数学高考分类整理汇编解答题目理05——解析几何
数学高考分类整理汇编解答题目理05——解析几何
05 解析几何
1. （2011天津卷理）18．（本小题满分13分）
在平面直角坐标系xOy 中，点(,)P a b (0)a b >>为动
点，1
2
,F F 分别为椭圆2
2
22
1x y a
b
+=的左右焦点．已知△1
2
F PF 为等腰三角形． （Ⅰ）求椭圆的离心率e ；
（Ⅱ）设直线2
PF 与椭圆相交于,A B 两点，M 是
直线2
PF 上的点，满足2AM BM ?=-，求点M 的轨迹方程．
【解析】18．本小题主要考查椭圆的标准方程和
几何性质、直线的方程、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的数学思想，考查解决问题能力与运算能力.满分13分. （I ）解：设1
2
(,0),(,0)(0)F c F c c ->
由题意，可得2
12
||||,PF F F =
2.
c =
整理得2
2()
10,1c c c
a a a
+
-==-得（舍），
或1.2c a =所以1
.2
e = （II ）解：由（I ）知
2,,
a c
b ==
可得椭圆方程为2
223412,x
y c +=
直线PF
2方程为).
y x c =-
A ，B
两点的坐标满足方程组2223412,).
x y c y x c ?+=??=-??
消去y 并整理，得2
580.
x cx -=
解得12
8
0,.5
x
x c ==
得方程组的解21128,0,5,.5x c x y y c ?
=?=???
??=???
=??
不妨设8(,),(0,)
55
A c c
B 设点M
的
坐标
为
833
(,),(,),(,
)
55
x
y AM x c y c BM x y =--=则，
由
),.3
y x c c x y =
-=-
得
于是838(,),55AM y x y x =-
(
).
BM x
=由2,AM BM ?=-
即38
)()2
5
5y x x y x -?+
=-
，
化简得2
18150.
x --=
将
22105
,0.
316
x y c x y c x +==-=>得
所以0.x >
因此，点M 的轨迹方程是2
18150(0).
x
x --=>
2. （北京理）19．（本小题共14分）
已知椭圆
2
2:1
4
x G y +=.过点（m ,0）作圆2
21
x
y +=的切
线I 交椭圆G 于A ，B 两点. （I ）求椭圆G 的焦点坐标和离心率； （II ）将AB 表示为m 的函数，并求AB 的最大值.
【解析】（19）（共14分）
解：（Ⅰ）由已知得,1,2==b a 所以.
322--=
b a c
所以椭圆G 的焦点坐标为)
0,3(),0,3(-
离心率为.2
3==a
c
e
（Ⅱ）由题意知，1||≥m .
当1=m 时，切线l 的方程1=x ，点A 、B 的坐标分别为),2
3,1(),23,1(-
此时3
||=
AB
当m =－1时，同理可得3||=AB 当1||>m 时，设切线l 的方程为),(m x k y -= 由
0448)41(.14
),
(222222
2
=-+-+?????=+-=m k mx k x k y x m x k y 得
设A 、B 两点的坐标分别为),)(,(2
2
1
1
y x y x ，则
2
22212
2214144,418k m k x x k m
k x x +-=+=+
又由l 与圆.
1,11
||,12222
22
+==+=+k k m k km y x 即得
相切
所以2
12212)()(||y y x x AB -+-=
]
41)
44(4)41(64)[1(2222242
k m k k m k k +--++=2
.3
||342
+=
m m 由于当3±=m 时，,
3||=
AB
所以),1[]1,(,3
|
|34||2
+∞--∞∈+= m m m AB . 因为,
2|
|3
||343
||34||2
≤+
=
+=m m m m AB
且当3±=m 时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.
3. （辽宁卷理）20．（本小题满分12分）
如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．
（I ）设12
e =，求BC 与AD 的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO
∥AN ，并说明理由．
【解析】20．解：（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设
22222
122242:1,:1,(0)
x y b y x C C a b a b a a
+=+=>>
设直线:(||)
l x t t a =<，分别与C 1，C 2的方程联立，求得
((A t B t ………………4分
当1,,,22
A B e b a y y ==时分别用表示A ，B 的纵坐标，可
知
222||3
||:||.
2||4
B A y b B
C A
D y a === ………………6分
（II ）t=0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO//AN
当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即
,
a b t t a
=-
解得22
22
21.ab e t a a b e
-=-=---
因为
221||,01,1, 1.
2e t a e e e
-<<<<<<又所以解得
所以
当02
e <≤时，不存在直线l ，使得
BO//AN ；
当
2
1e <<时，存在直线l 使得
BO//AN. ………………12分
4. （全国大纲卷理）21．（本小题满分12分）（注
意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．
） 已知O 为坐标原点，F 为椭圆
2
2
:1
2
y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为-2的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=
（Ⅰ）证明：点P 在C 上；
（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上． 【解析】21．解：
（I ）F （0，1），l 的方程为21
y x =+，
代入
2
2
1
2
y x +=并化简得
242210.
x x --=
(2)
分
设1
1
2
2
3
3
(,),(,),(,),A x y B x y P x y
则1
22626
x x -+=
=
1212122
2()21,x x y y x x +=
+=++=