知识讲解 动量守恒定律提高

物理总复习：动量守恒定律

编稿：李传安审稿：张金虎

【考纲要求】

1、知道动量守恒定律的内容和适用条件；

2、知道弹性碰撞和非弹性碰撞；

3、能用动量守恒定律定量分析一维碰撞问题；

4、知道验证动量守恒定律实验的原理、方法。

【知识络】

【考点梳理】考点一、动量守恒定律动量守恒定律1、相互作用的一个系统不受外力或者所受外力之和为零，这个系统的总动量保持不变。内力指研究系统内物体间的相互外力指系统外物体对系统内物体的作用力，1）要点诠释：（动量可能不再守恒。划分系统的方法一旦改变，）动量守恒是对某一系统而言的，作用力。（2一定要弄清研究对象，把过程始末的动量表达式写准确。在在应用动量守恒定律时，因此，某些问题中，适当选取系统使问题大大简化。3）对几种表达式的理解：（??vvm?mmv?v?m①，表示作用前后系统的总动量相等。211222110???P?P0??P表示相互作用物体系总动量增量为零。(或②) , 21P?P???，表示两物体

动量的增量大小相等方向相反。③21应用动量守恒定律列方程时应注意以下四点2、）矢量性：动量守恒方程是一个矢量方程。对于作用前后物体的运动方向都在同一（1

若方相反为负。直线上的问题，应选取统一的正方向，凡是与选取正方向相同的动量为正，向未知，可设正方向列动量守恒方程，通过解得结果的正负，判定未知量的方向。）瞬时性：动量是一个瞬时量，动量守恒指的是系统任一瞬时的动量恒定。列方程2（??vvmm???mvmv时，等左侧是作用前(或某一时刻)各物体的动量和，等右侧是作21122211用后(或另一时刻)各物体的动量和。不同时刻的动量不能相加。

）相对性：由于动量大小与参考系的选取有关，因此应用动量守恒定律时，应注意3（

各物体的速度必须是相对同一惯性系的速度，一般以地面为参考系。

（4）普适性：它不仅适用于两个物体组成的系统，也适用于多个物体组成的系统；不仅适用于宏观物体组成的系统，对微观粒子组成的系统也适用。

如果相互作用的物体所受外力之和不为零，外力也不远小于内力，系统总动量就不守恒，也不能近似认为守恒，但是，只要在某一方向上合外力的分量为零，或者某一方向上的外力远小于内力，那么在这一方向上系统的动量守恒或近似守恒。

考点二、碰撞、爆炸和反冲

1、碰撞与爆炸

（1）碰撞与爆炸具有一个共同特点：即相互作用的力是变力，作用时间极短，作用力很大，且远远大于系统所受的外力，故均可用动量守恒来处理。

（2）爆炸过程中因有其它形式的能转化为动能，所以系统的动能会增加。

（3）由于碰撞（或爆炸）的作用时间极短，因此作用过程中物体的位移很小，一般可忽略不计即认为碰撞（或爆炸）后还是从碰撞(或爆炸)前瞬间的位置以新的动量开始运动。

（4）碰撞的种类及特点

分类标准种类特点

动量守恒，机械能守恒能量是否守恒弹性碰撞动量守恒，机械能有损失非完全弹性碰撞

动量守恒，机械能损失最大完全非弹性碰撞碰撞前后速度共线碰撞前后动量对心碰撞（正碰）是否共线

2、反冲运动

（1）反冲运动是相互作用的物体之间的作用力与反作用力产生的效果。如射击时枪身的后挫，发射炮弹时，炮身的后退，火箭因喷气而发射，水轮机因水的冲刷而转动等都是典型的反冲运动。（2）反冲运动的过程中，如果没有外力作用或外力的作用远小于物体间的相互作用力，可利用动量守恒定律来处理。

（3）研究反冲运动的目的是找反冲速度的规律，求反冲速度的关键是确定相互作用的对象和各物体对地的运动状态。

（4）反冲运动中距离、移动问题的分析

一个原来静止的系统，由于某一部分的运动而对另一部分有冲量，使另一部分也跟随运

m2vv?0v?m?vm则有有，若现象中满足动量守恒或某个方向上满足动量守恒，动，212121m1物体在这一方向上有速度，经过时间的累积，物体在这一方向上运动一段距离，则距离同样

m2s?ss=s?s。满足，则它们之间的相对距离2121相m1（5）火箭的反冲问题

火箭内部装有燃料和氧化剂，它们经过输送系统进入燃烧室，燃烧生成炽热气体向后喷

射获得向后的动量，按动量守恒定律，火箭必获得向前的动量。燃料不断燃烧，连续地向后

喷出气体，火箭不断地受到向前的推力作用，从而获得很大速度。火箭飞行所能达到的最大速度也就是燃料燃尽时获得的速度。最大速度主要取决于两个条件：一是喷气速度；二是火箭开始飞行时的质量与燃料燃尽时的质量比。喷气速度越大，质量比越大，最终速度越大。

3、弹性碰撞的规律

要点诠释：两球发生弹性碰撞时应满足动量守恒和动能守恒（机械能守恒）。

mvm的小球与质量为以质量为速度为的静止小球发生正面弹性碰撞为例，则有112．

111??222???mvm?mvv vmv?mv?m（2）（1）122111*********

(m?m)2m??112?vvv?v）得解（1）（2 1112m?mm?m2121结论：（1）当两球质量相等时，两球碰撞后交换了速度。

（2）当质量大的球碰质量小的球时，碰撞后两球都向前运动。

（3）当质量小的球碰质量大的球时，碰撞后质量小的球被反弹回来。

4、平均动量守恒

若系统在全过程中的动量守恒(包括单方向动量守恒)，则这一系统在全过程中的平均动量也必守恒，如果系统是由两个物体组成，且相互作用前均静止，相互作用后均发生运动，

mv?mv=0ms=mss、s必须是相，得推论：则由动量守恒定律，。使用时应明确2111122221对同一参照物位移的大小。常见的“人船模型”或叫“人车模型”符合此特点。

考点三、验证动量守恒定律

实验目的

研究在弹性碰撞的过程中，相互作用的物体系统动量守恒

实验器材

两个小球（大小相等，质量不等）；斜槽；重锤线；白纸；复写纸；天平；刻度尺；圆规；三角板（或游标卡尺）

实验原理

mmmm静止，根据动量守恒定律应的两个小球发生正碰，若碰前质量为运动，和1122

??vvm??mvm。因小球从斜槽上滚下后做平抛运动，由平抛运动知识可知，只要小有221111球下落的高度相同，在落地前运动的时间就相同，则小球的水平速度若用飞行时间作时间单位，在数值上就等于小球飞出的水平距离。所以只要测出小球的质量及两球碰撞前后飞出的水平距离，代入公式就可验证动量守恒定律。

实验步骤

mm。．先用天平测出小球质量、1122．按图中那样安装好实验装置，将斜槽固定在桌边，使槽的末端点切线水平，把被碰小球放在斜槽前边的小支柱上，调节实验装置使两小球碰撞时处于同一水平高度，且碰撞瞬间，入射球与被碰球的球心连线与轨道末端的切线平行，以确保正碰后的速度方向水平。

．在地面上铺一张白纸，白纸上铺放复写纸。3

m碰前的位置。．在白纸上记下重锤线所指的位置O，它表示入射球41次，用圆规画尽可能重复105．先不放被碰小球，让入射球从斜槽上同一高度处滚下，

P，如图所示。小的圆把所有的小球落点圈在里面。圆心就是入射球不碰时的落地点10．把被碰小球放在小支柱上，让入射小球从同一高度滚下，使它们发生正碰，重复 6 。M和被碰小

球落点的平均位置N次，仿步骤5求出入射小球落点的平均位置 ??r?2OO O就是被碰小球碰撞时的球心投影位置在纸上作一直线，取7．过O、N,

。或用游标卡尺测小球直径)（用刻度尺和三角板测小球直径2r?NOPOOM 8、．用刻度尺量出线段的长度、，?NOm?OM?mmOP看是否成立。把两小球的质量和相应的速度数值代入211 9．整理实验器材放回原处。

数据处理?N?OMmOmOP?m即可，但要注意式中相同的量取相同的单位。验证211误差分析是碰撞”“正碰”实验所研究的过程是两个不同质量的金属球发生水平正碰，因此“水平和

中应尽量予以满足的前提条件。实验中两球球心高度不在同一水平面上，给实验带来误差。应进行动量守恒的误差越小。每次静止释放入射小球的释放点越高，两球相碰时内力越大，多次碰撞，落点取平均位置来确定，以减小偶然误差。

【典型例题】类型一、判断系统的动量是否守恒沿水平方向与水平桌面间的接触是光滑的，

子弹A1、如图所示的装置中，木块B例射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短。把子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象，）则此系统在子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中（

．动量守恒、机械能守恒 A

．动量不守恒、机械能守恒B

C．动量守恒、机械能不守恒

D．动量不守恒、机械能不守恒

v

B

A

分析系统是否受外力作【思路点拨】动量守恒的条件是系统不受外力或所受外力之和为零，用；机械能守恒的条件是外力不做功，分析外力做功或分析是否有能量损失。【答案】D，从子弹开始射入木块到弹簧压)系统(【解析】以子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象．

缩至最短时，弹簧固定端墙壁对弹簧有外力作用，因此动量不守恒。而在子弹射入木块时，存在剧烈摩擦作用，有一部分能量将转化为内能（阻力做功转化为内能），机械能也不守恒。

正确选项为D。

【总结升华】实际上，在子弹射入木块这一瞬间过程，取子弹与木块为系统则可认为动量守恒（此瞬间弹簧尚未形变）。子弹射入木块后木块压缩弹簧过程中，机械能守恒，但动量不守恒。

举一反三

【变式】（2016北京卷）如图所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行，在P变轨后进入轨道2做匀速圆周运动下列说法正确的是（）

A.不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P点的速度都相同

B.不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同

C.卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度

D.卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量

【答案】B

【解析】卫星从轨道1在P点进入轨道2做离心运动，需要加速，所以在轨道1和在轨道2运行经过P点的速度不同，A错；在轨道1和在轨道2运行经过P点，都是万有引GMGMa?a?可知，由力提供向心力，由点的加速度都相同，B正确；由，卫星在P22rr于r不同，加速度的方向指向地球，方向不同，所以卫星在轨道1的任何位置的加速度都不同，C错；卫星在轨道2的任何位置的速度方向不同，所以动量不同，D错。

故选B。

类型二、平均动量守恒

【高清课堂：动量守恒定律例6】

、Mm，初始都静止于光滑水平面，人在车左端，车的如图，人、车质量分别为2例、。某时刻开始人向车右端走去，当他走到车右端时，车相对地的位移是多少？L长度是

位移都是指对地的位【思路点拨】分析系统动量是否守恒，人与车的力是内力；分析位移，移。mL【答案】M+m【解析】以人和车为一系统，地面光滑，所以系统水平方向，动量守恒。取水平向右为正方向，人行走的速度大小为v ，方向一定水平向左。方向水平向右，车运动的速度大小为V 由动量守恒可知

Mv=MV?0?mv即mV∵式中的速度是任意时刻的速度，Vv∴在此过程中人的平均速度一定也满足与质量成反比，和车的平均速度sMvt Mv2?==

两边同乘以时间即可得到即：m ms V Vt1ss+s=sL、车的位移大小又由图可知，人的位移大小，满足1221mMLs=s=L车的位移人的位移解得：

21m+Mm+M【总结升华】本题容易出现的错误是把车长L当作人对地的位移，错误的原因就是没有建立起如图的情景，将位移关系弄错。因此解决碰撞过程中的位移问题，画出情景图分析位移关系是至关重要的，位移是同一参照系：对地。对“人车模型”的总结：“你动我动，你快我快，你慢我慢，你停我停”。

举一反三

【变式1】质量为M的气球上有一质量为m的人，共同静止悬浮在距地面高为h的空中，气球吊有一根质量不计的软绳，现在人沿着软绳下滑到地面，软绳至少为多长，人才能安全下滑到地面？

M?mh?L【答案】ML s，根据动量守恒定气球上升的高度为,“【解析】这是典型的

人车模型”问题。设绳长为m?mMs=+L?hhs=h=mMsh律所以绳长

MM34m=2?10kgkgM?102?的货，由岸上吊一起一质量】如图所示，一浮吊质量2【变式 ???=30=60，设吊杆长转到L=8m物后，再将吊杆OA从与竖直方向间夹角，水的阻力

不计，求浮吊在水平方向移动的距离？向哪边移动？

0.27m浮吊向岸边移动【答案】

【解析】对浮吊和货物组成的系统，在吊杆转动过程中水平方向不受外力，动量守恒。当货物随吊杆转动远离码头时，浮吊将向岸边靠拢，犹如人在船上向前走时船会后退一样，所以可应用动量守恒求解。

v，浮吊向右的速度为货物相对于浮吊向左的速度设浮吊和货物在水平方向都做匀速运动，(v?u)u为则货物相对河岸的速度，

mu0=Mv+m(v?u)v=根据动量守恒定律得

mM????sinLsin?L???=30=60=t吊杆从方位角转到需要时间u

所以浮吊向岸边移动的距离

???sin?muLsinL?0.27=mx=vt

uM?m

类型三、碰撞问题

【高清课堂：动量守恒定律例4】

例3、在光滑水平面上有两个质量为3m和2m的A和B在同一直线上相向运动，速度分别为2v 和﹣v，若碰撞中其中一个小球静止，则一定是________球静止，那么另一个小球的速率是

________。

【思路点拨】动量守恒定律里有一个基本原则是要符合实际情况，分析总动量（碰前的）的方向，如果向右，静止的一定是A，如果向左，静止的是B。

2v。【答案】A

【解析】谁静止，非A即B，似乎都有可能。

P=3m?2v?2m(?v)?4mv，方向向右，静止，总动量若BA沿原方向运动，不可能，总所以碰后是A静止，B反弹。

???2vv04mv??2mv。根据动量守恒定律，解得【总结升华】动量守恒要符合实际情况。总动量为正即向右，碰后的总动量必然向右，静止的肯定是A，B向右运动。

举一反三．

【变式】甲、乙两物体沿同一直线相向运动，甲物体的速度大小是6m/s，乙物体的速度大小是2 m/s。碰撞后两物体都沿各自原方向的反方向运动，速度的大小都是4 m/s，求甲、乙两物体的质量之比。

【答案】3:5

v??2m/s=6m/sv；【解析】以甲物体碰撞前的速度方向为正方向.碰撞前，，乙甲碰撞后，由动量守恒定律得

m??vv3)?24?(甲??乙乙vvm＋mv＝＋mvm，＝＝?.。乙乙乙乙甲甲甲甲?v－v6?(?4)m5乙甲甲

类型四、多个物体组成的系统动量守恒

例4、如(a)图表示光滑平台上，物体A以初速度v滑到上表面粗糙的水平小车上，车与水0平面间的动摩擦因数不计，重力加速度为g，(b)图为物体A与小车的v-t 图像，由此可求出（）

A．小车上表面的长度[来源:Zxxk.]B．物体A与小车B的质量之比

C．A与小车B 上表面间的动摩擦因数

D．小车B获得的动能

【答案】BC

【解析】由图象可知，AB最终以共同速度v匀速运动，不能确定小车上表面长度，故1A错误；由动量守恒定律得，

m（v-v）=mv 1AB01解得：

mv1A?mv?v1B0的B相对小车A正确；由图象可以知道B的质量之比，故B与小车A故可以确定物体

位，根据能量守恒得的质量不可知正确由于小中求得质量关系可以解出动摩擦因数根错误获得的动能，故不能确定小B举一反三它与车之间10kg的小铁块，质量为【变式】如图所示，20kg 的平板小车的后端放有质量为6m/s向左在光滑的水平面上运动，铁块以速度。开始时，车以速度6m/s的动摩擦因数为0.52=10m/s求：) 向右运动。(g (1) 小车与铁块共同运动的速度。(2)

小车至少多长，铁块才不会从小车上掉下去。

(3) 铁块向右运动的最大位移。

V0

V0

【答案】（1）2m/s；（2）9.6m；（3）3.6m。

v，设向左为正方向（1）小车与铁块组成的系统动量守恒，设它们的共同速度为【解析】Mv?mv?(M?m)v00M?mv??2m/sv方向向左可得0M?m（2）设长度至少为L，由功能关系，得

111222?mgLvm)(M?Mv?mv?＝002221222???9.6mM?mL?)v?Mv?mv(可得??00?mg2x 0时，向右运动有最大位移（3）当铁块速度为m12?mv?mgx0??对铁块，由动能定理0m22v0?3.6?mx解得m?g2例5、如图所示，两只小船平行逆向航行，航线邻近，当它们头尾相齐时，由每一只船上各投质量m=50kg的麻袋到对面另一只船上去，结果载重较小的一只船停下来，另一只船则以mmv=1000kg㎏和，=500=8.5m/s的速度向原方向航行，设两只船及船上的载重分别为12 ? 问在交换麻袋前两只船的速率各为多

少．

【思路点拨】如何取系统，谁与谁发生相互作用，分析出它们各自的动量，根据动量守恒定律列出方程。

v?1m/sv?9m/s【答案】，21m的船投过【解析】两船在相互丢给对方麻袋的过程中，同时存在着相互作用，即载重为1mmm的船的相互的船的相互作用，载重为来的麻袋和载重为的船投过来麻袋和载重为122作用。因此，应该分别选择这两个相互作用的系统为研究对象，由于水的阻力不计，这两个系统的动量守恒。另外，两只船和两只麻袋这4个物体在相互作用过程中，总动量也守恒。

mvv v m方向为正方向。和设小船和，在交换麻袋前的速率分别为11122mm投过来的麻袋为系统，根据动量守恒定律，有和从选取12(m?m)v?mv?0①211mm投过来的麻袋为系统，根据动量守恒定律，有选取和从12?(m?m)v?mv??mv②122v?1m/sv?9m/s联立式①②，解得，21【总结升华】正确应用动量守恒定律的一个重要环节是准确地选取系统，必须根据相互作用物体的受力情况及运动特征确定系统，在同一物理问题中，针对不同的运动阶段，有时还需交换系统。在系统确定后，写动量守恒式时，还应特别注意总动量与系统的对应性，要明确相互作用前、后的动量。

举一反三

【变式】如图所示，甲、乙两船的总质量（包括船、人和货物）分别为10m、12m，两船沿2v、。为避免两船相撞，乙船上的人将一质量为同一直线同一方向运动，速度分别为m v00的货物沿水

平方向抛向甲船，甲船上的人将货物接住，求抛出货物的最小速度。（不计水的阻力）

v?4v【答案】0min vv，抛出货物后船的速度为甲船上【解析】设乙船上的人抛出货物的最小速度大小为，1min v，设船运动的方向（向右）为正方向，由动量守恒定律得的人接到货物后船的速度为212m?v?11m?v?m?v对乙船和抛出的货物组成的系统①

min1010m?2v?m?v?11m?v②对甲船和抛过来的货物组成的系统2min0v?vv?4v④③两船相撞应满足联立①②③式012min类型五、实验：验证动量守恒定律

例6、如图，用“碰撞试验器”可以验证动量守恒定律，即研究两个小球在轨道水平部

分碰撞前后的动量关系。

①试验中，直接测定小球碰撞前后的速度是不容易的。但是，可以通过仅测量

（填选项钱的序），间接地解决这个问题

h．小球开始释放高度A H．小球抛出点距地面的高度B

C．小球做平抛运动的射程

m多次从斜轨上S位②图中O点是小球抛出点在地面上的垂直投影，实验时，先让入射球1m静止于轨OP。然后把被碰小球置静止释放，找到其平均落地点的位置P，测量平抛射程2mmS相撞，并多次重复。道的水平部分，再将入射小球从斜轨上位置静止释放，与小球12接下来要完成的必要步骤是（填选项的符）

mm．用天平测量两个小球的质量、A12m开始释放高度h B．测量小球1C．测量抛出点距地面的高度H

m，m相碰后平均落地点的位置．分别找到M、N

D21E．测量平抛射程OM，ON

③若两球相碰前后的动量守恒，其表达式可表示为（用②中测量的量

表示）；若碰撞是弹性碰撞。那么还应满足的表达式为

（用②中测量的量

表示）。

m?45.0g,m?7.5g，小球落地点的平均位置到Ｏ点的距离如图所示。碰撞④经测定，

21??mp?__:11p:pp；与，则前、后的动量分别为11111???pm:pp，则若碰撞结束时的动量为=11: 1222p1为实验结果说明，碰撞前、后总动量的比值??p?p

21

⑤有同学认为在上述实验中仅更换两个小球的材质，其它条件不变可以使被撞小球做平抛运m 平抛运动射程ON动的射程增大。请你用④中已知的数据，分析计算出被撞小球的最大2值为cm。

【思路点拨】实验原理、操作过程、数据处理、误差分析、列动量守恒定律方程的基本方法，都必须用熟。

【答案】①C ②ADE或DEA或DAE

222m?OPM?ON???mmONm?OM?mO?m?OP?③121211④14 2.9 1~1.01 ⑤76.8 【解析】①由于本实验的碰撞是在同一高度，在空中运动时间相同，因而根据小球做平抛运动的射程就可知道碰撞后速度的大小之比，所以选C。②必须用天平测量两小球的质量mmmm相碰后平均落地点位置M、N和测量平均射程OM、，分别找到ON、，故选1122ADE。OMONOPv?v?v?v??v?mm?v?m且③由于

1212121ttt OP??ON?mmm?OM?。所以112111222vmmvmv??，若碰撞时弹性碰撞，机械能守恒11122222222m?OM?m?ON?m?OP所以

121??mvmpOM45?35.2011vmp1444.80OP1111????11????④

2.955.68?mON7.5??11OM35.20??vmp vmp2222111pmOP45.0?44.80201611????1.0071.01

mOM?m2001.655.68?7.5?35.20?45.0ON??pp?2121．

m平抛运动射程ON有最大值。弹性碰撞动量守恒⑤当两球发生弹性碰撞时，被碰小球2111222v?m?mvmv v?m??mv?m?v机械能守恒

11122121212222m2m2?45.0?11v?ON?OP??44.8vcm?76.8cm解得所以

m2m?mm?m45.0?7.52211m平抛运动射程ON的最大值。即被撞小球2【总结升华】本题考察动量守恒实验、动量守恒定律，考察的知识不仅全面而且有深度、难度，对知识迁移的能力要求较高。

举一反三

【变式】气垫导轨是常用的一种实验仪器。它是利用气泵使带孔的导轨与滑块之间形成气垫，使滑块悬浮在导轨上，滑块在导轨上的运动可视为没有摩擦。我们可以用带竖直挡板C和D的气垫导轨以及滑块A和B来验证动量守恒定律，实验装置如图所示（弹簧的长度忽略不计）：

采用的实验步骤如下：

mm。、．用天平分别测出滑块A、B的质量a BA b．调整气垫导轨，使导轨处于水平。

c．在A和B间放入一个被压缩的轻弹簧，用电动卡销锁定，静止放置在气垫导轨上。

L。板的距离C d．用刻度尺测出A的左端至1e．按下电钮放开卡销，同时使分别记录滑块A、B运动时间的计时器开始工作。当A、B tt。和D的运动时间挡板时停止计时，记下A、B分别到达C、C滑块分别碰撞、D21（1）实验中还应测量的物理量是__________。

（2）利用上述测量的实验数据，验证动量守恒定律的表达式是__________，上式中算得的A、B两滑块的动量大小并不完全相等，产生误差的原因是__________。

（3）利用上述实验数据能否测出被压缩弹簧的弹性势能的大小？如能，请写出表达式。

LL21?0?mmL，测量质量、时间、距离板的距离（2）D1【答案】（）B的右端至BA2tt21等存在误差，由于阻力、气垫导轨不水平等造成误差。（只要答对其中两点即可）（3）能。

22LL121)?mmE?(BAp222tt21