毕业设计---基于小波变换的图像处理方法研究

基于小波变换的图像处理方法研究

摘要

图像增强是图像处理的一个重要分支，它对提高图像的质量起着重要的作用。它通过有选择地强调图像中某些信息而抑制另一些信息，以改善图像的视觉效果，将图像转换成一种更适合于人眼观察和计算机进行分析处理的形式。传统的方法在增强图像对比度的同时也会增强图像噪声，而小波变换是多尺度多分辨率的分解方式，可以将噪声和信号在不同尺度上分开，根据噪声分布的规律就可以达到图像增强的目的。

本文首先对传统图像增强理论进行概述，并给出直方图均衡化与灰度变换算法，通过matlab来观察其处理效果的特点，然后提出四种基于小波变换的图像增强方法，并分析它们与传统图像增强方法相比的优缺点，最后基于传统小波变换只能增强图像边缘部分而无法增强细节部分的缺点，引出了基于分数阶微分和小波分解的图像增强方法，并通过matlab观察了这种算法的处理效果。

关键词：图像增强；直方图均衡化；小波变换；分数阶微分

Image enhancement based on wavelet transformation

Abstract

Image enhancement is an important branch in image processing.It plays an important role in improving the quality of the images.It will improve the image visual effect through emphasizing the image information and inhibitting some other information selectively.It will converse images into a form more suitable for the human eye observation and computer analysis processing.The traditional method of image enhancement will enhance image contrast,image noise as well,while wavelet transform is a decompositon method of multi-scale and multi-resolution,it can separet noise from signal in different scale so that it can arrive the purpose of image enhancement according to the distribution of the noise.

In the paper,firstly, I will summarize the image enhancement theory and give the Histogram equalization algorithm,at the same time,I will analyze the disadvantages of the treatment effect through the Matlab.Then,I will give an image enhancement method based on the wavelet transform and analyze its advantages and disadvantages compared with traditional methods.Finally,because traditional wavelet transformation can only strengthen the edge of images instead of the details,we will introduce the image enhancement based on wavelet decomposition and fractional differentials.At the same time,we will observe the treatment effect of this algorithm by the matlab..

Keywords: Image enhancement; Histogram equalization; Wavelet transform; Fractional differenti

目录

第一章绪论 (1)

1.1 论文研究的背景和意义 (1)

1.2 国内的研究状况 (1)

1.3 论文的主要内容 (2)

第二章图像增强的传统方法 (3)

2.1 灰度变换法 (3)

2.1.1 图像反转 (3)

2.1.2 对数变换 (3)

2.1.3 分段线性变换 (4)

2.2 直方图调整法 (5)

第三章小波变换的理论基础 (8)

3.1 小波变换与傅里叶变换 (8)

3.1.1 小波变换的理论基础 (8)

3.1.2 小波变换和傅里叶变换的比较 (8)

3.2 小波变换基本理论 (9)

3.2.1 一维连续小波变换(CWT) (9)

3.2.2 一维离散小波变换（DWT） (10)

3.2.4 二维离散小波变换 (11)

3.3 小波变换的多尺度分析 (11)

第四章基于小波变换的图像增强 (13)

4.1 小波变换图像增强原理 (13)

4.2 小波变换图像增强算法 (14)

4.2.1 非线性增强 (14)

4.2.2 图像钝化 (14)

4.2.3图像锐化 (15)

4.2.4 基于小波变换的图像阈值去噪 (16)

4.3 改进的基于小波变换的图像增强算法 (17)

4.3.1 分数阶微分用于图像增强理论 (17)

4.2.2 分数阶微分滤波器的构造 (19)

4.2.3 基于分数阶微分和小波分解的图像增强 (20)

4.2.4 小波分解层次与分数阶微分阶次对图像处理结果的影响 (23)

第五章结论 (26)

致谢 (27)

参考文献 (28)

第一章绪论

1.1 论文研究的背景和意义

在我们所处的信息社会，人们对于信息获取和交流的要求越来越高，从而促进了信息处理和应用技术的飞速发展。图像，作为直观的信息表达和反映形式，越来越广泛地被应用于社会生活的各个方面。而图像处理技术，也随着人们要求的不断提高，应用领域的不断扩大而快速发展更新。

人们要求高质量的图像，不仅仅是为了满足视觉需要，更因为在信号分析、通信技术和计算机科学的各个方面，都需要对各种图像进行分析处理从而得出结论和相关数据。但事实上，由于客观环境和条件的限制，图像往往会受到各种噪声的污染，给后期的识别和利用造成困难，所以图像的增强和降噪，很自然就成为了现代图像处理技术中的重要组成部分。

小波分析是近些年来国际上掀起热潮的一个国际前沿领域，它在时（空）域和频域上同时具有的良好局部化性质以及多分辨率分析的特性，使之被广泛的应用于信号和图像处理中。由于噪声和边缘点在不同小波系数上所体现的不同特性，小波变换为我们希望兼顾增强图像特性和减小噪声放大提供了可能途径，所以，人们希望将这一数学工具运用于图像处理，取得比较好的图像增强和去噪效果。[1]

1.2 国内的研究状况

国内的图像增强技术的发展大致经历了初创期、发展期、普及期和应用期4个阶段。初创期开始于20世纪60年代，当时的图像采用像素型光栅进行扫描显示，大多采用中、大型机对其进行处理。这一时期由于图像存储成本高，处理设备造价高，因而其应用面窄。20世纪70年代进入了发展期，开始大量采用中、大型机进行处理，图像处理也逐渐改用光栅扫描显示方式。20世纪80年代进入了普及期，此时的计算机已经能够承担起图形图像的处理任务。20世纪90年代进入应用期，人们运用图像增强技术处理和分析遥感图像，以有效地进行资源和矿藏的勘探、调查、农业和城市的土地规划、作物估产、气象预报、灾害及军事目标的监视等。图像增强是图像处理的重要组成部分，传统的图像增强对于改善

图像质量发挥了极其重要的作用。随着对图像技术研究的不断深入和发展，新的图像增强方法不断出现。其中基于小波变换的图像增强方法得到了广泛的应用，近年来，基于分数阶微分的图像增强在图像处理领域也拥有了广阔的应用前景。

1.3 论文的主要内容

本论文以小波分析理论为基础，主要研究了基于小波变换的图像增强和分数阶微分增强。论文主要通过分析传统图像增强（主要为直方图均衡化）的缺点来突出基于小波变换的图像增强的优点。同时给出各种增强方法的算法。

全文共分为五章，具体安排如下：

第一章绪论。介绍论文研究的背景意义、国内外的发展状况、研究的主要内容及结构安排。

第二章图像增强的传统方法。主要介绍了灰度变换和直方图均衡化的基本原理。

第三章小波变换的理论基础。

第四章基于小波变换的图像增强。主要研究了传统的小波变换图像增强和加入分数阶微分的小波变换图像增强，并对比分析了各种方法的优缺点。

第五章总结。总结本文的研究内容。

第二章 图像增强的传统方法

2.1 灰度变换法

灰度即使用黑色调表示物体。每个灰度对象都具有从0%（白色）到100%（黑色）的亮度值。灰度变换处理是图像增强处理技术中一种非常基础、直接的空间域图像处理方法，也是图像数字化和图像显示的一个重要组成部分。灰度变换主要是针对独立的像素点进行处理，通过改变原始图像数据所占有的灰度范围而使图像在视觉上得以改观。灰度变换图像反转、对数变换和分段线性变换等。 2.1.1 图像反转

图像反转简单来说就是使黑变白，使白变黑，将原始图像的灰度值进行反转，使输出图像的灰度随输入图像的增加而减少。假设对灰度级范围是()1,0-L 的图像求反，就是通过变换将()1,0-L 变换到()0,1-L ，变换公式为：t=L-1-s (2.1) 变换图像如图

2.1

原图

反转后的图像

(a)

(b)

图2.1 原始图像和经反转增强后的图像

由图2.1可以看到，反转后的图像有黑变白由白变黑了。 2.1.2 对数变换

对数变换的一般表达式为：

)1log(r c S += (2.2)

其中c 是一个常数，并假设0≥r ,此变换使一窄带低灰度输入图像值映射为一宽带输入值。可以利用这种变换来扩展被压缩的高值图像中的暗像素。相对

的是反对数变换的调整值。转换图如图2.2：

原

图

经对数变换增强后的图像

(a)

(b)

图2.2 经对数变换增强后的图像

由图2.2可知，经对数变换后图像明显变亮了。 2.1.3 分段线性变换

分段线性变换函数是前两种灰度变换的补充，它的优势在于形式可任意合成。它的目的在于感兴趣区间增强，不感兴趣区间抑制，分段线性函数的主要缺点是需要更多的用户输入。其公式为[3]

:

????

??

???+---+---=d b y x f b m d m c

a y x f a

b c

d y x f a c y x g f g ]),([]),([)

,(),(

f

m y x f b b y x f a a

y x f ≤≤≤≤≤≤),(),(),(0 (2.3)

f m 表示),(y x f 的最大值，(2.3)式表示原图像),(y x f 的灰度取值范围由

[]b a ,扩展到了[]d c ,,其中实现了[]b a ,的行拉伸，对[]a ,0和[]f m b ,的抑制。通过

对(2.3)式中不同参数的调整，改变线段的斜率，可以实现对任意灰度区间进行拉伸或抑制，从而凸显出图像中感兴趣的区域。其增强图(2.3)所示：

0100200

100

200

(c)分段函数

图

(a)原

图(b)增强后的图像

图2.3 经分段线性变换增强后的图像

2.2 直方图调整法

直方图调整法最常用的是直方图均衡化。

直方图均衡是图像对比度增强中一种有效的算法，主要通过增加图像灰度值的动态范围增加对比度，以致图像具有较大的反差，大部分细节比较清晰。直方图均衡法建立在概率论的基础上，设图像的灰度级是一个连续的随机变量，将灰度级进行归一化，可以证明：当灰度级[])1,0(∈r r 的分布为均匀分布时，图像的信息熵最大。在数字图像中，灰度级是离散值，在进行直方图均衡处理时，往往是用灰度频数近似代替概率值，因此得到的结果只是一个近似均匀的直方图分布。

为了研究方便，往往先将直方图归一化，即将原图像灰度范围归一化到[]1,0之间，假设r 和s 分别代表原图和均衡化后图像的灰度级，做以下灰度级变换

)(r T s =。

为使这种灰度变换具有实际意义，规定T 满足如下条件： (1) 在10≤≤r 区间内，)(r T 为单调增加；

(2) 对10≤≤r ，对应有1)(0≤≤r T 。

条件(1)使变换后的灰度值保持从黑到白的次序，且保持若)(r T 已知则其逆变换)(1s T -存在；条件(2)保证变换后的像素灰度级仍在归一化的范围内。

通常把r 和s 分别看成两个随机变量，设)(r p r 和)(s p s 分别是r 和s 的概率密度函数。由概率论的基本理论可知：若)(r p r 和)(r T 的逆)(1s T -已知，则有：

ds

dr

r p s p r s )

()(= (2.4) 也就是说，均衡化（变换）后的图像s 的概率密度函数)(s p s 是由原图的概率密度函数)(r p r 和所选择的变换函数)(r T s =所决定的。换一句话说，直方图均衡图像增强技术的实质，就是选用合适的变换函数)(r T 来修正图像灰度级r 的概率密度函数)(r p r ，从而得到灰度级具有)(s p s 的新图像。

)(r T 往往根据需要来选择，为了能从图像中获得尽量多的信息量，常常要求

)(r p r 为一常数，即所谓直方图均衡化。图像中所有灰度出现频率相等的图像，所包含的信息量最大。为此，选取

ωωd p r T s r

r )()(0

?== (2.5)

即，选取变换函数为原图像概率密度函数的分布函数，则显然)(r T 满足条件(1)和条件(2),又

)())(()(0

r p d p dr d dr r dT dr ds r

r r ?===ωω (2.6) 所以， 1)

(1

)()

()(===r p r p ds dr r p s p r r r s (2.7) 故，这样选取的)(r T 满足均衡化要求，使得均衡化后的图像灰度级是均匀分布的。这意味着图像灰度的动态范围得到增强，从而提高了图像的对比度。

在实际应用中，往往处理的是离散化后的数字图像。设离散化后图像的灰度级为,,,,,1210-L r r r r 其中L 是最大灰度级。k r 的概率为

)1,,2,1,0()(-==

L k n

n r p k

k r (2.8) 其中，n 是数字图像的像素总数，k n 是灰度级为k r 的像素个数。离散化后的变换函数为： )()(0j k

j r k k r p r T s ∑=== 1,,2,1,0-=L k (2.9)

利用(2.9)式可以把灰度级为k r 的像素映射成相应的灰度级为k s 的像素，从而实现均衡化。在上式中，用灰度频数来近似代替概率值，因而得到的结果是一个近似均匀的直方图分布[4]

。图2.4是采用直方图方式进行增强的例子：

(a)原图

100

200

(c)原图的灰度直方图

(b)原图直方图均衡化

100200

0 (d)均衡后的灰度直方图

图2.4 直方图均衡化增强算法

由图2.4可知，原图的灰度范围大约是100到200之间，灰度范围比较狭窄，所以整体上看对比度比较差，而直方图均衡化后，灰度几乎是均匀的分布在0到255的范围内，图像明暗分明，对比度很大，图像比较清晰明亮，很好地改善了原始图像的视觉效果。这说明直方图均衡化能够使处理后图像的概率密度函数服从均匀分布，扩张了像素值的动态范围。但这种方法不能抑制噪声，增强了图像的同时也增强了噪声。

第三章 小波变换的理论基础

3.1 小波变换与傅里叶变换

3.1.1 小波变换的理论基础

小波变换是一种信号的时间-尺度分析方法，具有多分辨率分析的特点，而且在时间域和频率域都具有表征信号局部特征的能力，是一种时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化分析方法。在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，正是这种特性使小波变换具有对信号的自适应性[5]

。

3.1.2 小波变换和傅里叶变换的比较

傅里叶变换广泛应用于信号处理，但它只能较好地应用于平稳信号，只能提供信号的全局信息，缺少信号的局部信息。Gabor 引入局部傅里叶变换，通过一个滑动窗，可以实现时频分析，这种方法具有局部化分析能力，但对于一个固定窗函数，它的分辨率也是固定的，只能应用于平稳信号的分析，对非平稳信号就无法分析。小波变换产生于传统傅里叶分析和短时傅里叶分析，能体现信号的局部信息，而且可以调整时间分辨率和频率分辨率的尺度，对非平稳信号的分析取得了较好的效果。

小波变换的理论基础来源于傅里叶分析，与傅里叶变换紧密联系在一起，傅里叶变换是小波基构造的主要理论依据，二者是相辅相成的，小波变换是对傅里叶变换的发展与提升。两者之间主要有如下差别：

(1) 傅里叶变换以}{t j e ω为正交基，然后把能量有限信号)(t f 分解到正交基对应的空间上去；小波变换以),,2,1(J j W j =-和j V -所构成的空间，再把能量有限信号)(t f 分解到),,2,1(J j W j =-和j V -构成的空间上。

(2) 傅里叶变换的公式是固定的；小波分析中的小波函数具有多样性，在实际应用中，用不同的小波函数处理同一问题时，其处理结果有时会大相径庭。因此怎么选择小波函数处理实际问题是小波变换在应用中的一个难题，现有的方法是通过反复实验，通过对实验结果的比较，选择效果好的小波函数。

(3) 傅里叶变换在频域中，尤其是作用到一些较平稳的信号，取得了较好局部化效果，傅里叶变换中的ωωd f )(^

表示频率为ω的谐波分量的振幅，)(t f 的全局特性决定了ωωd f )(^

。

(4) 小波分析中的尺度a 相当于傅里叶变换中的ω,a 值越大对应ω的值越小。

(5) STFT 的变换系数),(τωS 取决于区间[]δτδτ+-,的信号，δ是由函数

)(t g 唯一确定，时间宽度固定为δ2。小波变换的变换系数),(b a W i 取决于区间

[]ψψ?+?-a b a b ,的信号情况，其时间宽度为ψ?a 2,该时间宽度由尺度a 决定，

随a 变化而变化的，因此小波变换和傅里叶变换相比更具灵活性。

3.2 小波变换基本理论

3.2.1 一维连续小波变换(CWT )

在Fourier 变换?∞

∞--=dx e t f F jx )()(ω中，用小波基函数)(x ψ做平移和伸缩

变换，得到函数??? ??-a b x ψ,用??? ??-a b x ψ代替傅里叶变换的基函数jx

e 的伸缩函数

x j e ω,得到的新变换就称为连续小波变换，具体定义如下：

函数)()(2R L x ∈ψ称为小波函数(又叫基本小波或母小波)，如果满足准许条件：

∞<=?

∞

+∞

-ωω

ωψ?d C 2

^

)( (3.1)

其中()ωψ^

为()ωψ的Fourier 变换，则连续小波变换定义为：

dx a

b

x x f a

b a f W )(

)(1),)((*?

+∞

∞

--=

ψ? (3.2) 式中：R b a ∈,且a a ,0≠为缩放因子（对应于频率信息）；b 为平移参数(对应于时空信息);)(*x ψ表示)(x ψ的复共轭。准许条件在)()(2R L t f ∈下可以等价地表示为：

?+∞

∞

-=0)(dt t ψ (3.3)

小波变换结果为各种小波系数，这些系数由尺度和位移函数组成。 3.2.2 一维离散小波变换（DWT ） dadb x b a f W a C x f b a R )(),)((1)(,22

ψ??

??-=

(3.4) 令11,b b a a ==,则

dt t t f b a f W b a R

)()(),)((1

1,11?-

=ψ

?

dt t dbda t b a f W a C b a b a R )(])(),)((1

[111,02-+∞+∞

∞-???=ψψψψ

dbda dt t t C b a f W a b a R

b a ])()(1

)[,)((111,02-+∞+∞

∞-???=ψψψψ dbda b b a a K b a f W a ),,,(),)((1

1102ψψ??+∞+∞∞

-=

(3.5) 式中，dt t t C b b a a K b a R

b a )()(1

),,,(11,11-?=ψψψψ称之为再生核。

显然，当)(,t b a ψ与()t b a 11,ψ正交时，0),,,(11=b b a a K ψ,即这时),)((b a f W ψ对),)((11b a f W ψ “没有贡献”。小波的尺度当0=j 时，取00b a b j =,下面小波函数可以实现离散化且不丢

失信息： ()

002

0,)(kb t a a t j

j

k j -=--ψω Z k j ∈, (3.6)

根据以上的讨论，离散小波变换的定义如下：

设()()0,02

,>∈a R L t b a ψ是常数，()()

k t a a t j

j

k j -=--

02

0,ψψ ()Z k j ∈,.则称

dt t t f k j f W k

j R

a )()(),)((,?-

=ψ

(3.7)

为()t f 的离散小波变换。特别地，取20=a ,则称以离散小波函数

()()k t a a t j

j

k j -=--02

0,ψ ()Z k j ∈,为函数的（3.7）式变换称为二进制小波变换。

3.2.3 二维连续小波变换

若信号函数()()()y x R L y x f ,,,2ψ∈为二维小波母函数，则其构造可由一维母

小波的张量积形成。 ()??

? ??--=

a c y a

b x a y x

c b a ,1,,,ψψR c b a ∈,,且0≠a (3.8) 因为图像信号是一种二维信号，所以将一维小波扩展为二维情况，便于后续的使用和分析。

()dxdy a c y a

b x y x f a

c b a f W ???

??--=

??

,,1),,)((ψψ (3.9)

3.2.4 二维离散小波变换

我们只要把参数c b a ,,离散化0000020010,,,,,c b a a c k c a b k b a a j

j j ---===为常

数，Z k k j ∈21,,,则有离散参数变换：

()()

()dxdy c k y a b k x a y x f a k k j DPWT j j j 020010021,,,,--=??ψ (3.10) 将y x ,离散化，即得到离散空间小波变换：

),(),(),,(02200110210211

2

c k l a b k l a l l f a k k j DSWT j

j

l l j --=∑∑ψZ l l ∈21, (3.11）

令1,2000===c b a ,即得到离散小波变换，表示为：

)2,2(),(2),,(221121211

2

k l k l l l f k k j DW T j j i i j --=∑∑ψ Z l l ∈21, (3.12)

3.3 小波变换的多尺度分析

小波变换的多尺度分析（或多分辨率分析）是建立在函数空间概念上的理论，随着尺度由大到小变化，在每个尺度上可以由粗及细地观察图像的目标。大尺度

时，观察到的是图像的基本特征；在小尺度的空间里，则可以看到目标的细节。

把二维图像信号)(),(22R L y x f ∈所占据的总频带定义为),()2(0y x V 空间，用理想的低通滤波器0h 和高通滤波器1h 在行、列方向将它们分别分解成低频部分

)()1(1x V 和高频部分,)1(1W 每一方向的两部分分别反映出该图像信号在剖分方向上的概貌和细节；对于)()()1(1)1(1y V x V ?经第二级()2=a 分解后又被剖分成低频

)()()1(2)1(2y V x V ?、垂直方向的高频)()()1(2)1(2y W x V ?、以及对角线方向的高频)()()1(2)1(2y W x W ?，......,在这种空间剖分过程中，),)(()1(y x i i V j =反映的是图

像信号在空间),()2(1y x V j -中沿i 方向的低频子空间，),)(()

1(y x i i W j =反映的是图像信号在空间),()

2(1y x W j -中沿i 方向细节的高频子空间。

从多分辨率分析可以看出，空间的每次剖分包含两部分：一部分是图像信号通过低通滤波后得到的低频概貌；另一部分是通过带通滤波（小波变换）得到的图像高频细节。对于低频概貌，重复以上过程，最终把图像信号分解成多个等级的高频细节与最后一次低通滤波后的低频概貌之和。

在剖分过程中，这些子空间具有以下特征： (1) 单调性：1-?j j V V 对于任意Z j ∈; (2) 逼近性：{});(,02R L V V j Z

j j Z

j =?=∈∈?

(3) 伸缩性:()()12-∈?∈j j V t f V t f ;

(4) 平移不变性: ()()

j j j V k t f V t f ∈-?∈2;

满足的上述性质称为多尺度分析，即任意函数),(),()2(0y x V y x f ∈,应用多尺度分析将其分解为细节部分或是某一方向上的细节部分和()y x f ,的基本特征部分)()()1()1(y V x V i i ?，然后将)()()1()1(y V x V i i ?进一步分解，可得到任意尺度下

()y x f ,基本特征部分以及细节部分之和

【1】

。

第四章基于小波变换的图像增强

4.1 小波变换图像增强原理

图像增强技术中的一个难点，就是在去除噪声的同时，会造成图像细节信息的损失，从而给后续的处理以及分析工作带来困难。因此如何将同在高频区域的噪声和图像细节信息准确地分离开，就成为解决问题的关键。【6】

由于小波变换的多分辨率分析，能够有效地抑制噪声，增强图像感兴趣部分，因而小波变换图像增强得到了广泛的应用。小波变换把图像在各个尺度上分为低频分量和水平高频，垂直高频，对角高频四个不同的分量，变换后，根据图像需要增强处理的需要，对不同位置不同方向上的某些分量改变其小波系数的大小，从而使得某些感兴趣的分量被放大而使得某些不需要的分量减小，实际应用中，通过对高频部分分量进行变换，经过处理就能达到增强图像的目的。图4.1是经两尺度小波变换分解后图像的各个层次分量，其中LL是低频部分，它代表图像的主要内容信息，集中了图像的绝大部分能量，而HL，LH和HH是高频部分，分别代表图像水平方向、垂直方向和对角线方向的细节。如果对图像的低频部分继续进一步做小波分解，就可以得到多个尺度的图像时频信息。

图4.1 两尺度小波分解图

由图4.1可知，数字图像的小波分解实质上就是把图像信号分解成不同频带范围内的图像分量。每一层小波分解都将待分解图像分解成4个子带，很好地分离出表示图像内容的低频信息。因此，小波变换能在不同的尺度上，采用不同的方法来增强不同频率范围内图像的细节分量，再把处理后的系数进行小波重建，这样就能够在突出图像细节特征的同时，有效抑制图像噪声的影响，使图像轮廓

更加突出。[4]

4.2 小波变换图像增强算法

4.2.1 非线性增强

具体实现步骤如下[5]

： (1) 读入原图像。

(2) 对原始图像进行小波分解，得到低频子带LL 和三个高频子带LH 、HL 、HH （细节部分）；

(3) 对高频系数进行非线性增强，这样达到去噪并增强的目的，其函数满足：

???

??---+=***)1(),(),()1(),(),(11T G j i W j i W G T G j i W j i W in

in in out 111

),(),(),(T j i W T j i W T j i W in in in -<≤> (4.1)

其中G 是小波系数增强倍数，1T 是小波系数阈值，),(j i W in 是图像分解后的小波系数，),(j i W out 是图像增强后小波系数。

(4) 将处理后的两种小波系数进行小波逆变换，从而得出增强后的图像（输出图像）

具体实例如图4.2：

(a)原图

50

100

150

200

250

50100150200

250

(b)2层小波增强图像

50

100

150

200

250

50100150200

250

图4.2 非线性小波增强

由图4.2观察可知，经非线性小波增强后，图像的对比度明显增强，噪声得到了有效抑制，但丢失了某些细节信息。 4.2.2 图像钝化

钝化操作主要是提取图像中的低频成分，抑制尖锐的快速变化的成分，在图像时域中的处理时，只需要把图像作用于一个平滑滤波器，使得图像中的每个点与其相邻点做平滑即可[1]

。

图4.3以一个多面体为例，分析传统的离散傅里叶变换（DCT ）对图像钝化与小波变换对图像钝化的优缺点：

原图

50100150200250

50100150200

250

传统DCT 钝化

5010015020025050100150200

250

小波变换钝化

5010015020025050100150200

250

图4.3 基于DCT 与小波变换的图像钝化

由图4.3可知，采用DCT 在频域滤波的方法得到的钝化结果更为平滑，这是因为其分辨率高，而小波方法得到的结果在很多地方有不连续的现象，因为对系数做放大或抑制在阈值两侧有间断，而且分解层数很低，没有完全分离出频域的信息。而且我们在做系数放大或抑制的时候，采用的标准根据系数绝对值的大小，没有完全体现出其位置信息，但是在小波系数中，我们很容易在处理系数的过程中加入位置信息。 4.2.3 图像锐化

图像锐化就是把图像中尖锐的部分尽可能地提取出来，用于检测和识别等领域。它的任务是突出高频信息，抑制低频信息，从快速变化的成分中分离出标识系统特性或区分子系统边界的成分，以便进一步的识别、分割等操作。锐化的方法是作用掩膜或做差分，二者均很难识别点之间的关联信息[1]

。

(a) 原图

50100150200250

50100150200

250

(b) 传统DCT 锐化

50100150200250

50100150200250

(c) 小波变换锐化

50100150200250

50100150200250

图4.4 基于DCT 与小波变换的图像锐化

图4.4是采用DCT 与小波变换锐化的实例。 由图4.4可知：

(1) 使用DCT 方法进行高通滤波得到的高频结果比较纯粹，完全是原图像上的边缘信息，而使用小波方法，不仅只有高频成分，还有变换非常缓慢的低频成分，这是因为二者同样在小波系数上体现为绝对值较低的部分。

(2) 时间复杂度：DCT 需做两次DCT 变换，每次复杂度为○()log n n ,还有一次中间系数处理，复杂度为○)(n ，总共复杂度为2○()log n n +○)(n ；小波变换分解，重构与系数处理的复杂度均为○)(n ，共为3○)(n ，时间复杂度明显少于DCT.

4.2.4 基于小波变换的图像阈值去噪

(1) 思想：由于图像和噪声经小波变换后有不同的统计特性，图像本身的能量对应着幅值较大的小波系数，主要集中在高频；噪声能量则对应着幅值较小的小波系数，并分散在小波变换后的所有系数中。根据这一特性，设置一个阈值门限，认为大于该阈值的小波系数的主要成分为有用信号，给与收缩后保留；小于该阈值的小波系数，主要成分为噪声，予以剔除，一次达到去噪目的。

(2) 步骤：

① 图像信号的小波分解：选择一个小波和小波分解层次N ，然后计算信号S 到第N 层的分解。

② 对高频系数进行阈值量化：对于从1到N 的每一层，选择一个阈值，并对这一层的高频系数进行阈值量化处理。

③ 二维小波的重构：根据小波分解的第N 层的低频系数和经过修改的从第一层到第N 层的各层高频系数计算二维信号的小波重构。具体实例如图4.5：

原始图像

50100150200250

50

100150200250

含噪声图像

50100150200250

50100150200250

第一次去噪图像50100150200250

50100150200250

第二次去噪图像50100150200250

50100150200250

图4.5 基于小波变换的阈值图像降噪

由图4.5可知，第一次去噪已经滤去了大部分的高频噪声，但与原图相比，

仍含有不少的高频噪声；第二次去噪是在第一次去噪的基础上，再次滤除高频噪声，具有较好的效果。

4.3 改进的基于小波变换的图像增强算法

图像增强就是锐化高频部分的同时平滑图像的低频成分。近年来，采用分数阶微分理论进行图像处理是一个新的热点。[7]

接下来将讨论基于小波分解与分数阶微分的图像增强算法。

4.3.1 分数阶微分用于图像增强理论

分数阶微分是由整数阶微分推衍而来，它包括了通常的整数阶微分运算，但又是整数阶微分运算的扩展，一般将微分阶次为非整数的微分称为分数阶微分。对于10<

[7]

分数阶微分有很多种时域和频域的定义。Grunwald-Letnikov 定义[7]

是从研究连续函数整数阶导数的经典定义出发，将微积分的阶数由整数扩大到分数推衍得到。Grunwald-Letnikov 的v 阶导数定义： 则()t f 的v 阶导数定义为

)()1()1()1(1lim

0mh t f m v v h D h

a t m m

v h v t G -+-Γ+Γ-=∑-=→α

(4.1)

其中Gamma 函数： ()()!10

1?∞---==Γn dt t e n n t (4.2) 若一元信号()t f 的持续时间为[]t a t ,∈,将信号持续时间[]t a ,按单位1=h 等

分，得到??a t h a t n h -=?

??

???-==1

,可以推导出一元信号分数阶微分的差分近似表达

式

()()()()()()()()() +-++-Γ+-Γ++-+--+

--+≈n t f n v n v t f v v t f v t f dt t f d v

v 1!12211)

( (4.3)