2022高三统考数学文北师大版一轮：第八章第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程
授课提示：对应学生用书第150页
[基础梳理]
1．直线的倾斜角
(1)定义：
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围是：[0，π)．
2．
条件公式
直线的倾斜角θ，且θ≠90°k＝tan__θ
直线过点A(x1，y1)，B(x2，y2) 且x1≠x2k＝y1－y2
x1－x2 3.
条件两直线位置
关系
斜率的关系
两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行
k1＝k2
k1与k2都不存在
垂直
k1k2＝－1
k1与k2一个为零、另一个不
存在
4.
名称已知条件方程适用范围
点斜式斜率k与点(x1，y1)y－y1＝k(x－
x1)
不含直线x＝x1
斜截式斜率k与直线在y轴上的
截距b
y＝kx＋b
不含垂直于x轴的
直线
两点式两点(x1，y1)，(x2，y2)y－y1
y2－y1
＝
x－x1
x2－x1
不含直线x＝x1(x1＝
x2)和直线y＝y1(y1
(x 1≠x 2，y 1≠y 2) ＝y 2) 截距式
直线在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b x a ＋y
b ＝1(a ≠0，b ≠0) 不含垂直于坐标轴
和过原点的直线
一般式
Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0) 平面直角坐标系内
的直线都适用
5.若点P 1，P 2的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段P 1，P 2的中点M 的坐标为(x ，
y )，则?????x ＝x 1＋x 2
2，y ＝y 1＋y 2
2，
此公式为线段P 1P 2的中点坐标公式．
1．斜率与倾斜角的两个关注点
(1)倾斜角α的范围是[0，π)，斜率与倾斜角的函数关系为k ＝tan α，图像为：
(2)当倾斜角为90? 时，直线垂直于x 轴，斜率不存在．
2．直线A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0垂直的充要条件为A 1A 2＋B 1B 2＝0.
[四基自测]
1．(基础点：根据两点求斜率)过点M (－2，m )，N (m ，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )
A ．1
B ．4
C ．1或3 D.1或4 答案：A
2．(基础点：直线的倾斜角与斜率的关系)直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B ．π3 C.2π3 D.5π6 答案：D
3．(基础点：直线的点斜式方程)已知直线l 经过点P (－2，5)，且斜率为－3
4，则直线l 的方程为________． 答案：3x ＋4y －14＝0
4．(易错点：直线的截距概念)过点(5，0)，且在两轴上的截距之差为2的直线方程为________．
答案：3x ＋5y －15＝0或7x ＋5y －35＝0
授课提示：对应学生用书第151页
考点一 直线的倾斜角与斜率
挖掘1
依据两点求斜率、倾斜角/ 自主练透
[例1] (1)(2020·常州模拟)若ab <0，则过点P ? ????0，－1b 与Q ? ??
??1a ，0的直线PQ 的倾斜角的取值范围是________．
[解析] k PQ ＝
－1b －0
0－1a ＝a
b <0，又倾斜角的取值范围为[0，π)，故直线PQ 的倾斜角的取值范围为? ????
π2，π.
[答案] ? ??
??
π2，π
(2)(2020·太原模拟)已知点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过点P (1，1)且与线段AB 有交点，则直线l 的斜率k 的取值范围为________．
[解析] 如图所示，k P A ＝1＋31－2＝－4，k PB ＝1＋21＋3＝3
4
.要使直线l 与线段AB 有交点，
则有k ≥3
4或k ≤－4.
[答案] (－∞，－4]∪????
??
34，＋∞
挖掘2 依据直线方程求斜率、倾斜角/ 互动探究
[例2] (1)直线2x cos α－y －3＝0? ??
??
α∈??????π6，π3的倾斜角的取值范围是( )
A.??????π6，π3 B ．??????π4，π3 C.??????π4，π2 D.????
??π4，2π3 [解析] 直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，
因为α∈????
??
π6，π3，所以12≤cos α≤32，
因此k ＝2·cos α∈[1， 3 ]．
设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ]．
又θ∈[0，π)，所以θ∈??????
π4，π3，
即倾斜角的取值范围是????
??
π4，π3.
[答案] B
(2)直线l ：ax ＋(a ＋1)y ＋2＝0的倾斜角大于45°，求a 的取值范围． [解析] 当a ＝－1时，直线l 的倾斜角为90°，符合要求；当a ≠－1时，直线l
的斜率为－a
a ＋1.
则有－a a ＋1>1或－a
a ＋1
<0，
?
??－∞，－12∪(0，＋∞)．
[破题技法] 直线倾斜角与斜率的关系
(1)当α∈???
???0，π2且由0增大到π2? ??
??α≠π2时，k 由0增大到＋∞.
(2)当α∈? ????
π2，π时，k 也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2? ??
??α≠π2增大到
π(α≠π)时，k 由－∞趋近于0(k ≠0)． (3)任何直线都对应着[0，π)内的唯一的一个倾斜角，但不是所有的直线都存在斜率．
考点二 求直线方程
挖掘 求直线方程的方法/ 自主练透 [例] 求适合下列条件的直线方程：
(1)求过点(2，1)且在x 轴上的截距与在y 轴上的截距之和为6的直线方程；
(2)求经过点A (－5，2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程．
[解析] (1)法一：由题意可设直线方程为x a ＋y
b ＝1. 则?????a ＋b ＝6，2a ＋1b
＝1，解得a ＝b ＝3，或a ＝4，b ＝2.
故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0.
法二：设直线方程为y ＝kx ＋b ，则在x 轴上的截距为－b k ，所以b ＋? ??
??
－b k ＝6，①
又直线过点(2，1)，则2k ＋b ＝1.②
由①②得???k ＝－1，
b ＝3
或?????k ＝－12，b ＝2.
故所求直线方程为x ＋y －3＝0或x ＋2y －4＝0. (2)当直线不过原点时，
设所求直线方程为x 2a ＋y
a ＝1， 将(－5，2)代入所设方程，
解得a ＝－1
2，
此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.
当直线过原点时，斜率k ＝－2
5，
直线方程为y ＝－2
5x ，即2x ＋5y ＝0， 综上可知，所求直线方程为 x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.
[方法 解读 题型
直接法 直接求出直线方程所需要的标量 适合于直线标量易求的题目 待定系数法 设出直线方程形式，待定其中的标量 适合于条件较多而隐含的题目
2．设直线方程的常用技巧
(1)已知直线纵截距b ，常设其方程为y ＝kx ＋b (需保证斜率存在)；
(2)已知直线横截距x 0，常设其方程为x ＝my ＋x 0(它不适用于斜率为0的直线)； (3)已知直线过点(x 0，y 0)，当斜率k 存在时，常设其方程为y －y 0＝k (x －x 0)，当斜率k 不存在时，则其方程为x ＝x 0；
(4)与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线可表示为Ax ＋By ＋C 1＝0(C 1≠C )； (5)与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线可表示为Bx －Ay ＋C 1＝0；
(6)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0交点的直线系方程：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(不含l 2).
在本例(2)中，改为“过点A (－5，2)，且与两坐标轴形成的三角形面积为9
2”，求直线方程．
解析：设所求直线在x 轴的截距为a ，在y 轴上的截距为b ，则?????－5a ＋2b ＝112|ab |＝92
，
∴???a ＝－3
b ＝－3
，或?????a ＝152b ＝65
.
∴方程为x ＋y ＋3＝0或4x ＋25y －30＝0.
考点三 两条直线的位置关系
挖掘1 利用平行、垂直求参数/ 自主练透
[例1] 已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使
(1)l 1∥l 2；
(2)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.
[解析] (1)∵l 1∥l 2，∴???m 2－16＝0，
－m －2n ≠0，
解得???m ＝4，n ≠－2或?
??m ＝－4，n ≠2.
即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (2)当且仅当2m ＋8m ＝0， 即m ＝0时，l 1⊥l 2.
又－n
8＝－1，∴n ＝8.
即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.
1．“a ＝0”是“直线l 1：(a ＋1)x ＋a 2y －3＝0与直线l 2：2x ＋ay －2a －1＝0平行”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：当a ＝0时，l 1：x －3＝0，l 2：2x －1＝0，故l 1∥l 2. 当l 1∥l 2时，若l 1与l 2斜率不存在，则a ＝0；
若l 1与l 2斜率都存在，则a ≠0，有－a ＋1a 2＝－2a 且3a 2≠2a ＋1
a ，解得a ∈?，故当l 1∥l 2时，有a ＝0.故选C. 答案：C
2．已知直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －3＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0，则“a ＝1”是“l 1⊥l 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：l 1⊥l 2的充要条件是(a ＋2)(a －1)＋(1－a )·(2a ＋3)＝0，即a 2－1＝0，故有(a －1)(a ＋1)＝0，解得a ＝±1.显然“a ＝1”是“a ＝±1”的充分不必要条件，故选A.
答案：A
挖掘2 利用平行或垂直关系求直线方程/ 互动探究
[例2] (1)已知点P 1(2，3)，P 2(－4，5)和A (－1，2)，则过点A 且与点P 1，P 2距离相等的直线方程为________．
[解析] 当直线与点P 1，P 2的连线所在的直线平行时，由直线P 1P 2的斜率k ＝
3－5
2＋4
＝－13，得所求直线的方程为y －2＝－1
3(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线过线段P 1P 2的中点时，因为线段P 1P 2的中点坐标为(－1，4)，所以直线方程为x ＝－1.综上所述，所求直线方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1. [答案] x ＋3y －5＝0或x ＝－1.
(2)已知正方形的中心为点M (－1，0)，一条边所在直线方程是x ＋3y －5＝0.求正方形其他三边所在直线的方程．
[解析] 如图，过M 作边AD 所在直线x ＋3y －5＝0的垂线，垂足为E .
|ME|＝|（－1）＋3×0－5|
1＋32
＝3 510.
设直线BC的方程为x＋3y－m＝0，则M到BC的距离是|（－1）＋3×0－m|
1＋32
.
令|（－1）＋3×0－m|
1＋32
＝
3
510.
解得m＝－7，或m＝5.
所以，直线BC的方程为x＋3y＋7＝0.
因为直线AB与AD垂直，所以设它的方程为3x－y－n＝0.
则M到AB的距离是|3×（－1）－0－n|
32＋1
.
令|3×（－1）－0－n|
32＋1
＝
3
510.
解得n＝3，或n＝－9.
所以，直线AB，CD的方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.
综合以上得，其余三边所在直线的方程分别是3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y －3＝0.