第三章 第五节

第五节共点力的平衡条件

[学习目标]1.理解共点力作用下物体的平衡状态.2.知道共点力的平衡条件.3.掌握共点力作用下物体的平衡问题的处理方法.

共点力的平衡条件

1.平衡状态：物体处于静止或保持匀速直线运动的状态.

2.共点力的平衡：物体如果受到共点力的作用且处于平衡状态.

3.平衡条件：(1)定义：为了使物体保持平衡状态，作用在物体上的力所必须满足的条件. (2)共点力作用下的平衡条件：所受合外力为零.

4.二力平衡的条件：两个共点力大小相等、方向相反.

判断下列说法的正误.

(1)当物体的速度为零时，物体一定处于平衡状态.(×)

(2)沿光滑斜面下滑的物体处于平衡状态.(×)

(3)物体所受合外力为零时，就一定处于平衡状态.(√)

一、共点力的平衡

(1)物体在两个共点力作用下处于平衡状态，这两个力有什么关系？

(2)物体在三个共点力作用下处于平衡状态，这三个力有什么关系？

答案(1)两个共点力等大反向.

(2)三个共点力作用下处于平衡状态，其中两个力的合力与第三个力等大反向.

共点力的平衡

1.平衡条件：合外力等于0，即F合＝0.

2.推论

(1)二力平衡：若物体在两个共点力作用下处于平衡状态，则这两个力一定等大、反向.

(2)三力平衡：若物体在三个共点力作用下处于平衡状态，则任意两个力的合力与第三个力等大、反向.

(3)多力平衡：若物体在n个共点力作用下处于平衡状态，则其中任意n－1个力的合力必定与第n个力等大、反向.

例

1 如图1，用相同的弹簧秤将同一个重物m 分别按甲、乙、丙三种方式悬挂起来，弹簧秤的读数分别是F 1、F 2、F 3、F 3、F 4，设θ＝30°，则有( )

图1

A.F 4最大

B.F 3＝F 2

C.F 2最大

D.F 1比其他各弹簧秤读数都小

答案 C

解析 对m 分别进行受力分析，如图，

根据三力平衡条件，三力中任意两个力的合力与第三个力等大反向，结合几何关系 F 1＝mg tan 30°＝33mg F 2＝mg cos 30°＝233

mg

F 3＝12mg cos 30°＝33

mg F 4＝mg

因此F 2最大，故选C.

针对训练1 如图2所示，物体M 在斜向右下方的推力F 作用下，在水平地面上恰好做匀速运动，则推力F 和物体M 受到的摩擦力的合力方向( )

图2

A.竖直向下

B.竖直向上

C.斜向下偏左

D.斜向下偏右 答案 A

解析 物体M 受四个力作用(如图所示)，支持力F N 和重力G 的合力一定在竖直方向上，由平衡条件知，摩擦力f 和推力F 的合力与支持力F N 和重力G 的合力必定等大反向，故f 与F 的合力方向竖直向下.

二、利用正交分解法求解共点力的平衡问题

正交分解法求解共点力的平衡问题的步骤

1.建立坐标轴：以研究对象为坐标原点，直角坐标系x 轴和y 轴的选择应使尽量多的力落在坐标轴上.

2.正交分解各力：将每一个不在坐轴上的力分解到x 轴和y 轴上，并求出各分力的大小.

3.将平衡条件F 合＝0写成????? F x 合＝0F y 合

＝0 利用?????

F x 合＝0F y 合＝0列方程. 4.解方程.

例

2如图3所示，质量为m的物体在恒力F的作用下，沿水平天花板向右做匀速直线运动.力F与水平方向的夹角为θ，重力加速度为g.则物体与天花板间的动摩擦因数μ＝________.

图3

答案

F cos θF sin θ－mg

解析对物体受力分析，将推力F正交分解，如图所示，根据共点力平衡条件得：

水平方向：F cos θ－f＝0

竖直方向：F sin θ－F N－mg＝0

由f＝μF N，

可得μ＝F cos θ

.

F sin θ－mg

针对训练2如图4所示，放在斜面上的物体受到垂直于斜面向上的力F作用而使物体始终保持静止.当力F逐渐减小，则物体受到的斜面的摩擦力()

图4

A.保持不变

B.逐渐减小

C.逐渐增大

D.以上三种均有可能

答案A

解析对物体受力分析，物体受重力、支持力、静摩擦力和拉力，如图所示：

因为物体始终静止，处于平衡状态，合力一直为零，根据平衡条件，有：

平行斜面方向：f＝G sin θ，G和θ保持不变，故摩擦力f保持不变.

正交分解时坐标系选取的原则和方法

1.原则：应使尽量多的力在坐标轴上，从而少分解力.

2.方法

(1)研究水平面上的物体：通常沿水平方向和竖直方向建立坐标轴.

(2)研究斜面上的物体：通常沿斜面方向和垂直斜面方向建立坐标轴.

(3)研究物体在杆或绳的作用下转动：通常沿杆(绳)的方向和垂直杆(绳)的方向建立坐标轴.

1.(共点力的平衡的理解)(多选)下列物体中处于平衡状态的是()

A.静止在粗糙斜面上的物体

B.沿光滑斜面下滑的物体

C.在平直路面上匀速行驶的汽车

D.做自由落体运动的物体在刚开始下落的瞬间

答案AC

解析在共点力的作用下，物体如果处于平衡状态，则从运动状态来说，物体保持静止或者匀速直线运动状态，加速度为零；物体在某一时刻的速度为零，并不等同于这个物体保持静止，如果具有加速度，则在下一瞬间就不是静止了，由于B、D选项情景中的物体都具有加速度，故不是平衡状态；A、C选项情景中的物体加速度为零，故为平衡状态.

2.(简单的共点力的平衡问题)(多选)如图5甲、乙、丙所示，三个物块质量相同且均处于静止状态.若弹簧秤、绳和滑轮的重力均不计，绳与滑轮、物块与半球面间的摩擦均不计，在图甲、乙、丙三种情况下，弹簧秤的读数分别是F1、F2、F3，则()

图5

A.F1>F2

B.F1>F3

C.F1＝F3

D.F2>F3

答案AC

解析题图甲中物块静止，弹簧秤的拉力F1＝mg；

题图乙中以物块为研究对象，物块受力情况如图(a)所示.由平衡条件得：F2＝mg sin 60°＝3

2 mg≈0.866mg

题图丙中以动滑轮为研究对象，滑轮受力情况如图(b)所示.由几何知识得F3＝mg.

故F3＝F1>F2，故选A、C.

3.(力的正交分解法)(多选)如图6所示，放在水平面上的物体A用轻绳通过光滑定滑轮连接另一物体B并静止，这时A受到水平面的支持力为F N，摩擦力为f，若把A水平向右移动一些后，A仍静止，则()

图6

A.F N将增大

B.f将增大

C.轻绳拉力将减小

D.物体A所受合力将增大

答案AB

解析物体A受力情况如图所示，A、B系统处于静止状态，绳子的拉力不变，始终等于B 的重力，即F T＝m B g，A所受合力为零，故C、D均错；当A水平向右移动时，θ角减小，

F N＝m A g－F T sin θ，f＝F T cos θ，由此可得，F N、f均增大，所以A、B正确.

4.(正交分解处理平衡问题)如图7所示，一个质量为m、横截面为直角三角形的物块ABC，∠ABC＝α，AB边靠在竖直墙上，F是垂直于斜面BC的推力，现物块静止不动，重力加速度为g，求物块受到的摩擦力和弹力的大小.

图7

答案F sin α＋mg F cos α

解析对物块进行受力分析，并将物块所受各力正交分解，水平方向建立x轴，竖直方向建立y轴，如图所示.

由平衡条件，得f＝F sin α＋mg，F N＝F cos α.

一、选择题

考点一共点力平衡的理解

1.关于物体的平衡，下列说法正确的是()

A.如果物体所受合力等于零，则物体一定处于静止状态

B.如果物体所受合力等于零，则物体一定处于匀速直线运动状态

C.只要物体速度等于零，物体就处于平衡状态

D.如果物体受到共点力作用而处于平衡状态，则物体所受合外力一定为零

答案D

解析物体所受合力等于零，则物体处于静止状态或匀速直线运动状态，因此A、B均错；物体速度为零时，合力可能不为零，如竖直上抛物体到达最高点的瞬间，物体的速度为零，故C错.

考点二共点力平衡问题

2.一个重为20 N的物体置于光滑的水平面上，当用一个F＝5 N的力竖直向上拉该物体时，如图1所示，物体受到的合力为()

图1

A.15 N

B.25 N

C.20 N

D.0

答案D

解析由于物体的重力大于拉力，则地面对物体有支持力，且物体仍然静止.因为物体静止，所以拉力、支持力与重力的合力为零，故选项D正确.

3.如图2所示，物体M放在水平面上受到两个水平力的作用，F1＝4 N，F2＝8 N，物体处于静止状态.如果将水平力F1增加5 N，则()

图2

A.物体M仍处于静止状态

B.物体M受到的合力方向向左

C.物体M受到的合力方向向右

D.物体M受到的摩擦力等于5 N

答案A

解析据题意可知，当F1＝4 N，F2＝8 N时，物体处于静止状态，即物体所受最大静摩擦力的最小值应为F2－F1＝(8－4) N＝4 N.如果将F1增加5 N，则F1′＝(4＋5) N＝9 N.显然F1′－F2＝(9－8) N＝1 N，小于最大静摩擦力，故物体仍处于静止状态，所受静摩擦力为1 N，方向水平向左，物体所受合力为零，故A选项正确.

4.如图3所示，某个物体在F1、F2、F3、F4四个力的作用下处于静止状态，若F4的方向沿逆时针转过60°而保持其大小不变，其余三个力的大小和方向均不变，则此时物体所受到的合

力大小为( )

图3

A.F 42

B.3F 42

C.F 4

D.3F 4

答案 C

解析 由共点力的平衡条件可知，F 1、F 2、F 3的合力应与F 4等大反向，当F 4的方向沿逆时针转过60°而保持其大小不变时，F 1、F 2、F 3的合力的大小仍为F 4，但方向与F 4成120°角，由平行四边形定则可得，此时物体所受的合力大小为F 4，所以本题正确的选项应为C.

5.(多选)如图4所示，位于斜面上的物体M 在沿斜面向上的力F 作用下而处于静止状态，对M 的受力情况，下列说法正确的是( )

图4

A.可能受三个力作用

B.可能受四个力作用

C.一定受三个力作用

D.一定受四个力作用

答案 AB

解析 对M 进行受力分析，M 受重力、斜面的支持力、推M 的力F ，M 与斜面接触面处是否有摩擦力，是沿斜面向上还是沿斜面向下由F 与mg sin α的大小关系决定，所以A 、B 正确，C 、D 错误.

考点三 正交分解法处理平衡问题

6.物体静止在固定的斜面上，分别按图示的方向对物体施加大小相等的力F ，A 中F 垂直于斜面向上，B 中F 垂直于斜面向下，C 中F 竖直向上，D 中F 竖直向下，施力后物体仍然静止，则物体所受的静摩擦力增大的是( )

答案 D

7.如图5所示，一物体放在水平地面上，对物体施加一个倾角为θ的斜向右上的力F ，当这个力从零开始逐渐增大时，物体受到的摩擦力将( )

图5

A.逐渐增大

B.逐渐减小

C.先逐渐增大，后减小

D.先逐渐减小，后增大 答案 C

解析 对物体进行受力分析，如图所示，将F 进行正交分解，可得F 1＝F cos θ，F 2＝F sin θ.

在F较小时，物体不运动，摩擦力f是静摩擦力，其大小为f＝F1＝F cos θ.所以F增大时，f 也增大.在F较大时物体发生了运动，静摩擦力变为滑动摩擦力，其大小为f′＝μF N，又由竖直方向受力平衡，有F N＋F2＝G，所以F N＝G－F2＝G－F sin θ.滑动摩擦力的大小f′＝μ(G －F sin θ)，所以当F增大时，f′减小.

8.(多选)小船被绳索拉向岸边，如图6所示，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么在小船匀速靠岸的过程中，下列说法正确的是()

图6

A.绳子的拉力F T不断增大

B.绳子的拉力F T不变

C.船受的浮力减小

D.船受的浮力增大

答案AC

解析小船的受力情况如图所示.根据平衡条件得

F＋F T sin θ＝G

F T cos θ＝f

则拉力F T＝f

cos θ.小船向岸边运动时，角θ增大，F T增大，A对，B错；浮力F＝G－F T sin θ，因为F T增大，sin θ增大，所以浮力F减小，C对，D错.

9.(多选)如图7所示，铁板AB与水平地面之间的夹角为θ，一块磁铁吸附在铁板下方.在缓慢抬起铁板的B端使θ角增大(始终小于90°)的过程中，磁铁始终相对于铁板静止.下列说法正确的是()

图7

A.磁铁所受合外力不变

B.磁铁始终受到三个力的作用

C.磁铁受到的摩擦力逐渐减小

D.铁板对磁铁的弹力逐渐增大

答案AD

解析以磁铁为研究对象进行受力分析如图所示，在缓慢抬起铁板的B端的过程中磁铁相对于铁板静止，因此磁铁所受合外力始终为零，A正确；磁铁受重力、铁板的吸引力、铁板的弹力和铁板的摩擦力四个力作用，B错误；由受力平衡关系可得，沿斜面方向：mg sin θ＝f，θ增大，sin θ增大，则f增大，即磁铁受到的摩擦力逐渐增大，垂直斜面方向：F N＋mg cos θ＝F吸，θ增大，cos θ减小，则F N增大，即铁板对磁铁的弹力逐渐增大，C错误，D正确.

二、非选择题

10.(共点力的平衡)如图8所示，重物的质量为m，轻细绳的A与B端是固定的，平衡时AO 水平，BO与竖直方向的夹角为θ，求绳AO的拉力大小？

图8

答案F A＝mg tan θ

解析对O点进行受力分析，如图所示，将力F A、F B合成，由平衡条件得

F B cos θ＝mg，F B sin θ＝F A，可知AO的拉力F A＝mg tan θ.

【考点】静态平衡问题分析

【题点】三力平衡问题

11.(正交分解法解决平衡问题)如图9所示，与水平面夹角为30°的固定斜面上有一质量m＝

1.0 kg的物体.物体与细绳的一端相连，细绳的另一端通过摩擦不计的定滑轮与固定的弹簧测力计相连.物体静止在斜面上，弹簧测力计的示数为6 N.取g＝10 m/s2，求物体受到的摩擦力和支持力.

图9

答案摩擦力大小为1 N，方向沿斜面向下支持力大小为5 3 N，方向垂直于斜面向上解析物体受力情况如图所示.重力沿斜面方向向下的分量G x＝mg sin 30°＝5.0 N小于弹簧测力计的拉力F T，故摩擦力方向沿斜面向下.

根据共点力平衡：F T＝mg sin 30°＋f，

F N＝mg cos 30°

解得f＝1 N，方向沿斜面向下，F N＝5 3 N，方向垂直于斜面向上