计量经济学习题答案

第一章

1、什么是计量经济学？计量经济学方法与一般经济学方法有什么区别？

解答计量经济学是经济学的一个分支学科，以揭示经济活动中客观存在的经济关系为主要内容，是由经济理论、统计学、数学三者结合而成的交叉性学科。

计量经济学方法揭示经济活动中具有因果关系的各因素间的定量关系，它用随

机性的数学方程加以描述；而一般经济数学方法揭示经济活动中各因素间的理

论关系，更多的用确定性的数学方程加以描述。

2、计量经济学的研究对象和内容是什么？计量经济学模型研究的经济关系有哪两个基本特征？

解答计量经济学的研究对象是经济现象，主要研究经济现象中的具体数量规律，换言之，计量经济学是利用数学方法，根据统计测定的经济数据，对反映经济

现象本质的经济数量关系进行研究。计量经济学的内容大致包括两个方面：一

是方法论，即计量经济学方法或理论计量经济学；二是应用，即应用计量经济学。无论理论计量经济学还是应用计量经济学，都包括理论、方法和数据三要素。

计量经济学模型研究的经济关系有两个基本特征：一是随机关系，二是因果关系。

3、为什么说计量经济学在当代经济学科中占据重要地位？当代计量经济学发展的基本特征与动向是什么？

解答计量经济学子20世纪20年代末30年代初形成以来，无论在技术方法

上还是在应用方面发展都十分迅速，尤其是经过20世纪50年代的发展阶段和20世纪60年代的扩张阶段，计量经济学在经济学科中占据了重要的地位，主

要表现在以下几点。

第一，在西方大多数大学和学院中，计量经济学的讲授已成为经济学课程中最具有权威性的一部分。

第二，1969-2003诺贝尔经济学奖的53位获奖者中有10位于研究和应用计量经济学有关，居经济学各分支学科之首。除此之外，绝大多数诺贝尔

经济学奖获得者，即使其主要贡献不在计量经济学领域，但在他们的研

究中都普遍的应用了计量经济学方法。著名经济学家、诺贝尔经济学奖

获得者萨缪尔森曾说过：“第二次世界大战后的经济学是计量经济学的

时代。”

第三，，计量经济学方法与其他经济数学方法的结合应用得到了长足发展。

从当代计量经济学的发展动向看，有以下基本特点：

（1）非经典计量经济学的理论与应用研究成为计量经济学越来越重要的内容；

（2）计量经济学方法从主要用于经济预测转向对经济理论假设和政策假设的检验；

（3）计量经济学模型的应用从传统的领域转向新的领域，如货币、工资、就业、福利、国际贸易等，并从宏观领域的研究开始转向微

观领域的研究；

（4）计量经济学模型的规模不再是水平高低的衡量标准，人们更喜欢建立一些简单的模型，从总量和趋势上说明经济现象。

4、建立和应用计量经济学模型的主要步骤有哪些？

解答建立和应用计量经济学模型的主要步骤如下：（1）设定理论模型，包括选择模型所包含的变量，确定变量之间的数学关系和议定模型中的

待估参数的数值范围；（2）收集样本数据，要考虑样本数据的完整性、

准确性、可比性和一致性；（3）估计模型参数；（4）检验模型，包括

经济意义检验、统计检验、计量检验、预测检验。

5、计量经济学模型主要有哪些应用领域？各自的原理是什么？

解答计量经济学模型主要有以下几个方面的用途：

（1）结构分析，即研究一个或几个经济变量发生变化及结构参数的变动对其他乃至整个经济系统产生何种影响，其原理是弹性分析、乘数分析与比

较静力分析；

（2）经济预测，即进行中短期经济的因果预测，其原理是模拟历史，从已经发生的经济活动中找出变化规律；

（3）政策评价，即利用计量经济学模型和实际统计资料实证分析某个理论假说正确与否，其原理是如果按照某种经济理论建立的计量经济学模型可

以很好地拟合实际观察数据，则意味着该理论是符合客观事实的，否则，则表明该理论不能解释客观事实。

6、模型检验包括几个方面？其具体含义是什么？

解答模型的检验主要包括经济意义检验、统计检验、计量检验和模型的预检验四方面。在经济意义检验中，需要检验模型是否符合经济意义，

检验求得的参数估计值的符号与大小是否与根据人们的经验和经济理论

所拟订的期望值相符合；在统计检验中，需要检验模型参数估计值的可

靠性，即检验模型的统计学性质；在计量检验中，需要检验模型的计量

性质，包括随机干预在项的序列相关性检验与异方差性检验、解释变量

的多重共线性检验、模型设定的偏误性检验等；模型的预测检验主要检

验模型参数估计量的稳定性及样本容量发生变化时的灵敏度，以确定所

建立的模型是否可以用于样本观测值以外的范围。

7、下利假想模型是否属于揭示因果关系的计量经济学模型？为什么？

（1）S t=112.0+0.12Rt，其中St为第t年农村居民储蓄增加额（单位：亿），Rt为第t年城镇居民可支配收入总额（单位：亿）。

（2）S t?1=4432.0+0.30Rt，其中S t?1为第t-1年底农村居民储蓄余额

（单位：亿），R t为第t年农村居民纯收入总额（单位：亿）。

解答（1）不是。因为农村居民储蓄增加额应与农村居民可支配收入总

额有关，而与城镇居民可支配收入总额之间没有因果关系。

（2）不是。第t年农村居民的纯收入对当年及以后年份的农村居民储蓄

有影响，但并不对第t-1年的储蓄产生影响。

8、指出下列假想模型中的错误，并说明理由：

RS t=8300.0?0.24?RI t+1.12?IV t

其中，RS t为第t年社会消费品零售总额（单位：亿元），RI t为第t年居

民收入总额（单位：亿元）（城镇居民可支配收入总额与农村居民纯收

入总额之和），IV t为第t年全社会固定资产投资总额（单位：亿元）。

解答一是居民收入总额RI t前参数的符号有误，应是正号；二是全社会

固定资产投资总额IV t这一解释变量的选择有误，它对社会消费品零售总额没有直接的影响。

第二章

1、为什么计量经济学模型的理论方程中必须包含随机干扰项？

解答计量经济学模型考察的是具有因果关系的随机变量间的具体联系方式。由于是随机变量，意味着影响被解释变量的因素是复杂的你，除了

解释变量的影响外，还有其他无法在模型中独立列出的各种因素的影响。这样，理论模型就必须使用一个称为随机干扰项的变量来代表所有这些

无法在模型中独立表示出来的影响因素，以保证模型在理论上的科学性。

2、下列计量经济学方程哪些是正确的？哪些是错误的？为什么？

（1）Y t=α+βX t，t=1,2，…,n;

(2) Y t=α+βX t+μ

t

,t=1,2，…,n;

(3)Y t=α+βX t+μ

t

,t=1,2，…,n;

(4)Y t=α+βX t+μ

t

,t=1,2，…,n;

(5))Y t=α+βX t,t=1,2，…,n;

(6)Y t=α+βX t,t=1,2，…,n;

(7)Y t=α+βX t+μ

t

,t=1,2，…,n;;

(8))Y t=α+βX t+μ

t

,t=1,2，…,n。

其中带““者表示”估计值“。

解答计量经济学模型有两种模型：总体回归模型；样本回归模型。两类回归模型都具有确定形式与随机形式两种表达方式：

总体回归模型的确定形式E(Y|X)=β

0+β

1

X

总体回归模型的随机形式Y=β

0+β

1

X+μ

样本回归模型的确定形式Y=β

0+β

1

X

样本回归模型的随机形式Y=β

0+β

1

X+e

除此之外，其他的表达式均是错误的，因此判断如下：（1）错误；（2）正确；（3）错误；（4）错误；（5）错误；（6）正确；（7）正确；（8）错误；

3、一元线性回归模型的基本假设主要有哪些？违背基本假设的计量经济学模型是否就不能进行估计？

解答线性回归模型的基本假设有两大类：一类是关于随机干扰项的，包括零均值，同方差，不序列相关，满足正态分布等假设；另一类是关于

解释变量的，主要有：解释变量是非随机的；如果解释变量时随机变量，则与随机干扰项不相关。实际上，这些假设都是针对于OLS的。在违背这些基本假设的情况下，OLS估计量就不再是最佳线性无偏估计量，因此使用OLS进行估计已无多大意义。但模型本身还是可以估计的，尤其是可以通过最大似然法等其他原理进行估计。

4、线性回归模型Y i=α+βX i+μ

i

，i=1,2，…，n

的零均值假设是否可以表达为1

n

μ

i

n

i=1

=0？为什么？

解答线性回归模型中的零均值假设E(μ

i

)=0可以表示为

E(μ

1)=0，E(μ

2

)=0，E(μ

3

)=0，…

但不能表示为1

n

μ

i

n

i=1

=0，理由是1

n

μ

i

n

i=1

≠E(μ

i

)=0

严格说来，随机干扰项的零均值假设是关于X的条件期望为零，即

E(μ

i

|X i)=0，其含义为在X取值为X i的条件下，所有其他因素对Y的各

种可能的影响平均下来为零。因此，E(μ

i )与1

n

μ

i

n

i=1

是两个完全不同的

慨念。

5、假设已经得到关系式Y=β

0+β

1

X的最小二乘估计，试回答：

（1）假设决定把X变量的单位扩大10倍，这样对原回归的斜率和截距会有什么样的影响？如果把Y变量的单位扩大10倍，又会怎样？

（2）如果给X的每个观测值都增加2，对原回归的斜率和截距会有什么样的影响？如果给Y的每个观测值都增加2，又会这样？

解答（1）记X?为原变量X单位扩大10倍的变量，则X=Y?

10

，于是

Y?10=β

+β

1

X

即Y?=10β

0+10β

1

X

可见，被解释变量的单位扩大10倍是，截距项羽斜率项都会比原回归系数扩大10倍。

（2）记X?=X+2，则原回归模型变为

Y=β

0+β

1

X

=β

0+β

1

(X??2)

=(β

0?2β

1

)+β

1

X?

记Y?=Y+2,则原回归模型变为

Y??2=β

0+β

1

X即

Y?=（β

0+2）+β

1

X

可见，无论解释变量还是被解释变量以加法的形式变化，都会造成原回归模型的截距项变化，而斜率项不变。

6、假使在回归模型Y i=β

0+β

1

X i+μ

i

中，用不为零的常数δ去乘每一个

X值，这会不会改变Y的拟合值和残差？如果对每个X都加上一个非零常数δ，又会怎样？

解答记总体模型对应的样本回归模型为Y i=β

0+β

1

X i+e i，则有

β1=x i y i

x i2

，β

=Y?β

1

X

Y的拟合值与残差分别为Y i=β

0+β

1

X i

e i=Y i?（β

0+β

1

X i）

记X i?=δX i，则有X?=X i?=δX

x i?=X i??X?=δx i

记新总体模型对应的样本回归模型为Y i=α0+α1X i?+e i?则有α1=x i?y i

（x i?）

2

=δx i y i

δ2x i2=1

δ

x i y i

x i2

=1

δ

β1

α0=Y?α1X?=Y?1

δ

β1δX=Y?β1X=β0

于是在新的回归模型下，Y的拟合值与残差分别为 Y i?=α0+α1X i?

=β

0+

1

δ

β1δX i

=β

0+β

1

X i

e i?=Y i?α0+α1X i?

=Y i?β

0+1

δ

β1δX i

=Y i?（β

0+β

1

X i）

可见，对X乘非零常数后，不改变Y的拟合值与模型的残差。如果记X i?=X i+δ，则有X?=X+δ，x i?=x i

于是新的回归模型下，Y的拟合值与残差分别为

Y i?=α0+α1X i?

=β

0?δβ

1

+β

1

X i+δ

=β

0+β

1

X i

e i?=Y i?α0+α1X i?

=Y i?【 β0?δβ1+β1X i+δ】

=Y i?（β0+β1X i）

可见，对X都加大一个非零常数后，也不改变Y的拟合值和模型的残差。

7、假设有人做了如下的回归：y i=β0+β1x i+e i

其中，y i，x i分别为Y i，X i关于各自均值的离差。问β1和β0将分别取何值？

解答记x=1

n x i，y=1

n

y

i，

则易知x=y=0，于是β1=

x i?x y i?y

（x i?x）

2

=

x i y i

i

2

β0=y?β1x=0

可见，在离差形式下没有截距项，只有斜率项。

8、令βYX和βYX分别为Y对X的回归和X对Y 的回归中的斜率，证明：βYXβYX=r2

其中r为X与Y之间的线性相关系数。

证容易知道，在上述两个中的斜率项分别为βYX=x i y i

x i2，βYX=x i y i

y i2

于是βYXβYX=x i y i

x i2x i y i

y i2

=（x i y i）

2

x i2y i2

=r2

9、记样本回归模型为Y i=β0+β1X i+e i，，试证明：

（1）估计的Y的均值等于实测的Y的均值；

（2）残差和为零，从而残差的均值为零：

e i=0，e=0

（3）残差项与X 不相关：e i X i=0

（4）残差项与估计的Y不相关：e i Y i=0

证明（1）由于Y i=β0+β1X i=（Y?β1x）+β1X i=Y+β1X i?X

故Y=Y+β11

n

x i?x=Y

这里用到了x i=x i?x=0

（2）在一元回归中正规方程组中的第一方程（Y i?β0?β1X i）=0知e i=0，

e =1

n

e i =0

（3） 在一元回归中正规方程组中的第二方程 （Y i ?β0 ?

β1 X i ）X i =0知 e i X i =0

（4） 由（2）及（3）易知 e i Y i = e i β0 +β1 X i

=β0 e i +β1 e i X i =0

10、

i

091=-=-e 924=0-*0=0i i i i i i i i i i i i i i i i i y e y Y Y y Y Y y e Y Y e Y e Ye Y e Y y e Y ==-=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑证明：一元线性回归方程总离差平均和分解式中证由于由第题（）知于是（）由第题（）与（）得

11、

i

i

i i i i i i 2

2

2

22i i i i 1=168111

n n

-(-)()

=2042001680*111168*111010*168*111=17720

-=-2*1031540010*168*16833160X

Y

X Y X Y Y X Y Y X Y X XY X X X X =

=

==--+--+=-=-=∑∑∑∑∑∑∑（）由已知条件易知，故（X ）又因为（X ）（X 2X +）X 所以

i i 12

i 01

012

2

22

2

i

i i

i

i i -(-)17720===0.534433160-=1110.5344*16821.22e

--==

=

n-2

102

8

X Y Y X Y X Y βββββσ

-=-=-∑∑∑∑∑（X ）（X ）若要求和的标准差，需首先求随机干扰项方差的估计（Y Y ）（Y 2Y ）

i i

2

2

i i i i 2222i i i i 01i 01i 2=21.220.5344-=-2*21.222*0.53442=1333002*21.22*11102*0.534*20420010*21.22*21.220.5344*0.5344*3154002*21.22*0.534*1680=620.81

620.81==77.68

Y X Y Y X X X ββββσ+-+++--++

+∑

∑因为，所以（Y 2Y +）（Y Y Y ）故

1

2

i

2

2

i i

2i

22

i 0

2e =620.81-=*10=133300123210=10090

e 620.81=1110.936510090-(3)1S S Y Y RSS R TSS Y ββ---=-=-=∑∑

∑∑∑

（）由于（Y ）Y 故（Y ）对自由度为 0

1

1

0.025010

a

a

2

2

1

a

1

a

2

2

0-2=8%t 8=2.30695%-t ,+t ==-t ,+t =ββββββββ

ββ

的分布，在5的显著性水平下的临界值为（），故，的的置信区间分别为

（*S ，*S ）（21.22-2.306*8.5913,21.22+2.306*8.5913）（1.4085,41.0315）

（*S ，*S ）（0.5344-2.306*0.0484,0.5344+2.306*0.111=0.4228,0.6460=0=0βββ0484）

（）

由于不在的置信区间内，故拒绝零假设：

12、略 第三章

1.多元线性回归模型的基本假设是什么？试说明在证明最小二乘估计量的无偏性和有效性的过程中，哪些基本假设起了作用？

解答：多元线性回归模型的基本假定仍然是针对随机干扰项与针对解释变

量两大类的假设。针对随机干扰项的假设有：零均值，同方差，无序列相关且

服从正态分布。针对解释量的假设有；解释变量应具有非随机性，如果后随机的，则不能与随机干扰项相关；各解释变量之间不存在(完全)线性相关关系。

在证明最小二乘估计量的无偏性中，利用了解释变量非随机或与随机干扰

项不相关的假定；在有效性的证明中，利用了随机干扰项同方差且无序列相关

的假定。

2.在多元线性回归分析中，t检验和F检验有何不同？在一元线性回归分析中二者是否有等价作用？

解答：在多元线性回归分析中，t检验常被用作检验回归方程中各个参数

的显著性，而F检验则被用作检验整个回归关系的显著性。各解释变量联合起

来对被解释变量有显著的线性关系，并不意味着每一个解释变量分别对被解释

变量有显著的线性关系。在一元线性回归分析中，二者具有等价作用，因为二

者都是对共同的假设——解释变量的参数等于零一一进行检验。

3、为什么说对模型参数施加约束条件后，其回归的残差平方和一定不比未施加约束的残差平方和小？在什么条件下，受约束回归与未受约束回归的结果相同？解答对模型参数施加约束条件后，就限制了参数的取值范围，寻找到的参数估计值也是在此条件下是残差平方和达到最小的估计值，它不可能比未施加条件

是找到的参数估计值使得残差平方和达到的最小值还要小。但当约束条件为真时，受约束回归于无约束回归的结果就相同了。

4、在一项调查大学生一学期平均成绩（Y）与每周在学习（X1）、睡觉（X2）、娱乐（X3）与其他各种活动（X4）所用时间的关系的研究中，建立如下回归模型：

Y=β0+β1X1+β2X2+β3X3+β4X4+μ

如果这些活动中所用时间的总和为一周总小时数168.问：保持其他变量不变，而改变其中一个变量的说法是否有意义？该模型是否有违背基本假设的情况？

如何修改其模型使其更加合理？

解答由于X1+X2+X3+X4=168，当其中一个变量变化时，至少有一个其他变量也要变化，因此，保持其他变量不变，而改变其中一个变量的说法是无意义的。

显然，由于四类活动的总和为一周的总小时数168，表明X1，X2，X3，X4间存在完全的线性关系，因此违背了解释变量间不存在（完全）多重共线性的假设。

可以去掉其中一个变量，如去掉代表“其他”活动的变量X4，则新构成的三变

量模型更加合理。列如这时β1就度量了当其他两变量不变时，每周增加1小时

的学习时间所带来的学习成绩的平均变化。这时，即使睡觉和娱乐的时间保持

不变，也可以通过减少其他活动的时间来增加学习时间。而这时三个变量间也

不存在明显的共线性问题。

5、考虑下列两个模型：

Y i=α0+α1X i1+α2X i2+u i (a)

Y i?X i1=β0+β1X i1+β2X i2+v i（b）

（1）证明：β1=α1?1，β0=α0，β2=α2。

（2）证明：两个模型的最小二乘残差相等，即对任何i，有u i=v i。

（3）在什么条件下，模型（b）的R2小于模型（a）的R2？

解答（1）对模型（b）变形如下：

=1v i 01i12i2i

a =1==110022=1==11002221=i i 01i12i2

=1i 01i12i2

==v i i101i12i2i 3a 2u 2i =1i

Y X X Y X X Y X X Y X X X R Y βββαββαβαβαβαβαμαααββββ

ββ+++++-----+-----∑-

∑（）因此，在与模型（）有相同的样本下进行OLS 估计，有，，或，，（）在（）成立的条件下，有-（）（）对模型（）（Y -）对模型 b 2u 2i =12i i11

222u =v b i i i i11i

a 22

b a R Y X Y X Y R R ∑-

∑

∑∑∑∑（）

【（Y -X ）-（-）】由（）知，故只有当【（Y -X ）-（-）】《（Y -）时，即模型（）

的总变差（解释变量的离差平方和）小于模型（）的总变差（解释变量的离差平方和）时，才会有模型（）的小于模型（）的。

6、考虑下列三个试验步骤：

（1）对=u i 01i12i2i Y X X βββ+++进行回归；

（2）

i101i2i i

i 01i 2i2i

11i

=v v 3==X X Y ααγγνγωβγν

++++X +对进行回归，计算残差；（）对进行回归。试证明，并直观地解释该结果。

证 由（2）计算残差：

i i101i2

i 01i101i22i2i i 0011i1211i2i

11

i 21i

1

2

1v =3Y =Y =1=v v

1Y Y ααγγααγωγαγγγαγωβγβX -X +X -X X +-+X +-X +X X X X -代入到（）的回归中得

（-）+或（）（）可见，模型形式与步骤（）中的完全相同，因此必有。直观地看，测度的是以外的因素对的影响。因此对（3）中的模型来说，对的影响只能归结到对的影响上来，与无关。所以，（）中模型的1213Y γX X 与（）中模型的都是测度排除了后的对的影响，两者的回归结果应是相等的。

i 1i12i 1i12i2i i

i

i1

i i21222i

i 1i12i2

12--7=e e =0e =0e =0

min e =--Y OLS Y βββββββ

βββX X X +X +X

X X X {∑∑∑∑∑

∑

（、考虑以下过原点回归：Y （1）求参数的估计值；（2）对该模型，是否仍有结论

，，解答 （1）根据最小二乘原理，需求适当的，，使得残差平方和最小;

（）由微积分的知识，对上式分别关于，求偏导，并令导数值为零，得如下正规的方程组：

i 1i12i 2i1

i 2i 2

21i12i1i 2i1i

21i1i 22i 2i 2i

--=0=0==2

i i1i2i i2i1i21222

i1i2i1i22

i i2i1i i1i1i22222

i1i2

i1i2{-=--=-2Y Y Y Y Y Y Y ββββββββX X X X X +X X X X X +X X ∑∑∑∑∑∑∑X X X X X X X X X X X X X X X X X X ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑（））或（）（）（）（）解得（）（）（）（）（）（）（）由i

i1

i i2i 1

e =0e =0

e =0X

X ∑∑∑（）中的正规方程组知，对该模型，仍有，但不存在，即过原点回归的残差和不一定为零。

8、9、10、11、12、13 略 第四章

1、对一元回归模型Y i =β0+β1X i +μi

（1）假如其他基本假设全部满足，但Var （μi ）=σi 2≠σ2

，试证明估计的斜率

项仍是无偏差，但方差变为Var （β1 ）=

x i 2σi

2（ x i 2）

2

（2）如果Var （μi ）=σ2K i ，试证明上述方差的表达式为

Var （β1 ）=σ

2

x i

2? x i 2

K i x i

2

该表达式与在同方差假定下的方差Var （β1 ）之间有何关系？分K i 大于1与小于1两种情况讨论。

解答 （1）在一元二次线性回归中，已知有

()

()() ()

()()() ()1

1

2211

12112

2

i 22222222

222

i i

1

2222==ar =ar ar x =ar ,()21ar ==.()i i

i i

i

i

i

i i

i i

i j

i i i j i i j i i i i

i i

i

i

i x y x x

x

x x x V V V x x x V Cov x x x x x x x V x x x

μββββμβμββμμμσσσβ==+

E E +E ??+

? ??

?

??+ ? ??

?=

K K ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑因此，（）由（）中结果进一步得而在同方差下， () () () ()

() ()

2

2

i

1

1

2

2i 11i

11

ar =ar 11ar ar 01ar ar i

i

i

x V V x x

V V V V σββββββK K K ∑∑∑ ，它与相差一个乘子。如果，则该乘子大于，出现；如果《《，则出现《。

()()2i i i

i i i

01i i i i

12i i i 22i i

i 1

21ar =1

=11

ar =ar ==1

V Y OLS μσσμββσσσσβμμσσσσX ++?? ???、对题中的一元回归模型，如果已知，则可对原模型以权相乘后变换成如下的二元模型：对该模型进行估计就是加权最小二乘法。试证明该模型的随机干扰项是同方差的，并求出的上述加权最小二乘估计量。解答 由于V V 因此，变换后的模型是同方差的。记变换后的模型的样本函数的离()11111

11

***i i 0i

i i i

**02

*2

*

*

i

i 0

i i

*

*0**0i i i i i

**20

i

i

i i i i i

i

i

i *1=e 1

e ====

Y OLS Y Y Y OLS Y ββσσσββββσ

βββωβωωβ

ωβωωωωβX ++??--X ??+X X

+X X X ∑∑∑∑∑∑∑∑∑差式为对该式作回归，就是求适当的，，以使

（）

最小。再对该式关于，求偏导，并令其偏导数为零，

得如下正规方程组：

解线性方程组，则容易得到参数的估计量为

()()()()()

()

1

i

i

i

i i

22

i

i

i

i

i

i 2i

*

*

i

i

i i

i

i

*

*

**

i i i i **

i i i *

2*i

i

1

=

=

=y =-x =-x y =

x Y Y

Y Y Y X ωωωωωωσ

ωωωω

ωβω-X X X X X X

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑（）-其中，。

进一步令，且，则上述估计式可简化为

() ()

i 01t t

i j t t-1t

n-1n-2n-2

22t t+1

t t+21n 2n-1t=1t=1t=112222t t t t 3=1ov 02=x x x x x x 2ar =...x x x x Y C V ββμμμμρμεσσβρρρ+X +≠+++++∑∑∑∑∑∑∑、对一元线性回归模型（）假如其他基本假设全部满足，但，，试证明，估计的斜率项仍是无偏的；

（）或自变量存在正相关，且随机干扰项存在如下一阶序列相关：

试证明估计的斜率项的方差为

()

()

()()2t t 1t t

t t

1

122t

t

t

11

t 12t

x 00ar x y

x 1==x

x

x ==x ρρβμββββμβ??

? ? ?

???

X +

E E +E ∑∑∑∑∑∑∑并就》与《，在存在正序列相关或负序列相关时，与模型满足所有基于假定下的

OLS 估计V 的大小进行比较。解答（）由于因此，这里未涉及随机干扰项的序列相关性。

()

()()

()()

()()()() ()

s-t

t t 11t t 22

2t t 2

t

t t s t s 22t s t

2s-t 2

t t s 221t s

2

2t s

t t

22n-1n-22t t+1t t+222t=1t=1t t 21

x 1ar =ar ar =ar x x x 1

=

x ar 2x x ov x ar =ov =2ar =x x x x 2=x x x x x x C C μββμμμμμσμμρσσσβρσσρρ??+ ? ??

???+????

++++∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑《《（）由（）知V V V V V ，由于V ，，故V 1

n-1

t t+n-1t=122n-1n-22n-1t t+1t t+21n 22222t=1t=1t t t t t 2

2n-1n-22n-1t t+1t t+21n 22222t=1t=1t t t t t 1...x x x x x x x x 2=...x x x x x x x x x x x 2=...x x x x x O ρσσρρρσσρρρβ??+??????+++ ? ???

??+++ ? ???

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑上式中，右边第一项是无自相关时的 () ()1t t

t s

t s

2

t t s

t s

t

t

2

t

t s

t s

t

t

1

1

2

t

t s

t s

t s

t s

t

t

2

2t

t

x x x x x

a 0x

x x

0ar ar x

x x x x

()0,0x x

LS b βμρρμρμββρρμX X X >X ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑《《《《《估计的方差，第二项包含两个因素：随机干扰项的自相关系数和刻画的序列相关性的。

如果（）》0，》，即与均存在正序列相关：

《0，《，即与均存在正序列相关，则有V 《V 0，《或《0，》，即与序列，

一个正相 () ()

11

ar ar ββ关，一个负相关，则有V 《V

()()()()() ()()()()

()

i 01i12i2i 122i i1

i2

i

i2i1i2

1

222

i1

i2

2i i2

i1

i

i1i1i2

2

222

i1

i2

1214=y x x y x x x

=

x x 1y x x y x x x

=

x x 1Y OLS βββμβγβγ

γγ+X +X +X X ----X X X ∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑、试证明：二元线性回归模型中变量与的参数的估计可以写成其中，为与的相关系数。讨论等于或接近于1时，该模型的估计问题。证 由第三章“典型例题分析”中的例5知，的 ()()()()()()()()()() ()()()()()

()()()()

2i i1

i2

i i2

i1i2

1

2

22i1

i2

i1i2

2i i1

i2

i i2

i1i22

i1i222i1

i2

22i1

i2

2i i1

i2

i i2

i1i2

1

222

i1

i2

2i i2

i1

i i1

i1i2

2

2i1

i y x x y x x x =

x x x x y x x y x x x =

x x x x 1x x y x x y x x x

=x x 1y x x y x x x

=

x x ββ

γβ

---??

?

?-????

---∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑参数估计为因此，

同理可证()

22

2

121

2

11r 1γγβ

β-X X ∑由参数估计的表达式可以看出，当与的相关系数等于时，

分母为零，参数无法估计；而当非常接近于时，与逐渐成为一个不定式，估计结果将变得越来越不稳定。

t 01t12t23t-1t t-1t t

t1

t2

t

t 01t12t23t-1t

t-1t t1t2t t1

t2

t

5==Y Y Y Y Y

Y Y Y Y

ββββμμββββμμμμ+X +X ++X X +X +X ++X X X X 、对模型，假设与相关。为了

消除该相关性，采用工具变量法：先作关于与回归，得到，再作如下回归：试问：这一方法能否消除原模型中与的相关性？为什么？

解答：能解除。在基本假设下，，与应是不相关的，由此知，

由与估计出的应与t

不相关。

()**

t 01t t t t **t t t t t

t *t t t t 01t t t *t t t t-1t 6==e e 1=e =2e =0ββμμββννμν+X +X X X X +X X X ++X +X E X 、对于一元回归模型Y ，假设解释变量的实测值与之有偏误：，其中是具有零均值，不序列相关，且与及不相关的随机变量。试问：

（）能否将代入原模型，使之变换成Y 后进行估计？其中，为变换后的随机干扰项。

（）进一步假设与之间，以及它们与之间无异期相关，那么成立吗()()()()()()()t t-1t 01t t 1t t t t t *

t-1t t-1t-1t 1t **

t-1t 1t-1t t-1t 1t-1t 32=e e 2=e e =e e e e =0

ββμβννμβμβμβX X +X +-X X ??E X E X +-??

E X -E X +E -E ？与相关吗？

（）由（）的结论，你能寻找什么样的工具变量以对变换后的模型进行估计？解答（1）不能。因为变换后的模型为Y （）

显然，由于与同期相关，则说明变换后的模型中的随机干扰项与同期相关。

（）多()t t-1t-1t t-1t t-1=0νX X E X X X X X 数经济变量的时间序列，除非它们是以一阶差分的形式或变化率的形式出现，往往具有较强的相关性，因此，当与直接表示经济规模或水平的

经济变量时，它们之间很可能相关；如果变量是以一阶差分的形式或以变化率的形式出现，则它们间的相关性就会降低，但仍有一定程序的相关性。（3）由（2）的结论知，，即与变换后的模型的随机干扰项不

相关，而且与有较强的相关性，因此，可用t-1t X 作为的工具变量对变换后的模型进行估计。

7、8、9、10、11略 第五章

1、回归模型中引入虚拟变量的作用是什么？有哪几种基本的引入方式，它们各适用于什么情况？

解答 在模型中引入虚拟变量，主要是为了寻找某些定性因素对解释变量的影响。加法方式和乘法方式是最主要的引入方式，前者主要适用于于定性因素对截距项产生影响的情况，后者主要适用于定性因素对斜率项产生影响的情况。除此外，还可以采用加法和乘法组合的方式引入虚拟变量，这是可度量定性因素对截距项与斜率项同时产生影响的情况。

2、在一项对北京某大学学生月消费支出的研究中，认为学生的消费支出除受其家庭的每月收入水平影响外，还受在学校中是否得到奖学金，来自农村还是城