主成分分析在STATA中的实现以及理论介绍

主成分分析在S T A T A中

的实现以及理论介绍 Ting Bao was revised on January 6, 20021

第十二章 主成分分析

主成分分分析也称作主分量分析，是霍特林(Hotelling)在1933年首先提出。主成分分析是利用降维的思想，在损失较少信息的前提下把多个指标转化为较少的综合指标。转化生成的综合指标即称为主成分，其中每个主成分都是原始变量的线性组合，且各个主成分互不相关。Stata 对主成分分析的主要内容包括：主成分估计、主成分分析的恰当性（包括负偏协方差矩阵和负偏相关系数矩阵、KMO(Kaiser-Meyer-Olkin)抽样充分性、复相关系数、共同度等指标测度）、主成分的旋转、预测、各种检验、碎石图、得分图、载荷图等。

p j n

i b a y ij j i ij ,,2,1,,2,1,' ==+=ε

主成分的模型表达式为：

p

p j i i i i diag v v v v i p

V V C λλλλλλλ≥≥≥=∧=''

==∧=∑ 2121),,,,(0

1

其中，a 称为得分，b 称为载荷。主成分分析主要的分析方法是对相关系数矩阵（或协方差矩阵）进行特征值分析。

Stata 中可以通过负偏相关系数矩阵、负相关系数平方和KMO 值对主成分分析的恰当性进行分析。负偏相关系数矩阵即变量之间两两偏相关系数的负数。非对角线元素则为负的偏相关系数。如果变量之间存在较强的共性，则偏相关系数比较低。因此，如果矩阵中偏相关系数较高的个数比较多，说明某一些变量与另外一些变量的相关性比较低，主成分模型可能不适用。这时，主成分分析不能得到很好的数据约化效果。

Kaiser-Meyer-Olkin 抽样充分性测度也是用于测量变量之间相关关系的强弱的重要指标，是通过比较两个变量的相关系数与偏相关系数得到的。KMO 介于0于1之间。KMO 越高，表明变量的共性越强。如果偏相关系数相对于相关系数比较高，则KMO 比较低，主成分分析不能起到很好的数据约化效果。根据Kaiser （1974），一般的判断标准如下：不能接受（unacceptable ）;非常差（miserable ）；，勉强接受（mediocre ）；可以接受（middling ）；，比较好（meritorious ）；非常好（marvelous ）。

SMC 即一个变量与其他所有变量的复相关系数的平方，也就是复回归方程的可决系数。SMC 比较高表明变量的线性关系越强，共性越强，主成分分析就越合适。

成分载荷、KMO 、SMC 等指标都可以通过extat 命令进行分析。

多元方差分析是方差分析在多元中的扩展，即模型含有多个响应变量。本章介绍多元（协）方差分析以及霍特林（Hotelling)均值向量T 检验。

主成分估计

Stata 可以通过变量进行主成分分析，也可以直接通过相关系数矩阵或协方差矩阵进行。

（1）sysuse auto,clear

pca trunk weight length headroom

pca trunk weight length headroom, comp(2) covariance

（2）webuse bg2,clear pca bg2cost*, vce(normal)

Estat

estat 给出了几个非常有用的工具，包括KMO 、SMC 等指标。

webuse bg2,clear

pca bg2cost*, vce(normal) estat anti estat kmo estat loadings estat residuals estat smc estat summarize

预测

Stata 可以通过predict 预测变量得分、拟合值和残差等。

webuse bg2,clear

pca bg2cost*, vce(normal)

predict score fit residual q （备注：q 代表残差的平方和）

碎石图

碎石图是判断保留多少个主成分的重要方法。命令为screeplot 。

webuse bg2,clear

pca bg2cost*, vce(normal) screeplot

E i g e n v a l u e s

得分图、载荷图

得分图即不同主成分得分的散点图。命令为scoreplot 。

webuse bg2,clear

pca bg2cost*, vce(normal) scoreplot

S c o r e s f o r c o m p o n e n t 2

载荷图即不同主成分载荷的散点图。命令为loadingplot 。

webuse bg2,clear

pca bg2cost*, vce(normal) loadingplot

C o m p o n e n t 2

旋转

对载荷进行旋转的命令格式为rotate。

webuse bg2,clear

pca bg2cost*, vce(normal)

rotate

例：对中国30个省市自治区经济发展基本情况的八项指标主成分分析，原始数据如下表：

省份

GDP

(亿元）

居民

消费

水平

(元）

固定资

产投资

(亿元)

职工平

均工资

（元）

货物周

转量

(亿吨公

里)

居民消

费价格

指数

(上年

100)

商品零

售价格

指数

(上年

100)

工业总

产值

(亿元)

area x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x8

北京20346 56328 10413 天津14000 41748 12503 河北6570 24756 23031 山西6187 25828 10024 内蒙古8108 26114

辽宁9625 27729 24769 吉林7591 23486

黑龙江8310 7039 3656 23046

上海27343 56565 25121 江苏11013 31667 67799 浙江13893 9323 34146 105 40832 安徽6377 6747 26363 11162 福建10361 25702 15213 江西5753 21000 106

山东9573 26404 62959 河南5877 24816 107 26028 湖北7406 5647 22739 13455 湖南7145 5534 24870 106 11553 广东14390 33110 106 65425 广西6103 25660 2079 6072 海南6550 21864

重庆9835 26985 105

四川6072 25038 14762 贵州4426 24602

云南4553 24030

西藏3504 47280

陕西6290 25942 2027

甘肃4869 24017

青海5830 30983

宁夏7193 30719

新疆5542 2260 24687 1273

数据：来源于2009年《中国统计年鉴》

程序：

clear

*定义变量的标签

label var area 省份

label var x1 "GDP (亿元）"

label var x2 "居民消费水平(元）"

label var x3 "固定资产投资(亿元)"

label var x4 "职工平均工资（元）"

label var x5 "货物周转量 (亿吨公里)"

label var x6 "居民消费价格指数 (上年100)"

label var x7 "商品零售价格指数 (上年100)"

label var x8 "工业总产值 (亿元)"

describe

pca x1-x8 /*主成分估计*/

estat kmo /*KMO检验，越高越好*/

estat smc /*SMC检验，值越高越好*/

screeplot /* 碎石图（特征值等于1处的水平线标示保留主成分的分界点）*/

predict score fit residual q /*预测变量得分、拟合值和残差以及残差的平方和*/ predict f1 f2 f3

predict q1 q2 q3

scoreplot,mlabel(area) yline(0) xline(0) /*得分图1*/

scoreplot,xtitle("经济社会总量") ytitle("人民生活水平") 2 f

从表中看到，前3个特征值累计贡献率已达%，说明前3个主成分基本包含了全部指标具有的信息，我们取前3个特征值。通过对载荷矩阵进行旋转，可得到，相应的特征向量，见下表：

第一主成分: F

1

＝+++

+第二主成分: F

2＝第三主成分: F

3

＝+在第一主成分的表达式中第一、

第三、第八项指标的系数较大，这三项指标起主要作用，我们可以把第一主成分看成是由国内生产总值、固定资产投资、工业总产值所刻划的反映经济社会总量的综合指标；

在第二主成分中，第二、第三、第四项指标的影响大，且第二、第四项的影响较大，因此可以把第二主成分看成是由居民消费水平、职工平均工资表示的反映人民生活水平的综合指标；

在第三主成分中，第六、第七项指标大于其余的指标，可看成是受居民消费价格指数、商品零售价格指数的影响，反映物价水平的综合指标。

在这次的主成分分析里面，我们可以进行些检验以验证我们分析的效果，通过KMO检验和SMC检验，得到了下面的检验值：

弱的重要指标，是通过比较两个变量的相关系数与偏相关系数得到的。KMO介于0于1之间。KMO越高，表明变量的共性越强。如果偏相关系数相对于相关系数比较高，则KMO比较低，主成分分析不能起到很好的数据约化效果。根据Kaiser（1974），一般的判断标准如下：不能接受（unacceptable）;非常差

（miserable ）；，勉强接受（mediocre ）；可以接受（middling ）；，比较好（meritorious ）；非常好（marvelous ）。

SMC 即一个变量与其他所有变量的复相关系数的平方，也就是复回归方程的可决系数。SMC 比较高表明变量的线性关系越强，共性越强，主成分分析就越合适。

根据KMO 越高，表明变量的共性越强和SMC 比较高表明变量的线性关系越强，共性越强，主成分分析就越合适。从上表可以看出，在该例中，各变量基本符合要求。

通过碎石图，我们可以很直观的看出各个特征值的大小。在该图中，特征值等于1处的水平线标示了保留主成分分析的分界点，同时再次强调了本例中的成分4到8并不重要。

碎石图

E i g e n v a l u e s

通过predict 我们可以得出各个观察变量的所对应的各个主成分的线性组合（即得分）。

在得分图里，我们可以看到不同地区在第一、第二主成分里各自的得分情况。

得分图

S c o r e s f o r c o m p o n e n t 2

通过载荷图，我们可以直观看出各个变量对主成分影响的大小。

载荷图

C o m p o n e n t 2

C o m p o n e n t 2

C o m p o n e n t 3

运行rotate 进行旋转后，我们将旋转后的结果和旋转前的结果进行比较，可以发现每一个观察变量独自构成一个主成分，方差贡献相等，都为12%。