甲、乙、丙三个小学生都是少先队的干部，一个是大队长，一个是中队长，一个是小队长.一次数
学测验，这三个人的成绩是：
（1）丙比大队长的成绩好.
（2）甲和中队长的成绩不相同.
（3）中队长比乙的成绩差.
请你根据这三个人的成绩，判断一下，谁是大队长呢？
【分析】根据条件（2）和（3），甲和中队长的成绩不相同，中队长比乙的成绩差.，可以断定，甲不是中队长，乙也不是中队长，只有丙当中队长了.甲和乙两人谁是大队长呢？由（1）和（3），丙比大队长的成绩好，中队长比乙的成绩差，可以推断出按成绩高低排列的话，乙的成绩比中队长（丙）的成绩好，丙的成绩比大队长的成绩好.这样，乙、丙就都不是大队长，那么，大队长肯定是甲.（也可以用列表法进行讲解）
【例5】赵、丁、钱三人中，一位是工人，一位是教师，一位是农民．已知：
(1)赵比教师体重重；
(2)钱和教师体重不同；
(3)赵和农民是朋友．
你能猜出谁是工人，谁是教师，谁是农民吗?
【分析】根据“(1)赵比教师体重重”和……(3)赵和农民是朋友”，可以判断：赵是工人．再根据“(2)钱和教师体重不同”和“赵是工人”，可以判断：钱是农民．最后可以判断：丁是教师．也可以这样想：根据“(1)赵比教师体重重??和……(2)钱和教师体重不同”，可以判断：丁是教师．再根据“(3)赵和农民是朋友”及“丁是教师”，可以判断：赵是工人．最后，同样可以断定出钱是农民．
得出结论：赵是工人，丁是教师，钱是农民．
拓展训练
兰兰、小月、小英和凡凡四人画鸡，每人画1只，有黑公鸡、白公鸡、黑母鸡、白母鸡．又知：(1)兰兰画的鸡正在打鸣，(2)小月与兰兰画的鸡都是黑色的，(3)小英和小月画的鸡都是母鸡．问白公鸡是谁画的?
【答案】根据条件“(1)兰兰画的鸡正在打鸣”，可以知道兰兰画的是公鸡；又根据条件“(2)小月与兰兰画的鸡都是黑色的”可以断定：兰兰画的是黑公鸡，小月画的是黑母鸡；再根据条件“(3)小英和小月画的鸡都是母鸡”可以推想出：小英画的是白母鸡，那么白公鸡应该是凡凡画的．
【例6】 有A 、B 、C 、D 、E 、F 六个人，围坐在圆桌边玩游戏.已知：
（1）C 、E 之间相隔一人；
（2）E 坐在C 的右边(如下图)； （3）D 坐在A 的对面；
（4）B 与F 之间相隔一人坐着A ； （5）E 与F 不相邻；
请问A 、B 、D 、F 各坐在哪一个位置上?
【分析】我们把空缺的地方标上1，2，3，4的序号，这样便于分析.“D 坐在A 的对面”，所以现在D 和A 只能在1和3这两个位置上.又知道“B 与F 之间相隔一人坐着A ”，所以确定A 应该在3的位置，那么D 就应该在1的位置.B 和F 只能在4和2这两个位置上，因为“E 与F 不相邻”所以2就应该是B ，F 在4的位置上.具体的填法如图：
当当猜：“甲喝可乐，乙喝芬达.” 咚咚猜：“乙喝雪碧，丙喝可乐.” 林林猜：“丙喝芬达，乙喝可乐.”
已知每人只猜对了一半，那么甲、乙、丙三位小朋友各喝什么冷饮?
【分析】首先我们可以把当当、咚咚、林林说的话用表格表示出来，这样比较直观的进行分析.
（1） 假设当当猜“甲喝可乐”对，则他说的另一半“乙喝芬达”是错的，那么咚咚猜“乙喝雪碧”是对的，林林猜“丙喝芬达”是对的，得出一组合理的结论.
（2） 假设当当猜“乙喝芬达”对，则咚咚猜“丙喝可乐”是对的，林林猜“乙喝可乐”是对的，与前面当当的结论矛盾.
【例8】 一个岛上住着说谎的和说真话的两种人.说谎的人句句是谎话，说真话的人句句是实话.如果有一天，你去岛上探险，碰到了岛上的三个人：王、李和张，相互交谈中，有这样一段对话： 王说：李和张都说谎. 李说：我没有说谎.
张说：李确实在说谎.
小朋友，你能知道他们三人中，有几个人说谎，有几个人说真话吗?
柯南在调查一起盗窃案，甲、乙两个人有重大嫌疑，但两个人都不肯承认.甲狡猾地说：“我们两人中至少有一个总是在说谎.”柯南听了这句话，思考了一下，马上判断出了谁是盗贼.请问你知道柯南是怎样判断的吗？到底谁是盗贼？
【分析】假设甲的话是真的，即两人中至少有一人总是说谎，那么乙总是在说谎，乙是盗贼，这一结论是合理的.
假设甲总是在说谎，则他的话是假的，即实际上两人都不是骗子，这一结论与假设是矛盾的.所以只可能乙是盗贼.
【附1】三个小姑娘穿着崭新的连衣裙跳舞，她们穿的裙子一个是花的，一个是白色的，一个是红色的．这三个小姑娘分别姓王、李、张，但不知哪一个姓王、姓李、姓张，只知道姓张的不喜欢穿红的，姓王的既没有穿红的也没有穿花的，你能猜出三个小姑娘各姓什么吗?
【答案】根据“姓王的既没有穿红的也没有穿花的，可以判断出穿白色裙子的是姓王的．再根据“姓张的不喜欢穿红色的”，可以判断姓张的穿着花的或白色的裙子，而已知白色的裙子是姓王的，所以穿花裙子的是姓张的．最后剩下的只有红色的裙子，可以断定姓李的穿红色的裙子．
得出结论：姓王的姑娘穿白色裙子，姓李的姑娘穿红色的裙子，姓张的姑娘穿花裙子．
【附2】在二年级的一次数学奥林匹克竞赛中，李凡、王晨、杨灵三个同学，一个是一等奖，一个是二等奖，一个是三等奖．现在知道杨灵的个子比获三等奖的高，李凡的个子与获二等奖的个子不一样高，获二等奖的个子比王晨矮，试判断谁获一等奖．
【分析】由“李凡的个子与获二等奖的个子不一样高，获二等奖的个子比王晨的矮”，可以判断杨灵获二等奖；再由“杨灵的个子比获三等奖的高，获二等奖的个子比王晨矮”，可以判断王晨不是获三等奖的，应该是获一等奖的.
【附3】刘玉、马明、王建三个男孩都有一个妹妹，六个人在一起打球，举行男女混合双打．事先规定，兄妹两人不搭伴．第一盘刘玉和丽丽对王建和小雅，第二盘王建和小花对刘玉和马明的妹妹．问丽丽、小雅和小花各是谁的妹妹?
【分析】由于在两盘对阵中，王建分别和小雅、小花搭伴，可以判断王建的妹妹是丽丽；又因为第二盘中，刘玉和马明的妹妹搭伴，马明的妹妹不可能是丽丽，也不可能是小花（小花在第二盘中已和王建搭伴），那么马明的妹妹只能是小雅；而刘玉的妹妹则是小花.
【附4】甲、乙、丙、丁、戊五个小朋友围坐在一起玩游戏，甲与丙相隔一人，且甲在丙的右边，戊紧挨着甲坐在甲的左边，乙与戊相隔一人，丁与丙不相邻.请你在下图中画出乙、丙、丁、戊的位置.
【分析】根据“甲与丙相隔一人，且甲在丙的右边，戊紧挨着甲坐在甲的左边”，可以画出丙和戊的位置，如图2：
“乙与戊相隔一人”，那么乙应该在甲和丙之间.“丁与丙不相邻”，所以，丁应该在甲和乙之间.这样，五个人的位置如图所示3：
练习十一
1.王阿姨问四个同学的体重．王凯说：“我比刘伟重”．丁林说：“刘伟比我重”．毛毛说：“我比丁林轻3千克”．请你想一想：四个同学体重最重的是谁?最轻的是谁?
【答案】王凯体重最重，毛毛体重最轻.
2.有A、B、C、D四盘苹果，B不是最多，但比A、D多.A没有D多，A、B、C、D四个盘里各有几个苹果?各是哪盘?
3.甲、乙、丙三个同学参加校运动会，他们参赛的项目有长跑、跳远和跳绳.请你根据下面三句话猜一猜，他们分别参加的是什么项目的比赛?
(1)甲说：“我不参加跳绳比赛.”
(2)乙说：“我不参加跳远比赛.”
(3)丙说：“我看见甲、乙分别参加了长跑和跳绳比赛.”
甲参加了( 长跑 )比赛，乙参加了( 跳绳 )比赛，丙参加了( 跳远 )比赛.
4.五个小朋友比年龄，小兰比小刚大，佳佳比小兰小，小元比小丽大，比佳佳小，小丽比小刚大。将他们按年龄从大到小排列起来。
【答案】他们按年龄从大到小排列起来是：小兰、佳佳、小元、小丽、小刚。
5.二年级有三个班举行数学竞赛，分别从三个班中选一名选手小军、小明、小强参加抢答比赛，知道：小军比二(1)班的选手得分高，小明与二(1)班的选手得分同样多，又比二(3)班选手得分低．问小军、小明、小强各是哪班的选手?
【答案】根据“小明与二(1)班的选手得分同样多，又比二(3)班选手得分低”，可以判断出：小明是二(2)班的选手．又根据“小军比二(1)班的选手得分高??和“小明是二2)班的选手”．可以判断出：小军是二(3)班的选手．最后小强肯定是二(1)班的选手．
结果：小军是二(3)班的选手，小明是二(2)班的选手，小强是二(1)班的选手．
6.二(2)班的小童、小林、小超、小奇四人．每人手里拿了一块积木，有红色圆形的、红色方形的、黄色圆形的、黄色方形的．只知道：
(1)小童拿的是圆形的；
(2)小林与小童拿的都是红色的；
(3)小超和小林拿的都是方形的．
问谁拿的积木是黄色圆形的?
【答案】从条件（1）“小童拿的是圆形的”和条件（2）“小林与小童拿的都是红色的”可以判断：小童拿的是红色圆形的积木，小林拿的是红色方形的积木；再从“小超和小林拿的都是方形的”可以推想出，小超拿的是黄色方形的积木；最后黄色圆形的积木肯定是小奇拿的.
慧眼识假
黑猫警长在公安学院的进修学习结业了.今天是结业后的首次值班.警长拿起值班记录，要了解一下前一段时期本地区的发案、办案情况.他刚看了两页．就见野马风风火火地跑进值班室，上气不接下气地说：“警长，不好了，我家出事了.”
“不要慌，坐下，慢慢说.”警长一边说，一边给野马倒了一杯水.
野马喝了口水，说：“我是一个皮鞋厂的业务员，半个月前出差到外地联系业务，今天清晨才返回本市.6时整下火车，7时多到家，进屋一看，发现家中被盗，丢失收录机一台，照相机一部，金戒指一枚，现金2000元.”说着说着，从眼角掉下两滴眼泪来.
“不要难过，政府会帮助你的.入家庭保险了吗?”警长拍着野马的肩膀和气地说.
“入家庭保险了.我相信政府会帮助我.警长．请抓紧破案啊!”
“放心吧，我们会破案的.走，到你家去看看.”
警长让猴侦探值班，自己和野马一起赶往现场.
来到野马家，黑猫警长见地上有衣物，衣橱的门敞着，抽屉(ti)开着.桌上的闹钟滴答滴答地走着，指针指着10时多.床上的被子很整齐，只是褥子被掀起一个角.
“家中还有其他人吗?”警长问.
野马见警长问话，急忙回答：“我是一个单身汉，家里没有其他人.”
警长接着问：“你回家后动过屋里的东西没有?”
野马显出很有经验的样子说：“保护好现场，才有利于破案，这点常识我还是知道的.我进门发现家中被盗，只看了看放贵重物品和现金的抽屉，发现照相机、金戒指和2000元现金没有了.另外，一眼就发现桌子上的收录机不见了.其他物品没有动，就立即锁上门去报案了.”
警长听野马说完，皱起了眉头，严肃地对野马说：“够了，收起你的把戏吧.这是你想骗取保险金而制造的一起假案.马上收拾一下屋子，下午到我的办公室来，要认真地作出检查.”
野马先是惊呆了，而后慢慢地低下了头.
小朋友，你知道黑猫警长是怎样看出来的吗?
(完整版)小学奥数-平均数问题(教师版)(2)
平均数问题 把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。 如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？ 下面的数量关系必须牢记： 平均数=总数量÷总份数 总数量=平均数×总份数 总份数=总数量×平均数 【例1】★有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平均每箱36个，苹果和桃平均每箱37个。一箱苹果多少个？ 【解析】（1）1箱苹果＋1箱梨＋1箱橘子=42×3=136（个）； （2）1箱桃＋1箱梨＋1箱橘子=36×3=108（个） （3）1箱苹果＋1箱桃=37×2=72（个） 由（1）（2）两个等式可知： 1箱苹果比1箱桃多126－108=18（个），再根据等式（3）就可以算出：1箱桃有（74－18）÷2=28（个），1箱苹果有28＋18=46（个）。 1箱苹果和1箱桃共有多少个：37×2=74（个） 1箱苹果比1箱桃多多少个：42×3－36=18（个） 1箱苹果有多少个：28＋18=46（个） 【小试牛刀】一次考试，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二人平均分95分。问：甲、丁各得多少分？ 【解析】甲113 丁77 【例2】★一次数学测验，全班平均分是91.2分，已知女生有21人，平均每人92分；男生平均每人90.5分。求这个班男生有多少人？ 【解析】女生每人比全班平均分高92－91.2=0.8（分），而男生每人比全班平均分低91.2－90.5=0.7（分）。全体女生高出全班平均分0.8×21=16.8（分），应补给每个男生0.7分，16.8里包含有24个0.7，即全班有24个男生。 【小试牛刀】两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳152下。甲组有6人，平均每人跳140下，乙组平均每人跳160下。乙组有多少人？ 【解析】9人 【例3】★五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了。经重新计算，全班的平均成绩是91.7分，五一班有多少名同学？ 【解析】98分比89分多9分。多算9分就能使全班平均每人的成绩上升91.7－91.5=0.2（分）。9里面包含有几个0.2，五一班就有几名同学。 【小试牛刀】五（1）班有40人，期中数学考试，有2名同学去参加体育比赛而缺考，全班平均分
六年级奥数工程问题教师版
工程问题 一：基本类型 工程问题中的某项工程一般不给出具体的数量，首先，在解题时关键要把“一项工程”看作单位“1”，工作效率就用完成单位“1”所需的工作时间的倒数来表示；其次，在解答时要抓住三个基本数量：工作效率、工作时间和工作总量，并结合有关工程问题的三个基本数量关系式来列式解答。 模型一：工作效率（和）×工作时间=工作总量 模型二：工作总量÷工作效率（和）=工作时间 模型三：工作总量÷工作时间=工作效率（和） （一）先合作，后独作 例1、一条公路，甲队独修需24天完成，乙队独修需30天完成。甲、乙两队合修若干天后，乙队停工休息，甲队继续修了6天完成，乙队修了多少天？（A） 例2、修一条公路，甲队单独修20天可以修完，乙队单独修30天可以修完。现两队合修，中途甲队休息2.5天，乙队休息若干天，这样一共14天才修完。乙队休息了几天？（B级）
（二）丙先帮甲，再帮乙 例3、搬运一个仓库的货物，甲需10小时，乙需12小时，丙需15小时。有同样的仓库A和B，甲在A仓库，乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又去帮助乙搬运，最后同时搬完两个仓库的货物。丙帮助甲搬运了几小时？（B级） （三）甲乙合作，中途有人休息 例4、一项工程，如果单独做，甲需10天完成，乙需15天完成，丙需20天完成。现在三人合作，中途甲先休息1天，乙再休息3天，而丙一直工作到完工为止。这样一共用了几天时间？（B级）
（四）独做化合做 例5、甲乙合做一项工程，24天完成。如果甲队做6天，乙队做4天，只能完成工程的1/5，两队单独做完成任务各需多少天？（B级） （五）合做变独做 例6、一项工程，甲先独做2天，然后与乙合做7天，这样才完成全工程的一半。已知甲、乙工作效率的比是2：3。如果由乙单独做，需要多少天才能完成？（B）
(小学奥数)1-3-5 换元法.教师版
对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．” 三、换元思想 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 【例 1】计算： 1111111111 (1)()(1)() 2424624624 ++?++-+++?+ 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算 【解析】令 111 1 246 a +++=， 111 246 b ++=，则： 原式 11 ()() 66 a b a b =-?-?- 11 66 ab b ab a =--+ 1 () 6 a b =- 11 1 66 =?= 【答案】1 6 【巩固】 11111111111111 (1)()(1)() 23423452345234 +++?+++-++++?++ 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算 【解析】设 111 234 a=++，则原式化简为： 111 1(1 555 a a a a + (+)(+)-+)= 【答案】1 5 【巩固】计算： 621739458739458378621739458378739458 126358947358947207126358947207358947????????++?++-+++?+ ? ? ? ????????? 【考点】换元法【难度】2星【题型】计算 【解析】令621739458 126358947 a ++=； 739458 358947 b +=， 原式 378378 207207 a b a b ???? =?+-+? ? ? ???? ()3786213789 207126207 a b =-?=?=例题精讲 教学目标 换元法
六年级奥数一至十讲教师版
小学六年级奥数教案—01比较分数的大小 同学们从一开始接触数学，就有比较数的大小问题。比较整数、小数的大小的方法比较简单，而比较分数的大小就不那么简单了，因此也就产生了多种多样的方法。 对于两个不同的分数，有分母相同，分子相同以及分子、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别大小的方法是： 分母相同的两个分数，分子大的那个分数比较大； 分子相同的两个分数，分母大的那个分数比较小。 第三种情况，即分子、分母都不同的两个分数，通常是采用通分的方法，使它们的分母相同，化为第一种情况，再比较大小。 由于要比较的分数千差万别，所以通分的方法不一定是最简捷的。下面我们介绍另外几种方法。 1.“通分子”。 当两个已知分数的分母的最小公倍数比较大，而分子的最小公倍数比较小时，可以把它们化成同分子的分数，再比较大小，这种方法比通分的方法简便。 如果我们把课本里的通分称为“通分母”，那么这里讲的方法可以称为“通分子”。 2.化为小数。 这种方法对任意的分数都适用，因此也叫万能方法。但在比较大小时是否简便，就要看具体情况了。 3.先约分，后比较。 有时已知分数不是最简分数，可以先约分。 4.根据倒数比较大小。 5.若两个真分数的分母与分子的差相等、则分母（子）大的分数较大；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分母（子）小的分数较大。也就是说，
6.借助第三个数进行比较。有以下几种情况： （1）对于分数m和n，若m＞k，k＞n，则m＞n。 （2）对于分数m和n，若m-k＞n-k，则m＞n。 前一个差比较小，所以m＜n。 （3）对于分数m和n，若k-m＜k-n，则m＞n。 注意，（2）与（3）的差别在于，（2）中借助的数k小于原来的两个分数m和n；（3）中借助的数k大于原来的两个分数m和n。 （4）把两个已知分数的分母、分子分别相加，得到一个新分数。新分数一定介于两个已知分数之间，即比其中一个分数大，比另一个分数小。 利用这一点，当两个已知分数不容易比较大小，新分数与其中一个已知分数容易比较大小时，就可以借助于这个新分数。
小学奥数-鸡兔同笼问题(教师版)
鸡兔同笼问题 在我国古代的数学著作《孙子算经》中，记载着流传甚广的数字歌谣：鸡兔同笼不知数，三十五头笼中露。数清脚共九十四双，各有多少鸡和兔。翻译成现代数学语言为：今有鸡兔共居一笼，已知鸡头与兔头共有35个，鸡脚与兔脚一共有94只。问鸡和兔一共有多少只？ 这就是我们通常说的“鸡兔同笼”问题。这一古老的数学问题在现实生活中普遍存在，解法多种多 样，但一般采用假设法。 【例1】★今有鸡、兔共居一笼，已知鸡头和兔头共35个，鸡脚与兔脚共94只。问鸡、兔各有多 少只？ 【解析】鸡兔同笼问题往往用假设法来解答，即假设全是鸡或全是兔，脚的总数必然与条件矛盾，根据数量上出现的矛盾适当调整，从而找到正确答案。 假设全是鸡，那么相应的脚的总数应是2×35=70只，与实际相比，减少了94－70=24只。减 少的原因是把一只兔当作一只鸡时，要减少4－2=2只脚。所以兔有24÷2=12只，鸡有35－12=23只。 【小试牛刀】小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？ 【解析】假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情 况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换 同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个 2，就可以求出兔的只数。有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有鸡16-6＝10（只）。 【例2】★面值是2元、5元的人民币共27张，全计99元。面值是2元、5元的人民币各有多少张？ 【解析】这道题类似于“鸡兔同笼”问题。假设全是面值2元的人民币，那么27张人民币是 2×27=54元，与实际相比减少了99－54=45元，减少的原因是每把一张面值2元的人民币当作一 张面5元的人民币，要减少5－2=3元，所以，面值是5元的人民币有45÷3=15张，面值2元的人民币有27－15=12张。 【小试牛刀】小白有2分、5分硬币共40枚，一共是1元7角。两种硬币各有多少枚？ 【解析】2分10枚，5分30枚 【例3】★一批水泥，用小车装载，要用45辆；用大车装载，只要36辆。每辆大车比小车多装4吨，这批水泥有多少吨？ 【解析】求出大车每辆各装多少吨，是解题关键。如果用36辆小车来运，则剩4×36=144吨，需 45－36=9辆小车来运，这样可以求出每辆小车的装载量是144÷9=16吨，所以，这批水泥共有 16×45=720吨。 【小试牛刀】一批货物用大卡车装要16辆，如果用小卡车装要48辆。已知大卡车比小卡车每辆多装4吨，问这批货物有多少吨？ 【解析】96吨
六年级奥数-等积变形(教师版)
第三讲 等积变形 1.等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等； ②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如图12::S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形，如图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ． ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； ⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 2.鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，
则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ 3.蝶形定理 任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)： ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系． 梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)： ①2213::S S a b = ②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2 a b +． 4.相似模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 S 4 S 3 S 2 S 1O D C B A
小学奥数教师版合辑-1-23通项归纳
【例 1】 12481632641282565121024++++++++++=________ 。 【考点】通项归纳 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】走美杯，初赛，六年级 【解析】 方法一：令12481024a =+++++，则22481610242048a =++++++，两式相减，得 204812047a =-=。 方法二：找规律计算得到102421=2047?- 【答案】2047 【例 2】 在一列数：135********，，，，，中，从哪一个数开始，1与每个数之差都小于1 1000 ？ 【考点】通项归纳 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】华杯赛，初赛 【解析】 这列数的特点是每个数的分母比分子大2，分子为奇数列，要1－2121n n -+＜1 1000 ，解出n ＞999.5， 从n ＝1000开始，即从 1999 2001 开始，满足条件 【答案】1999 2001 【例 3】 计算：111 112123122007 + ++? +++++? 【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 先找通项公式1211 2()12(1)1n a n n n n n ===-++?++ 原式111 12(21)3(31)2007(20071) 222 =++++?+?+?+ 222212233420072008=++++ ???? 200722008=? 2007 1004= 【答案】2007 1004 【巩固】 1111 33535735721 ++++ +++++++ 【考点】通项归纳 【难度】3星 【题型】计算 【解析】 先找通项：()() ()111 1352122132 n a n n n n n ===+++++?++? 原式111111 132435469111012 =++++++ ?????? 1 111111335 91124461012????=+++++++ ? ??????????? 11111121112212????=?-+?- ? ????? 175 264 = 例题精讲 通项归纳
六年级奥数分数百分数应用题教师版定稿版
六年级奥数分数百分数 应用题教师版精编 W O R D版 IBM system office room 【A0816H-A0912AAAHH-GX8Q8-GNTHHJ8】
第六讲：分数百分数应用题 教学目标 1.分析题目确定单位“1” 2.准确找到量所对应的率，利用量÷对应率＝单位“1”解题 3.抓住不变量，统一单位“1” BJ03-Y0355 知识点拨： 一、知识点概述 分数应用题是研究数量之间份数关系的典型应用题，一方面它是在整数应用题上的延续和深化，另一方面，它有其自身的特点和解题规律．在解这类问题时，分析中数量之间的关系，准确找出“量”与“率”之间的对应是解题的关键． 关键：分数应用题经常要涉及到两个或两个以上的量，我们往往把其中的一个量看作是标准量．也称为：单位“1”，进行对比分析。在几个量中，关键也是要找准单位“1”和对应的百分率，以及对应量三者的关系 例如：（1）a是b的几分之几，就把数b看作单位“1”． （2）甲比乙多1 8 ，乙比甲少几分之几？ 方法一：可设乙为单位“1”，则甲为 19 1 88 +=，因此乙比甲少 191 889 ÷=.
方法二：可设乙为8份，则甲为9份，因此乙比甲少 1 19 9÷=. 二、怎样找准分数应用题中单位“1” （一）、部分数和总数 在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则作为标准量，那么总数就是单位“1”。 例如： 我国人口约占世界人口的几分之几？——世界人口是总数，我国人口是部分数，世界人口就是单位“1”。 解答题关键：只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。 （二）、两种数量比较 分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。有的是“比”字句，有的则没有“比”字，而是带有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“1”。 例如：六（2）班男生比女生多——就是以女生人数为标准（单位“1”）， 解题关键：在另外一种没有比字的两种量相比的时候，我们通常找到分率，看“占”谁的，“相当于”谁的，“是”谁的几分之几。这个“占”，“相当于”，“是”后面的数量——谁就是单位“！”。 （三）、原数量与现数量
六年级奥数试题-排列组合(教师版)
第十九讲排列组合 一、排列问题 在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关． 一般地，从n个不同的元素中取出m(m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列． 根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列． 排列的基本问题是计算排列的总个数． 从n个不同的元素中取出m(m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素 P． 的排列中取出m个元素的排列数，我们把它记做m n 根据排列的定义，做一个m元素的排列由m个步骤完成： 步骤1：从n个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n种方法； 步骤2：从剩下的(1 n-)种方法； n-)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1
…… 步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有 11n m n m --=-+（）(种)方法； 由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是 121n n n n m ?-?-??-+L （）（）（） ，即121m n P n n n n m =---+L （）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘． 二、排列数 一般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =?-?-????L （ ）（）． 表示从n 个不同元素中取n 个元素排成一列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式子右边是从n 开始，后面每一个因数比前一个因数小1，一直乘到1的乘积，记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =?-?-????L L （）（） ． 在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的方法数量，可以将这些物体当作一个整体捆绑在一起进行计算． 三、组合问题 日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题． 一般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成一组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合． 从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，而组合与顺序无关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合． 从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取 出m 个不同元素的组合数．记作m n C ． 一般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步： 第一步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成一组，共有m n C 种方法； 第二步：将每一个组合中的m 个元素进行全排列，共有m m P 种排法． 根据乘法原理，得到m m m n n m P C P =?．
小学奥数教师版-1-3-1 定义新运算
定义新运算 教学目标 定义新运算这类题目是在考验我们的适应能力，我们大家都习惯四则运算，定义新运算就打破了运算规则，要求我们要严格按照题目的规定做题．新定义的运算符号，常见的如△、◎、※等等，这些特殊的运算符号，表示特定的意义，是人为设定的．解答这类题目的关键是理解新定义，严格按照新定义的式子代入数值，把定义的新运算转化成我们所熟悉的四则运算。 知识点拨 一定义新运算 基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项：①新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。 我们学过的常用运算有：＋、－、×、÷等. 如：2＋3＝52×3＝6 都是2和3，为什么运算结果不同呢？主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“＋”，“－”，“×”，“÷”运算不相同.二定义新运算分类 1.直接运算型 2.反解未知数型 3.观察规律型 4.其他类型综合 例题精讲 模块一、直接运算型 【例1】若*A B 表示()()3A B A B +?+，求5*7的值。 【考点】定义新运算之直接运算【难度】2星【题型】计算 【解析】A *B 是这样结果这样计算出来：先计算A ＋3B 的结果，再计算A ＋B 的结果，最后两个结果求乘 积。 由A *B ＝（A ＋3B ）×（A ＋B ）
六年级奥数 分数百分数应用题教师版
一、解答题（共25小题，满分0分） 1．（2011?成都）甲、乙两种商品，成本共2200元，甲商品按20%的利润定价，乙商品按15%的利润定价，后来都按定价的90%打折出售，结果仍获利131元，甲商品的成本是多少元？ 2．（2006?泉山区校级自主招生）100千克刚采下的鲜蘑菇含水量为99%，稍微晾晒后，含水量下降到98%，这100千克的蘑菇现在还有千克． 3．有两桶水：一桶8升，一桶13升，往两个桶中加进同样多的水后，两桶中水量之比是5：7，那麽往每个桶中加进去的水量是多少升？ 4．（2012?哈尔滨校级自主招生）有甲、乙两堆煤，如果从甲堆运12吨给乙堆，那么两堆煤就一样重．如果从乙堆运12吨给甲堆，那么甲堆煤就是乙堆煤的2倍．这两堆煤共重多少吨？
5．一堆围棋子黑白两种颜色，拿走15枚白棋子后，黑子与白子的个数之比为2：1；再拿走45枚黑棋子后，黑子与白子的个数比为1：5，求开始时黑棋子、白棋子各有多少枚？ 6．某班有学生48人，女生占全班的%，后来又转来女生若干人，这时人数恰好是占全班人数的40%，问转来几名女生？ 7．（2010?北京校级自主招生）把一个正方形的一边减少20%，另一边增加2米，得到一个长方形．它与原来的正方形面积相等．问正方形的面积是多少？ 8．学校男生人数占45%，会游泳的学生占54%．男生中会游泳的占72%，问在全体学生中不会游泳的女生占百分之几？
9．某校四年级原有2个班，现在要重新编为3个班，将原一班的与原二班的组成新一班，将原一班的与原二班的组成新二班，余下的30人组成新三班．如果新一班的人数比新二班的人数多10%，那么原一班有多少人？ 10.（2012?中山校级模拟）一个长方形长与宽的比是14：5，如果长减少13厘米，宽增加13厘米，则面积增加182平方厘米，那么原长方形面积是多少平方厘米？ 11．有正方形和长方形两种不同的纸板，正方形纸板总数与长方形纸板总数之比为2：5．现在将这些纸板全部用来拼成横式和竖式两种无盖纸盒，其中竖式盒由一块正方形纸板做底面，四块长方形纸板做侧面（图1），横式盒由一块长方形纸板做底面，两块长方形和两块正方形纸板做侧面（图2），那么做成的竖式纸盒与横式纸盒个数之比是多少？
(完整版)小学奥数-整数计算综合(教师版)
整数计算综合 1. 加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变. 2. 加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者，先把后两个 数相加，再与第一个数相加，它们的和不变. 3. 乘法交换律：两个数相乘，交换两个数的位置，其积不变，即a b b a ?=?,其中a ，b 为任意数. 4. 乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘后，再与后一个数相乘，或先把后两个数 相乘后，再与前一个数相乘，积不变，即()()a b c a b c a b c ??=??=?? . 解题时需要注意的几点： 1. 要认真观察算式中数的特点，算式中运算符号的特点。 2. 掌握基本的运算定律：乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。 3. 掌握速算与巧算的方法：如等差数列求知、凑整、拆数等等。 【例1】★19199199919999199999++++ 【解析】原式()()()() =(201)+2001+20001+200001+2000001 ----- =20+200+2000+20000+2000005 =2222205 =222215 -- 【小试牛刀】898998999899998999998+++++= 【解析】1111098 【例2】★10099989796321+-+-++-+L 【解析】暂不看头尾两个数，就会发现中间都是先加后减，并且加数与减数相差1，所以就算这题可以先把中间部分分组凑成若干个1，再与其余部分进行计算。 原式100(9998)(9796)(32)1=+-+-++-+L 100491=++ 150= 【小试牛刀】989796959493929190894321+--++--++---++L 【解析】99 【例3】★1111111111? 【解析】1111111111123454321?=
六年级的的奥数.数论综合.教师版.docx
数论综合（二） 教学目标： 1、掌握质数合数、完全平方数、位值原理、进制问题的常见题型； 2、重点理解和掌握余数部分的相关问题，理解“将不熟悉转化成熟悉”的数学思想 例题精讲： 板块一质数合数 【例 1 】有三张卡片，它们上面各写着数字1， 2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来，可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来． 【解析】抽一张卡片，可写出一位数1， 2，3；抽两张卡片，可写出两位数12， 13，21， 23， 31， 32；抽三张卡片，可写出三位数123， 132， 213， 231， 312， 321，其中三位数的数字和均为6，都能被 3 整除，所以都是合数．这些数中，是质数的有：2，3， 13，23， 31． 【例 2 】三个质数的乘积恰好等于它们和的11 倍，求这三个质数． 【解析】设这三个质数分别是 a 、b、 c ，满足 abc11( a b c) ，则可知 a 、b、 c 中必有一个为11，不妨记为 a ，那么bc11b c ，整理得( b 1)( c1)12，又 12 112 2 6 3 4 ，对应的 b 2 、 c 13或 b 3 、 c7 或 b 4 、 c 5 (舍去)，所以这三个质数可能是2， 11，13或 3，7， 11． 【例 3 】用 1，2， 3， 4，5，6，7，8，9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那么这 9 个数字最多能组成多少个质数 【解析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有2、3、5、7 均为一位质数，这样还剩下1、4、6、 8、 9 这 5 个不是质数的数字未用．有1、4、 8、 9 可以组成质数 41、 89，而 6 可以与 7 组合成质数 67．所以这 9 个数字最多可以组成 6 个质数． 【例 4 】有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数．求这两个整数分别是多少 【解析】两位数中，数字相同的两位数有11、22、 33、 44、 55、 66、77、88、99 共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如33 1 32 2 31330 L L16 17 ，共有16种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了．可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、 222、 333、 444、555、 666、 777、 888、999，每个数都是 111 的倍数，而11137 3 ，因此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两 位数相乘时，必有一个因数是37 或 37的倍数，但只能是37 的 2 倍 ( 想想为什么 )3 倍就不是两位数了． 把九个三位数分解： 111373、22237674 3、333379 、 444371274 6 、555 37 15 、 6663718749、 7773721、 88837247412、 9993727． 把两个因数相加，只有( 74 3 )77 和( 3718)55 的两位数字相同．所以满足题意的答案是74和3， 37 和 18． 板块二余数问题 【例 5 】 (年全国小学数学奥林匹克试题) 有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、2003 商与余数之和为 2113，则被除数是多少 【解析】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的17 倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=(2083-13)÷(17+1)=115 ，所以被除数 =2083-115=1968 ． 【例 6 】已知 2008 被一些自然数去除，所得的余数都是10，那么这样的自然数共有多少个 【解析】本题为一道余数与约数个数计算公式的小综合性题目．由题意所求的自然数一定是2008-10 即 1998的约数，同时还要满足大于10 这个条件．这样题目就转化为1998 有多少个大于 10的约数，1998 2 33 37 ，共有(1+1)×(3+1)×(1+1)=16个约数，其中1，2， 3， 6，9 是比 10小的约数，所以符合题目条件的自然数共有11 个． 【例 7 】有一个整数，除39， 51， 147 所得的余数都是3，求这个数．
小学奥数 换元法.教师版
对于六年级的同学来说，分数乘法算式的一些计算技巧必须开始掌握．这既与基础课程进度结合，更是小学奥数经典内容．裂项、换元与通项归纳这三项内容，通称“分数计算之三大绝招”．考察近年来的小升初计算部分，分数计算成为热点．可以这么说：“一道非常难的分数运算，要么是裂项，要么是换元，要么是通项归纳．如果都不是，那它一定是比较简单的分数小数混合运算．” 三、换元思想 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 【例 1】 计算：1111111111(1)()(1)()2424624624 + +?++-+++?+ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 令1111246a + ++=，111 246 b ++=，则： 原式11()()6 6 a b a b =-?-?- 1166 ab b ab a =--+ 1()6a b =-11166 =?= 【答案】16 例题精讲 教学目标 换元法
【巩固】 11111111111111 (1)()(1)()23423452345234 + ++?+++-++++?++ 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设111234a = ++，则原式化简为：111 1(1555 a a a a +(+)(+)-+)= 【答案】15 【巩固】 计算：621739458739458378621739458378739458126358947358947207126358947207358947???????? ++?++-+++?+ ? ? ? ????????? 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 令 621739458126358947a ++=；739458 358947 b +=， 原式378378207207a b a b ????=?+-+? ? ? ? ???()3786213789207126207a b =-?=?= 【答案】9 【巩固】 计算：(0.10.210.3210.4321+++)?(0.210.3210.43210.54321+++)- (0.10.210.3210.43210.54321++++)?(0.210.3210.4321++) 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【解析】 设0.210.3210.4321x =++，0.210.3210.43210.54321y =+++， 原式=(0.1x +)y ?-(0.1y +)0.1x ?=?(y x -)0.054321= 【答案】0.054321 【巩固】 计算下面的算式 (7.88 6.77 5.66++)?(9.3110.9810++)-(7.88 6.77 5.6610+++)?(9.3110.98+) 【考点】换元法 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】希望杯，2试 【解析】 换元的思想即“打包”，令7.88 6.77 5.66a =++，9.3110.98b =+，则原式 a =?(10 b +)-(10a +)b ?=(10ab a +)-(10ab b +)101010ab a ab b =+--=?(a b -) 10=?(7.88 6.77 5.669.3110.98++--)100.020.2=?= 【答案】0.2
(完整版)小学奥数-比和比例(教师版)
比和比例 【例1】★已知3 :（x -1）=7:9，求x . 【解析】7 64=x 【小试牛刀】某班的男、女生之比为3:2，又来了4名女生后，全班共有44人。求现在的男、女生人数之比。 【解析】原有40人，男生有40×3÷5=24人，女生40-24=16人， 现在男女人数之比24:20=6:5 【例2】★甲、乙两个长方形，它们的周长相等。甲的长与宽之比是3:2，乙的长与宽之比是7:3，那么甲与乙的面积之比是多少？ 【解析】长+宽相等。甲的长:宽=6:4，乙的长:宽=7:3. 所以甲乙的面积比为(64):(73)8:7??= 【例3】★★两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶中酒精与水的体积之比是3:1，而另一个瓶中酒精与水的体积之比是4:1，若把两瓶酒精溶液混合，则混合后的酒精和水的体积之比是多少？ 【解析】两个瓶子体积相同。第一个瓶子酒精:水=3:1=15:5，第二个瓶子酒精:水=4:1=16:4，于是混合后酒精:水=(15+16):(5+4)=31:9 【小试牛刀】水果店运来的西瓜个数与白兰瓜个数的比为7:5.如果每天卖白兰瓜40个，西瓜50个，若干天后卖完白兰瓜时，西瓜还剩36个。问:水果店运来的西瓜有多少个？ 【解析】卖的瓜的总数比为西瓜:白兰瓜=5:4=25:20,原有西瓜:白兰瓜=7:5=28:20,西瓜剩3份36个,每份12个，所以原有西瓜28×12=336个。 【例4】★★商店购进甲乙两种不同糖果，所用费用之比为2:1，甲种糖果每千克6元，乙种每千克2元。如果把这两种糖果混在一起成为什锦糖，那么，这种什锦糖每千克多少元？ 【解析】费用比2:1，单价比3:1，重量比21 2331=：：，平均价格为6223 3.623 ?+?=+(元/千克) 【例5】★★甲乙二人共加工零件400个，甲加工一个零件用9分钟，乙加工一个零件用15分钟。完成任务时，甲比乙多加工多少个零件？ 【解析】工效之比15:9=5:3，甲比乙多加工5340010053-?=+（个） 【小试牛刀】甲乙走完同一段路分别用40分和30分，甲先走5分后乙再追，乙几分钟才能追上甲? 【解析】甲乙速度之比3:4，设乙x 分追上甲，则甲用(5+x )分，3(5+x )=4x ，x =15 【例6】★★甲走的路比乙多31，乙用的时间却比甲多4 1，则甲乙两人的速度比是多少? 【解析】甲乙路程之比是4:3，甲乙时间之比是4:5，所以甲乙速度之比是5:3 【例7】★★从A 地到B 地，甲、乙两人骑自行车行完全程所用的时间的比是4:5，如果甲、乙两人同时分别从A 、B 两地相对骑出，40分钟相遇。相遇后继续前进，乙到达A 地比甲到达B 地晚多少分钟？
六年级奥数第七讲1行程问题一教师版
第七讲行程问题（一） 知识点拨： 发车问题 （1）、一般间隔发车问题。用3个公式迅速作答； 汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔 汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔 汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔 （2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。 标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。 （3）当出现多次相遇和追及问题——柳卡 火车过桥 火车过桥问题常用方法 ⑴火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和. ⑵火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和. ⑶火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度. 对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行. 接送问题 根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型： （1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见） （2）车速不变-班速不变-班数多个 （3）车速不变-班速变-班数2个
标准解法：画图＋列3个式子 1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间； 2、班车走的总路程； 3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。 时钟问题： 时钟问题可以看做是一个特殊的圆形轨道上2人追及问题，不过这里的两个“人”分别是时钟的分 针和时针。 时钟问题有别于其他行程问题是因为它的速度和总路程的度量方式不再是常规的米每秒或者千米每小时，而是2个指针“每分钟走多少角度”或者“每分钟走多少小格”。 流水行船问题中的相遇与追及 ①两只船在河流中相遇问题，当甲、乙两船（甲在上游、乙在下游）在江河里相向开出： 甲船顺水速度+乙船逆水速度=（甲船速+水速）＋（乙船速-水速）=甲船船速+乙船船速 ②同样道理，如果两只船，同向运动，一只船追上另一只船所用的时间，与水速无关. 甲船顺水速度-乙船顺水速度=（甲船速+水速）-（乙船速+水速）=甲船速-乙船速 也有：甲船逆水速度-乙船逆水速度=（甲船速-水速）-（乙船速-水速）=甲船速-乙船速. 说明：两船在水中的相遇与追及问题同静水中的及两车在陆地上的相遇与追及问题一样，与水速没有关系. 例题精讲： 模块一发车问题 【例 1】某停车场有10辆出租汽车，第一辆出租汽车出发后，每隔4分钟，有一辆出租汽车开出.在第一辆出租汽车开出2分钟后，有一辆出租汽车进场.以后每隔6分钟有一辆出租汽车回场.回场的出 租汽车，在原有的10辆出租汽车之后又依次每隔4分钟开出一辆，问：从第一辆出租汽车开出后，经过多少时间，停车场就没有出租汽车了？ 【例 2】某人沿着电车道旁的便道以每小时4.5千米的速度步行，每7.2分钟有一辆电车迎面开过，每12分钟有一辆电车从后面追过，如果电车按相等的时间间隔以同一速度不停地往返运行．问：电车的 速度是多少？电车之间的时间间隔是多少？
小学奥数浓度问题教师版
溶液浓度问题 浓度问题的内容与我们实际的生活联系很紧密，就知识点而言它包括小学所学2个重点知识：百分数，比例。 一、浓度问题中的基本量 溶质：通常为盐水中的“盐”，糖水中的“糖”，酒精溶液中的“酒精”等 溶剂：一般为水，部分题目中也会出现煤油等 溶液：溶质和溶液的混合液体。 浓度：溶质质量与溶液质量的比值。 二、几个基本量之间的运算关系 1、溶液=溶质+溶剂 2、=100%=100%+??溶质溶质浓度溶液溶质溶液 三、解浓度问题的一般方法 1、寻找溶液配比前后的不变量，依靠不变量建立等量关系列方程 2、十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度) 形象表达：A B =甲溶液质量 乙溶液质量B A =甲溶液与混合溶液的浓度差混合溶液与乙溶液的浓度差 注：十字交叉法在浓度问题中的运用也称之为浓度三角，浓度三角与十字交叉法实质上是相同的．浓度三角的表示方法如下： ::乙溶液质量甲溶液质量z-y x-z y %浓度x 混合浓度z% 3、列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法． 1、“稀释”问题：把浓度高的溶液经过添加溶剂变为浓度低的溶液的过程称为稀释。特点是加“溶剂”，解题关键是找到始终不变的量（溶质）。 例1、典型例题2 练习1、要把30克含盐16%的盐水稀释成含盐0.15%的盐水，须加水多少克？ 练习2、治棉铃虫须配制0.05%的“1059”溶液，问在599千克水中，应加入30%的“1059”溶液多少千克？ 练习3、用含氨0.15%的氨水进行油菜追肥，现在含氨16%的氨水30千克，配置时需加水多少千克？
2、“浓缩”问题：把浓度低的溶液经过减少溶剂变为浓度高的溶液的过程称为浓缩。特点是减少溶剂，解题关键是找到始终不变的量（溶质）。 例2、在含盐0.5%的盐水中蒸去了236千克水，就变成了含盐30%的盐水，问原来的盐水是多少千克？ 练习4、要从含盐12.5%的盐水40千克中蒸去多少水分才能制出含盐20%的盐水？ 3、“加浓”问题：把浓度低的溶液经过增加溶质变为浓度高的溶液的过程称为加浓。特点是增加溶质，解题关键是找到始终不变的量（溶剂）。 例3、有含盐8%的盐水40千克，要配制成含盐20%的盐水，须加盐多少千克？ 例4、典型例题3 练习5、有浓度为7%的盐水600克，要使盐水的浓度加大到10%，需要加盐多少克？ 解：变化前溶剂的重量为600×（1-7%）＝558（克）， 变化后溶液的重量为588÷（1-10%）＝620（克）， 于是，需加盐620-600＝20（克）， 答：需加盐20克。 4、配制问题：是指两种或两种以上的不同浓度的溶液混合配制成新溶液（成品），解题关键是分析所取原溶液的溶质与成品溶质不变及溶液前后质量不变，找到两个等量关系。 例5、典型例题1 练习6、有甲、乙两个瓶子，甲瓶里装了200ml清水，乙瓶里装了200ml纯酒精，第一次把20ml 纯酒精由乙瓶倒入甲瓶，第二次把甲瓶中20ml溶液倒回乙瓶，此时甲瓶里含酒精多，还是乙瓶里含水多？ 5、混合问题：是指两种或两种以上的不同浓度的溶液混合配制成新溶液（成品），解题关键是分析所取原溶液的溶质与成品溶质不变及溶液前后质量不变，找到两个等量关系。 例6、把含盐5%的食盐水与含盐8%的食盐水混合制成含盐6%的食盐水600克，分别应取两种食盐水各多少千克? 例7、在浓度为50％的硫酸溶液100千克中，再加入多少千克浓度为5％的硫酸溶液，就可以配制成浓度为25％的硫酸溶液？