FLUENT知识点解读(良心出品必属精品)
一、基本设置
1．Double Precision的选择
启动设置如图，这里着重说说Double Precision（双精度）复选框，对于大多数情况，单精度求解器已能很好的满足精度要求，且计算量小，这里我们选择单精度。然而对于以下一些特定的问题，使用双精度求解器可能更有利[1]。
a.几何特征包含某些极端的尺度（如非常长且窄的管道），单精度求解器可能不能足够精确地表达各尺度方向的节点信息。
b.如果几何模型包含多个通过小直径管道相互连接的体，而某一个区域的压力特别大（因为用户只能设定一个总体的参考压力位置），此时，双精度求解器可能更能体现压差带来的流动（如渐缩渐扩管的无粘与可压缩流动模拟）。
c.对于某些高导热系数比或高宽纵比的网格，使用单精度求解器可能会遇到收敛性不佳或精确度不足不足的问题，此时，使用双精度求解器可能会有所帮助。
[1] 李鹏飞,徐敏义,王飞飞.精通CFD工程仿真与案例实战：FLUENT GAMBIT ICEM CFD Tecplot[M]. 北京,人民邮电出版社,2011:114-116
2．网格光顺化
用光滑和交换的方式改善网格：通过Mesh下的Smooth/Swap来实现，可用来提高网格质量，一般用于三角形或四边形网格，不过质量提高的效果一般般，影响较小，网格质量的提高主要还是在网格生成软件里面实现，所以这里不再用光滑和交换的方式改善网格，其原理可参考《FLUENT全攻略》（已下载）。
3．Pressure-based与Density-based
求解器设置如图。下面说一说Pressure-based和Density-based 的区别：
Pressure-Based Solver是Fluent的优势，它是基于压力法的求解器，使用的是压力修正算法，求解的控制方程是标量形式的，擅长求解不可压缩流动，对于可压流动也可以求解；Fluent 6.3以前的版本求解器，只有Segregated Solver和Coupled Solver，其实也是Pressure-Based Solver的两种处理方法；
Density-Based Solver是Fluent 6.3新发展出来的，它是基于密度法的求解器，求解的控制方程是矢量形式的，主要离散格式有Roe，AUSM+，该方法的初衷是让Fluent具有比较好的求解可压缩流动能力，但目前格式没有添加任何限制器，因此还不太完善；它只有Coupled的算法；对于低速问题，他们是使用Preconditioning方法来处理，使之也能够计算低速问题。Density-Based Solver下肯定是没有SIMPLEC，PISO这些选项的，因为这些都是压力修正算法，不会在这种类型的求解器中出现的；一般还是使用Pressure-Based Solver解决问题。
基于压力的求解器适用于求解不可压缩和中等程度的可压缩流体的流动问题。而基于密度的求解器最初用于高速可压缩流动问题的求解。虽然目前两种求解器都适用于各类流动问题的求解（从不可压缩流动到高度可压缩流动），但对于高速可压缩流动而言，使用基于密度的求解器通常能获得比基于压力的求解器更为精确的结果。
4．axisymmetric和axisymmetric swirl
从字面的意思很好理解axisymmetric和axisymmetric swirl的差别：
axisymmetric：是轴对称的意思，也就是关于一个坐标轴对称，2D的axisymmetric问题仍为2D问题。而axisymmetric swirl：是轴对称旋转的意思，就是一个区域关于一条坐标轴回转所产生的区域，这产生的将是一个回转体，是3D的问题。在Fluent中使用这个，是将一个3D的问题简化为2D问题，减少计算量，需要注意的是，在Fluent中，回转轴必须是x轴。
5．操作工况参数（Operating Conditions）
①操作压力的介绍
关于参考压力的设定，首先需了解有关压力的一些定义。ANSYS FLUENT中有以下几个压力，即Static Pressure（静压）、Dynamic Pressure（动压）与Total Pressure（总压）；Absolute Pressure （绝对压力）、Relative Pressure（参考压力）与Operating Pressure （操作压力）。
这些压力间的关系为，Total Pressure（总压）=Static Pressure （静压）+Dynamic Pressure（动压）；Absolute Pressure（绝对压力）=Operating Pressure（操作压力）+Gauge Pressure（表压）。
其中，静压、动压和总压是流体力学中关于压力的概念。静压是测量到的压力，动压是有关速度动能的压力，是流动速度能量的体现。
而绝对压力、操作压力和表压是FLUENT引入的压力参考量，在ANSYS FLUENT中，所有设定的压力都默认为表压。这是考虑到计算精度的问题。
②操作压力的设定
设定操作压力时需要注意的事项如下：
●对于不可压缩理想气体的流动，操作压力的设定直接影响流体
密度的计算，因为对于理想气体而言，流动的密度由理想气体
方程获得，理想气体方程中的压力为操作压力。
●对于低马赫数的可压缩流动而言，相比绝对静压，总压降是很
小的，因此其计算精度很容易受到数值截断误差的影响。需要
采取措施来避免此误差的形成，ANSYS FLUENT通过采用表压
（由绝对压力减去操作压力）的形式来避免截断误差的形成，
操作压力一般等于流场中的平均总压。
●对于高马赫数可压缩流动的求解而言，因为此时的压力比低马
赫可压缩流动的大得多，所以求解过程中的截断误差的影响不
大，可以不设定表压。由于ANSYS FLUENT中所有需输入的压
力都为表压，因此此时可以将操作压力设定为0（这样可以最
小化由于压力脉动而引起的误差），使表压与绝对压力相等。
●如果密度设定为常数或者其值由通过温度变化的函数获得，操
作压力并没有在计算密度的过程中被使用。
●默认的操作压力为101325Pa。
操作压力的设定主要基于两点考虑，一是流动马赫数的大小，二是密度计算方法。
表格 1 操作压力的推荐设置
密度关系式马赫数操作压力
理想气体定律大于0.1 0或约等于流场的平均压力理想气体定律小于0.1 约等于流场的平均压力
关于温度的函数不可压缩不使用
常数不可压缩不使用
不可压缩约等于流场的平均压力
不可压缩的理想
气体
③关于参考压力位置的设定
对于不涉及任何压力边界条件的不可压缩流动，ANSYS FLUENT在每次迭代后要调整表压值。这个过程通过使用参考压力位置处（或该位置附近）节点的压力完成。因此，参考压力位置处的表压应一直为0。如果使用了压力边界条件，则不会使用到上述关系，因此参考压力位置不被使用。
参考压力位置默认为等于或接近（0，0，0）的节点中心位置。实际计算中可能需要设置参考压力位置到绝对静压已知的位置处。在Operating Conditions对话框中的Reference Pressure Location
选项组中设置新的参考压力位置的x，y，z的坐标即可。
如果要考虑某一方向的加速度，如重力，可以勾选Gravity复选框。
对于VOF计算，应当选择Specified Operating Density，并且在Operating Density 下为最轻相设置密度。这样做排除了水力静压的积累，提高了round-off精度为动量平衡。同样需要打开Implicit Body Force，部分平衡压力梯度和动量方程中体积力，提高解的收敛性。
Reference Pressure Location（参考压强位置）应是位于流体永远是100%的某一相（空气）的区域，光滑和快速收敛是其基本条件。
二、求解模型的设定
1．流动模型的设置
①无粘模型
理想流体是一种设想的没有粘性的流体，在流动时各层之间没有相互作用的切应力，即没有内摩擦力。十分明显，理想流体对于切向变形没有任何抗拒能力。应该强调指出，真正的理想流体在客观实际中是不存在的，它只是实际流体在某些条件下的一种近似模型。
在Inviscid流动模型应用方面，无粘流动忽略了粘性对流动的影响，这对高雷诺数的流动是合适的，因为高雷诺数流动惯性力的作用远大于粘性力的作用，粘性力可以忽略，所以可以将其考虑成无粘流
动。无粘流动的求解更快，其激波在某些值上预测的偏高。无粘流动能对流动状态和激波位置进行快速预测。
马赫数与激波
马赫数的定义是
v
=
M
a
它表示流体的流动速度与当地声速之比，是一个无量纲的参量。对应于1
M=和1
M>这三种情况的流动分别称为亚声速流、声M<，1
速流和超声速流。当马赫数很小时，速度的相对变化只能引起很小的密度相对变化，但当马赫数很大时，则将引起较大的密度相对变化，这也说明了马赫数是流体压缩性的一个表征。
当飞机、炮弹和火箭以超音速飞行时，或者发生强爆炸、强爆震时，气流受到急剧的压缩，压强和密度突然显著增加，这时所产生的压强扰度将比声速大得多的速度传播，波阵面所到之处气流的各种参数都将发生显著变化，参数突跃。这样一个强间断面叫做激波阵面。
渐缩渐扩管的流动是计算流体力学模拟的经典问题之一。在这类流动中，激波的出现是流动中可压缩效应的体现。精确的激波模拟是CFD研究的热点之一。为了更好捕捉压力梯度，需要采用较细的网格并结合合适的数值模拟和格式。很多实际模拟中，局部网格的自适应会很有帮助。
②层流模型
流动有层流和湍流之分，判断湍流的标准可以参考[2]，这里写出内流的判断标准：
Re 2300UD ρ
μ=>
对于内流而言，一般大多数流动都是湍流，一般不使用湍流模型。而对一些外流而言（如外掠平板或是外掠障碍物），则很有可能是层流运动。
③ 湍流模型的评价与选择
a. k ε-湍流模型
这里我们使用的湍流模型是Standard k ε-模型，这种模型应用较多，计算量适中，有较多数据积累和比较高的精度，对于曲率较大和压力梯度较强等复杂流动模拟效果欠佳。一般工程计算都使用该模型，其收敛性和计算精度能满足一般的工程计算要求，但模拟旋流和绕流时有缺陷。
壁面函数的选择
对于有壁面的流动，当主流为充分发展湍流时，根据离壁面法线距离不同，可将流动划分为壁面区（或称内区、近壁区）和核心区（或称外区）。
核心区是完全湍流区，为充分发展的湍流。
在壁面区，由于有壁面的影响，流动与核心区不同。壁面区可分为3个子层：粘性底层、过渡层和对数率层。
[2] 李鹏飞,徐敏义,王飞飞.精通CFD 工程仿真与案例实战：FLUENT GAMBIT ICEM CFD Tecplot[M]. 北京,人民邮电出版社,2011:122
粘性底层是一个紧贴壁面的极薄层，在动量、热量和质量的交换过程中粘性力起主要作用，而湍流切应力可以忽略，因此流动几乎可以看成层流流动，且在平行于壁面方向上的速度呈线性分布。 过渡层处于粘性底层之外，在此层中，粘性力和湍流切应力的作用相当，流动状况较为复杂，很难用公式或定律表述。实际工程计算中由于过渡层厚度极小，可不考虑此层，直接以对数率层的方法处理。 对数率层处于近壁区的最外层，粘性力的影响不明显，湍流切应力占主要地位，流动处于充分发展的湍流状态，流速分布接近对数律。 壁面区内不同子层的高度和速度可以沿壁面法向的无量纲高度和无量纲速度表达。
u u U τ+= yU y τν
+= 其中，u 是流体的时均速度，U τ是壁面摩擦速度，w U ττρ
=
，w τ是壁面切应力，y 是壁面的垂直距离。 在5y +<时，区域为粘性底层，此时速度沿壁面法线方向呈线性分布，即u y ++=。
在60300y +<<时，流动处于对数率层，此时速度沿壁面法线方向呈对数率分布，即 2.5ln 5.5u y ++=+。
壁面函数法的本质是，对于湍流核心区的流动使用k ε-模型求解，而在壁面区并不进行求解，直接使用半经验公式得出该区域的速度等物理量。
FLUENT提供了多种壁面函数处理方式，如标准壁面函数法、非平衡壁面函数法和增强壁面处理。
标准壁面函数法利用对数校正法提供了必需的壁面边界条件（对于平衡湍流边界层）。而非平衡壁面函数法用来改善高压力梯度、分离、再附和滞止等情况下的结果。标准壁面函数法和非平衡壁面函数法都允许在近避免区域上使用较粗的网格。对于大多数高雷诺数情况使用标准的或者非平衡的壁面函数（6
Re10
）。
增强壁面处理选项把混合边界模型和两层边界模型结合起来，对低雷诺数流动或者复杂近壁面现象很适合，湍流模型在内层上得到了修正。
表格 2 几种壁面处理方法的比较
优点缺点
标准壁面函数法应用较多，计算量
小，有较高的精度
适合高雷诺数流动，对低雷诺数流
动问题，有压力梯度、高度蒸腾和
大的体积力、低雷诺数和高速三维
流动问题不适合
非平衡壁面函数法考虑了压力梯度，可
以计算分离，在附着
以及撞击问题
对低雷诺数流动问题，有较强压力
梯度、强体积力及强三维性问题不
适合
增强壁面处理不依赖壁面法则，对
于复杂流动，特别是
要求网格密，因而要求计算机处理
时间长，内存大
低雷诺数流动很适
合
2．多相流模型
①VOF模型
该模型通过求解单独的动量方程和处理穿过区域的每一流体的容积比来模拟两种或三种不能混合的流体。典型的应用包括流体喷射、流体中大泡运动、流体在大坝坝口的流动、气液界面的稳态和瞬态处
理等。一般而言VOF主要适用于非稳态的多相流模型，仅对某些特定问题的多相流模型的稳态问题能够适用。
VOF方法适用于计算空气和水这样不能互相掺混的流体流动，对于分层流和活塞流，最方便的就是选择VOF模型。需要注意的是，对于湍流模型的设置，VOF不能用于无粘流，也不能用大涡模拟[3]。
Geo-Reconstruct格式
Geo-Reconstruct格式（在Solution Methods中设置）是一种较为精确的追踪自由表面的计算格式，广泛地应用于瞬变流的VOF问题中，但必须注意的要使用该格式VOF模型必须使用显示离散格式（在VOF模型设置选项设置）。
Body Force Formulation
为提高解的收敛性，对于涉及到表面张力的计算，建议在Body Force Formulation 中勾选 Implicit Body Force。这样做由于压力梯度和动量方程中表面张力的部分平衡，从而提高解的收敛性。
[3] 李进良, 李承曦, 胡仁喜. 精通FLUENT.6.3流场分析[M]. 北京, 化学工业出版社, 2009:231-236
②Mixture模型
这是一种简化的多相流模型，用于模拟各种有不同速度的多相流，但是假定了在短空间尺度上局部的平衡。相之间的耦合应当是很强的。它也用于模拟有强烈耦合的各向同性多相流和各向以相同速度运动的多相流。典型的应用包括沉降（sedimentation）、气旋分离器、低载荷作业下的多粒子流动、气相容积率很低的泡状流。
Mixture Parameters
一般需要勾选Mixture Parameters中的Slip Velocity复选框，以此来求解滑移速度模型，因为在多相流中各种组分的速度有很大不
同。对于求解一个均匀的多相流问题可以选择不做滑移速度的计算，可以在mixture parameters选项下将slip velocity关掉。
③Eulerian模型
该模型可以模拟多相分离流及相互作用的相，相可以是液体、气体、固体。与在离散相模型中Eulerian-Lagrangian方案只用于离散相不同，在多相流模型中Eulerian方案用于模型中的每一项。
3．固化与熔化模型
FLUENT 采用“焓－多孔度（enthalpy-porosity）”技术模拟流体的固化和熔化（Solidification/Melting）过程。在流体的固化和熔化问题中，流场可以分成流体区域、固体区域和两者之间的糊状区域。“焓－多孔度”技术采用的计算策略是将流体在网格单元内占有的体
积百分比定义为多孔度（porosity），并将流体和固体并存的糊状区域看作多孔介质区进行处理。在流体的固化过程中，多孔度从1 降低到0；反之，在熔化过程中，多孔度则从0 升至1。“焓－多孔度”技术通过在动量方程中添加汇项（即负的源项）模拟因固体材料存在而出现的压强降。
“焓－多孔度”技术可以模拟的问题包括纯金属或二元合金中的固化、熔化问题、连续铸造加工过程等。计算中可以计算固体材料与壁面之间因空气的存在而产生的热阻，固化、熔化过程中组元的输运等等。需要注意的是，在求解固化、熔化问题的过程中，只能采用分离算法，只能与VOF模型配合使用，不能计算可压缩流，不能单独设定固体材料和流体材料的性质，同时在模拟带反应的组元输运过程时，无法将反应区限制在流体区域，而是在全流场进行反应计算。
①Parameters定义
在Parameters 下面定义Mushy Zone Constant（糊状区域常数）。这个常数的取值范围一般在104到107之间，取值越大沉降曲线就越陡峭，固化过程的计算速度就越快，但是取值过大容易引起计算振荡，因此需要在计算中通过试算获得最佳数值。
②Materials设置
在Materials（材料）面板上，定义Melting Heat（熔化热）、Solidus Temperature（固相点温度）和Liquidus Temperature（液相点温度）。如果计算中涉及组元输运过程，则必须同时定义溶剂的融解温度（Melting Temperature），同时需要定义熔化物的液相线相对于浓度
的斜率（Slope of Liquidus Line）、分配系数（Partition Coefficient）和固体中的扩散速率（Diffusion in Solid）等参数。
③设置边界条件
除了常规的边界条件设置，对于固化和熔化问题还有一些特殊设置，其中包括：在计算壁面接触热阻时设置接触热阻（Contact Resistance）。这个参数在Wall（壁面）面板中的Thermal Conditions （热力学条件）下给定。
如果需要定义壁面上表面张力对温度的梯度，则在 Shear Condition（剪切条件）下选择Marangoni Stress（Marangoni 应力）选项。
如果计算拉出速度，则在边界条件中的速度边界条件将被用于拉出速度的计算。
三、相设置
相设置一般用于多相流的设置，对于相设置，这里主要讲一下Interaction的设置，如图：
Interaction设置
Interaction设置用来定义两相的相互作用，其有多个选项卡，如图。
Drag选项卡
针对每对物相，在下拉菜单中选择阻力函数。其中包括
schiller-naumann 模型、morsi-alexander 模型、symmetric（对称）模型等用于流体与流体之间阻力计算的模型，也包括wen-yu 模型、gidaspow 模型、syamlal-obrien 模型等用于液体与固体之间阻力计算的模型，还包括syamlal-obrien-symmetric 模型用于固体与固体之间的阻力计算。除此之外，还可以将阻力函数定义为constant（常数），或者选择user-defined（用户定义）由用户自己定义阻力函数。如果计算中不需要设定阻力，还可以选择none（不计阻力）选项。
阻力设置的相关原理比较复杂，可参考帮助，一般保持默认的schiller-naumann设置不变。
Surface Tension选项卡
Surface Tension选项卡用来定义表面张力，如果相包含壁面粘附，可勾选“Wall Adhesion”复选框。
四、Cell Zone Condition
Frame Motion选项
对于流体，可以通过Frame Motion选项确定坐标运动方式（如离心泵内部流体的旋转使用运动参考系模型），如图：
数值分析之幂法及反幂法C语言程序实例
数值分析之幂法及反幂法C 语言程序实例 1、算法设计方案： ①求1λ、501λ和s λ的值： s λ：s λ表示矩阵的按模最小特征值，为求得s λ直接对待求矩阵A 应用反幂法即可。 1λ、501λ：已知矩阵A 的特征值满足关系 1n λλ<< ，要求1λ、及501λ时，可 按如下方法求解： a ． 对矩阵A 用幂法，求得按模最大的特征值1m λ。 b ． 按平移量1m λ对矩阵A 进行原点平移得矩阵1m B A I λ=+，对矩阵B 用反幂法 求得B 的按模最小特征值2m λ。 c ． 321m m m λλλ=- 则：113min(,)m m λλλ=，13max(,)n m m λλλ=即为所求。 ②求和A 的与数5011 140 k k λλμλ-=+最接近的特征值 ik λ（k=0，1，…39）： 求矩阵A 的特征值中与k μ最接近的特征值的大小，采用原点平移的方法： 先求矩阵 B=A-k μI 对应的按模最小特征值k β，则k β+k μ即为矩阵A 与k μ最接近的特征值。 重复以上过程39次即可求得ik λ（k=0，1，…39）的值。 ③求A 的（谱范数）条件数2cond()A 和行列式det A ： 在（1）中用反幂法求矩阵A 的按模最小特征值时，要用到Doolittle 分解方法，在Doolittle 分解完成后得到的两个矩阵分别为L 和U ，则A 的行列式可由U 阵求出，即：det(A)=det(U)。 求得det(A)不为0，因此A 为非奇异的实对称矩阵，则： max 2()s cond A λλ= ，max λ和s λ分别为模最大特征值与模最小特征值。
Fluent后处理(DOC)
第四章Fluent后处理 利用FLUENT 提供的图形工具可以很方便的观察CFD 求解结果，并得到满意的数据和图形，用来定性或者定量研究整个计算。本章将重点介绍如何使用这些工具来观察您的计算结果。 1 生成基本图形 在FLUENT中能够方便的生成网格图、等值线图、剖面图,速度矢量图和迹线图等图形来观察计算结果。下面将介绍如何产生这些图形。 一、生成网格图 生成网格或轮廓线视图的步骤 (1)打开网格显示面板 菜单：Display –〉Grid... 图4-1 网格显示对话框 (2)在表面列表中选取表面。点击表面列表下的Outline 按钮来选择所有“外”表面。如果所有的外表面都已经处于选中状态，单击该按钮将使所有外表面处于未选中的状态。点击表面列表下的Interior 按钮来选择所有“内”表面。同样，如果所有的内表面都已经处于选中状态，单击该按钮将使所有内表面处于未选中的状态。 (3)根据需要显示的内容，可以选择进行下列步骤： 1)显示所选表面的轮廓线，在图4-1所示的对话框中进行如下设置：在Options 项选择Edges，在Edge Type 中选择Outline。 2)显示网格线,在Options 选择Edges，在Edge Type 中选择ALL。 3)绘制一个网格填充图形,在Options 选择Faces。显示选中面的网格节点,在Options 选择Nodes。
(4)设置网格和轮廓线显示中的其它选项。 (5)单击Display 按钮，就可以在激活的图形窗口中绘制选定的网格和轮廓线。 二、绘制等值线和轮廓图 生成等值线和轮廓的步骤： 通过图4-2 所示的等值线对话框来生成等值线和轮廓。 菜单：Display –〉Contours... 图4-2 等值线对话框 生成等值线或轮廓的基本步骤如下： (1) 在Contours Of 下拉列表框中选择一个变量或函数作为绘制的对象。首先在上面的列表中选择相关分类；然后在下面的列表中选择相关变量。 (2) 在Surfaces 列表中选择待绘制等值线或轮廓的平面。对于2D情况，如果没有选取任何面，则会在整个求解对象上绘制等值线或轮廓。对于3D情况，至少需要选择一个表面。 (3) 在Levels 编辑框中指定轮廓或等值线的数目。最大数为100。 (4) 如果需要生成一个轮廓视图，请在Option 中选中Draw Profiles 选项。在轮廓选项对话框中(如图4-3)，可以如下定义轮廓：
泰勒定理及其在数值分析中的应用
摘要 因为泰勒公式的形式简单易懂，由此，适用在很多学科。在计算机与物理等各个方面均有着极其广泛的应用，除此之外，也在数值分析、常微分方程、最优化理论这些数学分支中产生着至关重要的作用。可见，泰勒公式的用处很多，所以，更要弄清楚泰勒公式的概念和数学原理。这是数学中非常基础的东西，对学生今后的数学学习将起到非常好的作用。本论文的目的，主要是对泰勒定理在数值分析中的应用做研究，从利用泰勒公式近似计算函数值、利用泰勒公式近似计算导数值、泰勒公式在常微分方程数值求解中的应用等方面，对泰勒公式在数值分析方面的应用进行研究。泰勒公式在数值分析的各个方面都有着重要的应用，深入探讨泰勒公式的应用,对于我们解决一些复杂问题起到事半功倍的效果.只要在解题中注意分析并注重归纳总结,就能很好地运用泰勒公式.正确的应用泰勒公式使我们的证明和计算题变得简明快捷。 关键词：泰勒公式；数值分析；应用
ABSTRACT Because of the Taylor formula is very simple, so, can be applied to many subjects. In various physical and computer etc, have a very wide range of applications, in addition, also in the ordinary differential equations, numerical analysis, optimization theory, the branch of mathematics plays an extremely important role. Therefore, a lot of, Taylor formula. So, to clarify concepts and mathematical principle of Taylor formula. This is the very basis of mathematics of mathematics learning things, the students will play a very good role. The purpose of this thesis, mainly to do research on the application of Taylor theorem in numerical analysis, calculating the function value, using the Taylor formula to calculate the value of Taylor formula, the numerical solution of ordinary differential equation application, from using Taylor's formula approximation, the Taylor formula is analyzed in terms of the application in the numerical study. Taylor formula has important applications in the numerical analysis, in-depth study of the application of Taylor formula, for us to solve some complex problems play a multiplier effect. As long as the attention and focus on solving problems of the summary, will be able to use Taylor formula. Using Taylor formula to correct the proof and calculation problems we became fast and simple. Key words: Taylor formula; numerical analysis; application
fluent 介绍
想起CFD，人们总会想起FLUENT，丰富的物理模型使其应用广泛，从机翼空气流动到熔炉燃烧，从鼓泡塔到玻璃制造，从血液流动到半导体生产，从洁净室到污水处理工厂的设计，另外软件强大的模拟能力还扩展了在旋转机械，气动噪声，内燃机和多相流系统等领域的应用。今天，全球数以千计的公司得益于FLUENT的这一工程设计与分析软件，它在多物理场方面的模拟能力使其应用范围非常广泛，是目前功能最全的CFD软件。 FLUENT因其用户界面友好，算法健壮，新用户容易上手等优点一直在用户中有着良好的口碑。长期以来，功能强大的模块，易用性和专业的技术支持所有这些因素使得FLUENT成为企业选择CF D软件时的首选。 网格技术，数值技术，并行计算 计算网格是任何CFD计算的核心，它通常把计算域划分为几千甚至几百万个单元，在单元上计算并存储求解变量，FLUENT使用非结构化网格技术，这就意味着可以有各种各样的网格单元：二维的四边形和三角形单元，三维的四面体核心单元、六面体核心单元、棱柱和多面体单元。这些网格可以使用FLUENT的前处理软件GAMBIT自动生成，也可以选择在ICEM CFD工具中生成。
六面体核心网格 四边形平铺网格 在目前的CFD市场， FLUENT以其在非结构网格的基础上提供丰富物理模型而著称，久经考验的数值算法和鲁棒性极好的求解器保证了计算结果的精度，新的NITA算法大大减少了求解瞬态问题的所需时间，成熟的并行计算能力适用于NT，Linux或Unix平台，而且既适用单机的多处理器又适用网络联接的多台机器。动态加载平衡功能自动监测并分析并行性能，通过调整各处理器间的网格分配平衡各CPU的计算负载。
演讲稿数值分析应用实例.doc
非线性方程求根 问题：在相距100m的两座建筑物（高度相等的点）之间悬挂一根电缆，仅允许电缆在中间最多下垂1m，试计算所需电缆的长度。 设空中电缆的曲线（悬链线）方程为 ] , [ , ) ( 50 50 2 - ∈ + = - x e e a y a x a x （1） 由题设知曲线的最低点)) ( , (0 0y与最高点)) ( , (50 50y之间的高度差为1m，所以有 1 2 50 50 + = +- a e e a a a) ( （2） 由上述方程解出a后，电缆长度可用下式计算： ) ( ) (a a a x a x L e e a dx e e dx x y ds L 50 50 50 50 50 2 1- - - - = ? ? ? ? ? ? + = ' + = =? ? ?（3） 相关Matlab命令： 1、描绘函数] , [ , ) ( ) (1500 500 1 2 50 50 ∈ - - + = - a a e e a a y a a 的图形；
2、用fzero 命令求方程在1250=a 附近的根的近似值x ，并计算)(x y 的函数值； 3、编写二分法程序，用二分法求0=)(a y 在],[13001200内的根，误差不超过310-，并给出对分次数； 4、编写Newton 迭代法程序，并求0=)(a y 在],[13001200内的根，误差不超过310-，并给出迭代次数。 5、编写Newton 割线法程序，并求0=)(a y 在],[13001200内的根，误差不超过310-，并给出迭代次数。
线性方程组求解应用实例 问题：投入产出分析 国民经济各个部门之间存在相互依存的关系，每个部门在运转中将其他部门的产品或半成品（称为投入）经过加工变为自己的产品（称为产出），如何根据各部门间的投入产出关系，确定各部门的产出水平，以满足社会需求，是投入产出分析中研究的课题。考虑下面的例子： 设国民经济由农业、制造业和服务业三个部门构成，已知某年它们之间的投入产出关系、外部需求、初始投入等如表1所示（数字表示产值）。 表1 国民经济三个部门间的关系单位：亿元 假定总投入等于总产出，并且每个部门的产出与它的投入成正比，由上表可以确定三个部门的投入产出表：如表2所示。 表2 三个部门的投入产出表
Fluent经典问题及解答
Fluent经典问题及解答 1 对于刚接触到FLUENT新手来说，面对铺天盖地的学习资料和令人难读的FLUENT help，如何学习才能在最短的时间内入门并掌握基本学习方法呢？(#61) 2 CFD计算中涉及到的流体及流动的基本概念和术语：理想流体和粘性流体；牛顿流体和非牛顿流体；可压缩流体和不可压缩流体；层流和湍流；定常流动和非定常流动；亚音速与超音速流动；热传导和扩散等。（13楼） 3 在数值模拟过程中，离散化的目的是什么？如何对计算区域进行离散化？离散化时通常使用哪些网格？如何对控制方程进行离散？离散化常用的方法有哪些？它们有什么不同？（#80） 4 常见离散格式的性能的对比（稳定性、精度和经济性）(#62) 5 在利用有限体积法建立离散方程时，必须遵守哪几个基本原则？（#81） 6 流场数值计算的目的是什么？主要方法有哪些？其基本思路是什么？各自的适用范围是什么？(#130) 7 可压缩流动和不可压缩流动，在数值解法上各有何特点？为何不可压缩流动在求解时反而比可压缩流动有更多的困难？（#55） 8 什么叫边界条件？有何物理意义？它与初始条件有什么关系？（#56） 9 在一个物理问题的多个边界上，如何协调各边界上的不同边界条件？在边界条件的组合问题上，有什么原则？ 10 在数值计算中，偏微分方程的双曲型方程、椭圆型方程、抛物型方程有什么区别？（#143） 11 在网格生成技术中，什么叫贴体坐标系？什么叫网格独立解？（#35） 12 在GAMBIT的foreground和background中，真实体和虚实体、实操作和虚操作四个之间是什么关系？ 13 在GAMBIT中显示的“check”主要通过哪几种来判断其网格的质量？及其在做网格时大致注意到哪些细节？（#38） 14 画网格时，网格类型和网格方法如何配合使用？各种方法有什么样的应用范围及做网格时需注意的问题？(#169) 15 对于自己的模型，大多数人有这样的想法：我的模型如何来画网格？用什么样的方法最简单？这样做网格到底对不对？(#154) 16 在两个面的交界线上如果出现网格间距不同的情况时，即两块网格不连续时，怎么样克服这种情况呢？（#40） 17 依据实体在GAMBIT建模之前简化时，必须遵循哪几个原则？(#170) 18 在设置GAMBIT边界层类型时需要注意的几个问题：a、没有定义的边界线如何处理？b、计算域内的内部边界如何处理（2D）？（#128） 19 为何在划分网格后，还要指定边界类型和区域类型？常用的边界类型和区域类型有哪些？（#127） 20 何为流体区域（fluid zone）和固体区域（solid zone）？为什么要使用区域的概念？FLUENT是怎样使用区域的？(#41) 21 如何监视FLUENT的计算结果？如何判断计算是否收敛？在FLUENT中收敛准则是如何定义的？分析计算收敛性的各控制参数，并说明如何选择和设置这些参数？解决不收敛问题通常的几个解决方法是什么？（9楼） 22 什么叫松弛因子？松弛因子对计算结果有什么样的影响？它对计算的收敛情况又有什么样的影响？（7楼）
非线性方程数值解法及其应用
非线性方程数值解法及其应用 摘要:数值计算方法主要研究如何运用计算机去获得数学问题的数值解的理论和算法。 本文主要介绍非线性方程的数值解法以及它在各个领域的应用。是直接从方程出发，逐步缩小根的存在区间，或逐步将根的近似值精确化，直到满足问题对精度的要求。我将从二分法、Steffensen 加速收敛法、Newton 迭代法、弦截法来分析非线性方程的解法及应用。 关键字：非线性方程;二分法；Steffensen 加速收敛法；代数Newton 法；弦截法 一、前言 随着科技技术的飞速发展，科学计算越来越显示出其重要性。科学计算的应用之广已遍及各行各业，例如气象资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，高科技研究等都离不开科学计算。因此经常需要求非线性方程 f(x) = O 的根。方程f(x) = O 的根叫做函数f(x)的零点。由连续函数的特性知：若f(x)在闭区间[a ，b]上连续，且f(a)·f(b) Matlab 实验报告 学院：数学与信息科学学院班级：信息班 学号：20135034027 姓名：马永杉 最小二乘法，用MATLAB实现 1.数值实例 下面给定的是郑州最近1个月早晨7：00左右的天气预报所得到的温度，按照数据找出任意次曲线拟合方程和它的图像。下面用MATLAB编程对上述数据进行最小二乘拟合。 2、程序代码 x=[1:1:30]; y=[9,10,11,12,13,14,13,12,11,9,10,11,12,13,14,12,11,10,9,8,7,8,9,11,9 ,7,6,5,3,1]; a1=polyfit(x,y,3) %三次多项式拟合% a2= polyfit(x,y,9) %九次多项式拟合% a3= polyfit(x,y,15) %十五次多项式拟合% b1=polyval(a1,x) b2=polyval(a2,x) b3=polyval(a3,x) r1= sum((y-b1).^2) %三次多项式误差平方和% r2= sum((y-b2).^2) %九次次多项式误差平方和% r3= sum((y-b3).^2) %十五次多项式误差平方和% plot(x,y,'*') %用*画出x,y图像% hold on plot(x,b1, 'r') %用红色线画出x,b1图像% hold on plot(x,b2, 'g') %用绿色线画出x,b2图像% hold on plot(x,b3, 'b:o') %用蓝色o线画出x,b3图像% 2.流程图 4．数值结果分析 不同次数多项式拟合误差平方和为： r1=67.6659 r2=20.1060 r3=3.7952 r1、r2、r3分别表示三次、九次、十五次多项式误差平方和。 5、拟合曲线如下图 网格质量与那些因素有关？ 网格质量本身与具体问题的具体几何特性、流动特性及流场求解算法有关。因此，网格质量最终要由计算结果来评判，但是误差分析以及经验表明，CFD计算对计算网格有一些一般性的要求，例如光滑性、正交性、网格单元的正则性以及在流动变化剧烈的区域分布足够多的网格点等。对于复杂几何外形的网格生成，这些要求往往并不可能同时完全满足。例如，给定边界网格点分布，采用Laplace 方程生成的网格是最光滑的，但是最光滑的网格不一定满足物面边界正交性条件，其网格点分布也很有可能不能捕捉流动特征，因此，最光滑的网格不一定是最好的网格。对计算网格的一个最基本的要求当然是所有网格点的Jacobian必须为正值，即网格体积必须为正，其他一些最常用的网格质量度量参数包括扭角（skew angle）、纵横比（aspect ratio、Laplacian）、以及弧长（arc length）等。通过计算、检查这些参数，可以定性的甚至从某种程度上定量的对网格质量进行评判。Parmley等给出了更多的基于网格元素和网格节点的网格质量度量参数。有限元素法关于插值逼近误差估计的理论，实际上也对网格单元的品质给出了基本的规定：即每个单元的内切球半径与外切球半径之，应该是一个适当的，与网格疏密无关的常数。 实体与虚体的区别 在建模中，经常会遇到实体、实面与虚体、虚面，虚体的计算域也可以进行计算并得到所需的结果。那么它们的区别是什么呢？ 对于求解是没有任何区别的，只要你能在虚体或者实体上划分你需要的网格。关键是看你网格生成的质量如何，与实体虚体无关。 gambit的实体和虚体在生成网格和计算的时候对于结果没有任何影响，实体和虚体的主要区别有以下几点： 1.实体可以进行布尔运算但是虚体不能，虽然不能进行布尔运算，但是虚体存在merge，split 等功能。 2.实体运算在很多cad软件里面都有，但是虚体是gambit的一大特色，有了虚体以后，gambit 的建模和网格生成的灵活性增加了很多。 3.在网格生成的过程中，如果有几个相对比较平坦的面，你可以把它们通过merge合成一个，这样，作网格的时候，可以节省步骤，对于曲率比较大的面，可能生成的网格质量不好，这时候，你可以采取用split的方式把它划分成几个小面以提高网格质量。 在Fluent中进行非稳态（unsteady）计算时如何设置步长？ 《数值分析》课程设计 本课程设计的内容为：每个小组的同学均应完成以下五个案例； 目标：能将数值分析课程中所学的算法知识熟练应用于实际问题中。 案例1 土木工程和环境工程师在设计一条排水渠道时必须考虑渠道的各种参数（如宽度，深度，渠道内壁光滑度）及水流速度、流量、水深等物理量之间的关系。 假设修一条横断面为矩形的水渠，其宽度为B ，假定水流是定常的，也就是说水流速度不随时间而变化。 根据质量守恒定律可以得到 Q=UBH （1.1） 其中Q 是水的流量（s m /3 ），U 是流速（s m /），H 是水的深度（m ）。 在水工学中应用的有关流速的公式是 3 /23 /22/1)2()(1H B BH S n U += （1.2） 这里n 是Manning 粗糙系数，它是一个与水渠内壁材料的光滑性有关的无量纲量；S 是水渠 的斜度系数，也是一个无量纲量，它代表水渠底每米内的落差。 把（1.2）代入（1.1）就得到 3 /23 /52/1)2()(1H B BH S n U += （1.3） 为了不同的工业目的（比如说要把污染物稀释到一定的浓度以下，或者为某工厂输入一定量 的水），需要指定流量Q 和B ，求出水的深度。这样，就需要求解 0) 2()(1)(3 /23 /52/1=-+=Q H B BH S n H f （1.4） 一个具体的案例是 s m Q S n m B /5 ,0002.0 ,03.0 ,203==== 求出渠道中水的深度H 。 所涉及的知识——非线性方程解法。 案例2 在化学工程中常常研究在一个封闭系统中同时进行的两种可逆反应 C D A C B A ?+?+2 其中A ，B ，C 和D 代表不同的物质。反应达到平衡是有如下的平衡关系： d a c b a c C C C k C C C k == 22 1 , 其中2 24 1107.3 ,104--?=?=k k 称为平衡常数，),,,(d c b a n C n =代表平衡状态时该物质的浓度。假定反应开始时各种物质的浓度为： 在图的图的标题栏上右键，先在page setup中选择color，然后选copy to clipboard 就可以了，不用截图。 你可以这样子，没必要colormap一定非得在左边，是吧？如果你的模型是扁长型的话，你可以这样子：在fluent中display>options ,在option panel中的右下角，在colormap alignment 中选bottom。然后在显示的图形界面中将图放大，并将其拖到靠近colormap的地方，再继续我之前帖子中的操作就可以了。 数据可以在显示图形时调整好，然后不要关闭调整好的窗口，连续导入不同的数据进行显示就可以了..或者可以采用tecplot来进行后处理，图片会漂亮些.... File-hardcopy-调整一下即可 不用改，复制到word里背景直接就变成白色了 生成图片使用file下的hardcopy命令，有一个选项是背景色翻转，你虽然看到的是黑色，输出图片背景是白色 的。还有一种方式就是显示也希望是白色背景，使用命令display>set>colors>background 把gambit的背景变成白色 在edit的default的graphic的windows-background-color中把black修改成white,然后modify f luent中默认的图形背景颜色为黑色，这对于要发表的图形很不利，因此很多人希望背景为白色，那么可以使用如下命令：Lf ile－》hardcopy设置格式选择为jpg，color选项之后save那么图形就是希望的白色背景。我发现似乎转化成jpg之后没有运行时候显示的清晰，略微模糊一些，大家可以实验其他设置选择，以求得最好的效果zV>3}D另外可以在控制台命令行输入display/set/color回车之后就显示哪些可以设置的选择，敲进比如background之后就可以改变了，提醒一下单纯改变背景为黑色会使得legnd变成一个梯子，其数字会消失。you should change foreground from white to black .this can be done at he same dislay/set/colors> as the background.p<> 好怎么去掉FLUENT图形显示的黑色背景，一般都建议用抓图后反色背景。另外还有数据显示范围比较小，数据显示相同，色轴没有差别的情况。 本人通过摸索，发现这两个问题可以直接在FLUENT里设置。 Fluent动网格----layering个一个简单实例我这几天看了点动网格技术方面的东西，在学习过程中发现这方面的例子很少，自己也走了一些弯路。现在还好，弄明白了一些，能够应付现在我的工作。为了让更多学习者快速了解动网格，我打算尽量把我学习心得在这里和大家分享，这里给出一个layering的一个简单例子。 1.Gambit画网格 本例很简单，在Gambit里画一个10*10的矩形，网格间隔为1，也就是有100个网格，具体见下图。都学动网格的人了，不至于这个不会做！ 这里需要注意一个问题：设置边界条件的时候，一定要把要移动的边单独设定，本例中一右边界作为移动的边，设成wall就可以，这里再后面需要制定。 2.编写UDF #include "udf.h" #include "unsteady.h" #include "stdio.h" #include "stdlib.h" /************************************************************/ real current_time = 0.0 ; Domain * domain ; Thread * thread ; real NV_VEC( origin ),NV_VEC( force ),NV_VEC( moment ) ; /************************************************************/ DEFINE_CG_MOTION(throttle,dt,vel,omega,time,dtime) { current_time = CURRENT_TIME ; vel[0] = 30; Message("time=%f omega=%f\n",current_time) ; } 数值分析简述及求解应用 摘要：数值分析是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，本文主要介绍了数值分析的一些求解方法的原理和过程，并应用在电流回路和单晶硅提拉过程中的，进一步体现数值分析的实际应用。 关键字：解方程组插值法牛顿法 一、引言 随着科学技术的发展，提出了大量复杂的数值计算问题，在建立电子计算机成为数值计算的主要工具以后，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。有可靠的理论分析，要有数值实验，并对计算的结果进行误差分析。数值分析的主要内容包括插值法，函数逼近，曲线拟和，数值积分，数值微分，解线性方程组的直接方法，解线性方程组的迭代法，非线性方程求根，常微分方程的数值解法。运用数值分析解决问题的过程包括： 实际问题→数学建模→数值计算方法→程序设计→上机计算求出结果。 在自然科学研究和工程技术中有许多问题可归结为求解方程组的问题,方程组求解是科学计算中最常遇到的问题。如在应力分析、电路分析、分子结构、测量学中都会遇到解方程组问题。在很多广泛应用的数学问题的数值方法中，如三次样条、最小二乘法、微分方程边值问题的差分法与有限元法也都涉及到求解方程组。 在工程中常会遇到求解线性方程组的问题，解线性方程组的方法有直接法和迭代法，直接法就是经过有限步算术运算，可求的线性方程组精确解的方法（若计算过程没有舍入误差），但实际犹如舍入误差的存在和影响，这种方法也只能求得近似解，这类方法是解低阶稠密矩阵方程组级某些大型稀疏矩阵方程组的有效方法。直接法包括高斯消元法，矩阵三角分解法、追赶法、平方根法。迭代法就是利用某种极限过程去逐步逼近线性方程组精确解的方法。将方程组的解看作是某极限过程的极限值，且计算这一极限值的每一步是利用前一步所得结果施行相同的演算步骤而进行。迭代法具有需要计算机的存储单元少，程序设计简单，原始系数矩阵在计算过程始终不变等优点，但存在收敛性级收敛速度问题。迭代法是解大型稀疏矩阵方程组（尤其是微分方程离散后得到的大型方程组）的重要方法。迭代法包括Jacobi法SOR法、SSOR法等多种方法。非线性是实际问题中经常用到出现的并在科学和工程中的低位也越来越重要，很多线性模型都是在一定条件下由非线性简化得到的。所以往往需要非线性的研究。非线性的数值解法有牛顿法，迭代收敛的加速解法，弦解法和抛物线法等。还有很多问题都可用常微分方程的定解来描述，主要有处置问题和边值问题。常微分方程是描述连续变化的数学语言，微分方程的求解是确定满足给定方程的可微函数y(x)。下面就数值分析中常用的一些方法和实例进行阐述。 二、数值分析中的一些方法 1、插值法 许多实际问题都用y=f(x)来表示，有的函数虽然有解析式，但由于计算复杂实用不方便，为了找一个既能反映函数的特性又便于计算的函数，我们利用插值法可以得到这个简单函数，插值法包括拉格朗日插值，牛顿插值，Hermite插值等多种方法。 拉格朗日插值是n次多项式插值，其成功地用构造插值基函数的方法解决了 ======== FLUENT基础知识总结 仅仅就我接触过得谈谈对fluent的认识，并说说哪些用户适合用，哪些不适合fluent对我来说最麻烦的不在里面的设置，因为我本身解决的就是高速流动可压缩N-S方程，而且本人也是学力学的，诸如边界条件设置等概念还是非常清楚的同时我接触的流场模拟，都不会有很特别的介质，所以设置起来很简单。 对我来说，颇费周折的是gambit做图和生成网格，并不是我不会，而是gambit 对作图要求的条件很苛刻，也就是说，稍有不甚，就前功尽弃，当然对于计算流场很简单的用户，这不是问题。有时候好几天生成不了的图形，突然就搞定了，逐渐我也总结了一点经验，就是要注意一些小的拐角地方的图形，有时候做布尔运算在图形吻合的地方，容易产生一些小的面最终将导致无法在此生成网格，fluent里面的计算方法是有限体积法，而且我觉得它在计算过程中为了加快收敛速度，采取了交错网格，这样，计算精度就不会很高。同时由于非结构网格，肯定会导致计算精度的下降，所以我一贯来认为在fluent里面选取复杂的粘性模型和高精度的格式没有任何意义，除非你的网格做的非常好。 而且fluent5.5以前的版本（包括5。5），其物理模型，（比如粘性流体的几个模型)都是预先设定的，所以，对于那些做探索性或者检验新方法而进行的模拟，就不适合用。 同时gambit做网格，对于粘性流体，特别是计算湍流尺度，或者做热流计算来说其网格精度一般是不可能满足的，除非是很小的计算区域。所以，用fluent 做的比较复杂一点的流场（除了经典的几个基本流场）其计算所得热流，湍流，以及用雷诺应力模拟的粘性都不可能是准确的，这在物理上和计算方法已经给fluent判了死刑，有时候看到很多这样讨论的文章，觉得大家应该从物理和力学的本质上考虑问题。 但是，fluent往往能计算出量级差不多的结果，我曾经做了一个复杂的飞行器热流计算，高超音速流场，得到的壁面热流，居然在量级上是吻合的，但是，从计算热流需要的壁面网格精度来判断，gambit所做的网格比起壁面网格所满足的尺寸的要大了至少2个数量级，我到现在还不明白fluent是怎么搞的。 综上，我觉得，如果对付老板的一些工程项目，可以用fluent对付过去，但是如果真的做论文，或者需要发表文章，除非是做一些技术性工作，比如优化计算一般用fluent是不适合的。 我感觉fluent做力的计算是很不错的，做流场结构的计算，即使得出一些涡，也不是流场本身性质的反应，做低速流场计算，fluent的优势在于收敛速度快，但是低速流场计算，其大多数的着眼点在于对流场结构的探索，所以计算得到的 泛函分析在数值分析中 的应用 公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N] 泛函分析在数值分析中的应用 刘肖廷工程力学 一、数学概述 数学是一门从集合概念角度去研究物质世界数量关系与空间形式的基础的自 然学科。它从应用的角度可以分为基础数学与应用数学两大范畴，而基础数学 又可以划分为纯数学和基础应用数学两大范畴。其中，纯数学是建立在基础应 用数学基础上进行的单纯的数学研究。可见基础应用数学是数学学科的基础。 基础应用数学以代数学，几何学，分析学与拓扑学为基础研究物质世界的数 学关系与空间形式。分而言之，代数学主要是从集合概念角度去研究物质世界 的数量关系；几何学主要是从集合概念的角度去研究物质世界的空间形式；分 析学则主要研究集合间的映射关系及其运算；而拓扑学则包含点集拓扑，代数 拓扑，微分拓扑，辛拓普等几个分支，融合与代数学与几何学之中。 应用数学则是以基础数学的基本方法（代数，几何，分析）为基础，去探讨 物质世界不同类型的数量关系与空间形式的。它主要包括三角学，概率论，数 理统计，随机过程，积分变换，运筹学，微分方程，积分方程，模糊数学，数 值分析，数值代数，矩阵论，测度论，李群与李代数等领域。当然，我们同样 不能忽视应用数学对基础数学在理论上的支持与贡献。 由此可见，集合概念是数学的核心概念，代数、几何与分析是是数学的三大 基本方法，代数学、几何学、分析学与拓扑学是支撑数学大厦的四根最紧要的 支柱，此四者同时又是相互联系，不可分割的。这一点印证了一句名言，数学 的魅力正在于其中各个分支之间的相互联系。 泛函分析的基本内容和基本特征 （一）度量空间和赋范线性空间 1、度量空间是现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的抽 象空间。19 世纪末，德国数学家G.康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的 建立奠定了基础。20 世纪初期，法国数学家M. R. 弗雷歇发现许多分析学的 成果从更抽象的观点看来，都涉及函数间的距离关系，从而抽象出度盘空间的 d?→。若对于任何x， 概念。定义：设x 为一个集合，一个映射: X X R y，z属于x，有(1) (正定性)(x,y)0 d=。当且仅当x y d≥，且(x,y)0 =； (2) 一、基本设置 1．Double Precision的选择 启动设置如图，这里着重说说Double Precision（双精度）复选框，对于大多数情况，单精度求解器已能很好的满足精度要求，且计算量小，这里我们选择单精度。然而对于以下一些特定的问题，使用双精度求解器可能更有利[1]。 a.几何特征包含某些极端的尺度（如非常长且窄的管道），单精度求解器可能不能足够精确地表达各尺度方向的节点信息。 b.如果几何模型包含多个通过小直径管道相互连接的体，而某一个区域的压力特别大（因为用户只能设定一个总体的参考压力位置），此时，双精度求解器可能更能体现压差带来的流动（如渐缩渐扩管的无粘与可压缩流动模拟）。 c.对于某些高导热系数比或高宽纵比的网格，使用单精度求解器可能会遇到收敛性不佳或精确度不足不足的问题，此时，使用双精度求解器可能会有所帮助。 [1] 李鹏飞,徐敏义,王飞飞.精通CFD工程仿真与案例实战：FLUENT GAMBIT ICEM CFD Tecplot[M]. 北京,人民邮电出版社,2011:114-116 2．网格光顺化 用光滑和交换的方式改善网格：通过Mesh下的Smooth/Swap来实现，可用来提高网格质量，一般用于三角形或四边形网格，不过质量提高的效果一般般，影响较小，网格质量的提高主要还是在网格生成软件里面实现，所以这里不再用光滑和交换的方式改善网格，其原理可参考《FLUENT全攻略》（已下载）。 3．Pressure-based与Density-based 求解器设置如图。下面说一说Pressure-based和Density-based 的区别： Pressure-Based Solver是Fluent的优势，它是基于压力法的求解器，使用的是压力修正算法，求解的控制方程是标量形式的，擅长求解不可压缩流动，对于可压流动也可以求解；Fluent 6.3以前的版本求解器，只有Segregated Solver和Coupled Solver，其实也是Pressure-Based Solver的两种处理方法； 数值计算 插值 假设需要得到x 坐标每改变0.1 时的y 坐标, 用三次插值方法对机翼断面下缘轮廓线上的部分数据加细, 并作出插值函数的图形. 程序: clear, close all x=[0,3,5,7,9,11,12,13,14,15]; y=[0,1.2,1.7,2.0,2.1,2.0,1.8,1.2,1.0,1.6]; plot(x,y); xi=0:0.1:15; yi_cubic=interp1(x,y,xi,'cubic'); plot(x,y,'ro',xi,yi_cubic); pp=csape(x,y,'second'); v=ppval(pp,xi); v; T=(ppval(pp,0.1)-ppval(pp,0))/0.1; angle=atan(T)*180/pi; s=v(130:151); ss=min(s); 图形: 最小二乘拟合 已知空气温度与动力粘度关系如下，进行最小二乘拟合 0℃170.8×10^-4mPa.s 40℃190.4×10^-4mPa.s 74 ℃210.2×10^-4mPa.s 229 ℃263.8×10^-4mPa.s 334℃312.3×10^-4mPa.s 409℃341.3×10^-4mPa.s 481℃358.3×10^-4mPa.s 565℃375.0×10^-4mPa.s 638℃401.4×10^-4mPa.s 750 ℃426.3×10^-4mPa.s 810 ℃441.9×10^-4mPa.s 程序： >> x=[0 40 74 229 334 409 481 565 638 750 810]; >> y=[170.8 190.4 210.2 263.8 312.3 341.3 358.3 375.0 401.4 426.3 441.9]; >> p=polyfit(x,y,2) p = -0.0002 0.4652 172.5460 >> xi=[0:2:810]; >> yi=polyval(p,xi); >> plot(x,y,'ko-',xi,yi,'k--') 解线性方程组的直接法 GAMBIT使用说明 GAMBIT是使用FLUENT进行计算的第一个步骤。在GAMBIT 中我们将完成对计算模型的基本定义和初始化，并输出初始化结果供FLUENT的计算需要。以下是使用GAMBIT的基本步骤。 1．1定义模型的基本几何形状 如左图所示的按钮就是用于构造模型的基本几何形状的。当按下这个按钮时，将出现 如下5个按钮，它们分别是用以定义点、线、面、体的几何形状的。 值得注意的是我们定义这些基本的几何元素的一般是依照以下的顺序： 点——线（两点确定一线）——面（3线以上确定一面）——体（3面以上确定体）对各种几何元素的操作基本方式是：首先选中所要进行的操作，再定义完成操作所要的其他元素，作后点“APPL Y”按钮完成操作。以下不一一重复。 下面我们分别介绍各个几何元素的确定方法： 1．1．1点的操作 对点的操作在按下点操作按钮后进行（其他几何元素的操作也是这样）。点有以下几种主要操作 定义点的位置按钮，按下后出现下面对话框 Coordinate Sys.：用以选择已有坐标系中进行当前操 作的坐标系 Type：可以选择3种相对坐标系为当前坐标系：笛卡 儿坐标、柱坐标、球坐标。 以下通过在Global 中直接输入点的x、y、z值定义点， 注意这里的坐标值是绝对坐标值，而Local中输入的是相 对坐标值，一般我们使用绝对坐标值。 Label:为所定义的点命名。 在完成以上定义后就可以通过进行这个点 的定义，同时屏幕左半部的绘图区中将出现被定义的点。 用关闭此对话框。 查看所有点的几何参数按钮（在以后的操作中也可以查看其他元素的几何参数） 在Vertices栏中选择被查询的点，有两种选择方式（其他几 何元素的选择与此类似）： ①按住shift键的同时用鼠标左键取点 题目：论数值分析在数学建模中的应用 学院: 机械自动化学院 专业: 机械设计及理论 学号: 学生姓名: 日期: 2011年12月5日 论数值分析在数学建模中的应用 摘要 为了满足科技发展对科学研究和工程技术人员用数学理论解决实际的能力的要求，讨论了数值分析在数学建模中的应用。数值分析不仅应用模型求解的过程中，它对模型的建立也具有较强的指导性。研究数值分析中插值拟合，解线性方程组，数值积分等方法在模型建立、求解以及误差分析中的应用，使数值分析作为一种工具更好的解决实际问题。 关键词 数值分析；数学建模；线性方程组；微分方程 the Application of Numerical Analysis in Methmetical Modeling Han Y u-tao 1 Bai Y ang 2 Tian Lu 2 Liu De-zheng 2 （1 College of Science ，Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134 2 College of Science ，Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134) Abstract In order to meet the technological scientific researchers who use mathematical theory to solve practical problems, the use of numerical analysis in mathematical modeling is discussed.Numerical analysis not only solve the model,but also relatively guide the model.Research on some numerical methods in numerical analysis which usually used in mathmetical modeling and error analysis will be a better way to solve practical problems. Key Words Numerical Analysis ；Mathematical Modeling; Linear Equations ；differential equation 1. 引言 数值分析主要介绍现代科学计算中常用的数值计算方法及其基本原理，研究并解决数值问题的近似解，是数学理论与计算机和实际问题的有机结合[1]。随着科学技术的迅速发展，运用数学方法解决科学研究和工程技术领域中的实际问题，已经得到普遍重视。数学建模是数值分析联系实际的桥梁。在数学建模过程中，无论是模型的建立还是模型的求解都要用到数值分析课程中所涉及的算法,如插值方法、最小二乘法、拟合法等，那么如何在数学建模中正确的应用数值分析内容，就成了解决实际问题的关键。 2. 数值分析在模型建立中的应用 在实际中，许多问题所研究的变量都是离散的形式，所建立的模型也是离散的。例如，对经济进行动态的分析时，一般总是根据一些计划的周期期末的指标值判断某经济计划执行的如何。有些实际问题即可建立连续模型，也可建立离散模型，但在研究中，并不能时时刻刻统计它，而是在某些特定时刻获得统计数据。例如，人口普查统计是一个时段的人口增长量，通过这个时段人口数量变化规律建立离散模型来预测未来人口。另一方面，对常见的微分方程、积分方程为了求解，往往需要将连续模型转化成离散模型。将连续模型转化成离散模型，最常用的方法就是建立差分方程。 以非负整数k 表示时间，记k x 为变量x 在时刻k 的取值，则称k k k x x x -=?+1为k x 的一阶差分，称k k k k k x x x x x +-=??=?++1222)(为k x 的二阶差分。类似课求出k x 的n 阶差分k n x ?。由k ，k x ，及k x 的差分给出的方程称为差分方程[2]。例如在研究节食与运动模型时，发现人们往往采取节食与运动方式消耗体内存储的脂肪，引起体重下降，达到减肥目的。通常制定减肥计划以周为时间单位比较方便，所以采用差分方程模型进行讨论。记第k 周末体重为)(k w ，第k 周吸收热量为)(k c ，热量转换系数α，代谢消耗系数β，在不考虑运动情况下体重变化的模型数值分析在生活中的应用举例及Matlab实现
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