中考数学压轴题 易错题测试卷
一、中考数学压轴题
1.已知:在平面直角坐标系中,抛物线2
23y ax ax a =--与x 轴交于点A ,B (点B 在
点A 的右侧),点C 为抛物线的顶点,点C 的纵坐标为-2. (1)如图1,求此抛物线的解析式;
(2)如图2,点P 是第一象限抛物线上一点,连接AP ,过点C 作//CD y 轴交AP 于点
D ,设点P 的横坐标为t ,CD 的长为m ,求m 与t 的函数关系式(不要求写出自变量t
的取值范围);
(3)如图3,在(2)的条件下,点E 在DP 上,且ED AD =,点F 的横坐标大于3,连接EF ,BF ,PF ,且EP EF BF ==,过点C 作//CG PF 交DP 于点G ,若
72
8
CG AG =
,求点P 的坐标.
2.在平面直角坐标系中,抛物线2
4y mx mx n =-+(m >0)与x 轴交于A ,B 两点,点B 在点A 的右侧,顶点为C ,抛物线与y 轴交于点D ,直线CA 交y 轴于E ,且
:3:4??=ABC BCE S S .
(1)求点A ,点B 的坐标;
(2)将△BCO 绕点C 逆时针旋转一定角度后,点B 与点A 重合,点O 恰好落在y 轴上, ①求直线CE 的解析式; ②求抛物线的解析式.
3.已知:如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,()2,0C .直线26y x =+与x 轴交于点A ,交y 轴于点B .过C 点作直线AB 的垂线,垂足为E ,交y 轴于点D . (1)求直线CD 的解析式;
(2)点G 为y 轴负半轴上一点,连接EG ,过点E 作EH EG ⊥交x 轴于点H .设点G 的坐标为()0,t ,线段AH 的长为d .求d 与t 之间的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)
(3)过点C 作x 轴的垂线,过点G 作y 轴的垂线,两线交于点M ,过点H 作HN GM ⊥于点N ,交直线CD 于点K ,连接MK ,若MK 平分NMB ∠,求t 的值.
4.如图,已知抛物线()2
y ax bx 2a 0=+-≠与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点,
直线BD 交抛物线于点D ,并且()D 2,3,()B 4,0-. (1)求抛物线的解析式;
(2)已知点M 为抛物线上一动点,且在第三象限,顺次连接点B 、M 、C ,求BMC 面积的最大值;
(3)在(2)中BMC 面积最大的条件下,过点M 作直线平行于y 轴,在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心,OQ 为半径且与直线AC 相切的圆?若存在,求出圆心Q 的坐标;若不存在,请说明理由.
5.如图1,正方形CEFG 绕正方形ABCD 的顶点C 旋转,连接AF ,点M 是AF 中点. (1)当点G 在BC 上时,如图2,连接BM 、MG ,求证:BM =MG ; (2)在旋转过程中,当点B 、G 、F 三点在同一直线上,若AB =5,CE =3,则MF = ;
(3)在旋转过程中,当点G 在对角线AC 上时,连接DG 、MG ,请你画出图形,探究DG 、MG 的数量关系,并说明理由.
6.如图,矩形ABCD 中,AB =8,BC =12,E 是BC 边的中点,点P 在线段AD 上,过P 作PF ⊥AE 于F ,设PA =x . (1)求证:△PFA ∽△ABE ;
(2)当点P 在线段AD 上运动时,是否存在实数x ,使得以点P ,F ,E 为顶点的三角形也与△ABE 相似?若存在,请求出x 的值;若不存在,请说明理由;
(3)探究:当以D 为圆心,DP 为半径的⊙D 与线段AE 只有一个公共点时,请直接写出DP 满足的条件: .
7.已知,在Rt △ABC 和Rt △DEF 中,∠ACB=∠EDF=90°,∠A=30°,∠E=45°,AB =EF =6,如图1,D 是斜边AB 的中点,将等腰Rt △DEF 绕点D 顺时针方向旋转角α(0°<α<90°),在旋转过程中,直线DE ,AC 相交于点M ,直线DF ,BC 相交于点N . (1)如图1,当α=60°时,求证:DM =BN ; (2)在上述旋转过程中,
DN
DM
的值是一个定值吗?请在图2中画出图形并加以证明; (3)如图3,在上述旋转过程中,当点C 落在斜边EF 上时,求两个三角形重合部分四边形CMDN 的面积.
8.如图,在平面直角坐标系中,Rt ABC ?的斜边AB 在y 轴上,边AC 与x 轴交于点
D ,A
E 平分BAC ∠交边BC 于点E ,经过点A D E 、、的圆的圆心
F 恰好在y 轴上,
⊙F 与y 里面相交于另一点G . (1)求证:BC 是⊙F 的切线 ;
(2)若点A D 、的坐标分别为(0,1),(2,0)A D -,求⊙F 的半径及线段AC 的长; (3)试探究线段AG AD CD 、、三者之间满足的等量关系,并证明你的结论.
9.综合与实践
4
A纸是我们学习工作最常用的纸张之一,其长宽之比是2:1,我们定义:长宽之比是2:1的矩形纸片称为“标准纸”.
操作判断:
()1如图1所示,矩形纸片2
()
=是一张“标准纸”,将纸片折叠一次,使点
ABCD AD AB
AB=求CF的
B与D重合,再展开,折痕EF交AD边于点,E交BC边于点F,若1,
长,
()2如图2,在()1的基础上,连接,
BE判断四边形
BD折痕EF交BD于点O,连接,
BFDE的形状,并说明理由.
探究发现:
()3如图3所示,在(1)和(2)的基础上,展开纸片后,将纸片再折叠一次,使点A与点C重合,再展开,痕MN交AD边于点M,BC交边于点,N交BD也是点O.然后将四边形ENFM剪下,探究纸片ENFM是否为“标准纸”,说明理由.
10.如图,平面上存在点P 、点M 与线段AB .若线段AB 上存在一点Q ,使得点M 在以PQ 为直径的圆上,则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点. 已知点P (0,1),点A (﹣2,﹣1),点B (2,﹣1).
(1)在点O (0,0),C (﹣2,1),D (3,0)中,可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ;
(2)点K 为x 轴上一点,若点K 为点P 与线段AB 的共圆点,请求出点K 横坐标x K 的取值范围;
(3)已知点M (m ,﹣1),若直线y =1
2
x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点,请直接写出m 的取值范围.
11.如图,抛物线2
y x bx c =-++与x 轴相交于A 、B 两点,与y 轴相交于点C ,且点
B 与点
C 的坐标分别为()3,0B ,()0,3C ,点M 是抛物线的顶点.
(1)求二次函数的关系式.
(2)点P 为线段MB 上一个动点,过点P 作PD x ⊥轴于点D .若OD m =,PCD 的面积为S .
①求S 与m 的函数关系式,写出自变量m 的取值范围.
②当S 取得最值时,求点P 的坐标.
(3)在MB 上是否存在点P ,使PCD 为直角三角形?如果存在,请直接写出点P 的坐标;如果不存在,请说明理由.
12.如图所示,在平面直角坐标系中,点(),C m m 在一三象限角平分线上,点(),0B n 在x 轴上,且m=2n -+2n -+4,点A 在y 轴的正半轴上;四边形AOBC 的面积为6 (1)求点A 的坐标;
(2)P 为AB 延长线上一点,//PQ OC ,交CB 延长线于Q ,探究OAP ∠、ABQ ∠、
Q ∠的数量关系并说明理由;
(3)作AD 平行CB 交CO 延长线于D ,BE 平分CBx ∠,BE 反向延长线交CO 延长线于,若设ADO α∠=,F β∠=,试求2αβ+的值.
13.在平行四边形ABCD 中,60B ∠=?,点E ,F 分别在边AB ,AD 上,且
60ECF ∠=?.
(1)如图1,若AB BC =,求证:AE AF BC +=;
(2)如图2,若4AB BC ==,且点E 为AB 的中点,连接BF 交CE 于点M ,求
FM ;
(3)如图3,若AB kBC =,探究线段BE 、DF 、BC 三之间的数量关系,说明理由. 14.如图①,在△ABC 中,∠ACB =90°,∠B =30°,AC =1,D 为AB 的中点,EF 为△ACD 的中位线,四边形EFGH 为△ACD 的内接矩形(矩形的四个顶点均在△ACD 的边上). (1)计算矩形EFGH 的面积;
(2)将矩形EFGH 沿AB 向右平移,F 落在BC 上时停止移动.在平移过程中,当矩形与
△CBD 重叠部分的面积为
3
16
时,求矩形平移的距离; (3)如图③,将(2)中矩形平移停止时所得的矩形记为矩形1111E F G H ,将矩形
1111E F G H 绕1G 点按顺时针方向旋转,当1H 落在CD 上时停止转动,旋转后的矩形记为矩
形2212E F G H ,设旋转角为α,求cos α的值.
15.已知:矩形ABCD 内接于⊙O ,连接 BD ,点E 在⊙O 上,连接 BE 交 AD 于点F ,∠BDC+45°=∠BFD ,连接ED . (1)如图 1,求证:∠EBD=∠EDB ;
(2)如图2,点G 是 AB 上一点,过点G 作 AB 的垂线分别交BE 和 BD 于点H 和点K ,若HK=BG+AF ,求证:AB=KG ;
(3)如图 3,在(2)的条件下,⊙O 上有一点N ,连接 CN 分别交BD 和 AD 于10点 M 和点 P ,连接 OP ,∠APO=∠CPO ,若 MD=8,MC= 3,求线段 GB 的长.
16.如图,在平面直角坐标系中,点O 为坐标原点,直线y =-x + m 交 y 轴的正半轴于点A ,交x 轴的正半轴于点B ,过点A 的直线AF 交x 轴的负半轴于点F ,∠AFO=45°. (1)求∠FAB 的度数;
(2)点 P 是线段OB 上一点,过点P 作 PQ ⊥OB 交直线 FA 于点Q ,连接 BQ ,取 BQ 的中点C ,连接AP 、AC 、CP ,过点C 作 CR ⊥AP 于点R ,设 BQ 的长为d ,CR 的长为h ,求d 与 h 的函数关系式(不要求写出自变量h 的取值范围);
(3)在(2)的条件下,过点 C 作 CE ⊥OB 于点E ,CE 交 AB 于点D ,连接 AE ,
∠AEC=2∠DAP ,EP=2,作线段 CD 关于直线AB 的对称线段DS ,求直线PS 与直线 AF 的交点K 的坐标.
17.如图,抛物线25y ax bx =+-交x 轴于点A 、B (A 在B 的左侧),交y 轴于点
C ,且OB OC =,()2,0A -.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P 为第四象限抛物线上一点,过点P 作y 轴的平行线交BC 于点D ,设P 点横坐标为t ,线段PD 的长度为d ,求d 与t 的函数关系式.(不要求写出t 的取值范围) (3)在(2)的条件下,F 为BP 延长线上一点,且45PFC ∠=?,连接OF 、CP 、
PB ,FOB ?的面积为
3600
169
,求PBC ?的面积. 18.如图,在长方形ABCD 中,AB =4cm ,BE =5cm ,点E 是AD 边上的一点,AE 、DE 分别长acm .bcm ,满足(a -3)2+|2a +b -9|=0.动点P 从B 点出发,以2cm/s 的速度沿B→C→D 运动,最终到达点D ,设运动时间为t s . (1)a =______cm ,b =______cm ;
(2)t 为何值时,EP 把四边形BCDE 的周长平分?
(3)另有一点Q 从点E 出发,按照E→D→C 的路径运动,且速度为1cm/s ,若P 、Q 两点同时出发,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动.求t 为何值时,△BPQ 的面积等于6cm 2.
19.在△ABC 中∠B=45°,∠C=30°,点D 为BC 边上任意一点,连接AD ,将线段AD 绕A 顺时针旋转90°,得到线段AE ,连接DE .
(1)如图1,点E 落在BA 的延长线上时,∠EDC= (度)直接填空. (2)如图2,点D 在运动过程中,DE ⊥AC 时,AB=4 ,求DE 的值.
(3)如图3,点F 为线段DE 中点,AB=2a ,求出动点D 从B 运动到C ,点F 经过的路径长度.
20.如图,在平面直角坐标系xOy 中,已知Rt ABC 的直角顶点()0,12C ,斜边AB 在
x 轴上,且点A 的坐标为()9,0-,点D 是AC 的中点,点E 是BC 边上的一个动点,抛
物线2
12y ax bx =++过D ,C ,E 三点.
(1)当//DE AB 时, ①求抛物线的解析式;
②平行于对称轴的直线x m =与x 轴,DE ,BC 分别交于点F ,H ,G ,若以点D ,
H ,F 为顶点的三角形与GHE △相似,求点m 的值.
(2)以E 为等腰三角形顶角顶点,ED 为腰构造等腰EDG △,且G 点落在x 轴上.若在
x 轴上满足条件的G 点有且只有一个时,请直接写出....
点E 的坐标. 21.已知,抛物线2
12
y x bx c =++与y 轴交于点()0,4C -与x 轴交于点A ,B ,且B 点的坐标为()2,0.
(1)求该抛物线的解析式.
(2)如图1,若点P 是线段AB 上的一动点,过点P 作//PE AC ,交BC 于E ,连接
CP,求PCE
?面积的最大值.
=+与线段AC交于点M,与线段BC交于点N,是否存在(3)如图2,若直线y x m
?为直角三角形,若存在,请求出m的值;若不存在,请说明理M,N,使得OMN
由.
22.在综合与实践课上老师将直尺摆放在三角板上,使直尺与三角板的边分别交于点P、M、N、Q,
(1)如图①所示.当∠CNG=42°,求∠HMC 的度数.(写出证明过程)
(2)将直尺向下平移至图 2 位置,使直尺的边缘通过点 C,交 AB 于点 P,直尺另一侧与三
角形交于 N 、Q 两点。请直接写出∠PQF 、∠A 、∠ACE 之间的关系.
23.在ABC ?中,若存在一个内角角度,是另外一个内角角度的n 倍(n 为大于1的正整数),则称ABC ?为n 倍角三角形.例如,在ABC ?中,80A ∠=?,75B ∠=?,
25C ∠=?,可知3∠=∠B C ,所以ABC ?为3倍角三角形.
(1)在ABC ?中,55A ∠=?,25B ∠=?,则ABC ?为________倍角三角形;
(2)若DEF ?是3倍角三角形,且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的1
3
,求DEF ?的最小内角. (3)若MNP ?是2倍角三角形,且90M N P ∠<∠<∠,请直接写出MNP ?的最小内角的取值范围.
24.新定义,若关于x ,y 的二元一次方程组①111
222a x b y c a x b y c +=??+=?的解是00x x y y =??=?,关于
x ,y 的二元一次方程组②111222e x f y d e x f y d +=??+=?的解是11x x y y =??=?,且满足
10
00.1x x x -≤,10
0.1y y y -≤,则称方程组②的解是方程组①的模糊解.关于x ,y 的二元一次方程组222104x y m x y m +=+??-=+?的解是方程组10
310
x y x y +=??
+=-?的模糊解,则m 的取值范围是________. 25.定义:两个相似等腰三角形,如果它们的底角有一个公共的顶点,那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”.如图,在ABC ?与AED ?中,,BA BC EA ED == ,且
,ABC
AED ??所以称ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”,设它们的顶角为α,连接
,EB DC ,则称
DC
EB
会为“关联比". 下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程,请阅读后,解答下列问题: [特例感知]
()1当ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”,且90α?
=时,
①在图1中,若点E 落在AB 上,则“关联比”
DC
EB
=
②在图2中,探究ABE ?与ACD ?的关系,并求出“关联比”
DC
EB
的值.
[类比探究]
()2如图3,
①当ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”,且120a ?=时,“关联比”
DC
EB
= ②猜想:当ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”,且n α=?时,“关联比”DC
EB
= (直接写出结果,用含n 的式子表示) [迁移运用]
()3如图4, ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”.若90,4,ABC AED AC ?∠=∠==点
P 为AC 边上一点,且1PA =,点E 为PB 上一动点,求点E 自点B 运动至点P 时,点
D 所经过的路径长.
【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除
一、中考数学压轴题 1.C
解析:(1)21322y x x =--;(2)1m t =-;(3)933,28P ?? ???
【解析】 【分析】
(1)将抛物线解析式化为顶点式可得y=a (x-1)2-4a ,则C 点为(1,-4a ),再由-4a=-2
即可求a 的值,进而确定函数解析式;
(2)由已知分别求出点P 和点A 的坐标,可得AP 的直线解析式,求出D 点坐标则可求CD ;
(3)设CD 与x 轴的交点为H ,连接BE ,由三角形中位线的性质可求BE=2(t-3)=2t-6;过点F 作FN ⊥BE 于点N ,过点P 作PM ⊥BE 交BE 的延长线于点M ,可证明
Rt △PME ≌Rt △ENF (HL ),从而推导出∠EPF=∠EFP=45°;过点C 作CK ⊥CG 交PA 的延长线于点K ,连接AC 、BC ,能够进一步证明△ACK ≌△BCG (SAS ),得到∠KGB=90°;令AG=8m ,则
CG=BG=6m ,过点G 作GL ⊥x 轴于点L ,在Rt △ABG 中,AG=10m=4,求出m 值,利用等积法可求G 点的坐标,再将G 点坐标代入33
22
t t y x --=+,求出t ,即可求出点P 坐标. 【详解】 解:(1)
22223(23)(1)4y ax ax a a x x a x a =--=--=--,
∴顶点C 的坐标为(1,4)a -,
点C 的纵坐标为2-, 42a ∴-=-,
1
2
a ∴=
, 21322
y x x ∴=
--; (2)
点P 的横坐标为t ,
213
(,)22P t t t ∴--,
213
22
y x x =
--与x 轴的交点为(1,0)A -,(3,0)B , ∴设AP 的直线解析式为y kx b =+,
则有201322k b kt b t t -+=???+=--??
,
解得3232t k t b -?=???-?=??
,
33
22
t t y x --∴=
+, //CD y 轴交AP 于点D ,
(1,3)D t ∴-, 321CD t t ∴=-+=-, 1m t ∴=-;
(3)如图:设CD 与x 轴的交点为H ,连接BE ,
CD 垂直平分AB ,ED AD =,
//DH BE ∴,1
2
DH BE =, BE x ∴⊥轴,
2(3)26BE t t ∴=-=-,
过点F 作FN BE ⊥于点N ,过点P 作PM BE ⊥交BE 的延长线于点M ,
EF BF =,
1
32
EN BN BE t PM ∴==
=-=, EP FE =,
Rt PME Rt ENF(HL)∴???, MPE FEN ∴∠=∠,
90FEN MEP MPE MEP ∴∠+∠=∠+∠=?, 90PEF ∴∠=?,
45EPF EFP ∴∠=∠=?,
过点C 作CK CG ⊥交PA 的延长线于点K ,连接AC 、BC , 90KCG ∴∠=?, 45K KGC ∴∠=∠=?,
CK CG ∴=,
90AHC BHC ∠=∠=?,2AH BH CH ===, 45CAH ACH HBC HCB ∴∠=∠=∠=∠=?,
90ACB ∴∠=?,AC CB =,
90KCA ACG GCB ∴∠=?-∠=∠,
()ACK BCG SAS ∴???, 45BGC K AGC ∴∠=∠=∠=?,AK BG =,
90KGB ∴∠=?,
令8AG m =,则CG =, CK CG =,90KCG ∠=?,
14KG m ∴=,
6BG AK KG AG m ∴==-=,
过点G 作GL x ⊥轴于点L ,
在Rt ABG ?中,104AB m ===,
25
m ∴=
, 165
AG ∴=
, 11
861022
ABG S m m m GL ?=??=??,
4825
GL ∴=
, 22AL AG GL ∴=-, 3925
OL AL AO ∴=-=, 39(
25G ∴,48
)25
, AG 的解析式为33
22
t t y x --=
+, ∴
483393
252252
t t --=?+, 9
2
t ∴=
, 9(2P ∴,33
)8
.
【点睛】
本题考查二次函数的综合题.熟练掌握二次函数的图象及性质,通过辅助线构造三角形全等,逐步求出G 点的坐标从而求出t 的值是解题的关键.
2.A
解析:(1) A (
12,0) B (72,0);(2) ①233
33
y x =-+,②24316373
999
y x x =
-+
【解析】 【分析】
(1)根据抛物线的解析式可得对称轴为x =2,利用:3:4??=ABC BCE S S 得出CA :CE =3:4,由△AOE ∽△AGC 可得
1
3
=AO AG ,进而求得OA 、OB 的长,即可求得点A 、点B 的坐标; (2)根据旋转的性质求出C 点坐标,利用C 点坐标和△AOE ∽△AGC 可求得E 点坐标,,分别利用待定系数法即可求得直线CE 和抛物线的解析式. 【详解】
解:(1)∵抛物线的解析式为24(0)=-+>y mx mx n m ,
∴对称轴为直线422-=-
=m
x m
, 如图,设对称轴与x 轴交于G ,则//CG y 轴,2OG =,
∴△AOE ∽△AGC , ∴
=AO AE
AG AC
, ∵:3:4ABC
BCE
S S
=, ∴CA :CE =3:4 ,则3
1
AE AC =, ∴
1
3
==AO AE AG AC , ∴1142=
=OA OG ,3342
==AG OG , 则23==AB AG ,7
2
=+=OB OA AB , ∴A (
12,0), B (7
2
,0); (2)如图,设O 旋转后落在点Q 处,过点C 作CP y ⊥轴于点P ,
由旋转的性质得:△BCO ≌△ACQ , ∴BO =AQ =7
2
,CO =CQ , ∴OQ =222271
()()2322=
-=-=AQ AO
∵CP y ⊥轴, ∴1
32
=
=OP OQ ∴点C 的坐标为(2,3)-,则3CG =由(1)得△AOE ∽△AGC ,1
3
==OE AE CG AC , ∴33OE =
,即点E 的坐标为3(0,3
, ①设CE 的解析式为y kx b =+,分别代入C (2,3)-,E 3
得: 233
3k b b ?+=??=
??,解得:233k b ?=?
???=??
, ∴CE 的解析式为233
y =; ②将A (
1
2
,0),C (2,3)分别代入24y mx mx n =-+得:
1204483
m m n m m n
?-+=??
?-+=-?,解得:439739m n ?=????=??
, ∴抛物线解析式为24316373
y x x =-+
. 【点睛】
本题考查了二次函数的综合、旋转的性质、相似三角形的性质和求一次函数的解析式,正确的理解题意,熟练运算“数形结合思想”是解题的关键.
3.C
解析:(1)112y x =-+;(2)1d t =-+;(3)64215
t -= 【解析】 【分析】
(1)根据互相垂直两直线斜率积为-1,设出直线CE 的解析式,再将点C 坐标代入即可求解;
(2)过点E 作EM ⊥y 轴于点M ,过点E 作EN x ⊥轴于点N ,通过解直角三角形可证
EDM ≌EAN ,ENH ≌EMG ,得到AN =DM ,HN =GM ,进而得到AH DG =,再
根据CE 解析式求出D 点坐标,即可找出d 与t 之间的函数关系式;
(3)过点B 作BT CM ⊥于点T ,在直线BT 上截取TL NK =,证四边形BGMT 与四边形HNMC 均为矩形,得MN MT =,再进一步证明ENH ≌EMG ,利用全等三角形的性质通过角度计算,得出△BML 为等腰三角形且BM BL =,再用含有t 的代数式表示BM ,最后在Rt △BMG 中利用勾股定理建立等式,求出t 的值. 【详解】
解:(1)∵CE ⊥AB , ∴设直线CE 的解析式为:1
2
y x c =-
+, 把点C (2,0)代入上述解析式,得1c =, ∴直线CD 的解析式为:1
12
y x =-
+; (2)过点E 作EM ⊥y 轴于点M ,过点E 作EN x ⊥轴于点N ,
令26 1
1
2
y x
y x
=+
?
?
?
=-+
??
,
解得
2
2
x
y
=-
?
?
=
?
,
∴()
2,2
E-,
易证EDM≌EAN,ENH≌EMG,
∴AN=DM ,HN=GM,
∴AH DG
=,
由直线CE的解析式
1
1
2
y x
=-+,可求点D(0,1)
∴DG=1—t,
∴1
d t
=-+;
(3)过点B作BT CM
⊥于点T,在直线BT上截取TL NK
=,
易证四边形BGMT与四边形HNMC均为矩形,
由(2)问可知1t
AH GD
==-,则6t
HC=-
∴6t
BG MT
==-,
∴MN MT
=,
∵90
KNM LTM
∠=∠=?,
∴ENH≌EMG,
∴L
NKM
∠=∠,
设KMNα
∠=,则KMB KMNα
∠=∠=,
∴90
NKMα
∠=?-,
∴90
NKM Lα
∠=∠=?-,
∵//
BL MN,
∴2
MBL BMNα
∠=∠=,
∴18090
BML MBL Lα
∠=?-∠-∠=?-,
∴BM BL
=,
∵1tan 2
KCH ∠=, ∴11
322
KH CH t =
=-, ∴13
3322
KN KH HN t t t TL =+=--=-=, ∴3
52
BL BT TL t BM =+=-=, 在Rt BMG △中,
222BM BG GM =+,
解得t =(不合题意舍去)或t =
故,65
t -=
. 【点睛】
本题一次函数综合题,考查了待定系数法求解析式,一次函数的性质,全等三角形的判定与性质,角平分线的性质,勾股定理等,利用已知条件求相等交,相等线段是解决本题的关键.
4.B
解析:(1)213
y x x 222
=+-;(2)4;(3)存在,Q 的坐标为()2,4-或()2,1-- 【解析】 【分析】
()1根据题意将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式,即可求解; ()2由题意设点M 的坐标为213x,x x 222
?
?+- ??
?,则点1K x,x 22
??-- ??
?
,
BMC
1
S
MK OB 2
=
??,即可求解; ()3由题意和如图所示可知,1tan QHN 2
∠=,在Rt
QNH 中,QH m 6=+,
QN OQ ===QN sin QHN
QH
m 6∠=
==+,进行分析计算即可求解. 【详解】
解:()1将()D 2,3、()B 4,0-的坐标代入抛物线表达式得:4223
16420
a b a b +-=??
--=?,解得:
中考数学易错题专题训练-二次函数练习题及答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
安徽省中考数学易错题分类汇编
初中数学易错题分类汇编 一、数与式: 1 (A )2,(B (C )2±,(D ) 2例题:等式成立的是.(A )1c ab abc =,(B )632x x x =,(C )1 12112a a a a + +=--,(D )22a x a bx b =. 二、方程与不等式 ⑴字母系数 1例题:关于x 的方程2(2)2(1)10k x k x k ---++=,且3k ≤.求证:方程总有实数根. 2例题:不等式组2,.x x a >-??>? 的解集是x a >,则a 的取值范围是. (A )2a <-,(B )2a =-,(C )2a >-,(D )2a ≥-. ⑵判别式 例题:已知一元二次方程222310x x m -+-=有两个实数根1x ,2x ,且满足不等式 121214 x x x x <+-,求实数的范围. ⑶解的定义 例题:已知实数a 、b 满足条件2720a a -+=,2720b b -+=,则 a b b a +=____________. ⑷增根 例题:m 为何值时,22111 x m x x x x --=+--无实数解. ⑸应用背景 例题:某人乘船由A 地顺流而下到B 地,然后又逆流而上到C 地,共乘船3小时,已知船在静水中的速度为8千米/时,水流速度为2千米/时,若A 、C 两地间距离为2千米,求A 、B 两地间的距离. ⑹失根
例题:解方程(1)1 -=-. x x x 三、函数 ⑴自变量 例题:函数y=中,自变量x的取值范围是_______________. ⑵字母系数 例题:若二次函数22 =-+-的图像过原点,则m=______________. y mx x m m 32 ⑶函数图像 例题:如果一次函数y kx b =+的自变量的取值范围是26 -≤≤,相应的函数值的范围是 x -≤≤,求此函数解析式. y 119 ⑷应用背景 例题:某旅社有100张床位,每床每晚收费10元时,客床可全部租出.若每床每晚收费再提高2元,则再减少10张床位租出.以每次这种提高2元的方法变化下去,为了投资少而获利大,每床每晚应提高_________元. 四、直线型 ⑴指代不明 ,则斜边上的高等于________. ⑵相似三角形对应性问题 例题:在ABC BC=,D为AC上一点,:2:3 DC AC=,在AB AB=,12 AC=18 △中,9 上取点E,得到ADE △,若两个三角形相似,求DE的长. ⑶等腰三角形底边问题 例题:等腰三角形的一条边为4,周长为10,则它的面积为________. ⑷三角形高的问题 例题:等腰三角形的一边长为10,面积为25,则该三角形的顶角等于多少度? ⑸矩形问题 例题:有一块三角形ABC铁片,已知最长边BC=12cm,高AD=8cm,要把它加工成一
中考数学—分式的易错题汇编含解析
一、选择题 1.PM 2.5是指大气中直径小于或等于2.5μm (1μm =0.000001m )的颗粒物,也称为可入肺颗粒物,它们还有一定量的有毒、有害物质,对人体健康和大气环境质量有很大影响.2.3μm 用科学记数法可表示为( ) A .23×10﹣5m B .2.3×10﹣5m C .2.3×10﹣6m D .0.23×10﹣7m 2.计算1÷ 11m m +-(m 2 -1)的结果是( ) A .-m 2-2m -1 B .-m 2+2m -1 C .m 2-2m -1 D .m 2-1 3.如图,设k= 甲图中阴影部分面积 乙图中阴影部分面积 (a >b >0),则有 ( ) 甲 乙 甲
(A )k >2 (B )1<k <2 (C )121< 10.若分式 的值为零,则x 的值为( ) A .0 B .﹣2 C .2 D .﹣2或2 11.分式 (a 、b 均为正数),字母的值都扩大为原来的2倍,则分式的值( ) A .扩大为原来的2倍 B .缩小为原来的 C .不变 D .缩小为原来的 12.在 2x ,1()3x y +,3ππ-,5a x -,24x y -中,分式的个数为( ) A .1 B.2 C.3 D .4 13.若a =-0.3-2 ,b =-3-2 ,c =(- 13)-2,d =(-13 )0 ,则( ) A .a <d <c <b B .b <a <d <c C .a <d <c <b D .a <b <d <c 14.如果为整数,那么使分式 2 22 21 m m m +++的值为整数的的值有( ) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 15.下列代数式y 2、x 、13π、11 a -中,是分式的是 A . y 2 B . 11 a - C .x D . 13π 16.把分式2n m n +中的m 与n 都扩大3倍,那么这个代数式的值 A .不变 B .扩大3倍 C .扩大6倍 D .缩小到原来的 13 17.已知空气的单位体积质量是0.001239g /cm 3,则用科学记数法表示该数为( )g /cm 3. A .1.239×10﹣3 B .1.2×10﹣3 C .1.239×10﹣2 D .1.239×10﹣4 18.无论a 取何值,下列分式总有意义的是( ) A . 2 1 a a + B . 21 1 a a -+ C . 21 1 a - D . 11 a + 19.下列式子:2222 2213,, ,,,x y a x x a b a xy y π----其中是分式的个数( ). A .2 B .3 C .4 D .5 20.若分式 的值为0,则x 的值是( ) A .3 B -3 C .4 D .-4 21.已知实数 a , b ,c 均不为零,且满足 a + b +c=0,则 六年级数学总复习易错题 一、填空题 1. A=2 x 3X a, B=3X a x 7,已知A与B的最大公约数是15,那么 a=(),A与B的最小公倍数是()。 2. 有一个放大镜,在这个放大镜下,一条线段其长度是原来的3倍,在这个放大镜下,正方形面积是原来的()倍,正方体的体积是原来的()倍。 3. 小红1/5小时行3/8千米,她每小时行()千米,行1千米用()小时。 4. 一台榨油机6小时榨油300千克。照这样计算,1小时榨油 ()千克,榨1千克油需()小时。 5. 把3米长的绳子平均分成4段,每段长()米,每段占3米的()。 6. 一个长方体的长、宽、高的比是3:2: 1,已知长方体的棱长 总和是144厘米,它的体积是()立方厘米。 7. 甲数是乙数的60%甲数比乙数少()%乙数比甲数多() 8. 甲班人数比乙班多1/4,则乙班人数比甲班少()。9.水结成冰后,体积比原来增加1/11,冰化成水后,体积减少()。 10. 一项工程投资20万元,比计划节约5万元。节约() %。 11. 男生人数的3/4与女生人数的4/5 一样多,男女生人数的比是 。 12. 一个长方形的周长36分米,宽是长的4/5,长方形的面积是 平方分米。 13. 在一个减法算式里,被减数、减数与差的和是180,减数与差的比是4: 5,被减数是(),差是()。 14. 一本书若定价每本10元,获得的纯利润是25%如果想使获得的纯利润是40%则每本书应定价()元。 15. 一个两位数,十位上的数字是m个位上的数字是n,用含有 字母的式子表示是()。 16. —个两位小数,它的近似值是4.0,这个数最大是(), 最小是()。 二、判断题 1. 大于90°的角都是钝角。() 2. 只要能被2除尽的数就是偶数。() 3.12/15不能化成有限小数。( 4. 能被3整除的数一定能被9整除。 5. 两个锐角之和一定是钝角。( 6. 在比例中,如果两个内项互为倒数, () 7. x+y=ky (k 一定)则x、y不成比例。( 8. 正方形、长方形、平行四边形、圆都是轴对称图形。( ) 9. 比例尺就是前项是1的比。() 10.1千克的金属比1千克的棉花重。( 11.1/100和1%TE是分母为100的分数,它们表示的意义相同。 () 12. 圆锥的体积比圆柱体积小2/3。( ) () ) 那么两个外项也互为倒数18. 比例尺大的,实际距离也大。( 一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m . 【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证:∠AEC=90°; (2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若DC=2,求DH的长. 【答案】(1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2. 【解析】 试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得 ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出 ∠AEC=90°; (2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由 DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长. 试题解析:(1)连接OC, 数形结合部分 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm , 点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将ABC △沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2ADFE S AF DE =四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+ ∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点 P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ,折叠正方形纸片ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.展开后,折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②tan ∠AED=2;③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.其中正确结论的序号是 . A D C E F G B t t A . B. C . D . F 第20题图 6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福娃们的讨论,请你解该题, 你选择的答案是( ) 贝贝:我注意到当 0x =时,0y m =>. 晶晶:我发现图象的对 称轴为1 2 x = . 欢欢:我判断出12x a x <<. 迎迎:我认为关键要判断1a -的符号. 妮妮:m 可以取一个特殊的值. 7 正方形ABCD 中,E 是BC 边上一点,以E 为圆心、EC 为半径的半圆与以A 为圆心,AB 为半径的圆弧外切,则sin EAB ∠的值为( ) A . 43 B . 34 C .45 D . 3 5 8 一个函数的图象如图,给出以下结论: ①当0x =时,函数值最大; ②当02x <<时,函数y 随x 的增大而减小; ③存在001x <<,当0x x =时,函数值为0. 其中正确的结论是( )A .①② B .①③ C .②③ D .①②③ 9.函数2 y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是 ( ) 10 如图,水平地面上有一面积为2 30cm π的扇形AOB ,半径OA=6cm ,且OA 与地面垂直.在没有滑动的情况下,将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止,则O 点移动的距离为( )A 、20cm B 、24cm C 、10cm π D 、30cm π 11 在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形,则,,a b c 满足的关系式是( ) A 、b a c =+ B 、b ac =C 、2 2 2 b a c =+ D 、22b a c == 一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空: 当点A位于时,线段AC的长取得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示) (2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE. ①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值. (3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点P 为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标. 【答案】(1)CB的延长线上, a+b;(2)①CD=BE,理由见解析;②BE长的最大值为5;(3)满足条件的点P坐标(222)或(222),AM的最大值为2+4. 【解析】 【分析】 (1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;(2) ①根据已知条件易证△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质即可得CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果;(3)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为2+4;如图2,过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标.如图3中,根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件,由此求得符合条件的点P另一个的坐标. 【详解】 (1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b, ∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b, 故答案为CB的延长线上,a+b; (2)①CD=BE, 理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形, ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠CAD=∠EAB, 小学六年级数学易错题(选择题)_题型归纳 二、选择题: 1、自然数a除以自然数b,商是10,那么a和b的最大公约数是( )。 A、a B、b C、10 2、一个三角形,经过它的一个顶点画一条线段把它分成两个三角形,其中一个三角形的内角和是( )。 A、180 B、90 C、不确定 3、从甲地开往乙地,客车要10小时,货车要15小时,客车与货车的速度比是( )。 A、2:3 B、3:2 C、2:5 4、用3根都是12分米长的铁丝围成长方形、正方形和圆形,则围成的( )面积最大。 A、长方形 B、正方形 C、圆形 5、在除法算式mn=ab中,(n0),下面式子正确的是( )。 A、a>n B、n>a C、n>b 6、过平行四边形的一个顶点向对边可以作( )条高。 A、1 B、2 C、无数 7、用三根同样长的铅丝分别围成圆、正方形和长方形,( )的面积最小。 A、圆 B、正方形 C、长方形 8、甲数与乙数的比值为0.4,乙数与甲数的比值为( ) A.0.4 B.2.5 C. 2/5 9、加工一批零件,经检验有100个合格,不合格的有25个,这批零件的合格率是( ) A、75% B、80% C、100% 10、小数点右边第三位的计数单位是( ) A、百分位 B、千分位 C、0.01 D、0.001 11、等底等高的圆柱体比圆锥体体积( ) A、大 B、大2倍 C、小 12、如果4X=3Y,那么X与Y( ) A、成正比例 B、成反比例 C、不成比例 13、0.70.3如果商是2那么余数是( ) A、1 B、0.1 C、0.01 D、10 14、做一批零件,如果每人的工效一定,那么工人的人数和用的时间( ) A。成正比例B。成反比例C。不成比例 15、两根同样长的绳子,一根剪去3/7,另一根剪去3/7米,第( )根剪去的长一些。 A、第一根长 B、第二根长 C、一样长 D、无法判断 16、一根绳子,剪成两段,第一段长3/7米,第二段占全长的3/7,第( )段长一些。 A、第一段长 B、第二段长 C、一样长 D、无法判断六年级数学总复习易错题整理
中考数学易错题精选-锐角三角函数练习题及答案解析
中考数学易错题分析总结
历年中考数学易错题汇编-旋转练习题及答案
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