2018年河北省衡水中学高三一模理科数学试题(1)

6?设x,y满足约束条件3x y 6

2

0,

0, 若目标函数z ax by (a,b 0)的最大值是12,则x,y 0,

a2 b2的最小值是(

6

A.—

13 36

D.

36

13

7.已知三棱锥的三视图如图所示，则它的外接球表面积为()

A . 16

B . 4 &已知函数f x C. 8 D. 2

2sin( x ) ( 0,

的一部分(如图所示)，则与的值分别为(

11 5_ 10’ 6

7 _

10, 6

)图像

)

4 _

5' 3 2

B . 1,

一

双曲线C的左右焦点分别为F1,F2 ,且F2恰为抛物线的焦点,设双曲线C与该抛物线的一

个交点为为底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为( )

A .

10.已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的不等实数x1,x2，不等式

X1f(xj X2f(X2) X1f(X2)X2f(xJ 恒成立，则不等式f(1 x) 0 的解集为(

9.

y2 4x

1 2C. 1 3D. 2

A,若ARF2是以

河北省衡水中学2018高三第一次模拟理科数学试题

12小题，每小题5分，共60分)

3 ，则图中阴影部分表示的集合是

4. 在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居众

显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各选项中，一定符合上述指标的是( )

①平均数x 3 :②标准差|S 2 :③平均数x 3且标准差S 2 ；

④平均数x 3且极差小于或等于2;⑤众数等于1且极差小于或等于

A .①②

B .③④C.③④⑤D .④⑤

5. 在长方体ABCD —A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1相交于点E,则点E A1BC 1 的()

A .垂心B.内心

2 x 1 B . X2x2

1 x

2 D . X X 2

”

是

2?设a R,i是虚数单位，则为纯虚数”的(

A.充分不必要条件

C.充要条件

3. 若｛a n｝是等差数列，首

项

和S n 0成立的最大正整数

A. 2011

B. 2012

B.必要不充分条件

D.既不充分又不必要条件

0,

31 0, 32011 32012

n是( )

C. 4022

a

2011

a

2012

0，则使前n项

D. 4023

一、选择题(本大题共

1.设全集为实数集R, xx2 4 , N

1。

C.外心

D.重心

5

三、解答题(本大题共6小题，共70 分)

17 .(本小题满分12分)

在△ ABC 中，a, b, c 是角A, B,C 对应的边，向量m (a b,c) , n a b, c ，且

m?n (和'3 2)ab .

(1) 求角C ；

1

(2)

函数 f(x) 2sin(A B)COS 2( x) cos(A B)sin(2 x) - (

0)的相邻两个极值的横

2

坐标分别为x 0 —、x 0，求f (x)的单调递减区间.

2 --------------------

18. (本小题满分12分)

1

已知四边形 ABCD 满足AD//BC,BA AD DC 一 BC a ，E 是BC 的中点，将厶BAE 2 沿AE 翻折成 B,AE,使面B 1AE 面AECD ，F 为B 1D 的中点.

(1) 求四棱锥B 1 AECD 的体积； (2) 证明：B 1E //面ACF ；

A. ( ,0)

B.

11. 已知圆的方程x 物线的焦点轨迹方程是(

2

2

2

2

A.^+\ = 1(y M 0)

B.》+卷=

1(y M 0)

x 2 y 2 x 2 y 2

C.§ + : = 1(x 丰 0)

D.4 + 二=1 (X M 0) 12. 设 f (x) 0,

2 2

y C. ( ,1) D.

1,

4，若抛物线过点 A(0, — 1), B(0,1)且以圆的切线为准线，则抛

)

是定义在R 上的函数，若f (0)

2008，且对任意x R ，满足

)

D . 22006

2008

f (x 2) f(x) 3 2x

， f(x 6) f(x) 63 2x

，则 f(2008)=( A. 2

2006

2007 B . 2

2008

2006 C . 2

2008

2007 二、填空题(本大题共4小题，每小题

13.在区间［—6, 6］,内任取一个元素 x o

5分，共20分)

，若抛物线 y=x 2在x=x o 处的切线的倾角为则

3

14 ?某程序框图如图所示，该程序运行后输出的 S 的值是 __________

15. 在ABC 中，| P 是BC 边中点，角A ,丨B ,| C 的对边分别是a ，

uur uur Lun r

b ，

c ，若 cAC aPA bPB 0，则［ABC 的形状为 _______________ 。

16. 在 x 轴的正方向上，从左向右依次取点列

的概率为

A j ,j 1,2, ，以及 )都是等边三角形，其

中A 是坐标原点，则第 2005个等边三角形的边长是

B k ,k 1,2,

，使

A k 1

B

k A k

( k 1,2,

在第一象限内的抛物线

y 2 -x 上从左向右依次取点列

2

(3)求面ADB 1与面ECB 所成锐二面角的余弦值

19. (本小题满分12分)

现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择，为增加趣味性， 约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为

1或2的人

去参加甲游戏，掷出点数大于 2的人去参加乙游戏. (1) 求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；

(2) 求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率； (3) 用X , Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记 E=|X — Y|,求随机变量E 的 分布列与数学期望 E E .

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .答题时用

2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑

.

21.(本小题满分10分) 选修4— 1:几何证明选讲

已知PQ 与圆O 相切于点 A ,直线PBC 交圆于B 、C 两点，D 是圆上一点，且AB // CD , DC 的延长线交PQ 于点Q

20.(本小题满分12 分) 是定义在

已知函数f(x)

是自然界对数的底,a R ) (1) e,0 0, e 上的奇函数，当x 0,e 时，f (x) ax In x (其中 e

f(x) 的解析式

ln |x |]

g(x)

1 时，且 x e,0 , f(x) g(x)

恒成立;

是否存在实数 a ，使得当x (3) 的值；如果不存在，请说明理由。 e,0时，f(x)的最小值是3 ?如果存在，求出实数 a

求 设 (2) 求证：当

(1)

求证：AC 2 CQ AB

(2) 若 AQ=2AP , AB^/3 ,BP=2，求 QD. 22.(本小题满分10分)选修4 — 4:坐标系与参数方程 acos 在平面直角坐标系中，曲线 C 1的参数方程为 (a > b > 0, 为参数)，以O

为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 曲线 C 1上的点M (2, 3)对应的参数 bsi n

C 2是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知

—与曲线C 2交于点

4 4

(1) 求曲线C 1, C 2的方程; (2) A ( p 1, 0)

,B ( p, 0+ )是曲线C 1上的两点，求 2 l0分)选修4—5:不等式选讲 2的值。

2

23.(本小题满分 已知关于x 的不等式|2x 1| |x 1| log 2a (其中a (1) 当a 4时，求不等式的解集； (2) 若不等式有解，求实数 a 的取值范围 数学(理科)答案 一、 选择题 (A )卷 CACDD DBABC CC (B ) CCADD 二、 填空题 0). 11 1 13、 — 14、 15、等边三角形 16. 2005 12 2 三、解答题 17、解：(1)因为 m (a b,c), n (a b, C ), m n (J3 2)ab 3 故 COS C ——,0 C , C —. ------- 5 分

2 6 [ (2) f(x) 2sin(A B)COS 2(

,所以 BDACB CC x) COS (A B)sin(2 x) 1 2 a 2 b 2 C 2

. 3ab ,

2

2sinC COS ( x) COS C sin(2

1 X)

2

2

3

1 COS ( x)

——sin(2 x)

- 2 2

2

汗Z .

X o ，所以f (X)的最小正周期为T

12分

1

18、解：(1)取 AE 的中点 M ，连结 B 1M ，因为 BA=AD=DC= - BC=a , △ ABE 为等边三角 2

a 3

x ay 0 2 2

a . 3 _ 一 x ——az 0 2 2

3

故面ADD 与面ECB 所成锐二面角的余弦值为-.―--12分 1 2

19?解：依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为

3，去参加乙游戏的概率为3?设这

?

1 ?

2 4 ?

4个人中恰有?人去参加甲游戏”为事件A (i = °,1,2,3,4)，则P(A) C ；(一)1一)?

3 3

(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 P(A 2) C ；2(1)2(-2)2

— 3分

3 3

27

(2 )设’这4个人中去参加甲游戏的

人数大于去参加乙游戏 的人数”为事件 B ，则

1 B 1M=

，又因为面B 1AE 丄 V 1 3 亞 .

a 3 —a a a sin ——

2 3 4 形, AECD ，所以 B i M 丄面 AECD , 所以

(2)连结ED 交AC 于0,连结 所以QE//面ACF 。 OF ，因为AECD 为菱形，OE=OD 所以F0 // B 1E ,

7分 ⑶连结 MD ，则/ AMD= 90°，分别以 ME,MD,MB 为 x,y,z 轴建系，则 E (a ,0,0),C(a,^a,0)

- 2 3

a),所以 2

A( a -,0,0) 2 EB

； / a (刁 亠 a J AD (a -

(2,

,0) , AB

一 I a _______ -. 2 .............. ，

,D(0, 3a,0) , B i (0,0, 2 0, f 3

)

2

i

(2,0^^3a ),设面

1 ,

1 ECB 1的法向量为u (x,y,z)，

v (1,丰,丰),

3

3

cos u ,v

令 x=1,

所以 同理面ADB 1的法向量为

1 1 3 3

B A 3 A 4,

由于A 3与A 4互斥，故

P(B) P(A 3)P(A 4)C ；(g)3(|) C ：g)4

1

1 9.

20.解：(1 )设 x [ e,0)，则 x (0, e]，所以 f( x) ax ln( x)又因为 f(x)

[e,0) U (0, e]上的奇函数，所以 f(x) f ( x) ax ln( x)

ax ln( x), x [ e,0) ax ln x, x (0, e]

(2)证明：当x [ e,0)且a 1时，

f (x) x ln( x),g(x) ln( X)，设 h(x) x

1

所以当 x [ e,0)时，f (x)

h(x),即 f (x) g(x) 一

2

(3)解：假设存在实数 a ，使得当x [ e,0)时，f(x) ax ln( x)有最小值是3,

则 f (x) a 1 ax 1 x x

21( I)因为AB // CD ,所以/ PAB= / AQC,又PQ 与圆O 相切于点 A ，所以/ PAB= / ACB,

AC A B 因为AQ 为切线，所

以/ QAC= / CBA,所以△ ACB CQA,所以AC AB ,

CQ AC

所以 AC 2 CQ AB

所以，这4个人去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为 是定义在

ln( x) 1

x 2 1 1 x

f (x)min f( 1) 1

ln(

因为f (X ) 当 1 X 0时, f (X)

0， 此时f(x)单调递增，所以 又因为h(x)

X

x) 1 x 2 ，所以当 e x 0 时, h (x) 0，此时h(x)单调递减，所以

h(X )max h( e)

-2 -2 1 f(x)min e 2 2 2

f (x) min f ( e)

(ii)当 a 0, f (X)

min

(iii)当

f( 1 e)

1 f (X)

0 X

1，不满足最小值是3

f(x)在区间[e,0)上单调递增,

f (x)

0 , f (x)在区间[e,0)上单调递增,

x [ e,0)时，

ae 1 0，也不满足最小值是3

------------- 1

0 ,由于 x [ e,0)，则 f (x) a -

x

0,故函数 f (x) ax ln( x)是 [e,0) 上的增函数?所以 f (x)min f( e) ae 1 3

，解得 4 1 a

e

e

减函数；当 1 1 e x

a

时

，

f (x) a -0 X

,此时函数 f (x) ax ln(

f (x) a

一 0 X

，所以 f

(X )min

f(」) a 1

1 ln( -) 3 a

a

e 2

综上可知，存在实数

故函数f(x)的解析式为

(i)当 a 0, x [ e,0)时,

a e

1

(iv)当a

一时，则当

e

x 0时, (舍去)

x)是 ，解得

e 2，使得当x [ e,0)时，

f (x)有最小值3

............. 12分

(n )因为 AB // CD , AQ=2AP ,所以

BP AP AB 1 PC PQ QC 3

,由 AB= , 3 ,BP=2 得

QC 3、.3,PC=6 AP 为圆O 的切线 又因为AQ 为圆O 的切线 AP 2

PB PC 12 QA 4 3 QD

73

AQ 2 QC QD 10分

22.解：(1)将M (2,」3)及对应的参数 "=3， a cos y bsin

2 a cos —

得

3

,

3 bsin —

3

所以

a 4，所以C 1的方程为x

b 2 16 设圆 C 2的半径R ，则圆C 2的方程为: =2Rcos 0或(x-R ) 2+y 2=R 2) ，将点D (. 2,)代 4 入得： R =1 ???圆C

2的方程为：p =2cos 2 (2)曲线C 1的极坐标方程为: 0或 2 cos 16— (x-1) 2+y 2

=1) 2 2 sin ~4~ 1，将 A ( p , 0) , B ( p. 0+ ) 2 代入得: 1 即'2 1

2 2 1 cos 16 1 5

2的值为一。

2 16 2 . 2 1 sin 4 2 2 . 、

2 cos ( 2)

16 2.2/

、

2 sin ( ) ------------- 2 1

4

23?解: I)当a=4时，不等式即 10分 |2x+1|-|x- 1| W2 当 1 1 —;当-—

当x > 1时，不等式为 x+2 <2 2 综上，不等式的解集为{x|-4

故f (x )的最小值为-3 ,解得a 二,

2 即a 的取值范围是［—

4

10