弹性力学简明教程(第四版)-习题解答

【2-9】【解答】图2-17：

上（y =0）

左(x =0) 右（x =b ）

l

-1 1 m

-1

() x f s

()

1g y h ρ+

()

1g y h ρ-+

() y

f

s

1gh ρ

代入公式（2-15）得

①在主要边界上x=0，x=b 上精确满足应力边界条件：

()()100(),0;===-+=x xy x x g y h σρτ()()1b b (),0;

===-+=x xy x x g y h σρτ

②在小边界0y =上，能精确满足下列应力边界条件：()

()

,0y xy y y gh σρτ===-=

③在小边界2y h =上，能精确满足下列位移边界条件：()()2

2

0,0

====y h

y h u v

这两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板

厚=1δ时，可求得固定端约束反力分别为：

10,,0s N F F gh b M ρ==-=

由于2y h =为正面，故应力分量与面力分量同号，则有：

()()()22210000

0b y y h b

y y h b

xy y h dx gh b

xdx dx σρστ===?=-???=???=??

??? ⑵图2-18

①上下主要边界y=-h/2，y=h/2上，应精确满足公式（2-15）

l

m

x f (s)

y f (s)

2h y =-

0 -1 0 q

2

h y =

1

-1q

-/2()y y h q σ==-，-/2()0yx y h τ==，/2()0y y h σ==，/21()yx y h q τ==-

②在x =0的小边界上，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件：负面上应力

与面力符号相反，有/20/2/2

0/2/20/2()()()h xy x S

h h x x N h h x x h dx F

dx F ydx M τσσ=-=-=-?=-??=-???=-?

???

③在x=l 的小边界上，可应用位移边界条件0,0====l x l x v u 这两个位移边界条件也可改用三个积分的应力边界条件来代替。

首先，求固定端约束反力，按面力正方向假设画反力，如图所示，列平衡方程求反力：

110,x

N N

N N F F F q l F q l F ''=+=?=-∑ 0,0y

S S S S F

F F ql F ql F ''=++=?=--∑

2

211110,'02222A S S q lh ql M M M F l ql q lh M M F l =+++-=?=---∑

由于x=l 为正面，应力分量与面力分量同号，故

/21/22/2

1/2/2/2

()()22()h x x l N N

h h x x l S h h xy x l S S

h dy F q l F

q lh ql ydy M M F l dy F ql F

σστ=-=-=-?'==-???'==---??

?'==--????? 【2-10】【解答】由于h

l ，OA 为小边界，故其上可用圣维南原理，写出三个积分的

应力边界条件：

(a)上端面OA 面上面力q b

x f f y x =

=,0 由于OA 面为负面，故应力主矢、主矩与面力主矢、主矩符号相反，有

()()()0

00020000002

2120b

b b y y y b b b y y y b

yx y x qb dx f dx qdx b x b qb xdx f xdx q x dx b dx σστ===?=-=-=-??

???=-=-=

? ????

?=??

???????(对OA 中点取矩) (ｂ)应用圣维南原理，负面上的应力主矢和主矩与面力主矢和主矩符号相反，面力主矢y 向为正，主矩为负，则

()()()0020

0002120b

y N y b

y y b xy y qb dx F qb xdx M dx σστ===?=-=-??

?=-=??

?=??

???

M

'

综上所述，在小边界OA 上，两个问题的三个积分的应力边界条件相同，故这两个问题是静力等效的。

【2-14】【解答】在单连体中检验应力分量是否是图示问题的解答，必须满足：（1）平衡微分方程（2-2）；（2）用应力表示的相容方程（2-21）；（3）应力边界条件（2-15）。

（1）将应力分量代入平衡微分方程式，且0==x y f f

0??+=??yx x x y τσ 0??+=??y xy

y x

στ 显然满足 （2）将应力分量代入用应力表示的相容方程式（2-21），有

等式左=()2222x y x y σσ????++ ?????

=220≠q

b =右

应力分量不满足相容方程。

因此，该组应力分量不是图示问题的解答。 【解答】（1）推导公式

在分布荷载作用下，梁发生弯曲形变，梁横截面是宽度为1，高为h 的矩形，其对中性

轴（Z 轴）的惯性矩3

12=h I ，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程和剪力方程

()2

3(),62=-=-q qx M x x F x l l

。所以截面内任意点的正应力和切应力分别为：

()332==-x M x x y y q I lh

σ ()()

2222233431.424??=-=-- ???s xy F x y q x h y bh h lh τ。

根据平衡微分方程第二式（体力不计）。

0??+=??y

xy

y x στ得： 3

33.22=-+y q xy xy q A lh lh

σ 根据边界条件

()

/2

0==y

y h σ得 q .2=-x A l

故333.2.22=--y q xy xy q x

q lh lh l σ

将应力分量代入平衡微分方程（2-2）

第一式：

22336.60x y x y

q q lh lh

=-+==左右 满足

第二式 自然满足

将应力分量代入相容方程（2-23）

()22223312.12.0????=++=--≠= ?????

左右x y xy xy

q q x y lh lh σσ

应力分量不满足相容方程。故，该分量组分量不是图示问题的解答。

【2-18】【解答】（1）矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程()M x Fx =-，横截面对中性轴的惯性矩为

3/12z I h =，根据材料力学公式

弯应力3()12x z M x F

y xy I h

σ=

=-；该截面上的剪力为()s F x F =-，剪应力为 ()*2233()/262241/12s xy z F x S F h h y F h y b y y bI h h τ??--????==?-??+=-- ? ??????????

取挤压应力0y σ=（2）将应力分量代入平衡微分方程检验 第一式：23

12120F F

y y h h =-

+==左右 第二式：左=0+0=0=右 该应力分量满足平衡微分方程。

（3）将应力分量代入应力表示的相容方程

2()0x y σσ=?+==左右 满足相容方程

（4）考察边界条件

①在主要边界/2y h =±上，应精确满足应力边界条件(2-15)

l

m

x f

y

f

2h y =-上

0 -1 0 0 2h y =上

1

代入公式（2-15），得

()

()

()

()

-/2

/2

/2

/2

0,0;0,0

y

xy y yx y h y h y h y h στστ==-======

②在次要边界x=0上，列出三个积分的应力边界条件，代入应力分量主矢主矩

/20/2/2

0/22

/2/22

03/2/2()0()06()()4h x x h h x x h h h xy x h h dy x ydy F h dy y dy F y h σστ=-=-=--??==??==?????=--=-=??????

????向面力主矢面力主矩向面力主矢

满足应力边界条件

③在次要边界上，首先求出固定边面力约束反力，按正方向假设，即面力的主矢、主矩，0,,N S F F F M Fl ==-=-

其次，将应力分量代入应力主矢、主矩表达式，判断是否与面力主矢与主矩等效：

/2

/2

3

/2

/212()0h h x x l N

h h F

dy lydy F h σ=--=-==?

?

M

/2

/2

2

3

/2

/212()h h x x l h h F ydy ly dy Fl M

h σ=--=-=-=?

?

2/2

/2

23/2/26()4h h xy x l S h h F h dy y dy F F h τ=--??=--=-= ???

??

满足应力边界条件，因此，它们是该问题的正确解答。 【3-4】【解答】⑴相容条件:

不论系数a 取何值，应力函数3

ay Φ=总能满足应力函数表示的相容方程，式(2-25). ⑵求应力分量

当体力不计时，将应力函数Φ代入公式(2-24)，得

6,0,0x y xy yx ay σσττ====

⑶考察边界条件

上下边界上应力分量均为零，故上下边界上无面力. 左右边界上；

当a>0时，考察x σ分布情况，注意到0xy τ=，故y 向无面力 左端:0()6x x x f ay σ=== ()0y h ≤≤ ()

0y xy x f τ==

=

右端:()6x x x l f ay σ=== (0)y h ≤≤ ()0y xy x l f τ=== 应力分布如图所示，当l

h 时应用圣维南原理可以将分布的面力，等效为主矢，主矩

主矢的中心在矩下边界位置。即本题情况下，可解决各种偏心拉伸问题。 偏心距e ：

因为在A 点的应力为零。设板宽为b ，集中荷载p 的偏心距e ：

2()0/6/6

x A p pe

e h bh bh σ=

-=?= 同理可知，当a <0时，可以解决偏心压缩问题。

【3-5】【解答】（1）由应力函数2

ax y Φ=，得应力分量表达式

0,2,2x y xy yx ay ax σσττ====-考察边界条件，由公式（2-15）()()()()

x yx s x y xy s y l m f s m l f s στστ?+=??+=??

①主要边界，上边界2

h y =-上，面力为()22=-=x h

f y ax ()2y h f y ah =-=

②主要边界，下边界2h y =，面力为()2,2

x h

f y ax ==- ()2y h f y ah ==

③次要边界，左边界x=0上，面力的主矢，主矩为 x 向主矢：/2

0/2

()0h x x x h F dy σ=-=-

=?

，y 向主矢：/2

0/2

()0h y xy x h F dy τ=-=-=?

A