人教版八年级初二数学下学期勾股定理单元 易错题难题测试题

人教版八年级初二数学下学期勾股定理单元 易错题难题测试题

一、选择题

1．如图，在△ABC 中，AC =BC ，∠ACB =90°，点D 在BC 上，BD =6，DC =2，点P 是AB 上的动点，则PC +PD 的最小值为（ ）

A ．8

B ．10

C ．12

D ．14

2．如图，在长方形纸片ABCD 中，8AB cm =，6AD cm =. 把长方形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，则AF 的长为（ ）

A ．

254

cm B ．

152

cm C ．7cm

D ．

132

cm 3．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（ ） A ．9，7，12

B ．2，3，4

C ．1，2，3

D ．5，11，12

4．我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知90A ∠=?正方形ADOF 的边长是2，4BD =，则CF 的长为（ ）

A ．6

B ．2

C ．8

D ．10

5．如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直．如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（ ）

A ．200m

B ．300m

C ．400m

D ．500m

6．下列以线段a 、b 、c 的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A ．9,41,40a b c === B ．5,5,52a b c === C ．::3:4:5a b c = D ．11,12,13a b c === 7．在下列以线段a 、b 、c 的长为边，能构成直角三角形的是（ ）

A ．a =3，b =4，c =6

B ．a =5，b =6，c =7

C ．a =6，b =8，c =9

D ．a =7，b =24，c =25

8．如图， 在ABC 中，CE 平分ACB ∠，CF 平分ABC 的外角ACD ∠，且EF //BC 交AC 于M ，若CM 4=，则22CE CF +的值为（ ）

A ．8

B ．16

C ．32

D ．64

9．在直角三角形ABC 中，90C ∠=?，两直角边长及斜边上的高分别为,,a b h ，则下列关系式成立的是（ ）

A ．

222221a b h

+= B ．

222

111

a b h += C ．2h ab = D ．222h a b =+

10．已知一个直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边长是( ) A ．5

B ．4

C 34

D ．434二、填空题

11．如图，∠MON ＝90°，△ABC 的顶点A 、B 分别在OM 、ON 上，当A 点从O 点出发沿着OM 向右运动时，同时点B 在ON 上运动，连接OC ．若AC ＝4，BC ＝3，AB ＝5，则OC

的长度的最大值是________．

12．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=?，4AC =，2BC =，以AB 为边向外作等腰直角三角形ABD ，则CD 的长可以是__________．

13．如图，Rt ABC 中，90A ∠=?，8AC =，6AB =，DE AC ⊥，1

3

CD BC =

，1

3

CE AC =

，P 是直线AC 上一点，把CDP 沿DP 所在的直线翻折后，点C 落在直线DE 上的点H 处，CP 的长是__________

14．在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=∠==，以ABC 的边AC 为一边的等腰三角形，它的第三个顶点在ABC 的斜边AB 上，则这个等腰三角形的腰长为_________. 15．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝5，BC 边上的高AD ＝4，则△ABC 的周长为__________. 16．如图，O 为坐标原点，四边形OABC 为矩形，()20,0A ，()0,8C ，点D 是OA 的中点，点P 在边BC 上运动，当ODP ?是以OD 为腰的等腰三角形时，则P 点的坐标为______.

17．如图，在等边△ABC 中，AB ＝6，AN ＝2，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 是AD 上的动点，则BM +MN 的最小值是_____．

18．四边形ABCD 中AB ＝8，BC ＝6，∠B ＝90°，AD ＝CD ＝52，四边形ABCD 的面积是_______．

19．如图，把平面内一条数轴x 绕点O 逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y ，x 轴和y 轴构成一个平面斜坐标系．规定：已知点P 是平面斜坐标系中任意一点，过点P 作y 轴的平行线交x 轴于点A ，过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点B ，若点A 在x 轴上对应的实数为a ，点B 在y 轴上对应的实数为b ，则称有序实数对（a ，b ）为点P 的斜坐标．在平面斜坐标系中，若θ＝45°，点P 的斜坐标为（1，22），点G 的斜坐标为（7，﹣22），连接PG ，则线段PG 的长度是_____．

20．如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，已知25AB = ，24AC = 其中阴影部分面积是_____________平方单位．

三、解答题

21．如图，在ABC 中，90BAC ∠=?，AB AC =，点D 是BC 上一动点、连接AD ，过点A 作AE AD ⊥，并且始终保持AE AD =，连接CE ， （1）求证：ABD ACE ?； （2）若AF 平分DAE ∠交BC 于F ，

①探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系，并证明； ②若3BD =，4CF =，求AD 的长，

22．如图，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，点D 在边AB 上，点E 在边AC 的左侧，连接AE ．

（1）求证：AE ＝BD ；

（2）试探究线段AD 、BD 与CD 之间的数量关系；

（3）过点C 作CF ⊥DE 交AB 于点F ，若BD ：AF ＝1：22，CD ＝36+，求线段AB 的长．

23．定义：如图1，点M 、N 把线段AB 分割成AM 、MN 和BN ，若以AM 、MN 、

BN 为边的三角形是一个直角三角形，则称点M 、N 是线段AB 的勾股分割点．

（1）已知点M 、N 是线段AB 的勾股分割点，若2AM =，3MN =，求BN 的长； （2）如图2，在Rt ABC △中，AC BC =，点M 、N 在斜边AB 上，45MCN ∠=?，求证：点M 、N 是线段AB 的勾股分割点（提示：把ACM 绕点C 逆时针旋转

90?）；

（3）在（2）的问题中，15ACM ∠=?，1AM =，求BM 的长．

24．已知ABC ?中，如果过项点B 的一条直线把这个三角形分割成两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为ABC ?的关于点B 的二分割线．例如：如图1，Rt ABC ?中，90A ?∠=，20C ?∠=，若过顶点B 的一条直线BD 交AC 于点D ，若20DBC ?∠=，显然直线BD 是ABC ?的关于点B 的二分割线．

（1）在图2的ABC ?中，20C ?∠=，110ABC ?∠=．请在图2中画出ABC ?关于点B 的二分割线，且DBC ∠角度是 ；

（2）已知20C ?∠=，在图3中画出不同于图1，图2的ABC ?，所画ABC ?同时满足:①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．BAC ∠的度数是 ；

（3）已知C α∠=，ABC ?同时满足：①C ∠为最小角；②存在关于点B 的二分割线．请求出BAC ∠的度数（用α表示）．

25．如图所示，已知ABC ?中，90B ∠=?，16AB cm =，20AC cm =，P 、Q 是

ABC ?的边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为ts ．

（1）则BC =____________cm ；

（2）当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上？此时CQ =_________? （3）当点Q 在边CA 上运动时，直接写出使BCQ ?成为等腰三角形的运动时间．

26．Rt ABC ?中，90CAB ∠=，4AC =，8AB =，M N 、分别是边AB 和CB 上的动点，在图中画出AN MN +值最小时的图形，并直接写出AN MN +的最小值为 .

27．已知ABC ?中，AB AC =.

（1）如图1，在ADE ?中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：

BD CE =

（2）如图2，在ADE ?中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，

CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；

（3）如图3，在BCD ?中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求

AD

AB

的值.

28．定义：在△ABC 中，若BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，若a ，b ，c 满足ac +a 2＝b 2，则称这个三角形为“类勾股三角形”，请根据以上定义解决下列问题：

（1）命题“直角三角形都是类勾股三角形”是 命题（填“真”或“假”）；

（2）如图1，若等腰三角形ABC 是“类勾股三角形”，其中AB ＝BC ，AC ＞AB ，请求∠A 的度数；

（3）如图2，在△ABC 中，∠B ＝2∠A ，且∠C ＞∠A ．

①当∠A ＝32°时，你能把这个三角形分成两个等腰三角形吗？若能，请在图2中画出分割线，并标注被分割后的两个等腰三角形的顶角的度数；若不能，请说明理由； ②请证明△ABC 为“类勾股三角形”． 29．（知识背景）

据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦就等于5，后人概括为“勾三、股四、弦五”．像3、4、5这样为三边长能构成直角三角形的三个正整数，称为勾股数． （应用举例）

观察3，4，5；5，12，13；7，24，25；…

可以发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，并且

勾为3时，股14(91)2=

-，弦1

5(91)2=+； 勾为5时，股112(251)2=

-，弦1

13(251)2

=+； 请仿照上面两组样例，用发现的规律填空： （1）如果勾为7，则股24＝ 弦25＝

（2）如果勾用n （3n ≥，且n 为奇数）表示时，请用含有n 的式子表示股和弦，则股＝ ，弦＝ ． （解决问题）

观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…根据应用举例获得的经验进行填空： （3）如果,,a b c 是符合同样规律的一组勾股数，2a m =（m 表示大于1的整数），则

b = ，

c = ，这就是古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式．

（4）请你利用柏拉图公式，补全下面两组勾股数（数据从小到大排列）第一组： 、24、 ：第二组： 、 、37．

30．如图,在△ABC 中,D 是边AB 的中点,E 是边AC 上一动点,连结DE,过点D 作DF ⊥DE 交边BC 于点F(点F 与点B 、C 不重合),延长FD 到点G,使DG=DF,连结EF 、AG.已知AB=10,BC=6,AC=8. (1)求证:△ADG ≌△BDF ； (2)请你连结EG,并求证:EF=EG ；

(3)设AE=x ,CF=y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围； (4)求线段EF 长度的最小值.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题 1．B 解析：B 【分析】

过点C 作CO ⊥AB 于O ，延长CO 到C ′，使OC ′＝OC ，连接DC ′，交AB 于P ，连接

CP，此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．由DC＝2，BD＝6，得到BC＝8，连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，于是得到∠CBC′＝90°，然后根据勾股定理即可得到结论．

【详解】

解：过点C作CO⊥AB于O，延长CO到C′，使OC′＝OC，连接DC′，交AB于P，连接CP．

此时DP＋CP＝DP＋PC′＝DC′的值最小．

∵DC＝2，BD＝6，

∴BC＝8，

连接BC′，由对称性可知∠C′BA＝∠CBA＝45°，

∴∠CBC′＝90°，

∴BC′⊥BC，∠BCC′＝∠BC′C＝45°，

∴BC＝BC′＝8，

根据勾股定理可得DC′＝2222

'+=+=．

8610

BC BD

故选：B．

【点睛】

此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，确定动点P为何位置时 PC＋PD的值最小是解题的关键．

2．A

解析：A

【分析】

由已知条件可证△CFE≌△AFD，得到DF=EF,利用折叠知AE=AB=8cm，设AF=xcm，则DF=(8-x)cm，在Rt△AFD中，利用勾股定理即可求得x的值.

【详解】

∵四边形ABCD是长方形，

∴∠B=∠D=900，BC=AD,

由翻折得AE=AB=8m，∠E=∠B=900,CE=BC=AD

又∵∠CFE=∠AFD

∴△CFE≌△AFD

∴EF=DF

设AF=xcm，则DF=（8-x）cm

在Rt△AFD中，AF2=DF2+AD2,AD=6cm，

222

=-+

(8)6

x x

254

x cm

故选择A. 【点睛】

此题是翻折问题，利用勾股定理求线段的长度.

3．C

解析：C 【分析】

利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形．最长边所对的角为直角．由此判定即可． 【详解】

解：A 、因为92+72≠122，所以三条线段不能组成直角三角形； B 、因为22+32≠42，所以三条线段不能组成直角三角形；

C 、因为12= 22，所以三条线段能组成直角三角形；

D 、因为52+112≠122，所以三条线段不能组成直角三角形． 故选C ． 【点睛】

此题考查勾股定理逆定理的运用，注意数据的计算．

4．A

解析：A 【分析】

设CF=x ，则AC=x+2，再由已知条件得到AB=6，BC=6+x ，再由AB 2+AC 2=BC 2得到62+（x+2）2=（x+4）2，解方程即可． 【详解】

设CF=x ，则AC=x+2，

∵正方形ADOF 的边长是2，BD=4，△BDO ≌△BEO ，△CEO ≌△CFO ， ∴BD=BE ，CF=CE ，AD=AF=2， ∴AB=6，BC=6+x ， ∵∠A=90°， ∴AB 2+AC 2=BC 2， ∴62+（x+2）2=（x+4）2， 解得：x=6， 即CF=6， 故选：A ． 【点睛】

考查正方形的性质、勾股定理，解题关键是设CF=x ，则AC=x+2，利用勾股定理得到62+（x+2）2=（x+4）2．

5．D

解析：D

【分析】

由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由题意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可证△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC，即可求CE，根据图可知从B到E的走法有两种，分别计算比较即可．

【详解】

解：如图所示，

∵BC∥AD，

∴∠DAE=∠ACB，

又∵BC⊥AB，DE⊥AC，

∴∠ABC=∠DEA=90°，

又∵AB=DE=400m，

∴△ABC≌△DEA，

∴EA=BC=300m，

在Rt△ABC中，22500

+=

AB BC m

∴CE=AC-AE=200，

从B到E有两种走法：①BA+AE=700m；②BC+CE=500m，

∴最近的路程是500m．

故选D．

【点睛】

本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是证明

△ABC≌△DEA，并能比较从B到E有两种走法．

6．D

解析：D

【分析】

根据直角三角形的判定，符合a2+b2＝c2即可；反之不符合的不能构成直角三角形．

【详解】

解：A、因为92+402＝412，故能构成直角三角形；

52，故能构成直角三角形；

B、因为52+52=(2

C 、因为()()()222

345x x x +=，故能构成直角三角形； D 、因为112+122≠152，故不能构成直角三角形； 故选：D ． 【点睛】

本题考查的是勾股定理的逆定理，当三角形中三边满足222a b c +=关系时，则三角形为直角三角形．

7．D

解析：D 【解析】

A 选项：32+42≠62，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；

B 选项：52+62≠72，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；

C 选项：62+82≠92，故不符合勾股定理的逆定理，不能组成直角三角形，故错误；

D 选项：72+242=252，故符合勾股定理的逆定理，能组成直角三角形，故正确． 故选D ．

8．D

解析：D 【分析】

根据角平分线的定义推出△ECF 为直角三角形，然后根据勾股定理求得CE 2+CF 2=EF 2． 【详解】

∵CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ， ∴∠ACE=

12∠ACB ，∠ACF=12∠ACD ，即∠ECF=1

2

（∠ACB+∠ACD ）=90°， 又∵EF ∥BC ，CE 平分∠ACB ，CF 平分∠ACD ， ∴∠ECB=∠MEC=∠ECM ，∠DCF=∠CFM=∠MCF ， ∴CM=EM=MF=4，EF=8， 由勾股定理可知CE 2+CF 2=EF 2=64． 故选：D ． 【点睛】

此题考查角平分线的定义，直角三角形的判定，勾股定理的运用，解题关键在于掌握各性质定义.

9．B

解析：B 【分析】

设斜边为c ，根据勾股定理得出 【详解】

解：设斜边为c ，根据勾股定理得出 ∵

12ab=1

2

ch ，

∴ab=22a b +?h ，即a 2b 2=a 2h 2+b 2h 2，

∴22222a b a b h =22222a h a b h +22

222b h a b h

， 即

21a +21b ＝21h ． 故选：B ． 【点睛】

本题考查勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题关键．

10．D

解析：D 【详解】

解：∵一个直角三角形的两边长分别为3和5，

∴①当5是此直角三角形的斜边时，设另一直角边为x ，则由勾股定理得到：x =2253-=4；

②当5是此直角三角形的直角边时，设另一直角边为x ，则由勾股定理得到：x =2253+=34 故选：D

二、填空题

11．5 【解析】

试题分析：取AB 中点E ，连接OE 、CE ，在直角三角形AOB 中，OE=AB ，利用勾股定理的逆定理可得△ACB 是直角三角形，所以CE=AB ，利用OE+CE≥OC ，所以OC 的最大值为OE+CE ，即OC 的最大值=AB=5．

考点：勾股定理的逆定理， 12．21021332【分析】

在ABC 中计算AB ，情况一：作AE CE ⊥于E ，计算AE ，DE ，CE ，可得CD ；情况二：作BE CE ⊥于E ，计算BE ，CE ，DE ，可得CD ；情况三：作DE CE ''⊥，计算

,,DF DE CE ''，可得CD ．

【详解】

∵90ACB ?∠=，4,2AC BC ==， ∴25AB =，

情况一：当25AD AB ==时，作AE CE ⊥于E ∴

1122BC AC AB AE ?=?，即455AE =，1455

DE = ∴2285

5

CE AC AE =

-=

∴22213CD CE DE =+=

情况二：当25BD AB ==时，作BE CE ⊥于E ， ∴

1122BC AC AB BE ?=?，即455BE =，1455

DE = ∴2225

CE BC BE =

-=

∴22210CD CE DE =+=

情况三：当AD BD =时，作DE CE ''⊥，作BE CE ⊥于E ∴

11

22

BC AC AB BE ?=?，

∴45BE =

35

5

CE ∴=

∵ABD △为等腰直角三角形 ∴1

52

BF DF AB ==

= ∴95

5

DE DF E F DF BE ''=+=+=

2535

5CE EE CE BF CE ''=-=-=-

=

∴2232CD CE E D ''=+=

故答案为：1021332【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的探索，勾股定理的计算等，熟知以上知识是解题的关键．

13．

53或20

3 【分析】

根据折叠后点C 的对应点H 与AC 的位置关系分类讨论，分别画出对应的图形，利用勾股定理求出各边的长，再根据折叠的性质与勾股定理列出对应的方程即可求出结论． 【详解】

解：①当折叠后点C 的对应点H 在AC 的下方时，如下图所示

∵Rt ABC 中，90A ∠=?，8AC =，6AB =， 根据勾股定理可得BC=2210AB AC +=

∵1

3CD BC =，13

CE AC =， ∴13CD BC =

=103，13

CE AC ==83

∵DE AC ⊥

根据勾股定理可得DE=222CD CE -= 由折叠的性质可得：DH=CD=10

3

，CP=PH ∴EH=DH －DE=

43

设CP=PH=x ，则EP=CE －CP=8

3

－x

在Rt △PEH 中，EP 2＋EH 2=PH 2

即（8

3－x ）2＋（43

）2=x 2

解得：x=

5

3 即此时CP=

53

； ②当折叠后点C 的对应点H 在AC 的上方时，如下图所示

根据折叠的性质可得DH=CD=10

3

，CP=PH ∴EH=DH ＋DE=

163

设CP=PH=y ，则EP= CP －CE =y －8

3

在Rt △PEH 中，EP 2＋EH 2=PH 2 即（y －83

）2＋（163

）2=y 2

解得：y=

203 即此时CP=

203

． 综上所述：CP=53或203

． 故答案为：53或203

． 【点睛】

此题考查的是勾股定理和折叠问题，掌握利用勾股定理解直角三角形、折叠的性质和分类讨论的数学思想是解决此题的关键．

14．2 【分析】

先求出AC 的长，再分两种情况：当AC 为腰时及AC 为底时，分别求出腰长即可. 【详解】

在Rt ABC 中，90,30,2C A BC ∠=∠==， ∴AB=2BC=4，

∴AC =

==

当AC 为腰时，则该三角形的腰长为

当AC 为底时，作AC 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如图，此时△ACD 是等

腰三角形，则 设DE=x ，则AD=2x ， ∵222AE DE AD +=,

∴222(2)x x += ∴x=1（负值舍去）， ∴腰长AD=2x=2，

故答案为：23或2 【点睛】

此题考查勾股定理的运用，结合线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题时注意：“AC 为一边的等腰三角形”没有明确AC 是等腰三角形的腰或底，故应分为两种情况解题，这是此题的易错之处. 15．1425+或825+ 【分析】

分两种情况考虑：如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，在直角三角形ABD 与直角三角形ACD 中，利用勾股定理求出BD 与DC 的长，由BD+DC 求出BC 的长，即可求出周长；如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，同理由BD -CD 求出BC 的长，即可求出周长． 【详解】

解：分两种情况考虑：

如图1所示，此时△ABC 为锐角三角形，

在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：BD=22226425AB AD -=-=， 在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：CD=2222543AC AD -=-=，

∴BC=253+，

∴△ABC 的周长为：652531425+++=+； 如图2所示，此时△ABC 为钝角三角形，

在Rt △ABD 中，根据勾股定理得：22226425AB AD -=-= 在Rt △ACD 中，根据勾股定理得：2222543AC AD --=，

∴BC=253-，

∴△ABC 的周长为：65253825++-=+； 综合上述，△ABC 的周长为：1425+或825+； 故答案为：1425+或825+. 【点睛】

此题考查了勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 16．()4,8或()6,8或()16,8 【分析】

当ODP ?是以OD 为腰的等腰三角形时，分为两种情况①点O 是顶角顶点时，②D 是顶角顶点时，根据勾股定理求出CP ，PM 即可． 【详解】

解：OD 是等腰三角形的一条腰时：

①若点O 是顶角顶点时，P 点就是以点O 为圆心，以10为半径的弧与CB 的交点， 在直角△OPC 中，CP=22221086OP OC -=-=，则P 的坐标是（6，8）． ②若D 是顶角顶点时，P 点就是以点D 为圆心，以10为半径的弧与CB 的交点， 过D 作DM ⊥BC 于点M ，

在直角△PDM 中，22221086PD DM -=-= ， 当P 在M 的左边时，CP=10-6=4，则P 的坐标是（4，8）； 当P 在M 的右侧时，CP=10+6=16，则P 的坐标是（16，8）． 故P 的坐标为：（6，8）或（4，8）或（16，8）． 故答案为：（6，8）或（4，8）或（16，8）． 【点睛】

本题主要考查等腰三角形的性质及勾股定理的运用，注意正确地进行分类，考虑到所有的可能情况是解题的关键．

177

【解析】 【分析】

通过作辅助线转化BM ，MN 的值，从而找出其最小值求解． 【详解】

解：连接CN ，与AD 交于点M ．则CN 就是BM +MN 的最小值．取BN 中点E ，连接DE ，如图所示：

∵等边△ABC的边长为6，AN＝2，∴BN＝AC﹣AN＝6﹣2＝4，

∴BE＝EN＝AN＝2，

又∵AD是BC边上的中线，

∴DE是△BCN的中位线，

∴CN＝2DE，CN∥DE，

又∵N为AE的中点，

∴M为AD的中点，

∴MN是△ADE的中位线，

∴DE＝2MN，

∴CN＝2DE＝4MN，

∴CM＝3

4 CN．

在直角△CDM中，CD＝1

2

BC＝3，DM＝

1

2

AD＝

33

2

，

∴CM223

7 2

CD MD

+=

∴CN＝43

727 32

=．

∵BM+MN＝CN，

∴BM+MN的最小值为7．

故答案是：7

【点睛】

考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用．

18．49

【解析】

连接AC，在Rt△ABC中，∵AB=8，BC=6，∠B=90°，∴AC22

AB BC

+10．在△ADC中，∵AD=CD=52AD2+CD2=（522+（522=100．

∵AC2=102=100，∴AD2+CD2=AC2，∴∠ADC=90°，∴S四边形

ABCD =S△ABC+S△ACD=

1

2

AB?BC+

1

2

AD?DC=

1

2

×8×6+

1

2

×525224+25=49．