九上学生相似三角形讲义

第1讲相似图形与成比例线段

【学习目标】

1、从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念。

2、了解成比例线段的概念，会确定线段的比。

【学习重点】相似图形的概念与成比例线段的概念。【学习难点】成比例线段概念。【学习过程】

知识点一：比例线段

定义：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另外两条线段的比，如果

a c

b d

= ，那么就说这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。例：如四条线段的长度分别是4cm 、8cm 、3cm 、6cm 判断这四条线段是否成比例？

解：练习一：

1、如图所示：（1）求线段比AB BC 、CD DE 、AC BE 、AC

（2）试指出图中成比例线段

2、线段a 、b 、c 、d 的长度分别是30mm 、2cm 、0.8cm 、12mm 判断这四条线段是否成比例？

3、线段a 、b 、c 、d 的长度分别是

4、已知A 、B 两地的实际距离是250m 若画在图上的距离是5cm ，则图上距离与实际距离的比是___________

5、已知线段a=

12、 b =2+、c=2-a c

b x

=，则x =_________若()0b y y y c =>，则

y =__________

6、下列四组线段中，不成比例的是（）

A a=3 b=6 c=2 d=4 d=

C a=4 b=6 c=5 d=10

D 知识点二：比例线段的性质

比例性质是根据等式的性质得到的，推理过程如下：（1）基本性质：如果

a c

b d

=，那么ad bc =（两边同乘bd ，0bd ≠）在0abcd ≠的情况下，还有以下几种变形

b d a

c =、a b c

d =、c d a b

= （2）合比性质：如果

a c

b d =，那么a b

d b d

±±=

（3）等比性质：如果

a c e m

b d f

====

()0b d f n ++++≠，那么

a c e m a

b d f n b

++++=+++

+ 例2 填空：如果23a b =，则a = 2a = 、 a b b += 、 a b b

练习二：

1、已知

35a b =，求a b

a b +- 2、若234a b c ==，则23a b c a

++=_________

3、已知mx ny =，则下列各式中不正确的是（）

m x n y

= B

m n y x

= C

y m x n

= D

x y n m

= 4、已知570x y -=，则

=_______ 5、已知

345

x y z

==，求x y z x y z +++-=________

第2讲平行线分线段成比例

【学习目标】

1.理解掌握平行线分线段成比例定理，会用符号“∽”表示相似三角形，如△ABC ∽ △C B A ''';

2. 知道相似多边形的主要特征

3.会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算。

【学习重点】理解掌握平行线分线段成比例定理及应用．相似多边形的主要特征与识别。

【学习难点】掌握平行线分线段成比例定理应用．运用相似多边形的特征进行相关的计算。【学习过程】

知识点三：平行线分三角形两边成比例线段

(1) 如图27.2-1),任意画两条直线l 1 , l 2,再画三条与l 1 , l 2 相交的平行线l 3 , l 4, l 5.分别量度l 3 , l 4, l 5.在l 1 上截得的两条线段AB, BC 和在l 2 上截得的两条线段DE, EF 的长度, AB ︰BC 与DE ︰EF 相等吗任意平移l 5 , 再量度AB, BC, DE, EF 的长度, AB ︰BC 与DE ︰EF 相等吗

(2) 问题，AB ︰AC=DE ︰（），BC ︰AC=（）︰DF ．强调“对应线段

的比是否相等”

(3) 归纳总结：

平行线分线段成比例定理三条_________截两条直线，所得的_______________。

应重点关注：平行线分线段成比例定理中相比线段同线； 4）例1 如图、若AB=3cm ，BC=5cm ，EK=4cm ，写出

=_____、

= =______。求FK 的长 [活动2]平行线分线段成比例定理推论

思考：1、如果把图27.2-1中l 1 , l 2两条直线相交，交点A 刚落到l 3上，如图27.2-2（

），，所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？

2、如果把图27.2-1中l 1 , l 2两条直线相交，交点A 刚落到l 4上，如图27.2-2（2），所得的对应线段的比会相等吗？依据是什么？

3、任意平移l 5 , 再量度AB, BC, DE, EF 的平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所截得的 3、归纳总结：

平行线分线段成比例定理推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的线段。例1:如图在ABC ?中,90C ∠=?，,3,2,5DE BC BD cm DC cm BE cm ⊥===求EA 的长

解：

例2如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD=EC ，DB=1cm ，AE=4cm ，BC=5cm ，求DE 的长．

分析：由DE ∥BC ，可得△ADE ∽△ABC ，再由相似三角形的性质，有

AB AD =

，又由AD=EC 可求出AD 的长，再根据AB

BC DE =求出DE 的长．解： [巩固练习]

1.如图，在△ABC 中，DE∥BC，AC=4 ，AB=3，EC=1.求AD 和BD.

2．如图，在

□AB

CD 中，

EF ∥AB ，DE:EA=2:3，EF=4，求CD 的长． [能力提升]

1．如图，△ABC ∽△AED, 其中DE ∥BC ，找出对应角并写出对应边的比例式． 2．如图，△ABC ∽△AED ，其中∠ADE=∠B ，找出对应角并写出对应边的比例式． [归纳]判定三角形相似的（预备）定理：

平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所成的三角形与原来三角形相似。

B C

K F

这个定理揭示了有三角形一边的平行线，必构成相似三角形，因此在三角形相似的解题中，常作平行线构造三角形与已知三角形相似．练习2：

1、如图，在Rt ABC ?中，90C ∠=?，DE ⊥AC 交AB 于D ，交AC 于E ，如果DE =5，AE =12， AC =28.

求AB 的长

2、在ABC ?中，DE //BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，F 为BC 上一点，DE 交AF 于G ，已知AD=2BD ，AE =5，求（1）

；（2）AC 的长 3、如图：在ABC ?中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，已知AD =3，AB =5，A E=2，EC =

，由此判断DE 与BC 的关系是___________,理由是____________________________ 4、如图：AM ：MB=AN ：NC=1：3，则MN ：BC=__________ 5、如图：在ABC ?中，90C ∠=?，四边形EDFC 为内接正方形，AC =5，BC =3，求：AE ：DF 的比

值。

6、在ABC ?中，D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE //BC ，如果2

AD DB =，且AC ＝10，求AE 及EC 的长。 7．如图，DE ∥BC ，（1）如果AD=2，DB=3，求DE:BC 的值；

（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，DE=7，求AE 和BC 的长． 8、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位

置上，求球拍击球的高度h ．(设网球是直线运动)

第3讲相似多边

形

【学习目标】

1．知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等。 2．会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相关的计算。【学习重点】相似多边形的主要特征与识别。

【学习难点】运用相似多边形的特征进行相关的计算。【学习过程】

[探究研讨]

[活动1]观察，图27.1-4(1)中的△A 1B 1C 1是由正△ABC 放大后得到的,观察这两个图形,它们的对应角有什么关系？对应边又有什么关系呢？知识点四：相似多边形

1、相似形定义：具有的图形称为相似形

2、相似多边形：对应角，的多边形叫相似多边形

3、相似多边形的性质：

○

1相似多边形的对应角相等，对应边的比相等反过来，如果两个多边形满足对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形相似。 3．【结论】：

（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角______，对应边的比_______．

反之，如果两个多边形的对应角______，对应边的比_______，那么这两个多边形_______．几何语言：在⊿ABC 和⊿A 1B 1C 1中

若111;;C C B B A A ∠=∠∠=∠∠=∠．则⊿ABC 和⊿A 1B 1C 1相似

（2）相似比：相似多边形________的比称为相似比．

问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？

结论：相似比为1时，相似的两个图形______，因此________形是一种特殊的相似形． [例题解析]

例1、（选择题）下列说法正确的是（）

A ．所有的平行四边形都相似

B ．所有的矩形都相似

C ．所有的菱形都相似

D ．所有的正方形都相似

分析：A 中平行四边形各角不一定对应相等，因此所有的平行四边形不一定都相似，故A

错；B 中矩形虽然各角都相等，但是各对应边的比不一定相等，因此所有的矩形不一定都相似，故B 错；C 中菱形虽然各对应边的比相等，但是各角不一定对应相等，因此所有的菱形不一定都相似，故C 也错；D 中任两个正方形的各角都相等，且各边都对应成比例，因此所有的正方形都相似，故D 说法正确，因此此题应选D ．

例2、如图：已知，四边形ABCD 与四边形A B C D ''''相似，求B C ''，C D ''长和D ∠大小

解：巩固练习1

1．在比例尺为1﹕10 000 000的地图上，量得甲、乙两地的距离是30 cm ，求两地

的实际距离．

2．如图所示的两个直角三角形相似吗？为什么？

3．如图所示的两个五边形相似，求未知边a 、b 、c 、d 的长度． 4如图，四边形ABCD 和EFGH 相似，求角βα和的大小和EH 的长度x ．

27.1-6

练习2：

1、下列说法正确的是（） A 任意两个菱形一定相似

B 任意两个矩形一定相似

C 有一个角是30?的两个等腰三角形相似

D 任意两个等腰直角三角形一定相似

2、已知26AOB ∠=?，在放大镜里看到的AOB ∠的度数是___________

3、在ABC ?中，BC ＝15cm ，AC ＝45cm,AB ＝54ｃｍ，另一个与它相似的三角形最短边是5ｃｍ，则最长一边是

4、用一个放大镜看一个四边形ABCD ，若该四边形的边长放大10倍后，下列说法正确的是（） A

A ∠是原来的10倍

B 周长是原来的10倍

C 每个内角都发生了变化

D 以上说法都不对

5.四边形ABCD 与四边形A B C D ''''相似图形，且A 与A '、B 与B '、C 与C '是对应点，已知AB ＝10、BC ＝8、CD ＝８、AD ＝６、30A B ''=，求四边形A B C D ''''的其余三边的边长及周长。

6.正五边形ABCDE ∽正五边形A B C D E '''''，且

2AB

A B =''

，若6C D ''=，则CD ＝＿＿＿ ○

2相似多边形对应边，周长的比等于相似比，相似多边形面积的比等于相似比的平方例5：如图：在等腰梯形ABCD 中，上底为5，下底为13，腰长为5，等腰梯形A B C D ''''与它相似，相似比为3

，求等腰梯形A B C D ''''的周长及面积。解：练习3：

1、已知多边形A 与多边形B 相似，且多边形A 与多边形B 的周长比为1：3，则:B A S S ＝＿＿＿

2、已知两个相似多边形的相似比为5：7，若较小的一个多边形的周长为35，则较大的一个多边形的周长为＿＿＿＿＿，若较大的一个多边形的面积是4，则较小的一个多边形的面积是＿＿＿＿＿

3、两个相似多边形的最长边分别是70和28，它们的周长和为280，则它们的周长分别为＿

4、如果把一个12ｃｍ?21ｃｍ的矩形按相似比为3

进行变换，得到的新矩形的周长为＿＿面积为＿＿＿＿

5、两个相似多边形一组对应边的长分别是3cm 和4cm ，它们的面积相差282

cm ，求这两个多边形的面积分别是多少？

知识点五：相似三角形

1、相似三角形的定义：对应角相等，对应边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。

2、相似三角形的判定方法：（1）判定方法一：定义判定

（2）判定方法二：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边反向延长线）所构成的三角形与原三角形相似

例题6：如图：DE //BC ，交AB 于D 、交AC 于E ，若AD ：DB ＝2：３，BC ＝１５，求DE 的长解：

练习题4：

1、如图：DE //BC ，则图中________∽__________,理由是__________

2、如图：AB //EF //DC ，则图中相似三角形有_______对，它们分别是________

3、如图：在ABC ?中，DE //BC ，AD ＝EC 、BD ＝1cm ，AE ＝4cm 、BC ＝5cm,求DE 的长

4、如图：AB //CD ，OA ：OD ＝1：2，AB ＝4cm ，则CD 的长为（）

A 2cm

B 6cm

C 8cm

D 10cm

5、如图：AB//CD ，则图中有_______对相似三角形

第2题图

第1题图

第4课时相似三角形的判定

：

【学习目标】

1．初步掌握“三组对应边的比相等的两个三角形相似”“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”两角对应相等，两个三角形相似的判定方法．的判定方法， 2．能够运用三角形相似的条件解决简单的问题．

【学习重点】掌握3种判定方法，会运用3种判定方法判定两个三角形相似。

【学习难点】

（1）三角形相似的条件归纳、证明；

（2）会准确的运用两个三角形相似的条件来判定三角形是否相似．

【学习过程】 [知识回顾]

(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？ (2) 我们学习过哪些判定三角形相似的方法？ (3) 相似三角形与全等三角形有怎样的关系？探究研讨1 [活动1]

1、如图，如果要判定△ABC 与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？

2、可否用类似于判定三角形全等的SSS 方法，能否通过一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应的比相等，来判定两个三角形相似呢？

[活动2]任意画一个三角形，再画一个三角形，使它的各边长都是原来三角形各边长的k 倍，度量这两个三角形的对应角，它们相等吗？这两个三角形相似吗？与同学交流一下，看看是否有同样的结论。（1）问题：怎样证明这个命题是正确的呢？（2）探求证明方法．（已知、求证、证明）

如图27.2-4，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，

A C CA

C B BC B A AB '

'=''=''，求证△ABC∽△A ′B ′C ′ 证明：【归纳】

三角形相似的判定方法1

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似．

判定方法2：如果一个三角形的两条边与另外一个三角形的两条边对应成比例，并且这两条边的夹角相等，那么这两个三角形相似，简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。例1 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠ACD ，AB=6，BC=4，AC=5，CD=2

，求AD 的长解：

例题2：如图：BC 平分ABD ∠，AB ＝4、BD ＝10、BC ＝，

求证：△ABC ∽△CBD

证明：

三角形相似的判定方法3：如果一个三角形的两个角与另一个三角形两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简单说成：“两角对应相等，两个三角形相似” 若∠=∠∠=∠A A B B ''，则??ABC

A B C ~'''

直角三角形相似判定方法：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和一条直角边对应成比例，这两个直角三角形相似。简单说成：斜边与一条直角边对应成比例，则两直角三角形相似。若：

AC A C AB

A B ''''

= 则??ABC A B C ~''' 例3.已知：如图，矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于F ，若AB=4，AD=5，AE=6，求DF 的长． [巩固练习]

1 、填一填

（1）如图3，点D 在AB 上，当∠ ＝∠ 时， △ACD ∽△ABC 。

（2）如图4，已知点E 在AC 上，若点D 在AB 上，则满足

条件，就可以使△ADE 与原△ABC 相似。

2.。判断ABC ?与

A B C '''?是否相似

并说明理由。

100A ∠=?

AB ＝

5cm

AC=15cm

3．下列说法是否正确，并说明理由．

（1）有一个锐角相等的两直角三角形是相似三角形；（2）有一个角相等的两等腰三角形是相似三角形．

4.在ABC DEF ??和中，30A ∠=?、AB ＝8cm 、AC=10cm 、DE=4cm 、DF=5cm 当______时△ABC ∽△DEF

5如图：正方形ABCD 中，P 是BC 上一点，且BP ＝3PC 、Q 是CD 的中点，则

=____ 6．如果在△ABC 中∠B=30°，AB=5㎝，AC=4㎝，在△A’B’C’中，∠B’=30°A’B’=10㎝，A’C’=8㎝，这两个三角形一定相似吗？试着画一画、看一看？

7．如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，求证：△ABC ∽△DEF ．

8.(1)如图，△ABC 中，点D 在AB 上，如果AC 2

=ADAB ，那么△ACD 与△ABC 相似吗？说说你的理由．

（2）如图，△ABC 中，点D 在AB 上，如果∠ACD=∠B ，那么△ACD 与△ABC

相似吗？

[能力提升]

1．如图，ABAC=ADAE ，且∠1=∠2，求证：△ABC ∽△

AED ．

图 3

图 4

2．已知：如图，P 为△ABC 中线AD 上的一点，且BD 2

=PDAD ，求证：△ADC ∽△CDP ．

3 、在△ABC 和△A ′B ′C ′中，如果∠A ＝80°，∠C ＝60°，∠A ′＝80°，∠B ′＝40°，那么这两个三角形是否相似？为什么？

4、已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 交于点F ．求证：

FD EF

BF AF =． 5.已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．

第5讲相似三角形的性质

知识点六：相似三角形的性质：

相似三角形的性质（1）相似三角形的周长比等于相似比

例题1：ABC ?与ADE ?相似， CE ＝15、AE ＝30、D E ＝40、AD ＝20、DE //BC ，求ABC ?的周长解：练习1：

1、两个相似三角形的相似比为3：5，则周长比为__________

2、两个相似三角形的相似比的平方等于2，周长之比为k ,则

k -=__________ 3、两个相似三角形一对对应边的长分别为35cm 和15cm ，它们的周长差为60cm ，则这两个三角形的周长分别是_____________

4、如图：在ABC ?中，D 、E 、F 分别是边AB 、BC 、AC 的中点，若ABC ?的周长为20cm ,则DEF ?的周长为（） A 5cm

B 10cm

C 12cm

D 15cm

5、如图：在梯形ABCD 中，AD //BC ，AC 与BD 相交于O ，若AOD ?与COB ?的周长之比为1：4，且BD ＝12cm ，则BO 的长为__________ cm

相似三角形的性质（2）：相似三角形的面积比等于相似比的平方

例题2：两个相似三角形一组对应边的长分别是3cm 和4.5cm ，若它们的面积和是782

cm ，则较大的三角形的面积是（） A 422

cm B 522

C 542

D 562

练习2：

1、相似三角形的周长比等于________面积比等于___________

2、已知两个相似三角形的对应边的比为1：2则它们的周长比为______面积比为________

3、已知△ABC ∽△A`B`C`，它们的周长分别为56cm 、72 cm ，则它们的面积比为_________

4、在比例尺为1：1000的地图上有一块周长为6cm ，面积为1.2 cm 的区域，这块区域的实际周长为

___________面积为__________

5、如图：在ABC ?中，DE //FG //BC 、且AD ＝DF ＝FB ，则::ADE DEGF FGCB S

S S 四边形四边形＝_______

相似三角形的性质（3）：相似三角形对应边上的高、对应边上的中线对应边上的角平

分线的比等于相似比

例题3：如图：在边长为2的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，BM ⊥CE 、MN ⊥BE ，求BM ：MN

解：

练习3：

1、两个相似三角形的对应高的比为2：3，则对应角平分线的比为______,对应中线的比为_________,面积

比为____________

2、已知两个相似三角形对应角平分线的比为4：5，周长和为18cm ,那么这两个三角形的周长分别是

____________

3、若△ABC ∽△A`B`C`，它们对应中线之比为m ,则对应周长比为______,对应面积比为_____

4、如图：在Rt ABC ?中，DE 垂直且平分AC 、AE //DF ,则DF ：BE ＝________

5、如图：在ABC ?中，DE //BC 、ABC ?与ADE ?的相似比为5：4，AM BC ⊥交DE 于M 、已知MN

＝2，求AN 的长。

第6课时相似三角形应用举例

【学习目标】

1．进一步巩固相似三角形的知识．

2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度（如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）等的一些实际问题．

3.通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力．

【学习重点】运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度．

【学习难点】灵活运用三角形相似的知识解决实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）．【学习过程】 [知识回顾]

1、判断两三角形相似有哪些方法

2、相似三角形有什么性质？探究研讨1 1、问题1：

学校操场上的国旗旗杆的高度是多少？你有什么办法测量？

例3：据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成的两个相似三角形来测量金字塔的高度．

如图，如果木杆EF 长2 m ，它的影长FD 为3 m ，测得OA 为201 m ，求金字塔的高度BO ．（思考如何测出OA 的长？）

分析：根据太阳光的光线是互相平行的特点，可知在同一时刻的阳光下，竖直的两个物体的影子互相平行，从而构造相似三角形，再利用相似三角形的判定和性质，根据已知条件，求出金字塔的高度．

解： [巩固练习]

在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为90米，那么高楼的高度是多少米（在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．）探究研讨2

已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB = 8 m 和CD = 12 m ，两树根部的距离BD = 5 m ．一个身高1.6 m

的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l 从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C ？解：经典例题

例题1：小强用以下方法来测量教学楼AB 的高度，如图所示：在水平地面上放一面平面镜与教学楼的距离EA=21m ，当他与镜子的距离CE=2.5m 时，他刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B ，已知他眼睛距地面的高度DC=1.6m ，请你帮助小强计算出教学楼的高度AB 为多少米？解：

例题2：如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标P ，在近岸取点Q 和S ，使点P 、Q 、S 共线且直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R ．如果测得QS = 45 m ，ST = 90 m ，QR = 60 m ，求河的

宽度PQ ．解：练习：

1、已知如图：AB 为树、AC 是它的影长，AD 是一

段树

干，AD 的影长为AE ，AC=8m 、AE=2m 、AD=1.5m,求树高AB 的长

2.如图，测得BD=120 m ，DC=60 m ，EC=50 m ，求河宽AB 。 [能力提高]

1.为了测量一池塘的宽AB,在岸边找到了一点C,使AC ⊥AB ，在AC 上找到一点D ，在BC 上找到一点E,使DE ⊥AC ，测出AD=35m ，DC=35m ，DE =30m,那么你能算出池塘的宽AB 吗

第125米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为米．

第2题图

3、马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目，如图：跷跷板支柱AB 的高度为1.2米，（1）若吊环高度为2米，支点A 为PQ 中点狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？（2）若吊环高度为3.6米，在不改变其他条件的前提下，移动支柱，当支点A 移到PQ 的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？

4.某社区拟筹资金2000元，计划在一块上、下底分别为10m 、20m 的梯形空地上种植花木，如图：他们想在AMD ?和BMC ?地带种植价格为10元/m 2的太阳花，当AMD ?地带种满花后已经花了500元，请预算一下，若继续在BMC ?地带种植同样的太阳花，资金地否够用？并说明理由。

5、李乐同学要在校园里测量一棵大树的高度，他发现树旁有一根高2.5m 的电线杆，当他与大树和电线杆站在同一条直线上时，其前后距离，恰好使他的头顶、树顶、电线杆的顶点也都在一条直线上，他又用皮尺量得他和电线杆之间的水平距离为3m ，电线杆与树间的水平距离为10m ，同时他借助他1.7m 的身高，确定了树的高度，你能分析他是如何计算出来的吗？

第3题图

第4题图

第1题图

6、小明想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m 的竹竿影长0.9m ，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图，他先测得留在墙上的影高1.2m ，又测得地面部分的影长2.7m ，他求得的树高是多少？

第7课时位似

【学习目标】

1、了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形的性质．

2、掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形的方法将一个图形放大或缩小．

【学习重点】位似图形的有关概念、性质与作图．【学习难点】利用位似将一个图形放大或缩小．【学习过程】

[探究研讨] [活动1] 提出问题：

生活中我们经常把自己好看的照片放大或缩小，由于没有改变图形的形状，我们得到的照片是真实的.

观察图27.3-2图中有多边形相似吗？如果有，那么这种相似什么共同的特征？

图27.3-2

通过观察了解到有一类相似图形，除具备相似的所有性质外，还有其特性，学生自己归纳出位似图形的概念：如果两个图形不仅是相似图形，而且是每组对应点连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形. 这个点叫做位似中心.这时的相似比又称为相似比.（位似中心可在形上、形外、形内.)

知识点八：位似

1、位似的定义：

两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线交于一点，对应边互相平行的两个图形叫做位似图形。交点叫做位似中心。

每对位似对应点与位似中心共线；不经过位似中心的对应线段平行．

2、位似的性质：

位似图形对应点和位似中心在同一条直线上，它们到位似中心的比等于相似比

3、利用位似，可以将一个图形放大或缩小

4、位似变换与坐标的关系

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k -

例题1：已知EFH ?和MNK ?是位似图形，请找出位似中心A 例2：把图1中的四边形ABCD 缩小到原来的2

1．分析：把原图形缩小到原来的

，也就是

使新图形上各顶点到位似中心的距离与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1∶2 ．作法一：（1）在四边形ABCD 外任取一点O ；

（2）过点O 分别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；

（3）分别在射线OA ，OB ，OC ，OD 上取点A ′、B ′、C ′、D ′，使得

OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='；（4）顺次连接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，得到所要画的四边形A ′B ′C ′D ′，如图2．

问：此题目还可以如何画出图

形？

作法二：（1）在四边形ABCD 外任取一点O ；

（2）过点O 分别作射线OA ， OB ， OC ，OD ；

（3）分别在射线OA ， OB ， OC ， OD 的反向延长线上取点A ′、B ′、C ′、D ′，使得

OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='；（4）顺次连接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，得到所要画的四边形A ′B ′C ′D ′，如图3．

作法三：（1）在四边形ABCD 内任取一点O ；（2）过点O 分别作射线OA ，OB ，OC ，OD ；

（3）分别在射线OA ，OB ，OC ，OD 上取点A ′、B ′、C ′、D ′，使得

OD D O OC C O OB B O OA A O ='='='='；（4）顺次连接A ′B ′、B ′C ′、C ′D ′、D ′A ′，得到所要画的四边形A ′B ′C ′D ′，如图4．

（当点O 在四边形ABCD 的一条边上或在四边形ABCD 的一个顶点上时，作法略——可以让学生自己完成）

例题3：如图：五边形ABCDE 与五边形A B C D E '''''是位似图形，O 为位似中心、OD ＝12

OD '，则

A B AB ''

为（） A 2:3

B 3:2

C 1:2

D 2:1

例题4：ABC ?三个顶点坐标分别为()6,6A -、()8,2B -、()4,0C -、画出它的以原点为位似中心，

相似比为1

的位似图形。解

3、运用位似图形的有关概念解决具体问题

例题5：印刷一张矩形的张贴广告，如图所示，它的印刷面积是32dm ，上下各空白1dm ，两边各空白0.5dm ，设印刷部分从上到下的长是x dm ，四周空白处的面积为S 2

dm （1）求S 和x 的关系式;

（2）当要求四周空白处的面积为182

dm ,求用来印刷这张广告的纸张的长和宽各是多少？（3）在（2）的条件下，内外两个矩形的位似图形吗？说明理由。

解：

（3）内外两个矩形是位似图形，因为两矩形相似，且对应顶点的连线都经过矩形中心，如图所示巩固练习1

1．画出所给图中的位似中心．

2.把右图中的五边形ABCDE 扩大到原来的2倍． [能力提升]

1．已知：如图，△ABC ，画△A′B′C′，使△A′B′C′∽△ABC ，且使相似比为1.5，要求（1）位似中心在△ABC 的外部；（2）位似中心在△ABC 的内部；（3）位似中心在△ABC 的一条边上；（4）以点C 为位似中心．练习2：

1、如图：△ADE ∽△ABC ， ABC ?与ADE ?_______位似图形（填“是”或“不是”）

2、利用位似图形可以将一个图形_________或___________

3、下列说法正确的 ( )

A 相似的两个正五边形一定是位似图形

B 两个大小不同的正三角形一定是位似

C 两个位似图形一定是相似图形

D 所有的正方形都是位似图形

4、两个全等三角形（）

A 一定是位似图形

B 一定不是位似图形

C 不一定是位似图形

D 只能是位似图形

5、下列说法正确的是（）

A 两个位似图形一定是全等形

B 两个位似图形的对应点连线有可能不相交

C 两个位似图形的对应点连线的交点的个数有且只有一个

D 两个位似图形大小肯定相等

6、用放大镜把ABC ?放大3倍后，下列结论正确的是（）

A A ∠是原来的3倍

B 周长是原来的3倍

C 面积是原来的3倍

A ∠、周长、面积都是原来是3倍

练习3：

1、四边形ABCD 与四边形A B C D ''''是位似图形，O 是位似中心若OA ：O A '＝1：3，那么AB ：

A B ''=________

2、如果两个多边形的位似比为1：2，那么它们的面积是（）

A 1：2

B 1：4

C 1：1

D 1

3、如图：四边形ABCD 与四边形A B C D ''''是位似图形、且PA ：PA '＝2：3，若四边形ABCD 面积为242

cm ,则四边形A B C D ''''的面积为（）

A 362

cm B 402

C 542cm

D 482

4、大矩形的周长是与它位似的小矩形的周长的2倍，小矩形的面积是52

cm ，大矩形的长为5cm,则大矩

形的宽为__________

第3题图

第1题图

第2题图

5.如图：五边形ABCDE 和五边形A B C D E '''''是两个位似图形、且1

PA PA '=，则:AB A B ''＝________ 练习4：

1、如图：若边长为2的正方形ABCD 和A B C D ''''是以点A 为对称中心的中心对称图形，则点C '的坐标为（）

()2,2-

()2,2- C ()2,2--

()1,2--

2、如图：

ABC ?缩小后，得到C B A '''?，则ABC ?与C B A '''?的位似比为____________

3、如图：已知()2,4E -、F ()1,1--以O 为位似中心，按比例尺1：2，把EOF ?缩小，则点E 的对应点

E '的坐标为（）

A ()1,2-或()1,2-

B ()4,8-或()4,8-

C ()1,2-

D ()4,8-

4、在坐标系中正方形ABCE 各顶点的坐标分别为A ()1,1、B ()1,1-、C ()1,1--、D ()1,1-，以坐标原点为位似中心，将正方形ABCD 放大，使放大后的正方形D C B A ''''的边长是原正方形ABCD 的边长的3倍。（1）写出D C B A ''''的坐标；（2）直线AC 与直线D B ''垂直吗？说明理由。练习5：

1、如图：点B 和点C 之间的距离，因有障碍不能直接测量，现测得AB=25m 、AC=20m 、

?=∠40B AC ，试用1：1000的比例尺画出ABC ?，量出BC 的长，求出实际的距离。

2、如图：铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m 。当短臂端点下降0.5m 时，长臂端点升高_______米

3、你看过或听说过埃及金字塔解秘的故事吗神秘的金字塔引来无数游客观光旅游。据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾用相似三角形的原理测量出金字塔的高度，他是怎样求出金字塔的高度的如图，如果木杆EF 长2m ，它的影长FD 为3 m ，测得OA 为201 m ，求金字塔的高度BO 。

4.如图27-2-26，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P ，在近岸取点Q 和S ，使点P 、Q 、S 共线且直线PS 与河垂直，接着在过点S 且与PS 垂直的直线a 上选择适当的点T ，确定PT 与过点Q 且垂直PS 的直线b 的交点R 。如果测得QS=45 m ，ST=90 m ，QR=60 m ，求河的宽度PQ 。

5、已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m 和CD=12m ，两树的根部的距离BD=5m ，一个身高1．6m 的人沿着正对这两棵树的一条水平直路L 从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C ？

第5题图