沪科版数学 九年级下册 -圆 讲义

圆

考点1：圆以及与圆有关的概念

考点2：圆的性质定理垂径定理

圆周角定理

切线长定理

三角形的内切圆和外接圆

圆的内接多边形定理

圆

相离

考点3：与圆有关的位置关系外切

相交

内切

内含

考点4：与圆有关的计算弧长，扇形面积的计算

圆柱，圆锥相关计算

考点一：圆以及与圆有关的概念

【笔记】知识点一圆的定义

（1）在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点叫圆心，线段叫做半径；

（2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。

知识点二与圆有关的概念

（1）半径：圆心到圆周的距离；直径：经过圆心的弦叫做直径。直径是半径的2倍。（2）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。弦心距：从圆心到弦的距离叫圆心距。

（3）弧：圆上任意两点间的部分叫弧。

优弧：大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。

半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧．都叫做半圆。

等弧

．．：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。（在大小不等的两个圆中，不存在等弧。

（4）圆周角：顶点在圆周上，两条边都与圆相交的角。

（5）圆心角：顶点在圆心上，以半径为两条边的角。

（6）切线：直线和圆有唯一公共点时，这条直线是圆的切线。在经过圆外一点的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

（7）弓形：由弦及其所对的弧

．．．．．．组成的图形叫做弓形。（一弦对两弧）

（8）同心圆：圆心相同，半径不相等

．．．．．的两个圆叫做同心圆。

【例1】下列判断中正确的是( )

A. 长度相等的弧是等弧

B. 平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧

C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧

D. 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦

【答案】C

【例2】下列说法中：(1)圆心角相等，所对的弦相等。(2)过圆心的线段是直径。(3)长度相等的弧是等弧。(4)弧是半圆。(5)三点确定一个圆。(6)平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。(7)弦的垂直平分线必经过圆心正确的个数有( )

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

【答案】A

【例3】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，

CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD的度数为()

A. 10°

B. 15°

C. 20°

D. 25°

【答案】A

考点二：圆的性质定理

【笔记】1.垂径定理

概念：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

推论1：①平分弦（非直径

．．．）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；③平

分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一

条弧。

推论2：圆的两条平行线所加的弧相等。

【例1】（2016.湖北黄石）如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长

度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON=()

A. 5

B. 7

C. 9

D. 11

【答案】A

【例2】（2015.贵州安顺）如图，⊙O的直径AB垂直于

弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为()

A. 2√2

B. 4

C. 4√2

D. 8

【答案】C

【例3】（2017湖北黄冈）已知：如图，在⊙O中，OA⊥BC，

∠AOB=70°，则∠ADC的度数为()

A. 30°

B. 35°

C. 45°

D. 70°

【答案】B

2.圆周角定理

概念：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°所对的圆周角所对的弦是直径。

推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

【例1】如图，⊙O的半径为5，AB为弦，点C为AB?的中点，若

∠ABC=30°，则弦AB的长为()

A. 1

2

B. 5

C. 5√3

2

D. 5√3

【答案】D

【例2】如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，AD?=CD?.

若∠CAB=40°，则∠CAD=______．

【答案】25°

3.切线的判定方法和性质

切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。

切线长定理

概念：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分这两条切线的夹角。

【例1】（2016.四川绵阳）如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心，经过A，C两点且与BC边交于点E，点D为CE的下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，若AB=BF．

(1)求证：AB是⊙O的切线；

(2)若CF=4，DF=√10，求⊙O的半径r及sinB．

【答案】(1)证明：连接OA、OD，如图，

∵点D为CE的下半圆弧的中点，

∴OD⊥BC，

∴∠EOD=90°，

∵AB=BF，OA=OD，

∴∠BAF=∠BFA，∠OAD=∠D，

而∠BFA=∠OFD，

∴∠OAD+∠BAF=∠D+∠BFA=90°，即∠OAB=90°，

∴OA⊥AB，

∴AB是⊙O切线；

(2)解：OF=CF?OC=4?r，OD=r，DF=√10，

在Rt△DOF中，OD2+OF2=DF2，即r2+(4?r)2=

(√10)2，

解得r1=3，r2=1(舍去)；

∴半径r=3，

∴OA=3，OF=CF?OC=4?3=1，BO=BF+FO=AB+1．

在Rt△AOB中，AB2+OA2=OB2，

∴AB2+32=(AB+1)2，

∴AB=4，OB=5，

∴sinB=OA

OB =3

5

．

【例2】（2017.四川宜宾）如图，AB为⊙O直径，C为⊙O上一点，点D是BC?的中点，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．

(1)判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

(2)若OF=4，求AC的长度．

【答案】解：(1)DE与⊙O相切．

证明：连接OD、AD，

∵点D是BC?的中点，

∴BD?=CD?，

∴∠DAO=∠DAC，

∵OA=OD，

∴∠DAO=∠ODA，

∴∠DAC=∠ODA，

∴OD//AE，

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴DE与⊙O相切．

(2)解法1：连接BC交OD于H，延长DF交⊙O于G，

由垂径定理可得：OH⊥BC，BG?=BD?=DC?，

∴DG?=BC?，

∴DG=BC，

∴弦心距OH=OF=4，

∵AB是直径，

∴BC⊥AC，

又∵OH//AC，

∴OH是△ABC的中位线，

∴AC=2OH=8．

解法2：如图，过O作OM⊥AC于M，则四边形DOME是矩形，

∴∠DOM=90°，

又∵DF⊥AB，

∴∠FDO+∠FOD=∠MOA+∠FOD=90°，

∴∠FDO=∠MOA，

在△FDO和△MOA中，

{∠DFO=∠OMA=90°∠FDO=∠MOA

DO=OA

，

∴△FDO≌△MOA(AAS)，

∴AM=OF=4，

又∵OM⊥AC，

∴AC=2AM=8．

4.三角形的内切圆与外接圆

外心：三角形外接圆的圆心，是三边垂直平分线的交点，他到三角形三个顶点的距离相等。

内心：三角形内切圆的圆心，是三条角平分线的交点，它到三边的距离相等。

【例1】（2017.广西钦州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧BC?的长等于()

A. 2π

3

B. π

3

C. 2√3π

3

D. √3π

3

【答案】A

【解答】

解：如图，连接OB、OC，

∵∠BAC=30°，

∴∠BOC=2∠BAC=60°，

又OB=OC，

∴△OBC是等边三角形，

∴BC=OB=OC=2，

∴劣弧BC?的长为：60π×2

180=2π

3

．

故选A．

【例2】（2017.江苏扬州）如图，在△ABC中，∠A=66°，点I是

内心，则∠BIC的大小为()

A. 114°

B. 122°

C. 123°

D. 132°

【答案】C

【例3】（2017.四川眉山）如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，连接

AO，若∠B=40°，则∠OAC=______°.

【答案】50

【解析】解：连接CO，

∵∠B=40°，

∴∠AOC=2∠B=80°，

∴∠OAC=(180°?80°)÷2=50°．

故答案为：50

【例4】（2017.山东滨州）如图，点I是△ABC的内心，BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，∠ADF的平分线交AF于点G．

(1)求证：DG//CA；

(2)求证：AD=ID；

(3)若DE=4，BE=5，求BI的长．

【答案】(1)证明：∵点I是△ABC的内心，

∴∠2=∠7，

∵DG平分∠ADF，

∠ADF，

∴∠1=1

2

∵∠ADF=∠ABC，

∴∠1=∠2，

∵∠3=∠2，

∴∠1=∠3，

∴DG//AC；

(2)证明：∵点I是△ABC的内心，

∴∠5=∠6，

∵∠4=∠7+∠5=∠3+∠6，

即∠4=∠DAI，

∴DA=DI；

(3)解：∵∠3=∠7，∠ADE=∠BAD，

∴△DAE∽△DBA，

∴AD：DB=DE：DA，即AD：9=4：AD，

∴AD=6，

∴DI=6，∴BI=BD?DI=9?6=3

【例5】（2019.湖北孝感）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．

(1)求证：AC是⊙O的切线；

(2)过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；

(3)若CD=1，EH=3，求BF及AF长．

【答案】证明：(1)如图，连接OE．

∵BE⊥EF，

∴∠BEF=90°，

∴BF是圆O的直径．

∵BE平分∠ABC，

∴∠CBE=∠OBE，

∵OB=OE，

∴∠OBE=∠OEB，

∴∠OEB=∠CBE，

∴OE//BC，

∴∠AEO=∠C=90°，

∴AC是⊙O的切线；

(2)如图，连结DE．

∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，∴EC=EH．

∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠HFE．

在△CDE与△HFE中，

{∠CDE=∠HFE

∠C=∠EHF=90°EC=EH

，

∴△CDE≌△HFE(AAS)，

∴CD=HF．

(3)由(2)得CD=HF，又CD=1，

∴HF=1，

在Rt△HFE中，EF=√32+12=√10，∵EF⊥BE，

∴∠BEF=90°，

∴∠EHF=∠BEF=90°，

∵∠EFH=∠BFE，

∴△EHF∽△BEF，

∴EF

BF =HF

EF

，即√10

BF

=

√10

，

∴BF=10，

∴OE=1

2

BF=5，OH=5?1=4，

∴Rt△OHE中，cos∠EOA=4

5

，

∴Rt△EOA中，cos∠EOA=OE

OA =4

5

，

∴5

OA =4

5

，

∴OA=25

4

，

∴AF=25

4?5=5

4

．

5.圆内接四边形性质定理

概念：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。

【例1】（2017.山东泰安）如图，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC=55°，则∠ACD等于()

A. 20°

B. 35°

C. 40°

D. 55°

【答案】A

【解析】解：∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，

∴∠ADC+∠ABC=180°，∠ACB=90°，

∴∠ADC=180°?∠ABC=125°，∠BAC=90°?∠ABC=35°，

∵过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，

∴∠MCA=∠ABC=55°，∠AMC=90°，

∵∠ADC=∠AMC+∠DCM，

∴∠DCM=∠ADC?∠AMC=35°，

∴∠ACD=∠MCA?∠DCM=55°?35°=20°；

故选：A．

【例2】（2017.山东潍坊）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边

形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，

∠GBC=50°，则∠DBC的度数为()

A. 50°

B. 60°

C. 80°

D. 90°

【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了四点共圆的性质：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角，还考查了垂径定理的应用，属于基础题，根据四点共圆的性质得：∠GBC =∠ADC =50°，由垂径定理得：CM ?=DM ?，则∠DBC =2∠EAD =80°． 【解答】

解：如图，∵A 、B 、D 、C 四点共圆， ∴∠GBC =∠ADC =50°， ∵AE ⊥CD ， ∴∠AED =90°，

∴∠EAD =90°?50°=40°， 延长AE 交⊙O 于点M ， ∵AO ⊥CD ， ∴CM

?=DM ?， ∴∠DBC =2∠EAD =80°． 故选C

【例3】（2017.湖北荆州）如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，且四边

形OABC 是菱形．若点D 是圆上异于A 、B 、C 的另一点，则∠ADC 的度数是______．

【答案】60°或120° 【解析】【分析】

本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键． 连接OB ，则AB =OA =OB 故可得出△AOB 是等边三角形，所以∠ADC =60°，∠AD′C =120°，据此可得出结论． 【解答】 解：连接OB ，

∵四边形OABC 是菱形， ∴AB =OA =OB =BC ，

∴△AOB是等边三角形，

∴∠ADC=60°，∠AD′C=120°．

故答案为60°或120°．

【过关检测】

1.（2018.山东青岛）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别

切圆O于A，B两点，若PA=3，则PB=()

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

【答案】B

2.（2017.山东日照）如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BOD=∠BCD，则BD?的长为()

A. π

π

B. 3

2

C. 2π

D. 3π

【答案】C

【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠BCD+∠A=180°，

∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠BCD，

∴2∠A+∠A=180°，

解得：∠A=60°，

∴∠BOD=120°，

=2π；

∴BD?的长=120π×3

180

故选：C

3.（2017.四川宜宾）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A=40度，∠C=20

度，则∠B=______度．

【答案】60

【解析】解：如图，连接OA，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠C=20°，

∴∠OAB=60°，

∵OA=OB，

∴∠B=∠OAB=60°，

故答案为：60

4.（2019.杭州）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知

CD=6，EB=1，则⊙O的半径为___5___．

4.（2017.湖北咸宁）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点E在对角线AC上，EC=BC= DC．

(1)若∠CBD=39°，求∠BAD的度数；

(2)求证：∠1=∠2．

5.（2014.安徽省中考数学）如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直，垂足为E，以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F，D是CF延长线与⊙O的交点．若OE=4，OF=6，求⊙O的半径和CD的长．

6.（2015.浙江台州）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O是

AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E．

(1)若AC=5，BC=13，求⊙O的半径；

(2)过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF，若∠F=2∠B，求证：四

边形ACEF是菱形．

【答案】(1)解：连接OE，设圆O半

径为r，在Rt△ABC中，BC= 13，AC=5，根据勾股定理得：AB=√BC2?AC2=12，∵BC与圆O相切，∴OE⊥BC，∴∠OEB=∠BAC= 90°，∵∠B=∠B，

∴OE

AC =BO

BC

，即r

5

=

∴△BOE∽△BCA，

12?r

13

，

解得：r=10

3

；

(2)∵AE?=AE?，∠F=2∠B，

∴∠AOE=2∠F=4∠B，

∵∠AOE=∠OEB+∠B，

∴∠B=30°，∠F=60°，

∵EF⊥AD，

∴∠EMB=∠CAB=90°，

∴∠MEB=∠F=60°，CA//EF，∴CB//AF，

∴四边形ACEF为平行四边形，∵∠CAB=90°，OA为半径，

∴CA为圆O的切线，

∵BC为圆O的切线，

∴CA=CE，

∴平行四边形ACEF为菱形

7.（2016.云南曲靖）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AD平分∠CAE交⊙O于点D，且AE⊥CD，垂足为点E．

(1)求证：直线CE是⊙O的切线．

(2)若BC=3，CD=3√2，求弦AD的长．

答案】(1)证明：连接OD，如图，

∵AD平分∠EAC，

∴∠1=∠3，

∵OA=OD，

∴∠1=∠2，

∴∠3=∠2，

∴OD//AE，

∵AE⊥DC，

∴OD⊥CE，

∴CE是⊙O的切线；

(2)连接BD．

∵∠CDO=∠ADB=90°，

∴∠2=∠CDB=∠1，∵∠C=∠C，

∴△CDB∽△CAD，

∴CD

CA =CB

CD

=BD

AD

，

∴CD2=CB?CA，∴(3√2)2=3CA，

∴CA=6，

∴AB=CA?BC=3，BD

AD =3√2

6

=√2

2

，设BD=√2K，AD=2K，

在Rt△ADB中，2k2+4k2=9，

∴k=√6

2

，

∴AD=√6．

考点三：与圆有关的位置关系

【笔记】知识点一点与圆的位置关系

知识点二直线与圆的位置关系

判定直线与圆位置关系的方法：（1）交点法

（2）距离法

（3）垂直半径法知识点三圆与圆的位置关系

1.两圆相切的重要性质：如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。

2.两圆相交的重要性质定理：相交两圆的连心线垂直平

分两圆的公共弦。 如图，

2

2

11O D O A AD =- 2

2

22O D O A AD =-

3,同心圆：圆心相同，半径不同的圆。

4.两圆的公切线：和两圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。长度叫做公切线长。

【例1】在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =3cm ，AC =4cm ，以点C 为圆心，以2.5cm 为半径画圆，则⊙C 与直线AB 的位置关系是( )

A. 相交

B. 相切

C. 相离

D. 不能确定

【答案】A

【例2】已知两圆半径分别为6.5cm 和3cm ，圆心距为3.5cm ，则两圆的位置关系是( )

A. 相交

B. 外切

C. 内切

D. 内含

【答案】C

【例3】如图，在△ABC 中，∠C =90°，点O 在AC 上，以OA 为半径的⊙O 交AB 于点D ，BD 的垂直平分线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接DE ．

(1)判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若AC =6，BC =8，OA =2，求线段DE 的长． 【答案】解：(1)直线DE 与⊙O 相切，理由如下： 连接OD ， ∵OD =OA ， ∴∠A =∠ODA ，

∵EF 是BD 的垂直平分线， ∴EB =ED ，

D

B

A

O1O2

∴∠B=∠EDB，

∵∠C=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∴∠ODA+∠EDB=90°，

∴∠ODE=180°?90°=90°，

∴直线DE与⊙O相切；

(2)连接OE，

设DE=x，则EB=ED=x，CE=8?x，

∵∠C=∠ODE=90°，

∴OC2+CE2=OE2=OD2+DE2，

∴42+(8?x)2=22+x2，

解得：x=4.75，

则DE=4.75．

【例3】如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线

于点F．

(1)判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)如果AB=5，BC=6，求DE的长．

【答案】解：(1)相切，理由如下：

连接AD，OD，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°．

∴AD⊥BC．

∵AB=AC，

BC．

∴CD=BD=1

2

∵OA=OB，

∴OD//AC．

∴∠ODE=∠CED．

∵DE⊥AC，

∴∠ODE=∠CED=90°．

∴OD⊥DE．

∴DE与⊙O相切．