初中数学 极坐标与参数方程、不等式选讲(含答案)

专题14 极坐标与参数方程、不等式选讲

1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ?-=??+?

?=?+?

，（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程

为

2cos sin 110ρθθ+=．

（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．

【答案】（1）2

2

1(1)4

y x x +=≠-；l

的直角坐标方程为2110x ++=；（2

．

【解析】（1）因为221111t t --<≤+，且()

2

2

222222141211y t t x t t ??-??+=+= ? ?+????+， 所以C 的直角坐标方程为2

21(1)4

y x x +=≠-．l

的直角坐标方程为2110x +=．

（2）由（1）可设C 的参数方程为cos ,

2sin x y αα

=??

=?（α为参数，ππα-<<）．

C 上的点到l

π4cos 11

α?

?-+ ?=

当2π3α=-

时，π4cos 113α??-+ ??

?取得最小值7，故C 上的点到l

． 【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题．求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值问题． 2．【2019年高考江苏卷数学】在极坐标系中，

已知两点3,,42A B ππ??? ?????，直线l 的方程为sin 34ρθπ??+= ??

?．

（1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离． 【答案】（1

2）2．

【解析】（1）设极点为O ．在△OAB 中，A （3，

4π），B

，2

π

）， 由余弦定理，得AB

（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l

过点)2π，倾斜角为

34

π．

又)2

B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin(

)242

ππ

?-=． 【名师点睛】本题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力． 3．【2019年高考全国Ⅰ卷】已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）

222111

a b c a b c

++≤++；（2）333()()()24a b b c c a +++≥++． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】（1）因为2

2

2

2

2

2

2,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有

222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c

++++≥++=

=++．所以222

111a b c a b c ++≤++．

（2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有

333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c

3≥???=24．所以333()()()24a b b c c a +++++≥．

【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立．

4．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P ． （1）当0=

3

θπ

时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程．

【答案】（1）0ρ=l 的极坐标方程为cos 23ρθπ?

?-= ???；（2）4cos ,,42ρθθπ??=∈????

π．

【解析】（1）因为()00,M ρθ在C 上，当03θπ=

时，04sin 3ρπ==由已知得||||cos 23

OP OA π==． 设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点．在Rt OPQ △中，cos ||23OP ρθπ??-== ??

?

，经检验，点(2,)3

P π

在曲线

cos 23ρθπ?

?-= ??

?上．所以，l 的极坐标方程为cos 23ρθπ??-= ???．

（2）设(,)P ρθ，在Rt OAP △中，||||cos 4cos ,OP OA θθ== 即 4cos ρθ=．因为P 在线段OM 上，且AP OM ⊥，故θ的取值范围是,42ππ??????

．所以，P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ??=∈????π． 【名师点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型．

5. 【2018年理数全国卷II 】设函数．

（1）当

时，求不等式

的解集；（2）若

，求的取值范围．

【答案】（1）

,(2)

【解析】（1）当时，可得的解集为．

（2）等价于．而，且当时等号成立．

故

等价于

．由

可得

或

，

所以的取值范围是

．

一、考向分析：

二、考向讲解

考查内容

解 题 技 巧

(1)在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)． (2)在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．

坐标系与参数方程

坐标系 参数方程

直角坐标系 圆的参数方程

椭圆的参

数方程

极坐标系 直线的参 数方程 不等式选讲

绝对值不等式

不等式证明的基本方法

绝对值不等 式的解法

比较法

综合法 分析法 绝对值三 角不等式

柯西不 等式

极坐标与参数方程注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标．

(3)确定极坐标方程时要注意极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．

(4)研究曲线的极坐标方程往往要与直角坐标方程进行相互转化．当条件涉及“角度”和“到定点距离”时，引入极坐标系将会给问题的解决带来很大的方便．

（5）已知直线l经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α，点M(x，y)为l上任意一点，则直线l的参

数方程为

??

?

??x＝x0＋t cosα，

y＝y0＋t sinα

(t为参数)。

a.若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则|M0M1

→

||M0M2

→

|＝|t1t2|，|M1M2

→

|＝|t2－t1|＝t2＋t12－4t1t2。

b．若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3＝

t1＋t2

2。c．若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1＋t2＝0，t1t2<0。

提醒：在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正

余弦值，否则参数不具备该几何含义。

不等式证明的基本方法1.绝对值不等式的求解方法

(1)|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:|ax+b|≤c?-c≤ax+b≤c,

|ax+b|≥c?ax+b≥c或ax+b≤-c,然后根据a,b的取值求解即可.

(2)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法:

①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现数形结合思想;

②利用“零点分段法”求解,体现分类讨论思想.

a.令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；

b.将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；

c.由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；

d.取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集．

③通过构建函数,利用函数图象求解,体现函数与方程思想.

2.解决绝对值不等式的参数范围问题常用以下两种方法:

(1)将参数分类讨论,将其转化为分段函数解决;

(2)借助于绝对值的几何意义,先求出含参数的绝对值表达式的最值或取值范围,再根据题目要

求,求解参数的取值范围. 由于|x －a|＋|x －b|与|x －a|－|x －b|分别表示数轴上与x 对应的点到a ，b 对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|x －a|＋|x －b|≤c(c ＞0)或|x －a|－|x －b|≥c(c ＞0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观． (3)应熟记以下转化:f(x)>a 恒成立?f(x)min

>a;f(x)

max

a 有解

?f(x)

max >a;f(x)

min

a 无解?f(x)

max

≤a;f(x)

min

≥a.

3.绝对值不等式的综合应用

a ．研究含有绝对值的函数问题时，根据绝对值的定义，分类讨论去掉绝对值符号，将原函数转化为分段函数，然后利用数形结合解决问题，这是常用的思想方法．

b ．f(x)＜a 恒成立?f(x)max ＜a. f(x)>a 恒成立?f(x)min ＞a.

4.利用综合法证明不等式时，应注意对已证不等式的使用，常用的不等式有： (1)a 2≥0；(2)|a|≥0；

（3）a 2＋b 2≥2ab ；它的变形形式又有(a ＋b)2≥4ab ，

a 2＋

b 22≥????a ＋b 22

等；

(4)a ＋b 2≥ab (a≥0，b≥0)，它的变形形式又有a ＋1a ≥2(a>0)，b a ＋a

b ≥2(ab>0)，

b a ＋a

b

≤－2(ab<0)等． 5.分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”． 6、证明绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.主要的三种方法： （1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再证明． （2）利用三角不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|进行证明． （3）转化为函数问题，数形结合进行证明．

7、当x 的系数相等或相反时，可以利用绝对值不等式求解析式形如()f x x a x b =+++的函数的最小值，以及解析式形如()f x x a x b =+-+的函数的最小值和最大值，否则去绝对号，利用分段函数的图象求最值．利用柯西不等式求最值时，要注意其公式的特征，以出现定值为目标．

考查绝对值不等式的证明：

【例】已知0a >，0b >，33

2a b +=， 证明：(1)5

5

()()4a b a b ++≥；(2)2a b +≤．

【解析】（1）5

5

6

5

5

6

()()a b a b a ab a b b ++=+++3

32

33

4

4

()2()a b a b ab a b =+-++

2224()ab a b =+-4≥

（2）∵3

3

2

2

3

()33a b a a b ab b +=+++23()ab a b =++23()2()4a b a b +++≤3

3()24

a b +=+， 所以3

()8a b +≤，因此2a b +≤．

【例】已知a ，b ，c ，d 为实数，且224a b +=，22

16c d +=，证明：8ac bd +≤． 【解析】证明：由柯西不等式可得：2

2

2

2

2

()()()ac bd a b c d +++≤， 因为2

2

2

2

4,16,a b c d +=+=所以2()64ac bd +≤，因此8ac bd +≤. 【例】设,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，证明：

（Ⅰ）1

3

ab bc ca ++≤；（Ⅱ）2221a b c b c a ++≥ 【解析】（Ⅰ）2

2

2

2

2

2

2,2,2a b ab b c bc c a ca +≥+≥+≥得222

a b c ab bc ca ++≥++

由题设得()2

1a b c ++=，即2

2

2

2221a b c ab bc ca +++++=．

所以()31ab bc ca ++≤，即13

ab bc ca ++≤

（Ⅱ）∵2222,2,2a b c b a c b a c b c a +≥+≥+≥， ∴222

()2()a b c a b c a b c b c a +++++≥++ 即222a b c a b c b c a ++≥++，∴222

1a b c b c a

++≥ 考查绝对值不等式的解法：

【例】设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -． 【答案】1

{|1}3

x x x <->或．

【解析】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <13

-； 当0≤x ≤1

2

时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >

1

2

时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1． 综上，原不等式的解集为1

{|1}3

x x x <->或．

【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力． 考查不等式恒成立问题：

【例】已知函数f (x )＝|x ＋1|－|x －2|。 (1)求不等式f (x )≥1的解集。

(2)若不等式f (x )≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围。 【解析】 (1)f (x )＝????

?

－3， x <－1，2x －1， －1≤x ≤2，

3， x >2。

当x <－1时，f (x )≥1无解；

当－1≤x ≤2时，由f (x )≥1得，2x －1≥1，解得1≤x ≤2， 当x >2时，由f (x )≥1解得x >2。 所以f (x )≥1的解集为{x |x ≥1}。

(2)法一：原不等式等价于存在x ∈R ，使f (x )－x 2＋x ≥m 成立，即[f (x )－x 2＋x ]max ≥m ， 设g (x )＝f (x )－x 2

＋x ，由(1)知g (x )＝?????

－x 2＋x －3，x <－1－x 2＋3x －1，－1≤x ≤2

－x 2＋x ＋3，x >2

当x <－1时，g (x )＝－x 2＋x －3开口向下，对称轴为x ＝－12×－1＝1

2>－1。

所以g (x )

当－1≤x ≤2时，g (x )＝－x 2＋3x －1开口向下，对称轴x ＝－32×－1＝3

2∈[－1,2]，所以g (x )≤g ????32＝54； 当x >2时，g (x )＝－x 2＋x ＋3，开口向下，对称轴为x ＝－12×－1＝12<2，所以g (x )

综上所述g (x )max ＝g ????32＝54， 所以54≥m ，即m 的取值范围是????－∞，54。 法二：由f (x )≥x 2－x ＋m 得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x 。

而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x |＋1＋|x |－2－x 2＋|x |＝－?

???|x |－322＋54≤5

4，

当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝5

4。故m 的取值范围是????－∞，54。 【例】已知函数()()1,2f x x g x t x =-=-. （1）解关于x 的不等式()21f x x >+.

（2）若不等式()()f x g x ≥对任意的x R ∈恒成立，求t 的取值范围. 【答案】(1) {|0}x x < (2) 1t ≤

【解析】（1）由()()1,21f x x f x x =->+，得121x x ->+， 当1x ≥时， 121x x ->+，解得2x <-（舍去）， 当1x <时， 121x x ->+，解得0x <，所以0x <， 综上，不等式的解集为{|0}x x <.

(2)由()()f x g x ≥，得12x t x -≥-，下面分四种情形讨论： 当0x =时，不等式恒成立t R ∈；

当0x <时，不等式化简整理得()13t x -≤，即3

1t x -≥恒成立，则10t -≥，所以1t ≤； 当01x <<时，不等式化简整理得()13t x -≤，即3

1t x -≤恒成立，则13t -≤，所以2t ≤；

当1x ≥时，不等式化简整理得()11t x -≤，即1

1t x

-≤恒成立，则10t -≤，所以1t ≤；

综上1t ≤. 考查柯西不等式：

【例】已知x ，y ，z 均为实数，若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33。 证明：因为(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)2≤(12＋12＋12)(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)＝27。 所以3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33。当且仅当x ＝23，y ＝1

3，z ＝0时取等号。

【例】已知a ，b ，c ，d 为实数，且a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16，证明：ac ＋bd ≤8。 证明：由柯西不等式可得(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，因为a 2＋b 2＝4，c 2＋d 2＝16， 所以(ac ＋bd )2≤64，因此ac ＋bd ≤8。

【例】已知|x ＋2|＋|6－x |≥k 恒成立，求实数k 的最大值。

【解析】因为|x ＋2|＋|6－x |≥k 恒成立，设g (x )＝|x ＋2|＋|6－x |，则g (x )min ≥k 。 又|x ＋2|＋|6－x |≥|(x ＋2)＋(6－x )|＝8，当且仅当－2≤x ≤6时，g (x )min ＝8，

所以k ≤8，即实数k 的最大值为8。 考查最值问题：

【例】设函数()|21||1|f x x x =++-．

(1)画出()y f x =的图像；(2)当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．

【解析】(1)1

3,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ?

-<-??

?

=+-

???

≤≥

()y f x =的图像如图所示．

(2)由(1)知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当

3a ≥且2b ≥时，()f x ax b +≤在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5．

【例】若x ，y ，z 为实数，且226x y z ++=，求2

2

2

x y z ++的最小值． 【解析】由柯西不等式，得2222222()(122)(22)x y z x y z ++++++≥．

因为22=6x y z ++，所以2224x y z ++≥， 当且仅当

122x y z ==时，不等式取等号，此时244

333

x y z ===，，，所以222x y z ++的最小值为4． 考查参数范围问题：

【例】已知函数2

()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． (1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集；

(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围．

【解析】（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2

|1||1|40x x x x -+++--≤．① 当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；

当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤； 当1x >时，①式化为240x x +-≤

，从而112

x -+<≤

． 所以()()f x g x ≥

的解集为{|1x x -<． （2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =．所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，

等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥．又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一， 所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤．所以a 的取值范围为[1,1]- 【例】已知函数()|1||2|f x x x =+--． (1)求不等式()1f x ≥的解集；

(2)若不等式2

()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围．

【解析】（1）3,

1()21,123,2x f x x x x -<-??

=--??>?

≤≤，

当1x <-时，()f x 1≥无解；

当x -12≤≤时，由()f x 1≥得，x -211≥，解得x 12≤≤ 当＞2x 时，由()f x 1≥解得＞2x ．

所以()f x 1≥的解集为{}

x x 1≥．

（2）由()f x x x m -+2≥得m x x x x +---+212≤，而

x x x x x x x x +---+--+2212+1+2≤x ?

? ??

?2

355=--+244≤

且当32x =

时，2

512=4x x x x +---+．故m 的取值范围为5-，4??∞ ??

?．

考查极坐标方程：

【例】【四川省绵阳市2020届高三诊断】在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程是（θ为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为：

（1）求曲线C 的极坐标方程； （2）设直线θ＝与直线l 交于点M ，与曲线C 交于P ，Q 两点，已知｜OM ｜?｜OP ｜?｜OQ ）＝

10，求t 的值. 【答案】（1）

；（2）

或

.

【解析】（1）由曲线C 的参数方程，可得曲线C 的普通方程为，

即

． ∵

，

，

故曲线C 的极坐标方程为．

（2）将

代入

中，得

，则

．

∴ |OM |=．将代入中，得．

设点P 的极径为，点Q 的极径为，则． 所以|OP ||OQ |=5．又|OM ||OP ||OQ |=10，则

5

=10．∴ t =

或

【例】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.

（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ?=,求点P 的轨迹2C 的极坐标方程； （2）设点A 的极坐标为(2,

)3

π

，点B 在曲线2C 上，求OAB △面积的最大值.

【答案】(1)()()2

2240x y x -+=≠；(2) 2

3+. 【解析】

（2）设点B 的极坐标为()(),0B B ραρ>,由题设知2,4cos B OA ρα==,于是OAB △面积

1

sin 2

4cos sin 332sin 23223B S OA AOB ρπααπα=

??∠?

?=?- ?

?

??

?=- ???≤。

当12

π

α=-

时，S 取得最大值23+.所以OAB △面积的最大值为23+.

考查参数方程：

【例】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,

sin ,x y θθ=??=?（θ为参数），直线l 的参数方程为

4,

1,x a t t y t =+??

=-?

（为参数）. （1）若a=?1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到l 17 a.

（2）直线l 的普通方程为440x y a +--=，故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l 的距离为

17

d =

当4a ≥-时，d 171717=8a =； 当4a <-时，d 171717

=16a =-. 综上，8a =或16a =-.

考查参数方程与极坐标互化：

【例】【河南省开封市2020届高三模拟考试】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是1x t

y t ==+??

?

（t 为

参数），曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y ?

?=+??=?

（?为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极

坐标系．

（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （2）已知射线1OP θα=：（其中π02α<<

）与曲线C 交于O P ，两点，射线2π

2

OQ θα=+：与直线l

交于Q 点，若OPQ ?的面积为1，求α的值和弦长OP ． 【答案】（1）cos sin 10ρθρθ-+=，4cos ρθ=；（2

）π4

OP α=

=， 【解析】（1）直线l 的普通方程为10x y -+=，极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=，

曲线C 的普通方程为

22

24x y -+=（），极坐标方程为4cos ρθ=． （2）依题意，∵π

02

α∈（，）

，∴4cos OP α=，1

ππ

sin cos 22

OQ αα=+-+（）（）

1

sin cos αα

=

+，

12cos 12cos sin OPQ S OP OQ ααα=

==+△，∴πtan 102αα=∈，（，）

，∴π

4

OP α==，

【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．

【例】将圆2

2

1x y +=上每个点的横坐标变为原来的4倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线C ，以坐标原点为极点， x 轴的非负轴分别交于,A B 半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为：

sin 4πρθ??

+

= ??

?

l 在直角坐标系中与,x y 轴分别交于,A B 两点. （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

（2）问在曲线C 上是否存在点P ，使得ABP V 的面积3ABP S =V ，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）()4{

3x cos y sin ααα==为参数， 60x y +-=.（2）点P 的坐标为169,55??

???

.

【解析】（1）曲线 22

:

1169

x y C +=，故曲线 C 的参数方程为4{ 3x cos y sin αα== (α为参数) 直线 l 的普通方程为： 60x y +-=.

（2）设曲线 C 上点 ()4cos ,3sin P αα，点P 到直线l 的距离为d

，则

d

=

=

≥

，又AB =，

故

12

623

2

ABP

S≥??=

V

，当()

sin1

α?

+

=时取等号，即

34

sin,cos

55

αα

==，

此时

169

,

55

P

??

?

??

，故在曲线C上存在点P，使得ABP

?的面积3

ABP

S=

V

，点P的坐标为

169

,

55

??

?

??

.

【例】已知在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为

?

?

?

=

-

=

t

y

t

x

3

3

，（t为参数），以坐标原点为

极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为0

3

cos

4

2=

+

-θ

ρ

ρ．

（Ⅰ）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

（Ⅱ）设点P是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离d的取值范围．

【答案】（Ⅰ）直线l的普通方程为：0

3

3

3=

+

-y

x，曲线C的直角坐标方程为：1

)2

(2

2=

+

-y

x；（Ⅱ）

5353

[1,1]

-+

【解析】（Ⅰ）直线l的普通方程为：0

3

3

3=

+

-y

x；

曲线C的直角坐标方程为：1

)2

(2

2=

+

-y

x

（Ⅱ）设点)

sin

,

cos

2(θ

θ

+

P)

(R

∈

θ，则

2

|3

5

)

6

cos(

2|

2

|3

3

sin

)

cos

2(3

|

+

+

=

+

-

+

=

π

θ

θ

θ

d

所以d的取值范围是

5353

[1,1]

-+

绝对值不等式的解法

在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨

论不全面的问题。若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏。

【例】解不等式|2x－1|＋|2x＋1|≤6。

【解析】法一：当x>

1

2时，原不等式转化为4x≤6?

1

2

3

2；

当－

1

2

≤x≤

1

2时，原不等式转化为2≤6，恒成立；

当x<－

1

2时，原不等式转化为－4x≤6?－

3

2

≤x<－

1

2。

综上知，原不等式的解集为???

?

??x |－32≤x ≤32。

法二：原不等式可化为|x －12＋|x ＋12≤3，其几何意义为数轴上到12，－1

2两点的距离之和不超过3的点的集合，

数形结合知，当x ＝32或x ＝－32时，到12，－12两点的距离之和恰好为3，故当－32≤x ≤3

2时，满足题意，

则原不等式的解集为???

?

??x |－32≤x ≤32。

【例】已知函数()25f x x a x =-+，其中实数0a >． （1）当3a =时，求不等式()51f x x ≥+的解集； （2）若不等式()0f x ≤的解集为{|1}x x ≤-，求a 的值．

【答案】（1）不等式()51f x x ≥+的解集为{|12}x x x ≤≥或；（2）3a =

【解析】（1）当3a =时，()51f x x ≥+可化为231x -≥，由此可得1x ≤或2x ≥， 故不等式()51f x x ≥+的解集为{|12}x x x ≤≥或； （2）法一：（从去绝对值的角度考虑）由

()0

f x ≤，得

25x a x

-≤-，

此不等式化等价于2

250a x x a x ?≥???-+≤?或()2250a x x a x ?

??--+≤?，解得27a x a x ?≥????≤??

或23a

x a

x ?

， 因为0a >，所以不等式组的解集为{|}3a

x x ≤-，由题设可得13

a

-=-，故3a =． 法二：（从等价转化角度考虑）

由()0f x ≤，得25x a x -≤-，此不等式化等价于525x x a x ≤-≤-，

即为不等式组5225x x a x a x ≤-??-≤-?，解得3

7a x a x ?≤-????≤??

，因为0a >，

所以不等式组的解集为{|}3a x x ≤-，由题设可得13

a

-

=-，故3a =． 法三：（从不等式与方程的关系角度突破）因为{|1}x x ≤-是不等式()0f x ≤的解集， 所以1x =-是方程()0f x =的根，把1x =-代入250x a x -+=得37a a ==-或，

因为0a >，所以3a =．

点评：解含绝对值的不等式时，若两个绝对值中x 的系数为1(或可化为1)，可选用几何法或图象法求解较为简洁。若x 的系数不全为1，则选用零点分段讨论法求解，同时注意端点值的取舍。