内蒙古赤峰二中、平煤高中2013届高三5月联合考试数学理试题 Word版含答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学

赤峰二中520模拟试题

注意事项：

1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间为120分钟.

2、本试卷分试题卷和答题卷，第Ⅰ卷(选择题)的答案应填在答题卷首相应的空格内，做在第Ⅰ卷的无效.

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一． 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的。

1.若集合},2,1,0{x A =，A B A x B =?=},,1{2

，则满足条件的实数x 的个数有 A ．1个 B 2个 C ．3个 D 4个

2.我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架歼15-飞机准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法 A.12 B.18 C.24 D. 48

3.若复数i z -=2，则z

z 10+

等于

A. i -2

B. i +2

C. i 24+

D. i 36+ 4.设等比数列{a n }的公比q=2，前n 项和为S n ，则

的值为（ ）

A ．

B ．

C ．

D.

5.执行如图所示的程序框图，若输入2=x ，则输出y 的值为

A ．5 B. 9 C.14 D.41

俯视图

侧视图

正视图

图1

6.已知四棱锥P A B C D -的三视图如图1所示，则四棱锥P A B C D -的四个侧面中面积最大的是

A ．3 B

．．6 D ．8

7.已知抛物线2

2y px =的焦点F 与双曲线错误！未找到引用源。的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A

在抛物线上且||||AK AF =，则△错误！未找到引用源。

的面积为

（A ）4 （B ）8 （C ）16 （D ）32 8.如图是函数sin()y A x ω?=+(0,0,||)2

A πω?>><

在一个周期内的图像，M 、N 分别是最大、最小值点，且O M O N ⊥

，则A ω?的值为

A.

6

π B.

6

6

D.

12

9.设函数x

x a a k x f --?=)(（0>a 且1≠a ）在),(+∞-∞上既是奇函数又是增函数，

则)(log )(k x x g a +=的图象是

A B C D

10.点A 、B 、C 、D 在同一个球的球面上，AB=BC=2 , AC=2,若四面体ABCD 体积的最大值为

3

2，则这个球的表面积为

16

2584

256

125ππππD

C B

A

11．已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ＋1）＝－f （x ）。当x ∈［0,1］时，f （x ）＝

12

－x ，若g （x ）＝f （x ）－m （x ＋1）在区间（－1,2］有3个零点，则实数m 的取值范围是 （A ）（－14

，

16

） （B ）（－

14

，

16

］ （C ）11[,]64-

（D ）11

(,)64

-

12.我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知1F 、

2F 是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当

602

1=∠PF

F 时，这一对相

关曲线中双曲线的离心率是（ ）

A ．

3 B ．2 C ．

3

32 D ．2

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二填空题（共4个小题每小题5分）

13．已知向量a =(sin α,2)与向量b =(cos α,1)互相平行，则tan2α的值为_______。 14．设dx

x

n

)23(2

1

2

-=

?

，则n

x

x )

2(-

展开式中含2x 项的系数是_________。

15，已知数列满足：11a =，12

n n n a a a +=

+，（*

n N ∈），若11()(

1)n n

b n a λ+=-+，1b λ=-，

且数列{}n b 是单调递增数列，则实数λ的取值范围为 ． 16.下面6个命题：

得到

的

图象;

②函数的图象在x=1处的切线平行于直线y=x ，f(x)的单

调递增区间;

③正方体的内切球与其外接球的表面积之比为1∶3;

④“a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的充分不必要条件。

⑤设G 是ABC ?的重心，且=++GC C sin GB B sin GA A sin 73370，则角B 的大小

2

()ln f x ax x

=-y=3sin2x

C 1

A 1 C

B

B 1

P

为

3π

⑥已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤??

+≥??-≤?

，则23z x y =+的取值范围是[8,2]-

其中所有正确命题的序号为________

17，在ABC ?中，内角A,B,C 的对边分别为,,,c b a 且A b B a C a cos 3cos 3sin 2=-，

b=2,

(1) 求A 的值。

(2) 若边AB 上的中线,7=

CD 求a 的值；

18．（本题满分12分）甲乙两支球队进行总决赛，比赛采用七场四胜制，即若有一队先胜

四场，则此队为总冠军，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为二分之一．据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元． （Ⅰ）求总决赛中获得门票总收入恰好为300万元的概率； （Ⅱ）设总决赛中获得的门票总收入为X ，求X 的均值()E X ．

19.（本题满分12分）如图, 在体积为1的三棱柱ABC - A 1B 1C 1中, 侧棱AA 1⊥底面ABC, AB ⊥AC, AC = AA 1 = 1, P 为线段AB 上的动点.

(1)求证: CA 1⊥C 1P; (2)当AP 为何值时, 二面角C 1 - PB 1 - A 1的大小为π4

?

20（本小题满分12分）.已知椭圆()11:

2

2

2>=+a y

a

x C 的上顶点为A ,左焦点为F ,直线

AF 与圆0726:2

2=+-++y x y x M 相切.过点??? ?

?-21,0的直线与椭圆C 交于Q P ,两

点.

(I)求椭圆C 的方程;

(II)当APQ ?的面积达到最大时,求直线的方程. 21.(本小题满分12分 )函数()()

)(21

1)

1ln(2

R a x x a x x x f ∈-+-++=

.

一． 若函数()x f 在0=x 处取极值，求a 的值；

二． 若1->x 时，函数()x f 的图像永远在直线x y 2-=的下方，求a 的取值范围；

三． 求证：)3,()

1(1

1

1

≥∈<+*

+n N n n n n n 。

22（本小题满分10分）【选修4－1：几何选讲】

如图6，已知圆O 外有一点P ，作圆O 的切线P M ，M 为切点，过P M 的中点N ，作割线N A B ，交圆于A 、B 两点，连接P A 并延长，交圆O 于点C ，连接P B 交圆O 于点D ，若M C B C =．

（1）求证：△A P M ∽△A B P ；

（2）求证：四边形P M C D 是平行四边形．

23（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程

已知圆锥曲线3co s (x y θθθ

=???

=??为参数）

和定点3

A F 1，F 2是圆锥曲线的左右焦

点。

（1）求经过点F 2且垂直于直线AF 1的直线l 的参数方程； （2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AF 2的极坐标方程。 24（本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲

设()||2||(0).f x x x a a =+-> （1）当a=l 时，解不等式()8f x ≤；

（2）若()6f x ≥恒成立，求正实数a 的取值范围。

赤峰二中520模拟试题理数答案

1B 2C 3D 4A 5D 6C 7D 8C 9C 10B 11B 12A 13． 3

4-14．40 15，2λ<16. 235

17，解：（1）由正弦定理得，,cos sin 3cos sin 3sin sin 2A B B A c A =-

则 ----------3分

,

323

2

3s i n ,0s i n ,s i n 3)s i n (3s i n s i n 2ππ

=

=

∴=

∴≠=+=A A A c c B A c A 或又 6分

(2) 当时，3

π=

A 在ADC ?中，由余弦定理得------------------------8分

得AD=3或-1（舍）所以AB=6,在ABC ?中，由余弦定理得BC=a=72 -------10分

当3

2π=

A 时，同理得，a=32 ----------------------------------12分

18.解析: (1)连接AC 1，C 1B.

∵侧棱AA 1⊥底面ABC, ∴AA 1⊥AB,

又∵AB ⊥AC, AC∩AA 1 = A, ∴AB ⊥平面A 1ACC 1, ∴AB ⊥CA 1. ∵AC = AA 1, ∴四边形A 1ACC 1为正方形, ∴AC 1⊥CA 1.

又∵AC 1∩AB = A, ∴CA 1⊥平面AC 1B, ∴ CA 1⊥C 1P. ------------------------------5分 (2)∵C 1A 1⊥AA 1, C 1A 1⊥A 1B 1, AA 1∩A 1B 1 = A 1, ∴C 1A 1⊥平面ABB 1A 1, 又∵111

A B C -A

B C V =

12

×AB×1×1 = 1, ∴AB ＝2.

如图, 以A 1为原点, 建立空间直角坐标系A 1 - xyz , 设AP = x (0 ≤ x ≤ 2), 则A 1(0, 0, 0), B 1(0, 2, 0), C 1(0, 0, 1), P(1, x , 0).

由题意知平面A 1PB 1的一个法向量为11A C

= (0, 0, 1). ----7分 设平面C 1PB 1的法向量为n = (a , b , c ),

1B P

= (1, x - 2, 0), 11B C =(0, 2, - 1),

由111

B P 0

C B 0??=??=? n n , 得(2)0

20a x b b c +-=??-=?,

令b = 1, 则c = 2, a = 2 - x , ∴n = (2 - x , 1, 2). -------9分

依题意: cos π4=

11

11A C |A C |

?? n |n |

,

解得x 1

不合题意, 舍去)，x 2

∴

时, 二面角C 1 - PB 1 - A 1的大小为

π4

.--------------------------12分

20解:(I)将圆M 的一般方程07262

2

=+-++y x y x 化为标准方程()()3132

2

=-++y x ,则圆M 的圆心()1,3-M ,半径3=r .由()()(

)

10,,1,02

-=

-a c c F A 得直线AF 的方程

为0=+-c cy x .

由直线AF 与圆M 相切,得3132

=++--c

c c ,----------------------------3分

所以2=c 或2-=c (舍去). 当2=

c 时,312

2

=+=c a ,

故椭圆C 的方程为

13

2

2

=+y

x

.………………………………………………5分

(II)由题意可知,直线的斜率存在,设直线的斜率为k ,

则直线的方程为2

1-

=kx y .-------------------------------------7分

因为10≤

所以当1=t 时,APQ ?的面积S 达到最大, 此时

13112

=+k

,即0=k .

故当APQ ?的面积达到最大时,直线的方程为2

1-

=y .…………………12分

21答案：（1）a =2---------------------------------------------------3分 （2）由题意得()x x f 2-<,即

()

1

1)

1ln(2

+<

++x a x x ，因为01>+x ，所以1

)1ln(++>

x x a 。

令1

)1ln()(++=

x x x g ，则2

)

1()1ln(1)(++-=

'x x x g ，令0)(='x g ，得1-=e x 。

所以[]e

e g x g 1)1()(max =-=，所以e

a 1>

。-------------------------------------7分

（3）由（2）得1

)1l n ()(++=

x x x g 在),1(+∞-∈e x 时单调递减，所以函数x

x x p ln )(=

在),(+∞∈e x 时单调递减。所以当3,≥∈*

n N n 时，--------------------15分

22

证明：（Ⅰ）∵P M是圆O的切线，N A B是圆O的割线，N是P M的中点，

22证明：（Ⅰ）∵P M是圆O的切线，N A B是圆O的割线，N是P M的中点，