(完整word版)高中物理力学图解动态平衡问题与相似三角形问题

图解法分析动态平衡问题

所谓图解法就是通过平行四边形的邻边和对角线长短的关系或变化情况，做一些较为复杂的定性分析，从图形上一下就可以看出结果，得出结论。

题型特点：（1）物体受三个力。（2）三个力中一个力是恒力，一个力的方向不变，由于第三个力的方向变化，而使该力和方向不变的力的大小发生变化，但二者合力不变。

解题思路：（1）明确研究对象。（2）分析物体的受力。（3）用力的合成或力的分解作平行四边形（也可简化为矢量三角形）。（4）正确找出力的变化方向。（5）根据有向线段的长度变化判断各个力的变化情况。

注意几点：（1）哪个是恒力，哪个是方向不变的力，哪个是方向变化的力。

（2）正确判断力的变化方向及方向变化的范围。

（3）力的方向在变化的过程中，力的大小是否存在极值问题。

【例1】如图2－4－2所示，两根等长的绳子AB和BC吊一重物静止，两根绳子与水平方向夹角均为60°.现保持绳子AB与水平方向的夹角不变，将绳子BC逐渐缓慢地变化到沿水平方向，在这一过程中，绳子BC的拉力变化情况是()

A．增大B．先减小，后增大

C．减小D．先增大，后减小

解析：方法一：对力的处理(求合力)采用合成法，应用合力为零求解时采用图解法(画动态平行四边形法)．作出力的平行四边形，如图甲所示．由图可看出，FBC先减小后增大．方法二：对力的处理(求合力)采用正交分解法，应用合力为零求解时采用解析法．如图乙所示，将F AB、FBC分别沿水平方向和竖直方向分解，由两方向合力为零分别列出：

F AB cos 60°＝FB C sin θ，

F AB sin 60°＋FB C cos θ＝FB，

联立解得FBC sin(30°＋θ)＝FB/2，

显然，当θ＝60°时，FBC最小，故当θ变大时，FBC先变小后变大．

答案：B

变式1－1如图2－4－3所示，轻杆的一端固定一光滑球体，杆的另一端O为自由转动轴，而球又搁置在光滑斜面上．若杆与墙面的夹角为β，斜面倾角为θ，开始时轻杆与竖直方向的夹角β＜θ. 且θ＋β＜90°，则为使斜面能在光滑水平面上向右做匀速直线运动，在球体离开斜面之前，作用于斜面上的水平外力F的大小及轻杆受力T和地面对斜面的支持力N的大小变化情况是()

A．F逐渐增大，T逐渐减小，F N逐渐减小B．F逐渐减小，T逐渐减小，F N逐渐增大C．F逐渐增大，T先减小后增大，F N逐渐增大

D．F逐渐减小，T先减小后增大，F N逐渐减小

解析：利用矢量三角形法对球体进行分析如图甲所示，可知T是先减小后增大．斜面

对球的支持力F N′逐渐增大，对斜面受力分析如图乙所示，可知F＝F N″sinθ，则F

逐渐增大，水平面对斜面的支持力F N＝G＋F N″·cos θ，故F N逐渐增大．

答案：C

利用相似三角形相似求解平衡问题

2．相似三角形法：

当物体受三个共点力作用处于平衡状态时，若三力中有二力的方向发生变化，而无法直接用图解法得出结论时，可以用表示三力关系的矢量三角形跟题中的其他三角形相似对应边成比例，建立关系求解。

【例2】一轻杆BO，其O端用光滑铰链固定在竖直轻杆AO上，B端挂一重物，且系一细绳，细绳跨过杆顶A处的光滑小滑轮，用力F拉住，如图2－4－4所示．现将细绳缓慢往左拉，使杆BO与杆AO间的夹角θ逐渐减小，则在此过程中，拉力F及杆BO所受压力F N 的大小变化情况是()

A．F N先减小，后增大B．F N始终不变

C．F先减小，后增大D．F始终不变

解析：取BO杆的B端为研究对象，受到绳子拉力(大小为F)、BO杆的支持力F N和悬挂重物的绳子的拉力(大小为G)的作用，将F N 与G合成，其合力与F等值反向，如图所示，得到一个力的三角形(如图中画斜线部分)，此

力的三角形与几何三角形OBA 相似，可利用相似三角形对应边成比例来解．

如图所示，力的三角形与几何三角形OBA 相似，设AO 高为H ，BO 长为L ，绳长为l ，则由对应边成比例可得 ，F N ＝ G ，F ＝ G

式中G 、H 、L 均不变，l 逐渐变小，所以可知F N 不变，F 逐渐变小．

答案：B

变式2－1如图2－4－5所示，两球A 、B 用劲度系数为k 1的轻弹簧相连，球B 用长为L 的细绳悬于O 点，球A 固定在O 点正下方，且点O 、A 之间的距离恰为L ，系统平衡时绳子所受的拉力为F 1.现把A 、B 间的弹簧换成劲度系数为k 2的轻弹簧，仍使系统平衡，此时绳子所受的拉力为F 2，则F 1与F 2的大小之间的关系为( )

A ．F 1>F 2

B ．F 1＝F 2

C ．F 1

D ．无法确定

解析：两球间放劲度系数为k 1的弹簧静止时，

小球B 受力如右图所示，弹簧的弹力F 与小球的重力G 的合力与绳的拉力F 1等大反向，根据力的三角形与几何三角形相似得 ，由于OA 、OB 均恒为L ，因此F 1大小恒定，与弹簧的劲度系数无关，因此换用劲度系数为k 2的弹簧后绳的拉力F 2＝F 1，B 正确．

答案：B

【例2】如图1-31所示，竖直墙壁上固定一点电荷Ｑ，一个带同种电荷q 的小球Ｐ，用绝缘细线悬挂，由于两电荷之间的库仑斥力悬线偏离竖直方向θ角，现因小球所带电荷缓慢减少，试分析悬线拉力的大小如何变化?

[析与解]：分析小球受力情况，知其受重力G ，线的拉力F T ，点电荷Q 的

排斥力F 三力作用而平衡，用三角形定则作其受力图如图，当q 逐渐减小

时，斥力逐渐减小，θ角逐渐减小，同时斥力F 的方向也在变化，用图解

法不能判断F 的大小变化情况，但注意到G//OQ ，F T //OP ，F 沿QP 方向，所以力三角形跟几何三角形OPQ 相似，由对应边的比例关系有F T /G=OP /OQ ，即F T =OP .G/OQ 因OP 长、OQ 长、重力G 在过程中均不变，得悬线的拉力F T 大小不变。

【例3】如图1---32所示，用细线AO 、BO 悬挂重物，BO 水平，AO 与竖直方向成30°角，若AO 、OB 能承受的最大拉力各为10N 和6N ，OC 能承受足够大的力，为使细线不被拉断，重物允许的最大重力是多大？

3、[]解析：设若逐渐增大重物重量时绳AO 先断，由O 点受力图易得：当F A =10N 时OB 所受拉力为F B =5N ﹤6N ，假设正确，得此态OC 的拉力为F C = F A cos30°=53 N=8.66N ，即重物允许的最大重力为8.66N 。

平衡物体中的临界与极值问题 3．平衡物体的临界问题

某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态叫临界状态。临界状态可以理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现象的状态。平衡物体的临界状态是指物体所处的平衡状态将要破坏而尚未破坏的状态，涉及临界状态的问题叫临界问题。 O θ Q E

P F T G

A O 30°

B

C 图1---32 1500 F N F N2

G

方法技巧：

1．若物体受三个共点力作用处于平衡状态，则表示此三力的矢量首尾相接时一定恰组成一个封闭的三角形。当其中一个力的方向发生变化而引起各力的大小发生变化时，如果只要判断各力大小增减的定性问题，最简单的方法就是用图解法。用图解法解题的第一步，就是正确作出力的矢量三角形(或平行四边形)，第二步是确定好三角形的三条边哪些方向是不变的、哪一条的长短是不变的、哪一条的方向是变的、是向什么方向变的、变化的范围如何，从而得出需要的结论。

2．解决临界问题的基本思维方法是假设推理法。其基本解题方法有两类：

(1)．物理分析法：通过对物理过程的分析，抓住临界条件进行求解。例如两物体脱离的临界条件是相互压力为零；两物体相对静止到滑动的临界条件是摩擦达到最大静摩擦力。

(2)．数学解法：通过对问题的分析，依据物理规律写出物理量之间的函数关系(或画出函数的图象)。用数学方法求解得出结论后，一定要依据物理原理对解的合理性及物理意义进行讨论或说明。

【例4】如图2－4－8所示，一球A夹在竖直墙与三角劈B的斜面之间，三角形劈的重力为G，劈的底部与水平地面间的动摩擦因数为μ，劈的斜面与竖直墙面是光滑的，问欲使三角劈静止不动，球的重力不能超过多大？(设劈的最大静摩擦力等于滑动摩擦力)

解析：本题两物体均处于静止状态，故需分析好受力图示，列出平衡

方程求解．

用正交分解法，对球和三角劈分别进行受力分析，如图甲、乙所示．

由于三角劈静止，故其受地面的静摩擦力．

F≤F max＝μF N B.由平衡条件有：

1对球有：GA＝F Ncos 45°①

F N A＝F Nsin 45°②

2对三角劈有F N B＝G＋F N′sin 45°③

F＝F N′cos 45°④

F≤μF N B，⑤

∵F N＝F N′⑥

由①～⑥式解得：GA≤G.

答案：球的重力不得超过G

变式4－1如图2－4－9所示，两个质量均为m的小环套在一水平放置的粗糙长杆上，两根长度均为l的轻绳一端系在小环上，另一端系在质量为M的木块上，两个小环之间的距离也为l，小环保持静止．试求：

(1)小环对杆的压力；

(2)小环与杆之间的动摩擦因数μ至少为多大？

解析：(1)整体法分析有：2F N＝(M＋2m)g，即F N＝Mg＋mg由

牛顿第三定律得：小环对杆的压力F N′＝Mg＋mg.

(2)研究M得2F Tcos 30°＝Mg

临界状态，此时小环受到的静摩擦力达到最大值，则有F Tsin 30°＝μF N′

解得：动摩擦因数μ至少为μ＝

答案：(1) Mg＋mg(2)

专题训练

2．如图，电灯悬挂于两墙之间，更换水平绳OA使连结点A向上移动而保持O点的位置不变，则A点向上移动时（）

A．绳OA的拉力逐渐增大

B．绳OA的拉力逐渐减小

C．绳OA的拉力先增大后减小

A O

D．绳OA的拉力先减小后增大

3．如图，用细绳将重球悬挂在竖直光滑墙上，当绳伸长时（）

A．绳的拉力变小，墙对球的弹力变大

B．绳的拉力变小，墙对球的弹力变小

C．绳的拉力变大，墙对球的弹力变小

D．绳的拉力变大，墙对球的弹力变大

4．如图，均匀光滑的小球放在光滑的墙壁与木板之间，图中ο30=θ，当将θ角缓慢增大至接近ο90的过程中（ ）

A ．小球施于木板的压力不断增大

B ．小球施于墙的压力不断减小

C ．小球对墙壁的压力始终小于mg

D ．小球对木板的压力始终大于mg

5．在共点力的合成实验中，如图，使弹簧秤b 按图示的位置开始顺时针方向缓慢转ο90角，在这个过程中，保持O 点位置不动，a 弹簧秤的拉伸方向不变，则整个过程中关于a 、b 弹簧的读数变化是（ ）

A ．a 增大，b 减小

B ．a 减小，b 减小

C ．a 减小，b 先减小后增大

D ．a 先减小后增大

7．如图，小球被轻质绳系着，斜吊着放在光滑劈上，球质量为m ，斜面倾角为θ，在水平向右缓慢推动劈的过程中（ ）

A ．绳上张力先增大后减小

B ．绳上张力先减小后增大

C ．劈对球的支持力减小

D ．劈对球的支持力增小

8．如图，轻绳的一端系在质量为m 的物体上，别一端系在一个圆环上，圆环套在粗糙的水平横杆MN 上，现用水平力F 拉绳上一点，使物体处在图中实线位置，然后改变F 的大小，使其缓慢下降到图中虚线位置，圆环仍在原来位置不动，则在这一过程中，水平力F 、环与横杆的摩擦力f 和环对杆的压力N 的变化情况是（ ）

A ．F 逐渐增大，f 保持不变，N 逐渐增大

B ．F 逐渐增大，f 逐渐增大，N 保持不变

C ．F 逐渐减小，f 逐渐增大，N 逐渐减小 θ F

θ

D ．F 逐渐减小，f 逐渐减小，N 保持不变

练习题：

1．如图1--33所示，把球夹在竖直墙面和木板之间，不计摩擦，在将板逐渐放至水平的过程中，墙对小球的弹力________， 板对小球的弹力_______。(填增大或减小或不变) 2．如图1--34所示，半圆支架BAD ，两细绳结于圆心O ，下悬重为G 的物体，使OA 固定不动，将OB 绳的B 端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直位置C 点的过程中，分析OA 绳和OB 绳所受的力的大小如何变化?

4．如图1-36，重为10N 的小球用长为L 细绳系在竖直的墙壁上，

细线延长线通过球心，小球受_______个力作用，画出其受力图；若小球半径r=L ，绳对小球的拉力F T =______N,球对墙的压力F N =_______N,若将细绳增长,上述二力的变化情况是_____________________. 5．如图1—37所示，物体重10N ，物体与竖直墙的动摩擦因数为0.5，用一个与水平成45°角的力F 作用在物体上，要使物体A 静止于墙上，则F 的取值是____________。 6．如图1—38所示，物块置于倾角为θ的斜面上，重为G ，与斜面的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，与斜面的动摩擦因数为μ

/3，用水

平外力F 推物体，问当斜面的倾角变为多大时，无论外力怎样增大都不能

使物体沿斜面向上运动?

参考答案：

例题：

练习：

1、减小，减小

2、F A 一直减小F B 先减后增

4、3，203/3，103/3，均变小

5、(202/3N ≤F ≤ 202N)

6、[]解析：分析易知，F 越大，θ越小，物体越容易上滑，可以先求出F 无穷大时，物体刚好不能上滑的倾角临界值θ0，然后再取θ≥θ0，即为题目的答案。作出物体的受力图，将

力沿平行和垂直斜面两方向分解，有力的关系为：?????=+=+=Fn F F G F F G F f N f

μθθθθ0000sin cos sin cos

解之得F=0

01)(θμμθtg tg G -+因F 无穷大得1-μtg θo=0即

θo=arctg μ1 =60°所以当斜面倾角θ≥60°时，无论F 多大，都不能使物体上滑。

α 图1—33 C

A

D O B 图1—34

F 45

图1—37 图1-36 F

θ 图1—38