圆锥曲线专题复习.doc

锥曲线专题训练

一、定义

【焦点三角形】

1、已知椭圆一 +八=1的左右焦点为E、F2, P为椭圆上一点，

9 4

(1) 若NRPF2=90°,求△EPF?的面积

(2) 若ZF1PF2=60°,求的面积

2 2

2、已知双曲线土-匕=1的左右焦点为E、F2, P为双曲线上一点,

(1) 若NRPF2=90°,求△EPF?的面积

(2) 若ZF1PF2=60°,求Z^PF?的面积

2 2

3、鸟,氏是椭圆二+七=1(〃＞。＞0)的两个焦点，以鸟为圆心且过椭圆中心的

a~ b~

圆与椭圆的一个交点为M。若直线&M与圆鸟相切，求该椭圆的离心率。

Y2 v2

4、椭圆瓦+ *_ = 1的焦点为与、「2。点P为其上的动点，当PF2为钝角时。点P横坐标的取值范围为多少？

V-2 V2V-2 V2

5、椭圆—+ J(。＞。＞0)和双曲线、- —(m, n＞ 0)有公共的焦点F】(-

。,0)、

a~ b~〃广

F2(C,0),P为这两曲线的交点，求|商|?|户尸2|的值.

二、方程

已知圆亍+y2=9,从圆上任意一点P向X轴作垂线段PPL点M在PP，上，并且两=2布，求点M的轨迹。

2.3【定义法】(与两个定圆相切的圆心轨迹方程)

:—动圆与两圆：『+ ,,2 =]和尤2 * ,2 _8x+]2 = 0都外切，#1勃圆的圆心

的轨迹方程是什么？AA

题型1：求轨迹方程例1. (1) 一动圆与圆J + y2+6x+5 = 0外切，同时与圆x2 + r-6x-91 = 0内切,

求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。.

（2）双曲线y-/ =1有动点、P,月,％是曲线的两个焦点，求APgE的重心M的轨迹方程。

3、给出含参数的方程，说明表示什么曲线。

已知定圆G： x2 + y2 =9,圆C2：x2+6x+y2 =0

三、直线截圆锥曲线得相交弦（求相交弦长，相交弦的中点坐标）（结合向量）直线与圆锥曲线相交的弦长计算（1）要熟练利用方程的根与系数关系来计算弦

长.弦长公式：

（2）对焦点弦要懂得用焦半径公式处理；对中点弦问题，还要掌握“点差法”.

3. 圆锥曲线方程的求法有两种类型：一种是已知曲线形状，可以用待定系数法求解；另一种是根据动点的几何性质，通过建立适当的坐标系来求解，一般是曲线的类型未知.主要方法有：

?直接法、定义法、相关点法、参数法、几何法、交轨法等.在求轨迹方程中要仔细检查“遗漏”和“多余”.

4. 圆锥曲线是用代数方法来研究几何问题，也就是说，它是处于代数与几何的交汇处，因此要处理好其综合问题，不仅要理解和掌握圆锥曲线的有关概念、定理、公式，达到灵活、综合运用，还要善于综合运用代数的知识和方法来解决问题，并注意解析法、数形结合和等价化归的数学思想的应用.

1、已知椭圆= i,过左焦点k倾斜角为￡的直9 6

线交椭圆于A、8两点。求：弦48的长，左焦点K到48

中点〃的长。

2、椭圆以2+如2=1与直线对尸住0相交于爪8两点，C是线段花的中点.若

I AB\ =2 V2 2

,直线”的斜率为M’求实数八的值

例 1.已知椭圆：—+/=!,过左焦点F作倾斜角为￡的直线交椭圆于A、B

9 6

两点，求弦AB的长..

1)求直线y = i+l被双曲线x1 2 3 4-^ = l截得的弦长；

4

(-)中点问题

一、【已知中点坐标】以定点为中点的弦所在直线的方程

例1、过椭圆— + ^ = 1内一点M(2,l)引一条弦，使弦被M点平分，求这条弦所

16 4

在直线的方程。

1、在抛物线/=16x内，通过点(2, 1)且在此点被平分的弦所在直线的方程是

2

（2）求过定点（0,1）的直线被双曲线尤2_匕=1截得的弦中点轨迹方程.

4

三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程

例5、已知中心在原点，一焦点为F（0,应）的椭圆被直线l:y = 3x-2截得的

弦的中点的横坐标为：，求椭圆的方程。

2

2 2

2过椭圆土+二=1内一点M (2, 1)引一条弦，使弦被M平分，求此弦所在

16 4

直线方程

3椭圆4『+9y2=i44内有一点P (3, 2)过点P的弦恰好以P为中点，那么这

弦所在直线的方程为

4中心在原点，一焦点为B (0, 5/)的椭圆被直线y=3x—2截得的弦的中点

横坐标是！，求此椭圆的方程。￡

二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹

例3、已知椭圆^ + ― = 1的一条弦的斜率为3,它与直线x =-的交点恰为这条

75 25 2

弦的中点M ,求点M的坐标

2 2

已知椭圆匕+互=1,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。

75 25

四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题

Y2V2

例6、已知椭圆—+ ^- = 1,试确定的〃?取值范围，使得对于直线y = 4x + m ,

椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。

解：设华知凹），印&况）为椭圆上关于直线y = 4x + m的对称两点，P（x,y）为弓玄的中点，则3蛆+4站二12, 3虹+4y；=i2

两式相减得，3（妒一X；） + 4（y,- ）= 0

即3（%! + 工2 ）（X] - 互）+ 4（y, + y2）（一 - 力）=。

x}+x^=2x, 3 + 力二2y , —~— = - J

_ " 玉一易4

???y = 3x 这就是弦gg中点P轨迹方程。

它与直线y = 4x + m的交点必须在椭圆内

联立厂5 ，得f 则必须满足/<3--x2,

y = 4x+〃？[y = -3m 4

sn x9 c 3 ? ?&刀《曰 2 J13 2 Jl 3

BP （3/77）~ < 3 —m",角牛得-< m < ----

4 13 13

（二）

1、已知抛物线y2 =8尤的焦点为F,准线与x轴的交点为Q,直线I经过点Q与抛物线交于A、B两点；

已知直线y=k（x+2）（k>0）与抛物线C:y2=8x相交于

A,B两点,F为C的焦点.若|FA|二2|FB|,则k二

四、求离心率的值或范围

1.1、已知a=2b,求 e

1.2、已知b=2c,求 e

1.3、已知椭圆的短轴是长轴和焦距的等差中项，求e

2、已知a<2b,求离心率的范围

3、过椭圆4 + 4 = 1的左焦点E作x轴的垂线交椭圆于点P, F?为右焦点，若

ZF1PF2=60°,求离心率

9 9

4、过椭圆「+土 = 1的左焦点F』乍x轴的垂线交椭圆于点P, Q, F?为右焦点,

cr b~

(1) 若NR F2PM5°,求离心率

(2) 若NR F2P<45°,求离心率的范围

(3) ZP F2Q<90°,求离心率的范围

2 2

5、过双曲线&-当=1的左焦点F』乍x轴的垂线交双曲线于点P, Q, F?为右焦a

b~

点,

(1) 若ZE F2PM5°,求离心率

(2) 若NR F2P<45°,求离心率的范围

(3) ZP F2Q<90°,求离心率的范围

(4) 若AP F?Q为等边三角形，求离心率的值

(5) 若AP F?Q为锐角三角形，求离心率的范围6、已知双曲线的渐近线为"±普，则双曲线的离心率e

r2 v2

7、已知F,,展椭圆泊2 = 1的左右焦点，P是椭圆上的-点,

(1)ZF1PF2=60°,求椭圆离心率的范围。

(2)ZF1PF2=90°,求椭圆离心率的范围。

(3)ZRPF2为锐角，求椭圆离心率的范围。

2 2

8、椭圆5 + 1 = 1与圆必+)，2=己(/+人2*2) CT b‘

(1) 没有交点求椭圆离心率的范围

(2) 两个交点求椭圆离心率的值

(3) 四个交点求椭圆离心率的范围

2 2 2

9、椭圆二+七=1的右焦点E直线x =』，若过F2且垂直于x轴的弦长等于点cr

c

F2到4的距离，求椭圆的离心率。

C.

3

14

、已知3,

7

2

F2是椭圆『苏=1的左右焦点,

P 是右准线上纵坐标为Wc （c

Y 2

15、已知巳，F?是椭圆r +

=i 的左右焦点,

两准线与

X 轴的交点分别为M 、

2

2

10、已知椭圆二+鼻=1色〉。>0）的左焦点为F ,右顶点为A,点B 在椭圆上, cT

歹

且BF-Lx 轴，直线曲交y 轴于点F ?若AP = 2PB,则椭圆的离心率是（）

R M

D. -----

2

11、 设AABC 是等腰三角形，ZABC-12O 0,则以A 、B 为焦点且过点C 的双曲线

的

离心率为 __________

12、 已知双曲线的两条渐近线的夹角为60\则离心率为

13、 已知正方形ABCD,则以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的离心率为—

为半焦距）的点，且|FR|=E P |,则离心率为

N, ^\MN\

16、 已知3, F?是椭圆二+写=1的左右焦点，若右准线存在点P,使线段PR

cr 加

的中出现中垂线过点F2,则离心率的取值范围 —

17、 已知巳，F2双曲线二-二=1的左右焦点，若双曲线上存在点A,使匕

cr b~

F 1AF 2-90°,且|AF,| =3 |AF 2|,则双曲线离心率为

18、 " F2为椭圆# +若=1的两焦点，若椭圆上存在一点P,使ZF,PF F 90° ,

求椭圆的离心率的取值范围

19、 双曲线、一告=1 （a>0,b>0）的两个焦点为.、若P 为其上一点，且

ci b

|S|二2|Sl,则双曲线离心率的取值范围为（）

A 、（1,3）

B 、（1,3]

C 、（3,+oo ）

D 、[3,+8）

五、直线与圆锥曲线的位置关系

判断直线I与圆锥曲线C的位置关系时，可将直线I代入曲线C的方程，消去一个字母（如y）得到一个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,则（1）当a手0时, 则有△>（）, I与C相交；△=0, I与C相切；△?, I与C相离.（2）当a=0时, 得到一个一元一次方程，则I与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线, 则I平行于双曲线的渐近线；若C为抛物线，则I平行于抛物线的对称轴.需要注意的是，当直线与双曲线或抛物线只有一个交点时，直线与双曲线或抛物线可能相切也可能相交.

五、最值问题

1、求圆锥曲线上的点到定直线的距离的最值

2、求圆锥曲线上的点到定点与到焦点的距离和的最值圆锥曲线与向量的综合应用

1、过椭圆一+)，2=1的右焦点F的直线I与椭圆交于A、B两点。

4.

(1)若|AB|=2,求直线I的方程

⑵若AF = 2FB ,求直线I的方程

(3) 若网=2网,求直线I的方程

(4) 若OA-OB^O,求直线I的方程

(5) 若汤?而二3,求直线I的方程

2、已知过点P (1, 0)的直线与双曲线—-r =1交于A、B两点,

4 ?

(1) 若|AB|=2,求直线I的方程

(2) 若~PF = 2PB,求直线I的方程

(3) 若网二2网"求直线I的方程

(4) 若汤.而二0,求直线I的方程

(5) 若OA OB=3,求直线I的方程

3、已知过点P (-1, 0)的直线与抛物线)，2=4工交于A、B两点。

(1)若|AB|=2,求直线I的方程(3) 若PF = 2PB,求直线I的方程

(4) 若AP=2PB ,求直线I的方程

2 2

4、已知椭圆二+ 土 = 1(。＞人＞0)的左焦点月右顶点为4点8在椭圆上，BF

CT /r

?Lx轴，直线仙交*轴于点?若AP = 2PB,则椭圆的离心率是()

(A)匝(B)也(C) - (D)-

2 2

3 2

5、已知椭圆C: — +y2=］的右焦点为巳右准线为/，点化/,线段AN交C于

2

点B,若两=3商，则|砂二()

A. V2

B. 2

C. V3

D. 3

【解析】过点B作U于M,并设右准线/与X轴的交点为N,易知FNF.由题

意液=3商，故| |=-.又由椭圆的第二定义，得

\BF |=^l.- = ^l /.| AF1= V2 .故选 A

2 3 3

【答案】A

= 1(0〉0』＞0)的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双

曲线的两条渐近线的交点分别为B,C,若AB = ^-BC,则双曲线的离心率是2

()

A. V2

B. V3

C. V5 D,面

【解析】对于4(^,0),则直线方程为x+y-Q = 0,直线与两渐近线的交点为昆

c, 4二，*Vh二，—兰：)则有

顷 +。a + b J a-b a-b

尽=(半半4)，届=1此，因2而二显.?.4疽二〃,.?.，=近?d — b ci — b k 〃 + /? ci^b)

【答案】c

2 7

7、已知双曲线3-会=10 ＞0)的左、右焦点分别是《、F"其一条渐近线方

程为"尤,点户(占，％)在双曲线上.贝I］丽■无=()

A. -12

B. -2

C. 0

D. 4

【解析】设双曲线C ：4-7V = 1的右准线为/，过A 、B 分

cr b~

别作AM A.I 于

2 2

8、已知双曲线C ：三■ -土 = 1 (。> 0,8 > 0)的右焦点为F ,过F 且斜率为V3的

直线 a tr

交C 于A 、B 两点，若" = 4FB,则C 的离心率为()

M , BN ±1于N , BDA. AM 于。,由直线AB 的斜率为右，知直线AB 的倾斜 角 60° .?. /BAD = 60°, | AD\=-\AB\f 2

由双曲线的第二定义有

\AM\-\BN\=\ AD|=-(| AF|-|FB|) =-| AB|=-(| AF| + | FB|). e 2 2

—— —1 —5 —6

又v AF = 4FB:.- 3\FB\=-\FB\.\e = -. g 2 5 【答案】A

9、已知椭圆的中心为坐标原点0,焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F

的直线交椭圆于A 、B 两点，OA + OB 与；=(3, -1)共线，求椭圆的离心率

10、已知直线I ： y=kx-2与抛物线C ： x 2=-2Py, (P>0)交于A 、B 两点，0为坐 标

原点，

宓+而二(-4, -12),求直线I 和抛物线C 的方程。

2 2

11、设椭圆C ： 4 + L = l 的左右焦点分别为Fl 、F 2, A 是椭圆C 上的一点，且 cr 2

疝?奇>0,坐标原点0到直线AE 的距离为』|0Fj

-

-

3

(1) 求椭圆的方程。

(2) 设Q 是椭圆C 上的一点，过点Q 的直线I 交x 轴于点F (-1, 0),交y 轴 于点M,若i |Me| =\2QF\,求直线I 的斜率。

12、已知抛物线y2=x+1,定点A （3, 1）,点B 为抛物线上任意一动点，点P 满

' ?

1 - ?

足BP = -BA,当B 点在抛物线上运动时，求动点P 的轨迹方程。

2

13、已知椭圆的中心为坐标原点0,焦点在x 轴上，离心率为乎，过点C （-1, 0）的直线交椭圆于A 、B 两点，且CA = 2BC,求当AAOB 的面积达到最大值时 直线

和椭圆的方程。

圆锥曲线的综合应用及其求解策略

有关圆锥曲线的综合应用的常见题型有：①、定点与定值问题；②、最值问题；③、求参数的取值范围问题；④、对称问题；⑤、实际应用问题。

解答圆锥曲线的综合问题，应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的相关知识，将曲线的几何特征转化为数量关系（如方程、不等式、函数等），再结合代数知识去解答。解答过程中要重视函数思想、方程与不等式思想、分类讨论思想和数形结合思想的灵活应用O 一、定点、定值问题:

这类问题通常有两种处理方法：①、第一种方法：是从特殊入手，先求出定点（或定值），再证明这个点（值）与变量无关；②、第二种方法：是直接推理、计算；并在计算的过程中消去变量，从而得到定点（定值）。

【例题1】已知双曲线x2-y2=2的右焦点为F,过点尸的动直线与双曲线相交于A、B两点，又已知点C的坐标是（1,0）. （I）证明寥■瓦为常数；（II）若

动点M满足CM = CA^CB + CO（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程.

?解:由条件知F(2,0),设A(和y{), 8(知力)?

(I)当曲与工轴垂直时，可求得点A、B的坐标分别为(2,"), (2,-"),此

时则有G4DCB = (1，V2) x(L-V2) = -l.

当A8不与工轴垂直时,设直线AB的方程是y = k(x-2)("±l) .代入x2-y2 =2 , 则有4妃

k2-l于是

(1-号)工2+4妃尤_(4妃+2)= o.则和邑是上述方程的两个实根，

CA L CB =（X, - l）（x2一1） + = 0 - 1）（易一1） + 炉（工］一2）（易-2）

"2 八62 * 、m2 〔（炉+1）（4 妃+2） 4好（2皆 + 1） 1

=（k+1）X J X2-（2k +1）（%| + 邑）+ 4k +1 = ------------ -- —j ----- —j F 4k +1 =(-4好—2) + 4 炉+ 1=—1.

?.?综上所述，房声为常数-1.

(II)设y),贝IJCM =(x-b y) , 04 = (^-!,弟，CB = (x2-l, y2),

CO = (-1,0),由瓦7 =瓦+瓦+的得：(1 =玉+"3,即卜+为=》+ 2,于是1)' = 乂 + 力1

乂 + 力=、

的中点坐标为.

I 2 2)

y

当AB不与尤轴垂直时，心二旦二—二土，即片_力二土3-易).

X| -x+Z — 2 x — 2 x~ 2

~ "1 -一

又因为A、B两点在双曲线上，所以蚌—弁=2, y；=2,两式相减得(尤］一尤2)(为 +邑)=(乂一y2)(y t + y2),即(^-%2)(% + 2)=(凹一y2)y .将力=旦―3 f之)代入上式，化简得户一),2 = 4 . x-2 '

当与工轴垂直时，%, = x2 = 2 ,求得M(2,0),也满足上述方程.所以点M的

轨迹方程是检一)户=4.

V 2 V 2

【例题

2】已知A,B 为椭圆尸方=】

2x^1 -2 2 Xi ~a

二、最值问题:

某种几何特征及意义，或反映出了某种圆锥曲线的定义，则直接利用图形的性 质或圆锥曲线的定义来求解，这就是几何法；②将圆锥曲线中的最值问 题通过建立目标函数，转化为二次函数或三角函数的最值问题，再充分 利用均值不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等相关知识去求解。

【例题

3】、抛物线x 2-4y 的焦点F 和点A （-1,8）,P 为抛物线上一点，则

y=-l

图2 |PA| + |PF|最小值是（）

A 6

B 9 16

▲若将上题中点A 的条件改为A （3, 1）,其它不变，则 应为 ___

?解析：由抛物线定义，可知当A 、P 、H （如图1）

三点共线时，|PA| + |PF|最小，其最小值为9。 C 12

▲点拨：本题中U

CA -瓦为常数”的证明，采用特殊位置“当曲与I 轴垂直时”可

轻易得出林■赤二-1；接下来再从一般情况“当不与x 轴垂

直时”去加以论证，有了明确的目标，推理计算就要容易得多了!

2 2

（林。）和双曲线》普=1的公共顶点,P,Q

分别为双曲线和椭圆上不同于A, B 的动点，且有AP+BP 二以AQ+BQ ）（人ER, |人|>1）,

设 AP, BP, AQ, BQ 斜率分别为 k b k 2, k 3, k 4,求证:k 1+k 2+k 3+k 4一个定值.

?解、点A(-a,O)； B(a,O)；?.?由AP+BP 二人(AQ+BQ),依据向量加

法的

平行四边形法则，则有0、Q 、P 三点共线；设P(xM 、Q (X 2, y 2),

2

2

2

「.Xi yi …. 0 0 a 9

Vi Vi 则F - 7T =1,贝IJ Xi -a = 77 ■ yi ; ki+k2 二 + ---------- a b b Xi+a x~a

2b 2 Xi -~~ ■—; a V\

… ,

-2b 2 x 2 , Xi x 2

同样有k 3+k 4= —2 ----- ;由于一二一，二所求的XE 值为0o

a y 2 yi y 2

▲点拨：本题中的特殊位置难以确定，因而采用直接推理、计算；并逐渐化 简，从而得到其定值为0。

常见解法有两种：几何法与代数法。①若题目中的条件或结论能明显体现

A(3,l)

▲点拨：本题的求解，主要是扣住了抛物线的定义，充分挖掘图形的特征, 从而解决所求之问题。运用几何法求解，解答过程简单、明了，但对综合运用图形的几何性质（或把握曲线定义的灵活运用）的能力要求较高。

【例题4】设F是抛物线G：r=4y的焦点,设A、B为抛物线G上异于原点的两

点，且满足FADFB = O,延长AF, BF分别交抛物线G于点C、D,求四边形ABCD 面积的最小值?

?解：设A(和弟，C(x2,乃)；由题意知，直线AC的斜率k存在，由对称性，

不妨设k>0?

因直线AC过焦点"0,1),所以直线AC的方程为)，=丘+ 1.点A、C的坐标满足

，E, 6 =奴+L

方程组L

[x2 = 4y,

得F—4丘-4 = 0,由根与系数的关系知而+易=4奴贝|j有：

〔冲2=-4?

AC — J(X]-尤2)2 + (凹-为)2 = jl + k。+尤2)2 -4尤]易—4(1 + k2).

因为AC _L 8D ,所以80的斜率为,从而8。的方程为y =x + l.同理可

k k

求得| 四= 4〔1 + JH) = Q

I UJ J 好

2 2

S g = ： IA C| I = 8(1,「= 8(好 + 2 + ￡) 3 32 .当S1 时，等号成立?所以,

四边形ABCD面积的最小值为32 .

▲点拨：本题首先通过计算，建立好四边形ABCD面积的函数表达式，然后根据其函数特征，转化出均值不等式的形式，再利用均值不等式求出其最小值。

【例题5】在直角坐标系xQy中，以。为圆心的圆与直线x-y/3y = 4相切. (1)求圆。的方程；(2)圆。与x轴相交于A、B两点，圆内的动点P使

| PA|, | PO|, | 成等比数列，求PA3PB的取值范围.

?解：(1)依题设，圆。的半径,等于原点O到直线x-V3y = 4的距离，即

r = — = 2 ；得圆。的方程为f = 4 . ( 2 )不妨设V1 + 3

A0,o), B(X2,0),玉 <邑.由X2=4即得A(—2,0), B(2,o).

设P(x, y), 由|PA|,|PO|,|P8|成等比数列，得J(x+ 2)2 + 丁项(X-2)2 + y2 =工2 + y2 ,

式

(组)再得出参数的变化范

②、第二种n 是函数的值域求解法：把所讨

-1

BP x 2

-y 2

=2. PADPB = (-2-x,-yH2-x,->9 = x 2-4+/ = 2(/-1).

2 2

「+七 < 勺由此得/ <1.所以液说的取值范围为［-2,0). J — )』.

▲点拨：本题同样是先通过计算，建立好“页而”的函数表达式，然 后依

据“点P 在圆0内”，得出相应的约束条件“y2

三、求参数的取值范围范围问题:

求参数的取值范围问题，常用的解决方法有两种：①、第一种是不等式(组) 求解法n 根据题意结合图形列出所讨论的参数适合的不等式(组)，通过解不等

论的参数表示为某个变量的函数，通过讨论函数的值域求得参数的变化范围。 【例题6】、若圆x 2+(y-1)2= 1上的任一点P(x,y),有不等式x+y+cN0恒成立, 则c 的取值范围是

x = cos 0

?解：可设y = sin9 + l ；则有cos0+sin0+1+c^。恒成立，即有cN

-(cos0+sin0+1)恒成立，

-cNyfi -1 为所求。

▲ 点拔：本题通过圆的参数方程进行三角代换，将所求问题转化成求三 角函数的最值的问题，从而简捷易解。

★【例题71(2007年福建高考题44分)如图，已知F(l,0),直线l:x = -l, P 为平面上的动点，过点P 作/的垂线，垂足为点Q ,且 QP J QF = FP ^FQ .

(I) 求动点F 的轨迹C 的方程；

(II)

过点F 的直线交轨迹C 于A, B 两点,交直线/于点

(1) 已知 MA = ^AF , MB = ^BF ,求 的值； (2) 求|网j 网的最小值.

?解析：(I )由 QPjQF=FKFQ 得：FQXPQ+ ~PF) = 0, /. (PQ - PF^PQ + PF) =

0, :. PQ —PF =0,???四=朗. 所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的

方程为：y 2

=4x.

(II)、( 1 )：由已知 MA = \AF , MB = ^BF ,得 ^<0 .贝I ］：

(

MA

MB

过点A, 8分别作准线,

的垂线，垂足分别为A , B},则有：

非蜀????????????②，

(II ) \ (2):设直线AB 的方程为：x = my +1(/77 0).

（2、

设AS，M）, B（私，力），又M -1,——,联立方程组

k

消去尤得：y2—4〃。—4 = 0, A = (-4m)2 + 12>0

y\ + y2 =

4m, 地=一4

?

叫阿E

|阿=(Jl + 冰)一y M\\y2- y M \ = (l^-m2)\y}y2 - y M (y】+ 力)+ y；f

=(1 +

nr)

2 4

-4 +—x4m + —

m "T

( 4 )

=(1 + m2) 4 —-

当且仅当m2=^v,即m = ±l时等号成立,

nr

所以|网申列最小值为16.

▲点拨：本题中“求的值”，首先是建立好条件不等式组，再化简

计算得出所求。

四、对称问题：

包括两种情形：①、中心对称问题：常利用中点坐标公式求解；②、轴对称问题：主要抓住以下两个条件去处理——?垂直，即已知点与对称点的连线与对称轴垂直；?中点，即连结已知点和对称点的线段的中点在对称轴上。【例题7】如图，直线y--x与抛物线y=-x2-4交于A、B两点，线段AB的垂

2 8

直平分线与直线y二一5交于Q点.

（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含点A、B）的动点时，求八。?。面积的最大值.由①、②即 W + % =

0 .

2

?解析：(1)解方程组

1 y= — x

2

1 2 / y= -x -4

8

x2 =8

>2=4 即A(—4,

— 2),B(8,4),从而AB 的中点为M(2,1). 由kAB=-,直线AB的垂直平分统方

2 \

程yT=/-2).

令y二一5,得x=5, ...Q(5,—5)

(2)直线0Q的方程为x+y=0,设P (x, -4). ..?点P到直线0Q的距离;

X^r-X1 -4

8 ^|X 2+8X-32,

8V21

\OQ\ = 5V2 ,

/.S A

OPQ=-\O^[d

-16

+ 8x — 32 .

VP为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线0Q上，-4^X473

一4 或4V3 ~4

???函数yrMx—32在区间［-4, 8］上单调递增，且当成一4时，|V+8x—321 二48 当尸8 时，|/+8x—32| 二96

.??当尸8时ZkOPQ的面积取到最大值4x96 = 30.

16

▲点拨：本题中“直线AB的垂直平分线方程”的求解，主要是抓住两个条件(1)、垂直；(2)、中点；从而完成所求。

【例题8】、在平面直角坐标系X。)，中，过定点C(0, p)作直线

与

抛物线x2=2py (p>0)相交于A, B两点.

(I) 若点N是点C关于坐标原点。的对称点，求△ANB面积的

最小值；

(II) 是否存在垂直于y轴的直线/，使得/被以AC为直径的圆截

得的弦长恒为定值？若存在，求出/的方程；若不存在，说明理由.

?解析：(I )依题意，点N的坐标为N(0, - p),可

设A(M，『),B(X2,y2), 直线A8的方程为y =

kx+ p ,与亍=2py联立得x2-2pkx-2p2 =0 .由韦达

定理得玉+易=2p* ,

S^BN = S MC N +5心6, =72〃化一邑| = 〃|工1 一对=P』

(

=P 应*萨= 2p2 垢巨，?.?当S0 时，(SE)min=2 扼p2.

(II)假设满足条件的直线/存在，其方程为)，=Q, AC的中点为0',

/与AC为直径的圆相交于点F, Q, FQ的中点为H ,则0f H 1 PQ ,。'点的坐

标为

E 2 )

pp| 二：|AC|=x；+(y】_p)' =+ P?

|0'〃|= =：|2。_乂_〃|,

J 」

??.|FH|2=|O7f—寸 + p2)_!(2Q_yLP)2=(Q_f)M+Q(p_Q),

4 q i ?)

/ \ n

PQf = (2\PH\)2 =4 a-^- y^a(p-a).令。一丑=0 ,得a = ^~ ,此时

i 2) 2 2

PQ\ = P为定值，故满足条件的直线/存在，其方程为"％,即抛物线的通径所

在的直线.

▲ 点拨：本题中“点N是点C关于坐标原点。的对称点”，利用中点坐标公式，很快就得出点N的坐标了。

五、实际应用问题：

此类问题要建立好平面直角坐标系，建立好数学模型，实现应用问题向数

学问题的转化。

★【例题9】如图，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的匕北

偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ (曲线)上任意一点匚

到A的距离比到B的距离远2 km o现要在曲线PQ上选一处M建一座东

码头，向B、C两地转运货物。经测算，从M到B、M到C修建公路的费

用分别是3万元/km、万元/km,那么修建这两条公路的总费用最低是(

A. (2^7—2) a万元

B. 5a 万元

\9 C. (2^7+1) a 万元 D. (2^3+3) a 万元

?解析：这是福建省2004年的一道高考题。

%1、首先，建立如图所示的直角坐标系，则点A (-2, 0), B (2, 0),

C (3,也)；

%1、PQ曲线是以A、B为焦点的双曲线的右支，其轨迹方程为: