上海市嘉定、长宁、金山区2019-2020年度第一学期高三数学期末教学质量(一模)监测卷
上海市长宁、嘉定、金山区2020届高三一模数学试卷
2019.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,2,3,4,5}A =，{2,4,6,8}B =，则A B =I 2. 方程23x =的解为 3. 行列式
21
12
-的值为 4. 计算2lim
1
n n
n →∞=+
5. 若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的母线长为
6.
已知向量1(22AB =uu u r
，1
)22
AC =uuu r ，则BAC ∠=
7. 2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有 种 8. 已知点(2,)y -在角α终边上，且(
)tan πα-=sin α=
9. 近年来，人们支付方式发生巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习 惯，某企业为了解该企业员工A 、B 两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽 取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况，发现样本中A 、B 两种支付方式都没 有使用过的有5人；使用了A 、B 两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如下：
依据以上数据估算：若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在该月A 、B 两种支付方式 都使用过的概率为
10. 已知非零向量a r 、b r 、c r 两两不平行，且a r ∥()b c +r r ，b r
∥()a c +r r ，设c xa yb =+r r r ，
,x y ∈R ，则2x y +=
11. 已知数列{}n a 满足：11a =，112{,,,}n n n a a a a a +-∈???（*n ∈N ），记数列{}n a 的 前n 项和为n S ，若对所有满足条件的{}n a ，10S 的最大值为M ，最小值为m ，则
M m +=
12. 已知函数1
()||f x x a x
=+
+，若对任意实数a ，关于x 的不等式()f x m ≥在区间1
[,3]2
上总有解，则实数m 的取值范围为 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知x ∈R ，则“0x >”是“1x >”的（ ）
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分也非必要条件 14. 下列函数中，值域为(0,)+∞的是（ ）
A. 2x
y = B. 12
y x = C. ln y x = D. cos y x = 15. 已知正方体1111ABCD A B C D -，点P 是棱1CC 的中点，设直线AB 为a ，直线11A D 为
b ，对于下列两个命题：①过点P 有且只有一条直线l 与a 、b 都相交；②过点P 有且只有
一条
直线l 与a 、b 都成45°角，以下判断正确的是（ ） A. ①为真命题，②为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①为假命题，②为假命题
16. 某港口某天0时至24时的水深y （米）随时间x （时）变化曲线近似满足如下函数模 型：0.5sin() 3.24(06
)y x π
ωπω=+
+>，若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个
时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（ ）
A. 16时
B. 17时
C. 18时
D. 19时
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，底面为矩形的直棱柱1111ABCD A B C D -满足：14AA =，3AD =，2CD =. （1）求直线1A C 与平面11AA D D 所成的角θ的大小； （2）设M 、N 分别为棱1BB 、CD 上的动点， 求证：三棱锥1N A AM -的体积V 为定值，并求出该值.
18. 在复平面内复数1z 、2z 所对应的点为1Z 、2Z ，O 为坐标原点，i 是虚数单位
.
D
B 1
A
B
C
D 1A
1B
1C
1D
M
N
（1）112i z =+，234i z =-，计算12z z ?与12OZ OZ ?uuu r uuur
；
（2）设1i z a b =+，2i z c d =+（,,,a b c d ∈R ），求证：2121||||OZ OZ z z ?≤?u u u r u u u r
，并指出向 量1OZ uuu r 、2OZ uuur
满足什么条件时该不等式取等号.
19. 如图，某城市有一矩形街心广场ABCD ，如图，其中4AB =百米，3BC =百米，现将 在其内部挖掘一个三角形水池DMN 种植荷花，其中点M 在BC 边上，点N 在AB 边上， 要求4
MDN π
∠=
.
（1）若2AN CM ==百米，判断△DMN 是否符合要求，并说明理由；
（2）设CDM θ∠=，写出△DMN 面积的S 关于θ的表达式，并求S 的最小值.
20. 已知数列{}n a 各项均为正数，n S 为其前n 项的和，且n a 、n S 、2
n a （*n ∈N ）成等差数列.
（1）写出1a 、2a 、3a 的值，并猜想数列{}n a 的通项公式n a ； （2）证明（1）中的猜想；
（3）设1n n b ta =-（0t >），n T 为数列{}n b 的前n 项和，若对于任意*n ∈N ，都有
*{|}n m T b m ∈∈N , 求实数t 的值.
21. 已知函数()||f x x x a =-，其中a 为常数. （1）当1a =时，解不等式()2f x <；
（2）已知()g x 是以2为周期的偶函数，且当01x ≤≤时，有()()g x f x =，若0a <，
A
B
C
D
M
N
且35
()24
g =
，求函数()y g x =（[1,2]x ∈）的反函数； （3）若在[0,2]上存在n 个不同的点i x （1,2,,i n =???，3n ≥），12n x x x << 12231|()()||()()||()()|8n n f x f x f x f x f x f x --+-+???+-=，求实数a 的取值范围. 参考答案 一. 填空题 1. {2,4} 2. 2log 3x = 3. 5 4. 2 5. 2 6. 6 π 7. 72 8. 3 9. 310 10. 3- 11. 1078 12. 2 (,]3 -∞ 二. 选择题 13. B 14. A 15. B 16. D 三. 解答题 17. 解：（1）由直棱柱知1A A ABCD ⊥，所以1A A CD ⊥ 又因为AD CD ⊥，所以直线CD ⊥平面11A ADD ， ……………2分 所以1CA D ∠即直线1A C 与平面11AA D D 的所成角θ ……………4分 由题意15A D =，2CD =，所以2 tan 5 θ= 所以直线1A C 与平面11AA D D 的所成角2 arctan 5 θ=． ……………6分 （2）记点N 到平面1A AM 的距离为d ，三角形1A AM 的面积为1A AM S ?，则 111 3 N A AM A AM V V d S -?==??， ………………3分 由已知3d =，14A AM S ?=， ………………6分 所以4V =为定值. ………………8分 18. 解：（1）()()121234112z z i i i ?=+?-=+ ……………3分 ()11,2OZ =u u u u r ，()23,4OZ =-u u u u r 所以125OZ OZ ?=-u u u u r u u u u r ……………6分 证明（2）()1,OZ a b =u u u u r ，()2,OZ c d =-u u u u r 12OZ OZ ab cd ?=+u u u u r u u u u r ，()22 12OZ OZ ab cd ?=+u u u u r u u u u r ……………3分 ()()222 12z z ac bd ad bc ?=-+- ()2 2 2 12 120z z OZ OZ ab cd ?-?=-≥u u u u r u u u u r 所以 1212OZ OZ z z ?≤?u u u u r u u u u r ……………6分 当ab cd =时取“=”，此时12//OZ OZ u u u u r u u u u r . ……………8分 19. 解：（1 ）由题意MN = ，DN = DN = …………3分 所以cos 2MDN ∠==≠ 所以4 MDN π ∠≠ ，DMN ?不符合要求 ……………6分 （2）CDM θ∠=，=4 ADN π θ∠-， 所以3 cos DM θ= ，4cos()4 DN πθ=- 1sin 24cos cos() 4 S DN DM ππθθ=??=-， …………3分 ()cos cos()cos sin 4πθθθθθ-=+ )11sin 2cos 21sin(2)424424 πθθθ=++=++≤+ 所以) 121S ≥，S 的最小值为) 12 1. …………8分 20. （1）解：由已知2 2 n n n a a S +=， …………1分 所以11a =，22a =，33a =， …………3分 猜想n a n = …………4分 证明（2）当2n ≥时，22n n n a a S +=，2 11 12n n n a a S ---+= 所以22 11 122 n n n n n n n a a a a a S S ---++=-=- 得()()1110n n n n a a a a --+--=， …………3分 因为() *0n a n >∈N ，所以11n n a a --= 数列{}n a 为等差数列，又由（1）11a =，22a = 所以() *n a n n =∈N …………6分 （3）解：由（2）知1m b mt =-，() 12 n n n T t n +=-. 若m n b T =，则()11 2n n n m t +-= - ， 因为,m n 都是整数，所以对于任意* n N ∈，1n t -都是整数，进而1 t 是整数 所以1 ,t k Z k = ∈，此时()()112n n m k n += --， ………2分 设2m b T =，则30m k =->，所以1k =或2 ………4分 ①当1k =时，对于任意* n N ∈，() *112n n m N -= +∈ ②当2k =时，对于任意* n N ∈，()*322 n n m N -= +∈ 所以实数t 取值的集合为1 {,1}2 ………6分 21. 解：（1）解不等式12x x -< 当1x ≥时，2 20x x --<，所以12x ≤< 当1x <时，220x x -+>，所以1x <， 综上，该不等式的解集为(),2-∞ ………4分（每行1分） （2）当01x ≤≤时，()g x x x a =-， 因为()g x 是以2为周期的偶函数， 所以31111 ()()()22222 g g g a =-== -， 由35 ()24 g = ，且0a <，得2a =-， ………2分 所以当01x ≤≤时，()(2)g x x x =+ 所以当12x ≤≤时， ()()()()()[]2240,3g x g x g x x x =-=-=--∈ ………4分 所以函数()[]() 1,2y g x x =∈的反函数为 []) 30,3y x =∈ ………6分 （3）①当0a ≤时，在[]0,2上()()f x x x a =-，是[]0,2上的增函数，所以 ()()()()()()()()()1223112n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f --+-+???+-=-≤ 所以()()2228f a =-≥，得2a ≤-； ………2分 ②当4a ≥时，在[]0,2上()()f x x a x =-，是[]0,2上的增函数，所以 ()()()()()()()()()1223112n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f --+-+???+-=-≤ 所以()()2228f a =-≥，得6a ≥； ………4分 ③当04a <<时，()f x 在[]0,2上不单调，所以 ()()()()()()()12231max 2n n f x f x f x f x f x f x f x --+-+???+-≤ 2()424 a a f =<，()2224f a =-<， 在[]0,2上，()()max max{(),2}42 a f x f f =<. ()()()()()()()12231max 28n n f x f x f x f x f x f x f x --+-+???+-≤<，不满足. 综上，a 的取值范围为(][),26,-∞-+∞U . ………8分 ③当42<≤a 时，则221<≤a ，所以)(x f 在]2,0[a 上单调递增，在]2,2 [a 上单调递减， 于是 ) ()()()()()(13221n n x f x f x f x f x f x f -+???+-+-- 242)0()2(2)(222max a a f a f x f = ?=?? ? ??-=≤ 令 82 2≥a ，解得 4-≤a 或4≥a ，不符合题意；