数学分析第一学期模拟试卷及解析
第1学期模拟试卷１
一、填空题（１5分,每小题3分）
１. 252
lim
sin 32x x x x
→∞+=+ ． ２. 用( , )L M 语言叙述lim ()x f x →-∞
=+∞的定义 :
3． 数集(1)1n n n N n +??
--
↓∈??+??
的上确界是 ， 下确界是 . 4．设1
(1)1
y x x =
≠-+,则n 阶导数=)(n y ． 5．定积分1251
||(sin )x x x dx -+=? .
二、选择题（15分，每小题３分）
1. 设1(), ()11x
f x
g x x
-==+则当1x →时 ( ) ．
（A ）()f x 与()g x 为等价无穷小;(B ）()f x 与()g x 为同阶无穷小但不等价;
（C)()f x 是()g x 的高阶无穷小；（Ｄ)()f x .是()g x 的低阶无穷小；
2.. 当x →+∞时 ()f x 不以a 为极限的定义是( ） (A ）；0, 0, , ().M x M f x a εε?>?>?>-≥;
(B ）000, 0, , ().M x M f x a εε?>?>?>-≥;? （C ）00000, 0, , ().M x M f x a εε?>?>?>-<； (D ）0000 0, 0, , ().M x M f x a εε?>?>?>-≥. 3． 数集{}
(1,0.1) 0 ( 0.1 ,1 )A =--的所有聚点的集合是 ( )
(Ａ)A ； （B){} [1,0.1 ] 0 [ 0.1 ,1 ]--；?
(Ｃ) [1,0.1 ]
[ 0.1 ,1 ]-- ；（D) (1,0.1)
( 0.1 ,1 )--；
4. 设)(x f 在0x =处二阶可导,且 0
()
lim
1x f x x
→'=, 则( )． （Ａ)0x =是)(x f 的极小值点； (B ）0x =是)(x f 的极大值点;
(Ｃ）(0,(0))f 为曲线()y f x =的拐点； （Ｄ). 以上都不是。 5. 设)(x f 是周期为T 的连续函数，则下列函数为周期函数的是( ). (A)0
()()x F x f t dt =?; (B)0
()()x T
F x f t dt +=?
;
( C ) 0
()()x F x f t T dt =+?; （D ）()()x T x
F x f t dt +=?．
三、求极限(12分,每小题６分）
１.11lim()1ln x x x x
→-- 2. tan 01lim x
x x +→??
???
四、求不定积分（1２分,每小题6分) 1．5sin x dx ? 2.
ln(1) x x dx +?．
五、计算定积分（12分,每小题6分）
１． 2．10
x ?
六、(8 分)设2
1sin x +是)(x f 的一个原函数，求
4
(2) x f x dx π
'?
七、(10分)设曲线 2y x =(01)x ≤≤ 和直线 1 , 0y x == 围成平面图形D 。
（ 1 ) 求D 的面积; ( 2 )求D 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积; ( ３ ) 求D 绕直线 1x = 旋转而成的旋转体的体积. 八、(８分)设)(x f 在[] 0, 1 上二阶可导，(0)(1) , (1)1,f f f '==
求证：( 0, 1 )ξ?∈ 使 ()2f ξ''=.
九、(8分). 利用确界存在定理证明闭区间套定理:
设 {}
, n n a b ???? 为闭区间套,则
{}
,
n n a
b ???? 必存在唯一的公共点。
第1学期模拟试卷１答案
一、填空题（１5分，每小题３分）
1． 252lim
sin 32x x x x →∞+=+2
3
2. 用( , )L M 语言叙述lim ()x f x →-∞
=+∞的定义 :
0, 0, , ()L M x M f x L ?>?>?<->
3． 数集(1)1n n n N n +??
--
↓∈??+??
的上确界是 13 , 下确界是2-
４．设1(1)1
y x x =≠-+，则n 阶导数=)
(n y 1
(1)!(1)n n n x +-+. 5.定积分1
251
||(sin )x x x dx -+=
?1
2
二、选择题（15分，每小题3分)
１. B 2．. D 3. C 4. A 5. D 三、求极限（１２分,每小题6分）
1.11
lim()1ln x x x x
→-- ＝1111ln 1ln 11ln ln 11lim lim lim lim 1(1)ln ln 1ln 22
ln (1)
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x
→→→→-++-+====-+-++- 2． tan 01lim x
x x +→?? ???
＝200
01
sin ln ln sin lim (tan ln )
lim
lim
lim lim
cos csc csc cot cos 1x x x x x x x x
x
x x x x x x x x x e e e
e
e
+
++++→→→→→---=====
四、求不定积分（12分,每小题6分）
1．5sin x dx ??422sin (cos )(1cos )(cos )xd x x d x =-=--??
243521
(12cos cos )(cos )cos cos cos 35
x x d x x x x C =--+=-+-+??
2. ln(1) x x dx +?.=22
2111ln(1)()ln(1)2221x x d x x x dx x
+=+-+??
2
221111ln(1)(1)ln(1)ln(1)22124
x x x x dx x x x x C x ??=+--+=++-+-+??+? 五、计算定积分（12分,每小题６分) 1．
2420
4
cos sin (cos sin )(sin cos )1)
x x dx x x dx x x dx π
π
π
π=-=-+-=???2
．1
x
?.（sin x t =) 2
2
222000
11sin cos cos sin 2(1cos 4)48t t tdt tdt t dt π
ππ
===-???
=2011sin 8416
t t π
π
??-=????
六、（8 分）设2
1sin x +是)(x f 的一个原函数,求
4
(2) x f x dx π
'?
解
１
()2()1sin sin 2 ,
f x x x '=+=444
0011 (2) (2) (2) (2)22x f x dx x f x d x x df x πππ
''=
==???
解2 ()2()1sin sin 2 , 2 , 2d d f x x x x t x t '=+===
42200011 (2) () ()44x f x dx t f t dt t df t π
ππ''==???[]220011
()()44tf t f t dt ππ=-? [][]22200011111sin 2sin 2cos 2(cos cos 0)44884
t t tdt t πππ
π=-==-=-? 七、（10分)设曲线 2y x =(01)x ≤≤ 和直线 1 , 0y x == 围成平面图形D 。
（ 1 ) 求D 的面积; ( ２ )求D 绕x 轴旋转而成的旋转体的体积;
( 3 ） 求D 绕直线 1x = 旋转而成的旋转体的体积.
解 1
3
1
20
02(1)133
x A x dx ??=-=-=?????
122014
()55
x V x dx πππππ=-=-=?
21
1
1
2
000(1,
5(1(16
dV dy dy V dy dy y dy πππππππ=-=-=-+-=
???
另解 平移坐标 1,,x u y v =+= 曲线方程为
2(1),1,v u u =+=
1
1
2
51)(16
V dv v dv π
ππππ=-=-+-=
?? 八、(8分)设)(x f 在[] 0, 1 上二阶可导，(0)(1) , (1)1,f f f '==
求证：( 0, 1 )ξ?∈ 使 ()2f ξ''=.
证1 令2()(),F x f x x x =-+ 则 []()0,1(0,1),F x C D ∈ (0)(1)F F =
由洛尔定理知 (0,1), ()0F ηη'?∈=
()()21F x f x x ''=-+, []()0,1(0,1)F x C D '∈, (1)(1)10()F f F η'''=-==
由洛尔定理知 (0,1), ()0, ()()2, ()2F F x f x f ξξξ''''''''?∈==-= 证2 令2()(),F x f x x =- []()0,1(0,1),F x C D ∈ 由拉格朗日定理知
(0,1), ()()(10)(1)(0)1,F F F F ηηη''?∈=-=-=-
[]()0,1(0,1),F x C D '∈ (1)(1)21(),F f F η'''=-=-= 由洛尔定理知 (0,1), ()0, ()()2, ()2F F x f x f ξξξ''''''''?∈==-= 证3 在1x =展开为一阶泰勒公式
2111
()(1)(1)(1)()(1), (,1)2
f x f f x f x x ξξ'''=+-+-∈ 1
(0)(1)(1)(), (0,1)2
f f f f ξξ'''=-+
∈ 因(0)(1) , (1)1,f f f '== 故 (0,1), () 2 f ξξ''?∈=
证4 令 21
()()()2F x f x x =--, 用两次洛尔定理。
证5 令 2()()()F x xf x x f x '=--, 用一次洛尔定理。 九、（8分). 利用确界存在定理证明闭区间套定理： 设
{},
n n a
b ???? 为闭区间套，则 {}
, n n a b ???? 必存在唯一的公共点。
证 (存在性) 因[]{},n n a b 为闭区间套,故1221n n a a a b b b ≤≤
≤<≤
≤≤
因{}n a 有上界1b ,故由确界存在定理知{}n a 必有上确界，设它为ξ; 则由上确界定义有, ;n n N a ξ+?∈≤因()n b n N +?∈都是{}n a 的上界，而ξ是的最小上界,故, n n N b ξ+?∈≤; 因此,,, n n n N a b ξ+?∈≤≤， 从而有
[]1
,.n n n a b ξ∞
=?∈
(惟一性) 若另 []1
,.
n n n a b η∞
=?∈
, 则0n n b a ξη≤-≤-, 因
lim()0n n n b a →∞
-=
故,ξη= 从而有
[]{}1
,.n n n a b ξ∞
==