弹性力学基本概念和考点汇总

基本概念：

（1） 面力、体力与应力、应变、位移的概念及正负号规定 （2） 切应力互等定理：

作用在两个互相垂直的面上，并且垂直于改两面交线的切应力是互等的（大小相等，正负号也相同）。 （3） 弹性力学的基本假定：

连续性、完全弹性、均匀性、各向同性和小变形。 （4） 平面应力与平面应变；

设有很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力或约束。同时，体力也平行与板面并且不沿厚度方向变化。这时，

0,0,0z zx zy σττ===，由切应力互等，0,0,0z xz yz σττ===，这样只剩下平行于xy 面的三个平面应力分量，即,,x y xy yx σσττ=，所以这种问题称为平面应力问题。

设有很长的柱形体，它的横截面不沿长度变化，在柱面上受有平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束，同时，体力也平行于横截面且不沿长度变化，由对称性可知，0,0zx zy ττ==，根据切应力互等，0,0xz yz ττ==。由胡克定律，

0,0zx zy γγ==，又由于z 方向的位移w 处处为零，即0z ε=。因此，只剩下平行于xy 面的三个应变分量，即,,x y xy εεγ，所以这种问题习惯上称为平面应变问题。 （5） 一点的应力状态；

过一个点所有平面上应力情况的集合，称为一点的应力状态。 （6） 圣维南原理；（提边界条件）

如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主失相同，主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受到的影响可以忽略不计。 （7） 轴对称；

在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。 一、 平衡微分方程：

(1) 平面问题的平衡微分方程；

00yx

x x xy y

y f x y

f x y

τστσ??++=????++=??（记）

(2) 平面问题的平衡微分方程（极坐标）；

10210f f ρρ?ρ?

ρ?

ρ?ρ???σ?τσσ?ρρ??ρ

?σ?ττρ???ρρ

-+++=+++=

1、平衡方程仅反映物体内部的平衡，当应力分量满足平衡方程，则物体内部是平衡的。

2、平衡方程也反映了应力分量与体力（自重或惯性力）的关系。 二、 几何方程；

（1） 平面问题的几何方程；

x y xy u

x v y v u x y

εεγ?=

??=???=+

??（记）

（2） 平面问题的几何方程（极坐标）；

1212

121u

u v v u v ρρρ???ρ?ρ?ρ?εεερ

εεερρ??

γγγρρ?ρ

?=+=??=+=+

??=+=

+-??

1、几何方程反映了位移和应变之间的关系。

2、当位移完全确定时，应变也确定；反之，当应变完全确定时，位移并不能确定。（刚体位移） 三、 物理方程；

（1） 平面应力的物理方程；

()()()1

1

21x x y y y x xy xy

E E

E

εσμσεσμσμγτ=

-=-+=（记）

（2） 平面应变的物理方程；

()22111121x x

y y y

x xy

xy

E E E

μμ

εσσμμμεσσμμγτ??-=- ?-????-=- ?-??

+= （3） 极坐标的物理方程（平面应力）；

1

()1

()12(1)E E G E

ρρ???ρρ?ρ?ρ?

εσνσεσνσνγττ=

-=-+==

（4） 极坐标的物理方程（平面应变）；

221()

11()12(1)E E E

ρρ???ρρ?ρ?

μμεσσμμμεσσμμγτ-=---=--+=

四、 边界条件； （1） 几何边界条件；

平面问题：()()

()()

s s u u s v v v == 在u s 上；

（2） 应力边界条件；

平面问题：

()()x

yx x

s

xy

y y

s

l m f l m f σ

ττ

σ+=+=（记）

（3） 接触条件；

光滑接触：()()n n

σσ'= n 为接触面的法线方向 非光滑接触：()()

()()

n n n n u u σσ'='= n 为接触面的法线方向

（4） 位移单值条件；

()()2u u θπθ+=

（5） 对称性条件：

在空间问题中，如果弹性体的几何形状、约束情况，以及所受的外力作用，都是对称于某一轴（通过该轴的任一平面都是对称面），则所有的应力、变形和位移也就对称于这一轴。这种问题称为空间轴对称问题。

一﹑概念

1．弹性力学，也称弹性理论，是固体力学学科的一个分支。

2.固体力学包括理论力学、材料力学、结构力学、塑性力学、振动理论、断裂力学、复合材料力学。

3基本任务：研究由于受外力、边界约束或温度改变等原因，在弹性体内部所产生的应力、形变和位移及其分布情况等。.

4研究对象是完全弹性体，包括杆件、板和三维弹性体，比材料力学和结构力学的研究范围更为广泛

5.弹性力学基本方法：差分法、变分法、有限元法、实验法.

6弹性力学研究问题，在弹性体内严格考虑静力学、几何学和物理学 三方面条件，在边界上考虑边界条件，求解微分方程得出较精确的解答；.

7.弹性力学中的基本假定：连续性、完全弹性、均匀性、各向同性、小变形假定。 8.几何方程反映的是形变分量与位移分量之间的关系。 9.物理方程反映的是应力分量与形变分量之间的关系。

10.平衡微分方程反映的是应力分量与体力分量之间的关系。

11当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。反之，当形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。

12.边界条件表示在边界上位移与约束、或应力与面力之间的关系式。它可以分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。

13．圣维南原理主要内容：如果把物体表面一小部分边界上作用的外力力系，变换为分布不同但静力等效的力系（主失量相同，对同一点的主矩也相同），那么只在作用边界近处的应力有显著的改变，而在距离外力作用点较远处，其影响可以忽略不计。

14. 圣维南原理的推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主失量和主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处产生显著的应力，而远处的应力可以不计。这是因为主失量和主矩都等于零的面力，与无面力状态是静力等效的，只能在近处产生显著的应力。 15.求解平面问题的两种基本方法：位移法、应力法。

16.弹性力学的基本原理：解的唯一性原理﹑解的叠加原理﹑圣维南原理。

会推导两种平衡微分方程

17.逆解法步骤：(1)先假设一满足相容方程(2-25)的应力函数 （2）由式(2-24)，根据应力函数求得应力分量

（3）在确定的坐标系下，考察具有确定的几何尺寸和形状的弹性体，根据主

要边界上的面力边界条件(2-15)或次要边界上的积分边界条件, 分析这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而得知所选取的应力函数可以解决什么样的问题。（或者根据已知面力确定应力函数或应力分量表达式中的待定系数

18.半逆解法步骤：(1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、受力特征和变形

的特点或已知的一些简单结论，如材料力学得到的初等结论，假设部分或全部应力分量的函数形式

(2)按式(2-24)，由应力推出应力函数f 的一般形式（含待定函数项）； (3)将应力函数f 代入相容方程进行校核，进而求得应力函数f 的具体表达形式；

(4)将应力函数f 代入式(2-24)，由应力函数求得应力分量

(5)根据边界条件确定未知函数中的待定系数；考察应力分量是否满足全

5.平面问题的应力边界条件为

7.圣维南原理的三个积分式

如果给出单位宽度上面力的主矢量和主矩，则三个积分边界条件变为

8.艾里应力函数

)()()

()(s f m l s f m l y s y xy x s xy x =+=+σττσ?

?

?

??

?--±=--±=--±=?±=??±=??±=?2

/2/2/2/2/2/2/2/2/2

/2/2/1

)(1)

(1

)(1)

(1

)(1)(h h y

h h l x xy h h x

h h l x x h h x

h h l x x dy y f dy ydy y f ydy dy y f dy τσσs

h h l x xy h h l x x N h h l x x F dy M

ydy F dy =?=?=??

??-=-=-=2

/2/2/2

/2/2

/1)(1)(1)(τ

σ

σy x y x y f x y x x f y y x xy y y x x ???-=-??=-??=),(,),(,),(2

2

222φτφσφσ填空 计 算 理 解 计算

一、单项选择题（按题意将正确答案的编号填在括弧中，每小题2分，共10分）

1、弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，还必须结合（ C ）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。

A ．相容方程

B ．近似方法

C ．边界条件

D ．附加假定

2、根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用（ B ）

的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计。

A ．几何上等效

B ．静力上等效

C ．平衡

D ．任意 3、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程不完全相同，其比较关系为（ B ）。

A ．平衡方程、几何方程、物理方程完全相同

B ．平衡方程、几何方程相同，物理方程不同

C ．平衡方程、物理方程相同，几何方程不同

D ．平衡方程相同，物理方程、几何方程不同

在研究方法方面：材力考虑有限体ΔV 的平衡，结果是近似的；弹力考虑微分体dV 的平，结果比较精确。

4、常体力情况下，用应力函数表示的相容方程形式为024422444=??+???+??y

Φ

y x Φx Φ，

6、设有函数???

?

??-+???? ??-+-=Φh y h y qy h y h y qx 332332251344， （1）判断该函数可否作为应力函数？（3分）

（2）选择该函数为应力函数时，考察其在图中所示的矩形板和坐标系（见题九图）中能解决什么问题（l >>h ）。（15分）

解：

（1）将φ代入相容方程024422444=??+???+??y

Φ

y x Φx Φ，显然满足。因此，该函数可以作为

应力函数。

O

x

h/2

h/2y

（2）应力分量的表达式：

???

? ??--=??Φ?-=???? ??-+-=?Φ?=-+=?Φ?=2

23

233223

33222461342,3346y h h

qx

y x h y

h y q x h qy h qy h y qx y xy y x τσσ

考察边界条件：在主要边界y ＝±h/2上，应精确满足应力边界条件

()q h y h y q h

y h

y y -=????

??-+-=-=-=2

332

1342σ ()

013422

332

=???? ??-+-===h

y h

y y h y h y q σ ()

0462

2232

=???? ??--=±=±=h

y h

y xy y h h qx τ 在次要边界x ＝0上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件：

())(0

3342

/2/3302

/2/奇函数=???

?

??-=??-=-dy h qy h qy dy h h x h h x σ

()0

3342

/2/3302

/2/=???

?

??-=??-=-ydy h qy h qy ydy h h x h h x σ

()

2/2

/==-?dy x h h xy

τ

在次要边界x ＝l 上，应用圣维南原理，可列出三个积分的应力边界条件：

())(0

33462

/2/33322

/2/奇函数=???

?

??-+-=??-=-dy h qy h qy h y ql dy h h l x h h x σ

()233462

/2/33322

/2/ql ydy h qy h qy h y ql ydy h h l x h h x -=???

? ??-+-=??-=-σ

()ql y h h ql dy h h l x h h xy -=?

??

? ??--=??-=-2

/2/2232

/2/46τ

对于如图所示的矩形板和坐标系，结合边界上面力与应力的关系，当板内发

生上述应力时，由主边界和次边界上的应力边界条件可知，左边、下边无面力；而上边界上受有向下的均布压力；右边界上有按线性变化的水平面力合成为一力偶和铅直面力。

所以,能够解决右端为固定端约束的悬臂梁在上边界受均布荷载q 的问题。

2009 ~ 2010学年第 二 学期期末考试试卷 （ A ）卷

一． 名词解释（共10分，每小题5分）

1. 弹性力学：研究弹性体由于受外力作用或温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。

2. 圣维南原理：如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。

应力符号的规定为： 正面正向、负面负向为正，反之为负 。4. 弹性力学中，正面是指 外法向方向沿坐标轴正向 的面，负面是指 外法向方向沿坐标轴负向 的面 。

1. （8分）弹性力学平面问题包括哪两类问题？分别对应哪类弹性体？两类平面问题各有

哪些特征？ 答：弹性力学平面问题包括平面应力问题和平面应变问题两类，两类问题分别对应的弹性体和特征分别为：

平面应力问题：所对应的弹性体主要为等厚薄板，其特征是：面力、体力的作用面平行于xy 平面，外力沿板厚均匀分布，只有平面应力分量x σ,y σ,xy τ存在，且仅为x,y 的函数。 平面应变问题：所对应的弹性体主要为长截面柱体，其特征为：面力、体力的作用面平行于xy 平面，外力沿z 轴无变化，只有平面应变分量x ε,y ε,xy γ存在，且仅为x,y 的函数。 2. （8分）常体力情况下，按应力求解平面问题可进一步简化为按应力函数Φ求解，应力

函数Φ必须满足哪些条件？

答：（1）相容方程：04

=Φ?

（2）应力边界条件（假定全部为应力边界条件，σs s =）：

()()()上在στστσs s f l m f m l y

s xy y x s yx x =?????=+=+

（3）若为多连体，还须满足位移单值条件。 二． 问答题(36)

1. （12分）试列出图5-1的全部边界条件，在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。（板厚1=δ）

图5-1

解：在主要边界2h y ±=上，应精确满足下列边界条件：

()

l qx h y y -=-=2

σ，()

02

=-=h y yx

τ； ()

02

=+=h y y

σ，()

12

q h y yx

-=+=τ

在次要边界0=x 上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚1

=δ时，

()?+-=-=2

20h h N x x F dy σ，()?+-=-=2

20h h x x M ydy σ，()?+-=-=2

20h h S x xy F dy τ

在次要边界l x =上，有位移边界条件：()0==l x u ，()0==l x v 。这两个位移边界条

件可以改用三个积分的应力边界条件代替：

()l

q F dy h h N x x ?+-=+-=2

210

σ，

()2

622

20qlh

ql l F M ydy S h h x x +---=?+-=σ，

()

2

22

ql F dy h h S x xy

--=?+-=τ 2. （10分）试考察应力函数3

cxy =Φ，0>c ，能满足相容方程，并求出应力分量（不计

体力），画出图5-2所示矩形体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢和主矩。

图5-2

解：（1）相容条件：将3

cxy =Φ代入相容方程02442244

4=?Φ

?+??Φ?+?Φ?y

y x x ，显然满足。 （2）应力分量表达式：cxy y

x 62

2=?Φ?=σ，0=y σ，23cy xy -=τ

（3）边界条件：在主要边界2

h

y ±

=上，即上下边，面力为()chx h y y 32±=±=σ，()

22

4

3ch h y xy -=±=τ 在次要边界l x x ==,0上，面力的主失和主矩为

()()()???

??

????-=-===????+-+-=+-=+-=223

222

02202

204300h h h h x xy h h x x h h x x h c dy cy dy dy y dy τσσ

()()()???

?

?????-=-=====??????+-+-=+-+-=+-+-=2232

2203222

2

2222243260

6h h h h x xy h h h h l x x h h h h l

x x h c dy cy dy clh dy cly dy y dy cly dy τσσ 弹性体边界上的面力分布及在次要边界l x x ==,0上面力的主失量和主矩如解图所示。

3. （14分）设有矩形截面的长竖柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布剪力q, 如图5-3

所示，试求应力分量。（提示：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量0=x σ ）

图 5-3

解：采用半逆解法，因为在材料力学弯曲的基本公式中，假设材料符合简单的胡克定律，故可认为矩形截面竖柱的纵向纤维间无挤压，即可设应力分量0=x σ，

(1) 假设应力分量的函数形式。0=x σ

(2) 推求应力函数的形式。此时，体力分量为g f f y x ρ==,0。将0=x σ代入应

力公式22y x ?Φ?=σ有02

2=?Φ

?=y

x σ对x 积分，得()x f y =?Φ?， （a ）

()()x f x yf 1+=Φ。 （b ）

其中()x f ，()x f 1都是x 的待定函数。

(3)由相容方程求解应力函数。将式（b ）代入相容方程04

=Φ，得

()()04

1444=+dx

x f d dx x f d y 这是y 的一次方程，相容方程要求它有无数多的根（全部竖柱内的y 值都应该满

足），可见它的系数和自由项都必须等于零。()044=dx x f d ，()04

14=dx

x f d ，两个方程要求

()Cx Bx Ax x f ++=23，()231Ex Dx x f += (c)

()x f 中的常数项，()x f 1中的一次和常数项已被略去，因为这三项在Φ的表达式

中成为y 的一次和常数项，不影响应力分量。得应力函数

()()

2323Ex Dx Cx Bx Ax y ++++=Φ (d)

（4）由应力函数求应力分量。

022=-?Φ

?=x x xf y

σ， (e)

gy E Dx By Axy yf x

y y ρσ-+++=-?Φ

?=262622， (f)

C Bx Ax y

x xy

---=??Φ?-=2322τ. (g)

(5) 考察边界条件。利用边界条件确定待定系数 先来考虑左右两边2b x ±=的主要边界条件：

()02=±=b x x σ，()02=-=b x xy τ，()q b x xy =+=2τ。

将应力分量式(e)和(g)代入，这些边界条件要求：

()0

2=±=b x x σ，自然满足； ()

04

32

2

=-+-

=-=C Bb Ab b x xy

τ (h ) ()

q C Bb Ab b x xy =---

=+=2

2

4

3τ (i) 由（h ）（i ） 得 b

q

B 2-

= （j ）

考察次要边界0=y 的边界条件，应用圣维南原理，三个积分的应力边界条件为

()

()02262

2

22

==+=?

?+-=+-Eb dx E Dx dx b b y b b y

σ； 得 0=E

()()02263

2

202

2==+=??+-=+-Db dx x E Dx xdx b b y b b y σ， 得 0=D

()04332

22

02

2=--=??

? ??-+-=??+-=+-bC Ab dx C x b q Ax dx b b y b b xy τ （k ）

由（h ）（j ）（k ）得 2

b q A -

=, 4q

C =

将所得A 、B 、C 、D 、E 代入式（e ）（f ）（g ）得应力分量为：

0=x σ，gy y b

q xy b q y ρσ---=2

6

， 4322q

x b q x b q xy -+=τ 填空题（每个1分，共10×1=10分）。

1．弹性力学的研究方法是在弹性区域内部，考虑静力学、几何学和物理学方面建立三套方程，即 方程、 方程以及 方程；在弹性体的边界上，还要建立边界条件，即 边界条件和 边界条件。

2．弹性力学基本假定包括 假定、 假定、 假定、 假定和 假定。

1．平衡微分 几何 物理 应力 位移

2．连续 均匀 各向同性 完全弹性 小变形 一、单项选择题（每个2分，共5×2=10分）。

1. 关于弹性力学的正确认识是 A 。

A. 弹性力学在工程结构设计中的作用日益重要。

B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需要对问题

作假设。

C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象。

D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。 2. 所谓“完全弹性体”是指 B 。

A. 材料应力应变关系满足胡克定律。

B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关。

C. 本构关系为非线性弹性关系。

D. 应力应变关系满足线性弹性关系。 3. 所谓“应力状态”是指 B 。

A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同。

B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变。

C. 3个主应力作用平面相互垂直。

D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的。 4．弹性力学的基本未知量没有 C 。

A. 应变分量。

B. 位移分量。

C. 面力分量。

D. 应力分量。

5．下列关于圣维南原理的正确叙述是 D 。

A. 边界等效力系替换不影响弹性体内部的应力分布。

B. 等效力系替换将不影响弹性体的变形。

C. 圣维南原理说明弹性体的作用载荷可以任意

平移。

D. 等效力系替换主要影响载荷作用区附近的应

力分布，对于远离边界的弹性体内部的影响比较小。

二、计算题（共15分）

如图所示的三角形截面水坝，其左侧作用着比重为γ的液体，右侧为自由表面。试写出以应力分量表示的边界条件。

解：在平面应力边界条件下，应力须满足

x yx x xy y y

l m f l m f σττσ?+=??+=??

（1） (5)

在x ytg β=表面处，cos l β=， (1)

sin m β=-； (1)

0x f =， ....................................(1) 0y f = (1)

代入公式（1），得

cos sin 0

cos sin 0

x yx xy y σβτβτβσβ-=??

-=? ....................................(1) 在x ytg α=-处，cos l α=-， (1)

sin m α=-； (1)

cos x f y γα=， ....................................(1) sin y f y γα= (1)

代入公式（1），得

cos sin cos cos sin sin x yx xy

y y y σαταγα

τασαγα--=??

--=? (1)

四、计算题（共10分）

试考虑下面平面问题的应变分量有否可能存在，若存在，需满足什么条件？

x Axy ε=，3y By ε=，2xy C Dy γ=-；

解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即

22

222y xy

x y x x y

εγε???+=

???? ………………………………(4) 将各分量分别代入，得

22

x

y ε??=0， ………………………………(2) 22

y

x ε??=0， ………………………………(2) 2xy x y

γ???=0 (2)

无论A 、B 、C 、D 取何值，都满足形变协调条件。

基本概念解释（24分，6小题） （1） 弹性力学的基本假定 （2） 平面应变问题 （3） 平面应力问题 （4） 圣维南原理 （5） 逆解法

1、 简单题（40分，4题） (1) 列出图示全部边界条件。

(2) 求出下列应力函数的应力分量，并考察该应力函数是否满足相容方程 A ： )43(22

2243

y h y x h

F +=

Φ B ：)2(10)134(4332332h y

h

y qy h y h y qx -+--=Φ (3) 根据圣维南原理，比较图示中OA 边的面力是否等效，b h >>。

2、 综合题（36分）

（1） 设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用（如图），体力不计，h l >>，试

用应力函数3

3

2

Dxy Cy By Axy +++=Φ求解应力分量。

（2） 矩形截面的长柱，密度为ρ，在一边侧面上受均布正应力q ，试求应力分量，体力

不计。