河北省保定市曲阳县2020-2021学年八年级上学期期末数学试题(1)
河北省保定市曲阳县2020-2021学年八年级上学期期末数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．要使分式
有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．2x > B ．2x < C ．2x ≠- D ．2x ≠ 2．下列实数中属于无理数的是（ ）
A ．3.14
B ．﹣3
C ．227
D 3．用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A′O′B′=∠AOB 的依据是( )
A ．SAS
B ．AAS
C ．ASA
D ．SSS 4．下列式子中是最简二次根式的是（ ）
A B C D 5．把等腰△ABC 沿底边BC 翻折，得到△DBC ，那么四边形ABDC （ ）
A ．是中心对称图形，不是轴对称图形
B ．是轴对称图形，不是中心对称图形
C ．既是中心对称图形，又是轴对称图形
D ．以上都不正确
6．等腰三角形顶角是84°，则一腰上的高与底边所成的角的度数是（ ）
A ．42°
B ．60°
C ．36°
D ．46° 7．两个分式A ＝
244x -，B ＝12x +﹣12x -，（其中x ≠±2，）则A 和B 的关系是（ ） A ．A ＝B B ．AB ＝1 C ．A ＞B D ．A +B ＝0 8．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠ABC 、∠ACB 的平分线BD ，CE 相交于O 点，且
BD 交AC 于点D ，CE 交AB 于点E.某同学分析图形后得出以下结论：①?BCD ≌?CBE;②?BAD ≌?BCD;③?BDA ≌?CEA;④?BOE ≌?COD;⑤?ACE ≌?BCE;上述结论一定正确的是
A ．①②③
B ．②③④
C ．①③⑤
D ．①③④
9cm ，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段是（ ）
A ．1cm
B ．1cm
C
D ．5cm
10．如图，在△ABC 中，∠A ＝70°，∠B ＝90°，点A 关于BC 的对称点是A '，点B 关于AC 的对称点是B '，点C 关于AB 的对称点是C '，若△ABC 的面积是1，则△A 'B 'C '的面积是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
11．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，实施施工时“…”，设实际每天铺设管道x 米，则可得方程 3000300010x x
--=15，根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为（ ） A ．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成
B ．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成
C ．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成
D ．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成
二、填空题
12．已知命题：“等角的补角相等．”写出它的逆命题：_____．
13．已知a＝
2
，b c，则三个数的大小关系是_____．
14．若关于x的分式方程
2
2
33
x m
x x
-=
--
有增根，则m的值为_____．
15
．已知x y x2+xy+y2＝_____．
16．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，将其折叠，使点A落在边CB上A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为_____．
17．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A+∠B+∠C＝90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B ＝90°不成立；
②所以一个三角形中不能有两个直角；
③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°．
正确顺序的序号排列为_____．
18．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于点Ｄ，DE⊥AB
于点E，若AB＝5 cm，则△B D E的周长为________．
19．如图，Rt△AFC和Rt△AEB关于虚线成轴对称，现给出下列结论：
①∠1＝∠2；
②△ANC≌△AMB；
③CD＝DN．
其中正确的结论是_____．（填序号）
20．在边长为3的等边△ABC的AB边上任取一点D，作DF⊥AC交AC于F，在BC的延长线上截取CE＝AD，连接DE交AC于G，则FG的值为_____．
三、解答题
21．（1
（2）解分式方程327 23162
x
x x
-=
--
．
22．先化简，再求值：
22
2
22
a a
b b
a b
-+
-
÷（
11
b a
-），其中a，b
23．在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）画出△ABC关于直线MN对称的图形△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于点O中心对称的图形△A2B2C2，并标出点D的对称点D'；
（3）求出线段AD'的长度．
24．如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC 边上，且BE=BD，连结AE、DE、DC
①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数．
25．一项工程，甲，乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元．
（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？
（2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？
26．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD ＝CE．
（1）如图1，求证：∠CAE＝∠CBD．
（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF．
参考答案
1．D
【解析】
试题分析：要使分式有意义，须有20x -≠，即2x ≠，故选D ．
考点：分式有意义的条件．
2．D
【解析】
【分析】
根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，进行判断即可．
【详解】
A 、3.14是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
B 、﹣3是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
C .227
是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
D 是无理数，故本选项符合题意．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式．
3．D
【分析】
根据三角形全等的判定与性质即可得出答案．
【详解】
解：根据作法可知：OC=O′C′，OD=O′D′，DC=D′C′
∴△OCD ≌△O′C′D′(SSS)
∴∠COD=∠C′O′D′
∴∠AOB=∠A′O′B′
故选D ．
【点睛】
本题考查的是三角形全等，属于基础题型，需要熟练掌握三角形全等的判定与性质．
4．B
【分析】
先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】
A＝A选项错误；
B B选项正确；
C＝2，故不是最简二次根式，故本选项错误；
D4，故不是最简二次根式，故D选项错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了对最简二次根式的定义的理解，能理解最简二次根式的定义是解此题的关键．5．C
【解析】
∵等腰△ABC沿底边BC翻折，得到△DBC，∴四边形ABDC是菱形．
∵菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，
∴四边形ABDC既是中心对称图形，又是轴对称图形．故选C．
6．A
【解析】
试题分析：根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出等腰三角形的底角的度数，然后在一腰上的高与底边所构成的直角三角形中，可得出所求角的度数．
如图：△ABC中，AB=AC，BD是边AC上的高．
∵∠A=84°，且AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-84°）÷2=48°；
在Rt△BDC中，
∠BDC=90°，∠C=48°；
∴∠DBC=90°-48°=42°．
故选A．
考点：本题主要考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理
点评：解答本题的关键是掌握好等腰三角形的两个底角相等，三角形内角和为180°．7．D
【分析】
先把B式进行化简，再判断出A和B的关系即可．
【详解】
∵B＝
22 (2)(2) x x
x x
---+-
＝
24 4
x -
-
，
∴A和B互为相反数，即A+B＝0．
故选：D．
【点睛】
本题考查的是分式的加减法，先根据题意判断出A和B互为相反数是解答此题的关键．8．D
【解析】
根据等腰三角形的性质及角平分线定义可得有关角之间的相等关系．运用三角形全等的判定方法AAS或ASA判定全等的三角形．
解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE．
∴①△BCD≌△CBE （ASA）；
③△BDA≌△CEA （ASA）；
④△BOE≌△COD （AAS或ASA）．
故选D．
此题考查等腰三角形的性质和全等三角形的判定，难度不大．
9．A
【解析】
【分析】
根据勾股定理的逆定理列出方程解即可，有第三边是斜边或者是直角边两种情况．
【详解】
当第三边是斜边时,第三边2=(cm)，
当第三边是直角边时,第三边1
=(cm).
故选A.
10．B
【分析】
BB′的延长线交A′C′于E，如图，根据轴对称的性质得到DB′=DB，BB′⊥AC，BC=BC′，AB=A′B，则可判断△ABC≌△A′BC′，所以∠C=∠A′C′B，AC=A′C′，则AC∥A′C′，所以DE⊥A′C′，且BD=BE，即B′E=3BD，然后利用三角形面积公式可得到S△A′B′C′=3S△ABC．
【详解】
BB′的延长线交A′C′于E，如图，
∵点B关于AC的对称点是B'，
∴DB′＝DB，BB′⊥AC，
∵点C关于AB的对称点是C'，
∴BC＝BC′，
∵点A关于BC的对称点是A'，
∴AB＝A′B，
而∠ABC＝∠A′BC′，
∴△ABC≌△A′BC′（SAS），
∴∠C＝∠A′C′B，AC＝A′C′，
∴AC∥A′C′，
∴DE⊥A′C′，
而△ABC≌△A′BC′，∴BD＝BE，
∴B′E＝3BD，
∴S△A′B′C′＝1
2
A′C′×B′E＝3×
1
2
×BD×AC＝3S△ABC＝3×1＝3．
故选：B．
【点睛】
本题考查了轴对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
11．C
【解析】
题中方程表示原计划每天铺设管道(10)
x 米，即实际每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成，选C．
12．如果两个角的补角相等，那么这两个角相等．
【解析】
【分析】
交换命题的题设和结论即可写出该命题的逆命题．
【详解】
等角的补角相等的逆命题为：如果两个角的补角相等，那么这两个角相等，
故答案为如果两个角的补角相等，那么这两个角相等．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
13．a＞b＞c
【分析】
分别求出a、b、c的平方，比较平方的大小即为所求．
【详解】
a2＝1
2
，b2＝
1
3
，c2＝
1
5
，
∵1
2
＞
1
3
＞
1
5
，
∴a＞b＞c，
故答案为：a＞b＞c．
【点睛】
本题考查实数的大小比较；利用平方结果比较大小是解题的关键．
14
【解析】
【分析】
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，最简公分母x-3=0，所以增根是x=3，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．
【详解】
方程两边都乘x-3，得
x-2（x-3）=m2，
∵原方程增根为x=3，
∴把x=3代入整式方程，得
【点睛】
解决增根问题的步骤：
①确定增根的值；
②化分式方程为整式方程；
③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
15．11
【分析】
先根据已知条件求出x+y和xy的值，再将要求的式子配方，然后将x+y和xy的值代入计算即可．
【详解】
∵x y
∴x+y＝xy＝3﹣2＝1
∴x2+xy+y2
＝（x+y）2﹣xy
＝2
＝12﹣（3﹣2）
＝12﹣1
＝11
故答案为：11．
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握相关公式及运算法则，是解题的关键．16．10°
【分析】
根据直角三角形两锐角互余求出∠B，根据翻折变换的性质可得∠CA′D=∠A，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
【详解】
∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝90°﹣50°＝40°，
∵折叠后点A落在边CB上A′处，
∴∠CA′D＝∠A＝50°，
由三角形的外角性质得，∠A′DB＝∠CA′D﹣∠B＝50°﹣40°＝10°．
故答案为：10°．
【点睛】
本题考查了翻折变换，直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，翻折前后对应边相等，对应角相等．
17．③①②
【分析】
根据反证法的步骤即可判断．
【详解】
反证法的步骤是先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立．
所以，正确的步骤是③①②．
故答案为：③①②．
【点睛】
本题考查反证法、记住反证法的把步骤先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立．
18．5 cm
【解析】
∵AD 平分∠BAC,∠C=90°，DE ⊥AB ，
∴CD=DE ，
在△ACD 和△AED 中, AD=AD ，CD=DE ，
∴△ACD ≌△AED(HL)，
∴AC=AE ，
∴△BDE 的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB ，
∵AB=5cm ，
∴△BDE 的周长=5cm.
故答案为5cm.
19．①②
【分析】
首先利用轴对称的性质分别判断正误即可．
【详解】
①∵Rt △AFC 和Rt △AEB 关于虚线成轴对称，
∴∠MAD ＝∠NAD ，∠EAD ＝∠F AD ，
∴∠EAD ﹣∠MAD ＝∠F AD ﹣∠NAD ，
即：∠1＝∠2，故正确；
②∵Rt △AFC 和Rt △AEB 关于虚线成轴对称，
∴∠B ＝∠C ，AC ＝AB ，
在△ANC 与△AMB 中，
MAN NAM AC AB
B C ∠=∠??=??∠=∠?
， ∴△ANC ≌△AMB ，故正确；
③易得：CD ＝BD ，
但在三角形DNB 中，DN 不一定等于BD ，
故错误．
故答案为：①②．
【点睛】
本题考查轴对称的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
20．3 2
【分析】
如图，过点D作DH∥BC，可证△ADH是等边三角形，可得AD=AH=DH，由直角三角形的性质可得AD=2AF=AH，由“AAS”可证△DHG≌△ECG，可得CG=HG，即可求解．
【详解】
如图，过点D作DH∥BC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，
∵DH∥BC，
∴∠ADH＝∠ABC＝60°，∠AHD＝∠ACB＝60°，∠DGH＝∠EGC，
∴△ADH是等边三角形，
∴AD＝AH＝DH，
∵∠A＝60°，DF⊥AH，
∴∠ADF＝30°，
∴AD＝2AF，
∴AH＝2AF，
∵CE＝AD，
∴DH＝CE，且∠DGH＝∠EGC，∠DHG＝∠ECG，
∴△DHG≌△ECG（AAS）
∴CG＝HG，
∵FG＝FH+HG＝1
2
AH+
1
2
CH，
∴FG＝1
2
AC＝
3
2
，
故答案为：3
2
．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形判定及性质的运用，直角三角形的性质的运用，平行线的性质的运用，解答时作DH∥BC是难点，证明三角形全等是关键．21．（1）3.5；（2）x＝2
【分析】
（1）按照二次根式的乘法法则及有理数的混合运算法则计算即可；
（2）先去分母，化为整式方程，然后求解并检验即可．
【详解】
（15
＝ 5
＝0.4×5
4
+15÷5
＝0.5+3
＝3.5
（2）方程两边同时乘以（6x﹣2）得：
3（3x﹣1）﹣4x＝7
9x﹣3﹣4x＝7
5x＝10
x＝2
检验：当x＝2时，6x﹣2≠0
∴原分式方程的解为x＝2．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算和解分式方程，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
22．ab
2
，－6
【分析】
先把括号内通分和除法运算化为乘法运算，再约分得到原式=
2
ab ，接着根据立方根和平方根定义得到a 和b 的值，然后把a 、b 的值代入计算即可．
【详解】 原式＝2()2()a b a b --÷a b ab
- ＝2()2()a b ab a b a b
--- ＝ab 2
，
当a ＝﹣3，b 4，
所以，原式＝
342
-?＝﹣6． 【点睛】
本题考查了分式的化简求值：在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．也考查了立方根和平方根的定义．
23．（1）见解析；（2）见解析；（3）【分析】
（1）分别作出A ，B ，C 的对应点A 1，B 1，C 1即可．
（2）分别作出A ，B ，C ，D 的对应点A 2，B 2，C 2，D′即可．
（3）利用勾股定理计算即可．
【详解】
（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求．
（2）如图，△A 2B 2C 2，点D 的对称点D '即为所求．
（3）AD ′
【点睛】
本题考查作图-轴对称变换，旋转变换，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识 24．①见解析；②∠BDC ＝75°．
【解析】
【分析】
①利用SAS 即可得证；
②由全等三角形对应角相等得到∠AEB ＝∠BDC ，利用外角的性质求出∠AEB 的度数，即可确定出∠BDC 的度数．
【详解】
①证明：在△ABE 和△CBD 中，90AB CB ABE CBD BE BD ??∠∠????
＝＝＝＝，
∴△ABE ≌△CBD （SAS ）；
②解：∵在△ABC 中，AB ＝CB ，∠ABC ＝90°，
∴∠BAC ＝∠ACB ＝45°，
∵△ABE ≌△CBD ，
∴∠AEB ＝∠BDC ，
∵∠AEB 为△AEC 的外角，
∴∠AEB ＝∠ACB ＋∠CAE ＝45°＋30°＝75°，
∴∠BDC ＝75°．
【点睛】
此题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
25．解：（1）设甲公司单独完成此项工程需x 天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x 天． 根据题意，得
111x 1.5x 12
+=， 解得x=20．
经检验，x=20是方程的解且符合题意．
1.5 x=30．
∴甲，乙两公司单独完成此项工程，各需20天，30天．
（2）设甲公司每天的施工费为y 元，则乙公司每天的施工费为（y ﹣1500）元， 根据题意得12（y+y ﹣1500）=102000解得y=5000，
甲公司单独完成此项工程所需的施工费：20×5000=100000（元）；
乙公司单独完成此项工程所需的施工费：30×（5000﹣1500）=105000（元）；
∴让一个公司单独完成这项工程，甲公司的施工费较少．
【解析】
（1）设甲公司单独完成此项工程需x 天，则乙工程公司单独完成需1.5x 天，根据合作12天完成列出方程求解即可．
（2）分别求得两个公司施工所需费用后比较即可得到结论．
26．（1）见解析；（2）见解析
【分析】
（1）根据SAS 直接判断出△ACE ≌△BCD 即可得出结论；
（2）先判断出∠BCF=∠CBF ，进而得出∠BCF=∠CAE ，即可得出结论．
【详解】
证明：（1）在△ACE 和△BCD 中， AC BC C C CE CD =??∠=∠??=?
，
∴△ACE ≌△BCD （SAS ），
∴∠CAE ＝∠CBD ；
（2）如图2，记AE 与CF 的交点为M ，
在Rt△BCD中，点F是BD的中点，
∴CF＝BF，
∴∠BCF＝∠CBF，
由（1）知，∠CAE＝∠CBD，
∴∠BCF＝∠CAE，
∴∠CAE+∠ACF＝∠BCF+∠ACF＝∠ACB＝90°，
∴∠AMC＝90°，
∴AE⊥CF．
【点睛】
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确识图确定角之间的关系是解本题的关键．