1菱形的性质与判定

基础闯关全练

拓展训练

1.(2019湖南益阳中考)下列性质中菱形不一定具有的性质是()

A.对角线互相平分

B.对角线互相垂直

C.对角线相等

D.既是轴对称图形又是中心对称图形

2.(2019山东聊城中考)如图,△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,要判定四边形DBFE是菱形,还需要添加的条件是()

A.AB=AC

B.AD=BD

C.BE⊥AC

D.BE平分∠ABC

3.如图,在菱形ABCD中,E是AB边上一点,且∠A=∠EDF=60°,有下列结论:①AE=BF;②△DEF是等边三角形;③△BEF是等腰三角形;④∠ADE=∠BEF,其中正确结论的个数是()

A.3

B.4

C.1

D.2

4.(2019青海中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,且AC=8,BD=6,则菱形ABCD的高DH=.

5.(2019江苏淮安中考)已知,如图,在菱形ABCD中,点E、F分别为边CD、AD的中点,连接AE、CF,求证:△ADE≌△CDF.

能力提升全练

拓展训练

1.3个全等的菱形按如图所示的方式拼合在一起,恰好得到一个边长相等的六边形,则菱形较长的对角线与较短的对角线长度的比值是()

A.√15

B.√10

C.2√3

D.√3

2.如图,O是菱形ABCD的对角线AC、BD的交点,E、F分别是OA、OC的中点.下列结论:①S△ADE=S△EOD;②四边形BFDE是菱形;③菱形ABCD的面积为EF·BD;④∠ADE=∠EDO;⑤△DEF是轴对称图形.其中正确的结论有()

A.5个

B.4个

C.3个

D.2个

3.(2019山东滨州中考节选)如图,在?ABCD中,以点A为圆心,AB长为半径画弧交AD于点F,再分别以点B、F为圆心,大于1

BF的长为半径画弧,两弧交于一点P,连接AP并延长交BC于点

E,连接EF,则所得四边形ABEF是菱形.根据以上尺规作图的过程,求证:四边形ABEF是菱形.

4.如图,四边形ABCD中,AB∥CD,AB≠CD,BD=AC.

(1)求证:AD=BC;

(2)若E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD的中点.求证:线段EF与线段GH互相垂直平分.

三年模拟全练

拓展训练

1.(2019山西太原期中,4,★☆☆)菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是()

A.对边平行

B.对角相等

C.对角线互相平分

D.对角线互相垂直

2.(2019河南郑州经纬中学第一次月考,4,★★☆)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于O点,E,F 分别是AB,BC边的中点,连接EF,若EF=√3,BD=4,则菱形ABCD的周长为()

A.4

B.4√6

C.4√7

D.28

3.(2019江苏泰州泰兴黄桥东期中,5,★★☆)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图:第一步,分别以点A、D为圆心,以大于AD的一半长为半径在AD两侧作弧,交于两点M、N;第二步,连接MN,分别交AB、AC于点E、F;第三步,连接DE、DF,则可以得到四边形AEDF的形状()

A.仅仅是平行四边形

B.是矩形

C.是菱形

D.无法判断

4.(2019山西百校联考一模,10,★☆☆)如图,在菱形ABCD中,AB=4cm,∠ADC=120°,点E,F同时由A,C两点出发,分别沿AB,CB方向向点B匀速移动(到点B为止),点E的速度为1cm/s,点F 的速度为2cm/s,经过t秒△DEF为等边三角形,则t的值为()

A.1

B.1

3C.1

D.4

5.(2019河南郑州二中期中,13,★★☆)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,OE⊥BC,垂足为点E,则OE=.

6.(2019河南平顶山期末,14,★★☆)如图,将两张等宽的长方形纸条交叉叠放,重叠部分是一个四边形ABCD,若AD=4cm,∠ABC=30°,则长方形纸条的宽度是cm.

7.(2019江苏扬州邗江一模,24,★☆☆)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连接CF.(8分)

(1)求证:四边形BCFE是菱形;

(2)若CE=6,∠BEF=120°,求菱形BCFE的面积.

五年中考全练

拓展训练

1.(2019四川雅安中考,9,★★☆)如图,四边形ABCD的四边相等,且面积为120cm2,对角线AC=24 cm,则四边形ABCD的周长为()

A.52cm

B.40cm

C.39cm

D.26cm

2.(2019河南中考,8,★★☆)如图,已知菱形OABC的顶点O(0,0),B(2,2),若菱形绕点O逆时针旋转,每秒旋转45°,则第60秒时,菱形的对角线交点D'的坐标为()

A.(1,-1)

B.(-1,-1)

C.(√2,0)

D.(0,-√2)

3.(2019山东青岛中考,21,★★☆)已知:如图,在?ABCD中,E,F分别是边AD,BC上的点,且AE=CF,直线EF分别交BA的延长线、DC的延长线于点G、H,交BD于点O.(8分)

(1)求证:△ABE≌△CDF;

(2)连接DG,若DG=BG,则四边形BEDF是什么特殊四边形?请说明理由.

核心素养全练

拓展训练

1.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=5√3,∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(t>0).过点D作DF⊥BC于点F,连接DE、EF.

(1)求证:AE=DF;

(2)四边形AEFD能够成为菱形吗?如果能,求出相应的t值;如果不能,请说明理由;

(3)当t为何值时,△DEF为直角三角形?请说明理由.

2.邻边不相等的平行四边形纸片剪去一个菱形,余下一个四边形,称为第一次操作;在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形,又余下一个四边形,称为第二次操作;……依此类推,若第n次操作余下的四边形是菱形,则称原平行四边形为n阶准菱形,如图a,?ABCD中,若AB=1,BC=2,则?ABCD为1阶准菱形.

(1)判断与推理:

①邻边长分别为2和3的平行四边形是阶准菱形;

②小明为了剪去一个菱形,进行如下操作:如图b,把?ABCD沿BE折叠(点E在AD上),使点A 落在BC边上的点F处,得到四边形ABFE.请证明四边形ABFE是菱形.

(2)操作、探究与计算:

①已知?ABCD的邻边长分别为1,a(a>1),且是3阶准菱形,请画出?ABCD及裁剪线的示意图,并在图形下方写出a的值;

②已知?ABCD的邻边长分别为a,b(a>b),满足a=6b+r,b=5r,请写出?ABCD是几阶准菱形.

1菱形的性质与判定

基础闯关全练

拓展训练

1.答案 C A.菱形的对角线互相平分,此选项不符合题意;B.菱形的对角线互相垂直,此选项不符合题意;C.菱形的对角线不一定相等,此选项符合题意;D.菱形既是轴对称图形又是中心对称图形,此选项不符合题意.故选C.

2.答案 D ∵DE ∥BC,EF ∥AB,∴四边形DBFE 是平行四边形,∵BE 平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,又DE ∥BC,∴∠CBE=∠DEB,∴∠ABE=∠DEB,∴BD=DE,∴?DBFE 是菱形.

3.答案 A 连接BD,∵四边形ABCD 是菱形,

∴∠A+∠ADC=∠A+∠ABC=180°,AB=AD,

又∠A=60°,∴∠ADC=∠ABC=120°,△ABD 是等边三角形,∴AD=BD,∠ADB=∠ABD=∠A=60°,∴∠DBF=60°,∴∠A=∠DBF,∵∠ADE+∠EDB=∠ED B+∠BDF=60°,∴∠ADE=∠BDF,∴△ADE ≌△BDF(ASA).∴AE=BF,ED=FD,

又

∠EDF=60°,∴△DEF 为等边三角形.

∴∠DEF=60°,∴∠AED+∠BEF=120°,∵∠AED+∠ADE=180°-∠A=120°,∴∠ADE=∠BEF,由题意知BE 不一定等于BF.综上可知①②④正确,③不正确,故选A.

4.答案 245 解析 ∵四边形ABCD 为菱形,

∴AC ⊥BD,OA=12AC=4,OB=12

BD=3.

在Rt △AOB 中,AB=√OA 2+OB 2=5.

∵S 菱形ABCD =12AC ·BD=12×8×6=24,S 菱形ABCD =AB ·DH=5DH,∴5DH=24,解得DH=245.

5.证明 ∵四边形ABCD 是菱形,∴AD=CD,

∵E 、F 分别是CD 、AD 的中点,

∴DE=1DC,DF=1AD,

∴DE=DF,

在△ADE 和△CDF 中,{DE =DF,

∠D =∠D,DA =DC,

∴△ADE ≌△CDF(SAS). 能力提升全练

拓展训练

1.答案 A 如图,设第一个菱形的另一个顶点为M,连接AC,BM,交于点O. 由题意得AB=AF=2BM,

∵四边形ABCM 是菱形,

∴AC ⊥BM,OB=12BM,OA=12

AC,

∴AB=4OB,∴OA=√AB 2-OB 2=√15OB,

∴AC=2OA=2√15OB,又BM=2OB,

∴AC∶BM=√15∶1.

即菱形较长的对角线与较短的对角线长度的比值是√15.

2.答案 B ∵四边形ABCD 是菱形,

∴BD ⊥AC,OA=OC,OB=OD.

∵E 为OA 的中点,∴AE=OE,

∵S △ADE =12AE ·OD,S △EOD =12OE ·OD,

∴S △ADE =S △EOD ,故①正确.

∵E 、F 分别是OA 、OC 的中点,

∴OE=12OA,OF=12OC,

∵OA=OC,∴OE=OF,又OB=OD,EF ⊥BD,

∴四边形BFDE 是菱形,故②正确.

S 菱形ABCD =1AC ·BD,易知EF=1AC,

∴S 菱形ABCD =EF ·BD,故③正确.

由已知条件推不出∠ADE=∠EDO.

∵四边形BFDE 是菱形,

∴DE=DF,∴△DEF 为等腰三角形,

∴△DEF 是轴对称图形,故⑤正确.

3.证明由作图过程可得AE 平分∠BAF,

∴∠EAB=∠EAF,

∵AD ∥BC,∴∠EAF=∠AEB,∴∠AEB=∠EAB, ∴BE=AB,∵AB=AF,∴BE=AF.

∵AF ∥BE,∴四边形ABEF 是平行四边形,

∵AB=BE,∴四边形ABEF 是菱形.

4.证明 (1)过点B 作BM ∥AC 交DC 的延长线于点M, ∵AB ∥CD,∴四边形ABMC 为平行四边形.

∴AC=BM=BD,∴∠BDC=∠M=∠ACD.

在△ACD 和△BDC 中,{AC =BD,

∠ACD =∠BDC,CD =DC,

∴△ACD ≌△BDC,∴AD=BC.

(2)连接EH,HF,FG,GE,

∵E,F,G,H 分别是AB,CD,AC,BD 的中点,

∴HE ∥AD,且HE=12AD,FG ∥AD,且FG=12AD,EG=12BC,∴HE ∥FG,且HE=FG, ∴四边形HFGE 为平行四边形.

由(1)知,AD=BC,∴HE=EG,∴?HFGE 为菱形,