导数的概念与运算知识点及题型归纳总结

导数的概念与运算知识点及题型归纳总结

知识点精讲

一、基本概念 1、导数的概念

设函数()x f y =在0x x =附近有定义，如果0→?x 时，y ?与x ?的比x

y

??（也叫函数的平均变化率）

有极限，即

x

y

??无限趋近于某个常数，我们把这个极限值做函数()x f y = 在0x x =处的导数，记作()0x f '或.0

x x y ='

即

()()()()().0

00000

0lim lim lim

0x x x f x f x x f x x f x y

x f x x x x --=?-?+=??='→→?→? 2、导数的几何意义

函数()x f y =在0x 处的导数()0x f '，表示曲线()x f y =在点()()00,x f x P 处的切线PT 的斜率，即

()0tan x f '=α，其中α为切线的倾斜角，如图3—1所示，过点P 的切线方程为()().

000x x x f y y -'=-同样，可以定义曲线()x f y =在0x x =的法线为过点()()00,x f x P 与曲线()x f y =在0x x =的切线垂直的直线.过点P 的法线方程为=-0y y

()

()()().01

0≠'-'-

x f x x x f

3、导数的物理意义:设0=t 时刻一车从某点出发，在t 时刻车走了一定的距离().t S S =在10~t t 时刻，车

走了()(),01t S t S -这一段时间里车的平均速度为()()

,0

101t t t S t S --当1t 与0t 很接近时，该平均速度近似

于0t 时刻的瞬时速度.若令~1t 0t ，则可以认为

()()0

101lim

1t t t S t S t t --→，即()0

t S '就是0t 时刻的瞬时速度.

二、基本初等函数的导数公式 基本初等函数的导

数公式如表3

—1

表3—1

注：

()

().1

ln ,11,21

2x x x x x x ='-='

??? ??='

三、导数的运算法则（和、差、积、商） 设()()x v v x u u ==,均可导，则

（1）();v u v u '±'='± （2）()();R k u k ku ∈'='

（3）();v u v u uv '+'='

（4）().02

≠'

-'='

??

? ??v v v u v u v u 注：()()()().R c x f c x cf ∈'='

四、复合函数的导数

复合函数()[]x g f y =的导数与函数()()x g u u f y ==,的导数之间具有关系

,x u x u y y '?'='该关系用语言表述就是“y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积”，也就是

先把()x g 当作一个整体，把()[]x g f y =对()x g 求导，再把()x g 对x 求导，这两者的乘积就是复合函数

()[]x g f y =对x 的导数，即()[]()()[]()x g x g f x g f '?'='.

题型归纳及思路提示

题型1 导数的定义

思路提示：对所给函数式经过添项、拆项等恒等变形与导数定义结构相同，然后根据导数定义直接写出.

例3.1 设()0x f '存在，求下列各极限. (1)

()();3000

lim

x x f x x f x ?-?+→? (2) ()()

;000

lim h x f h x f h --→

分析 ()()()

x

x f x x f x f x ?-?+=

'→?000

0lim

0，导数的定义中，增量x ?的形式是多样的，但不论x ?选择哪

种形式，y ?必须选择相应的形式.利用函数()x f 在点0x 处可导的条件，可以将已知极限变形转化为导数定义的结构形式. 解析 （1）

()()()()

().333330000

000

lim lim

x f x x f x x f x x f x x f x x '=??-?+=?-?+→?→?

（2）

()()()()()()0000

000

1lim lim

x f h x f h x f h x f h x f h h '-=-?---=--→→

评注 ()()()

x

x f x x f x f x ?-?+='→?000

0lim

0的几种等价形式：

()()()

=

--='→0

00lim

x x x f x f x f x x ()()

=

-+→h

x f h x f h 000

lim

()()

h

h x f x f h --→000

lim

等.

变式1 若

()()

,132000

lim

0=?-?+→?x

x f x x f x 则()='0x f （ ）

Ａ、

32 B 、2

3

C 、3

D 、2 变式2 设()x f 在0x 处可导，则

()()

x

x x f x x f x ??--?+→?3000

lim

0=（ ）

A 、2()0x f '

B 、()0x f '

C 、()03x f '

D 、()04x f '

题型2 求函数的导数

思路提示 ：对所给函数求导，其方法是利用和、差、积、商及复合函数求导法则，直接转化为基本函数求导问题.

例3.2 求下列函数的导数.

(1);5

x y = (2);1

4x

y =

(3);53x y = (4);10x y = (5);log 2x y = (6)x y sin =. 解析 （1）;554

15x x y =='- （2）()

;44455144x

x x x y -=-=-='='----

（3）;535

3525253x x x y =='???

? ??='- （4）;10ln 10x

y =' （5）;2

ln 1x y =' （6）().cos sin x x y ='=' 评注 对于基本初等函数（指数函数、对数函数、幂函数、三角函数），可以直接根据导数公式求解其导数，这是整个导数运算的基础，一定要熟练掌握基本初等函数的导数公式.根式一般化成分数指数幂求导. 变式1 求下列函数的导数.

（1）;3

x y = （2）;21x

y ??

?

??= （3）;log 3x y = （4）.cos x y =

（3）3log y x =； （4）cos y x =. 例3.3 求下列函数的导数

（1）432432x x x y x =+-+；（2）1ln y x x =+；（3）(21)x

y x e =+?；（4）cos x x y e

=. 分析 按照导数的运算法则计算即可，注意常用导数公式的正确使用.

解析 （1）()432432321432432x x x x x x y x x x x x ''''

????????''=+-+=+-+=+-+ ? ? ? ?????????

；

（2）()22111111ln ln y x x x x x x x x

''??????''=+=+=+-=- ? ? ???????； （3）(21)(21)(21)()2(21)(23)x x x x x x

y x e x e x e e x e x e ''''??=+?=+?++?=++?=+???

； （4）22cos (cos )cos ()sin cos sin cos ()()x x x x x x x x

x x e x e x e x e x x y e e e e '''?-?-?-?+?

?'====- ???

. 评注 利用导数的运算法则求导数时，要根据法则逐步进行，不要跳步，熟练以后可适当简化运算过程.

变式1 求下列函数的导数.

（1）41y x x =-

；（2）ln y x x =；（3）x x y e

=； （4）sin x

y e x =?；（5）sin 2y x =；（6）231

x y x -=+.

变式2 求下列函数的导数. （1）2

311y x x x x ??=+

+ ??

?；（2）2cos y x x =；（3）sin x y x

=；（4）tan y x =. 例3.4 求下列函数的导数. （1）32

x y e

+=；（2）2log (21)y x =+；（3）sin 23y x ?

?

=+

??

?

π；

（4）1

1y x

=-. 分析 设出中间变量，按照复合函数求导法则进行.

解析 （1）设32u x =+，则u

y e =，由复合函数求导法则，有()(32)3u u y e x e '''=+=，再把32

u x =+

代入得32

3x y e

+'=；

（2）设21u x =+，则2log y u =，所以22

(log )(21)ln 2

y u x u '''=+=

，再把21u x =+代入，可得2

(21)ln 2

y x =

+；

（3）设23u x =+π

，则sin y u =，所以(sin )22cos 2cos 233y u x u x '???

?''=+==+ ? ????

?ππ；

（4）设1u x =-，则1y u =，所以222

1111(1)(1)(1)y x u u u x '?

?''=-=-?-== ?-??

. 评注 新课标的考试大纲只要求掌握对复合函数()y f ax b =+型的求导.这里设中间变量u ax b =+，按照复合函数求导法则，()()()y f ax b ax b af ax b ''''=+?+=+，只要理解并记住这个公式，在解题时直接套用即可.

变式1 求下列函数的导数.

（1）ln(21)y x =+；（2）sin 24y x ?

?

=- ??

?

π； （3）21

2

ln(35)x y x +=++；（4）22(21)x

y x x e -=+-.

题型3 导数的几何意义

思路提示

函数()y f x =在点0x 处的导数，就是曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线的斜率.这里要注意曲线在某点处的切线与曲线经过某点的切线的区别.（1）已知()f x 在点00(,())x f x 处的切线方程为

000()()y y f x x x '-=-.（2）若求曲线()y f x =过点(,)a b 的切线方程，应先设切点坐标为00(,())x f x ，

由000()()y y f x x x '-=-过点(,)a b ，求得0x 的值，从而求得切线方程.另外，要注意切点既在曲线上又在切线上.

例 3.5 设P 为曲线2

:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为0,4??

????

π，则点P 横坐标的取值范围为（ ）

A ．11,2?

?--???

? B ．[]1,0- C ．[]0,1 D ．1,12

??????

分析 根据曲线的倾斜角和斜率的关系可得，曲线C 在P 处切线的斜率的范围是[]0,1，根据导数的几何意义，只要函数2

23y x x =++的导数在这个范围即可.

解析 22y x '=+，由于曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为0,4??

????

π，所以其切线的斜率的范围为[]0,1，根据导数的几何意义，得0221x ≤+≤，即1

12

x -≤≤-

.故选A. 评注 函数()y f x =在某点处的导数、曲线()y f x =在某点处的切线的斜率和倾斜角这三者之间是相互关联的，可以相互转化，在解题时要善于在这三者之间转化.

变式1 设()f x 是偶函数，若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的斜率为1，则该曲线在点(1,(1))f --处的切线的斜率为 .

例3.6 （1）曲线3

y x =在点(1,1)处的切线方程为 ；过点(1,1)的切线方程为 .

（2）过点(1,1)-的直线l 与曲线32

21y x x x =--+相切，且(1,1)-不是切点，则直线l 的斜率是（ ） A ．2 B ．1 C ．1- D ．2-

分析 若求曲线在点00(,())x f x 处的切线方程，则点00(,())x f x 为切点；若求曲线过点00(,())x f x 处的切线方程，则该点不一定为切点，应先设切点坐标，求其切线方程，代入00(,())x f x ，求其切点坐标.

解析 （1）曲线3

y x =在点(1,1)处的切线的斜率为1|3x y ='=，切线方程为13(1)y x -=-，即320x y --=.设过点(1,1)的切线的切点坐标为300(,)x x ，则切线方程为320003()y x x x x -=-，代入点(1,1)得，320

0013(1)x x x -=-，即2

000(1)(1)x x x -++= 2

003(1)x x -，得200(1)(21)0x x --+=，解得01x =或01

2

x =-

，所以切线方程为13(1)y x -=-或131

()()842

y x --=+，即320x y --=或3410x y -+=.

（2）依题意，设切点坐标为320000(,21)x x x x --+，则切线方程为32

000(21)y x x x ---+

2000(322)()x x x x =---，代入点(1,1)-，得322

0000001(21)(322)(1)x x x x x x ---+=----，即

200(1)(1)0x x +-=，得01x =-或01x =，又01x ≠-，所以01x =，直线l 的斜率为01|1x y ='=-，故

选C.

变式1 （2012安徽理19）设函数1

()(0)x x f x ae b a ae

=++>，设曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程为3

2

y x =

，求,a b 的值. 变式2 （2012北京理18）已知函数2

()1(0)f x ax a =+>，3

()g x x bx =+，若曲线()y f x =与曲线

()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，求,a b 的值.

变式3 已知函数3

2

()3611f x ax x ax =+--，2

()3612g x x x =++和直线:9m y kx =+，又(1)0f '-=.

（1）求a 的值；

（2）是否存在k ，使直线m 既是曲线()y f x =的切线，又是曲线()y g x =的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由.

例3.7 在平面直线坐标系xOy 中，已知点P 是函数()(0)x

f x e x =>的图像上的动点，该图像在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是 .

分析 先设切点坐标00(,)x

x e ，根据导数的几何意义求出切线的斜率，写出切线方程，从而求出M 的纵坐标，同理可求出N 的纵坐标，将t 表示成0x 的函数，最后借助导数的方法求出函数的最大值. 解析 设00(,)x

P x e ，0

0()|x x x k f x e

='==，l 的方程为0

00()x x y e

e x x -=-，令0x =，得

00(0,(1))x M e x -.PN 的方程为00

01()x x y e x x e -=-

-，令0x =，得0000,x x x N e e ??

+ ??

?，故0

0001(2)2x x x t e x e ??=

-+??

??

，设()(2)(0)x x g x x e xe x -=-+>，则()(1)()x x

g x x e e -'=-+，令()0g x '=，得1x =，当01x <<时，()0()g x g x '>?在(0,1)上单调递增；当1x >时，()0()g x g x '

(1,)+∞上单调递减，故2max

1()(1)e g x g e +==，所以的最大值是21

2e e

+.

评注 利用切点横坐标0x 可以表示曲线上任一点处切线的方程为：000()()()y f x f x x x '-=-. 变式1 （2012新课标理12）设点P 在曲线12

x

y e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则PQ 的最小值为（ ）

A ．1ln2-

B ln 2)-

C ．1ln2+

D ln 2)+

最有效训练题

1．设()ln f x x x =，若0()2f x '=，则0x =（ ） A ．2e B ．ln 2 C ．ln 2

2

D ．e 2．若函数()f x 满足3

21()(1)3

f x x f x x '=

-?-，则(1)f '的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．1 D ．1-

3．曲线21x

y e -=+在点(0,2)处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为（ ）

A ．

13 B ．12 C ．2

3

D ．1

4．()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x <时，()()0f x xf x '+<，且(4)0f -=，则不等式()0xf x >的解集为（ ）

A ．(4,0)(4,)-?+∞

B ．(4,0)(0,4)-?

C ．(,4)(4,)-∞-?+∞

D ．(,4)(0,4)-∞-?

5．正弦曲线sin y x =上一点P ，以点P 为切点的切线l ，则直线l 的倾斜角的范围是（ ） A ．30,

,44????????????U πππ B ．[)0,π C ．3,44??????

ππ D ．30,,424????

????????U πππ 6．已知函数()f x 在R 上满足2

()2(2)88f x f x x x =--+-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是（ ）

A ．21y x =-

B ．y x =

C ．32y x =-

D ．23y x =-+

7．已知函数()2ln(3)8f x x x =+，则0(12)(1)

lim x f x f x

?→-?-?的值为 ．

8．一辆列车沿直线轨道前进，从刹车开始到停车这段时间内，测得刹车后t 秒内列车前进的距离为

2270.45s t t =-米，则列车刹车后 秒内停下来，期间列车前进了

米．

9．如图3-2所示，函数()f x 的图像是折线段ABC ，其中,,A B C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(4,4)，那么

(3)(3)

lim

x f x f x

?→+?-? （用数字作答）．

10．已知()(1)(2)(3)()(2,)f x x x x x n n n N *

=+++???+≥∈，其导函数为()f x '，设(2)

(0)

n f a f '-=

，则100a = ．

11．已知曲线3

2

:32C y x x x =-+. （1）求曲线在1x =处的切线1l 的方程；

（2）若2:l y kx =，且直线2l 与曲线C 相切于点000(,)(0)x y x ≠，求直线2l 的方程及切点坐标； （3）在（1），（2）条件下，设1l 与2l 相交于A ，1l 与x 轴的交点为B ，求ABO ?的面积. 12．已知三次曲线3

2

:C y x bx cx d =+++的图像关于点(1,0)A 中心对称. （1）求常数b ；

（2）若曲线C 与直线:412l y x =+相切，求曲线C 的方程.

图3-2