抽 象 函 数 的 解 题 方 法

解 抽 象 函 数 的 常 用 方 法

抽象函数是指没有给出具体解析式的函数。此类函数试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和转化能力，以及对一般和特殊关系的认识，因此备受命题者的青睐，成为高考热点。然而，由于抽象函数本身的抽象性、隐蔽性，大多数学生在解决这类问题时，感到束手无策。

我在多年的教学中,积累了一些解题方法,供大家参考.

一、 利用线性函数模型

在中学数学教材中，大部分抽象函数是以具体函数为背景构造出来的，解题时最根本点是将抽象函数具体化，这种方法虽不能代替具体证明，但却能找到这些抽象函数的解题途径，特别是填空题、选择题，直接用满足条件的特殊函数求解，得出答案即可。常见的抽象函数模型有：

例1、函数f （x ）对任意实数x ，y ，均有f （x ＋y ）＝f （x ）＋f （y ），且f （1）＝2，

f （x ）在区间[－４，２]上的值域为 。 0a a ≠且

解析：由题设可知，函数f （x ）是正比例()y kx k =为常数的抽象函数，由f （1）＝2可求得

k=2，∴ f （x ）的值域为［－８，４］。

例2、已知函数f （x ）对任意,x y R ∈，满足条件()()()2f x y f x f y +=+-，且当x ＞0时，

f （x ）＞2，f （3）＝5，求不等式2(22)3f a a --的解。

分析：由题设条件可猜测：f （x ）是y ＝x ＋2的抽象函数，且f （x ）为单调增函数，如果

这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。

解：设1221,0x x x x -则，∵当x ＞0时，f （x ）＞2，∴21()2f x x -，则

， 即，∴f （x ）为单调增函数。

∵，

又∵f （3）＝5，∴f （1）＝3。∴2(22)

(1)f a a f --，∴2221a a --，

解得不等式的解为－1 < a < 3。 例3、定义在Ｒ上的函数()y f x =，对任意的12,x x 满足12x x ≠时都有12()()f x f x ≠，且有

()()()f x y f x f y +=成立。求：

（1）f （0）； （2）对任意值x ，判断f （x ）值的正负。

分析：由题设可猜测f （x ）是指数函数()(01)x f x a a

a =≠且的抽象函数，

从而猜想f （0）＝1且f （x ）＞0。

解：（1）令y ＝0代入()()()f x y f x f y +=，则()()(0)f x f x f =，

∴[]()1(0)0f x f -=。若f （x ）＝0，则对任意12x x ≠，有12()()0f x f x ==，

这与题设矛盾，∴f （x ）≠0，∴f （0）＝1。

（2）令y ＝x ≠0，则[]2(2)()()()0f x f x f x f x ==≥，又由（1）知f （x ）≠0，

∴f （2x ）＞0，即f （x ）＞0，故对任意x ，f （x ）＞0恒成立。

例４、已知函数f （x ）的定义域为（0，+∞），当1x 时()

0f x 且()()()f xy f x f y =+ （1）求(1)f ；（２）证明f （x ）在定义域上是增函数。

分析：由题设可猜测f （x ）是对数函数()log (01)x a f x a a =≠且的抽象函数，第（1）问采用

赋值法易求出结果；第（2）应用函数的单调性定义来证明，其中注意()()()f xy f x f y =+的应用。

解：（1）令1x y ==得(1)2(1)f f =，故(1)0f =.

（2）令1y x =得1(1)()()0f f x f x =+=，故1()()f f x x

=-， 任取12,(0,)x x ∈+∞，且12x x ，则221211

1()()()()()x f x f x f x f f x x -=+=， 由于21x x ＞1，故21

()x f x ＞0，从而2()f x ＞1()f x ∴()f x 在（0，+∞）上是增函数。

上面列举了几种特殊类型的抽象函数，解法上是借助特殊函数模型铺路，虽然不 可用特殊模型代替求解，但可借助特殊模型理解题意，类比探索出解题思路。

二、利用函数的相关性质

1．函数的单调性：在函数与不等式相结合的题目中，若把所给式子适当变换，转化为利用

函数的单调性，巧妙地脱去抽象符号“ f ”，从而化为一般不等式求解。

例5、已知奇函数)(x f 在其定义域(－1,1)上是减函数,且)1()1(2a f a f -+-＜0，则实数a 的

取值范围是

分析：要得到关于a 的不等式，由)(x f 在其定义域(－1,1)上是减函数易去掉抽象符号“ f ”。 解：∵)(x f 是奇函数

∴)1()1(2a f a f -+-＜0 ?2(1)

(1)f a f a ---?2(1)(1)f a f a -- 又)(x f 在其定义域(－1,1)上是减函数

∴111a --且2111a --且211a

a --

解得0＜a ＜1 2．函数的周期性：利用函数的周期性对函数进行自变量的平移变换，使新的自变量在同一

个单调区间或与条件的取值相同，然后求解。

例6、已知函数()f x 满足(3)()()f x f x f x +=-=，(1)1f =-，求(2005)f ＋(2006)f 的值 解析：由(3)()f x f x +=可得函数()f x 的周期为3，则(2005)f =(1)f ，(2006)f =(2)f ， 又(3)()f x f x +=- ∴(2)f =(13)(1)f f -+=-=(1)f ，故结果为2 。

3．运用函数的图象：根据题目条件作出函数略图，用图象的单调性、对称性与特殊点的函

数值等寻求解题方法。

例7、已知函数(1)f x +是偶函数，且()f x 在[)1,+∞上是增函数，又(0)0f =，则(1)()0

x f x -

的解集是 。

解析：由函数(1)f x +是偶函数得其图象对称轴为0x =，所以函数()y f x =的图象对称轴为

1x =，又(0)0f =且()f x 在[)1,+∞上是增函数，可作出函数()y f x =的简图

∴ (1)()0x f x -?(1)

0x -且()0f x 或(1)0x -且()0f x

?0x

或1

2x 三、 其他方法 1、赋值法：在定义域内成立的式子对于定义域内的特殊值总成立。因此通过观察和分析，将一般量赋予特殊值，从而转化为要解决的问题。

例8、已知()f x 的定义或为R ，且对任意实数12,x x 有1212()()f x x f x x ++-=122()()f x f x +

总成立。求证()f x 为偶函数（()f x ≠0）。

分析：取特殊值使等式产生()f x 与()f x -，以便解决问题。

解：令120,0x x ==，则22(0)(0)f f =， ∵(0)f ≠0， ∴(0)f =1，

令120,x x x ==-，则()()2(0)()f x f x f f x +-=，

∴()()f x f x =- 即 ()()f x f x -= 故()f x 是偶函数。

2、 换元法：引入一个或几个新的变量来替换原来的某些量，便可实现未知向已知的转换。

例9、已知函数()f x 满足条件1()2()f x f x x

+=，则()f x = 解析：由于难以判断()f x 是何种类型的函数，故不可能先设出()f x 的表达式，但把条件中

的x 换成1x ，即11()2()f f x x x +=，把它与原条件式联立消去1()f x

得 2

2()3x f x x

-=。 3、整体变换：从函数的局部不能找到解题方法，但将函数式作适当变形后把部分视为一个

整体来考虑，就可找到解题方法。

例10、设()f x 、()g x 都是定义在R 上的奇函数，()()()2F x af x bg x =++在区间(0,)+∞上

的最大值是5，求()F x 在(,0)-∞上的最小值。

分析：将式子()()()2F x af x bg x =++变形为()2()()F x af x bg x -=+是奇函数。

解：令()()2()()x F x af x bg x Φ=-=+，则()x Φ是奇函数且在(0,)+∞上有最大值是3，

∴()x Φ在(,0)-∞上有最小值3-，

故()F x 在(,0)-∞上有最小值1-。

总之，只要能透彻理解概念，在实际解题过程中不断转换思维角度，综合各种方法，灵活运用技巧，就会寻找到抽象函数解题的突破口。

参考文献：1、《奥林匹克竞赛解题方法》，山西教育出版社，周沛耕、王中峰主编；

2、《解决抽象函数的基本方法》，中学教研，2002.1，李加军；

3、《直击高考（数学）》，世界图书出版社，张斌主编。