勾股定理逆定理导学案

单元程序导学案

编号课题勾股定理的逆定理(一) 主备教师徐斌学科组长

一.学习目标

1.互逆命题与互逆定理;

2.勾股定理的逆定理的证明;

3.勾股定理的逆定理的运用.

二.重难点: 勾股定理的逆定理的证明与运用

三.课时安排(预习+展示)2课时

四.预习笔记要求(根据学科特点提出要求,学科组长检查签字)

从课本入手,由浅入深,自己写出每一题的过程.

导学案

一、自学(自学课本P73-P75上,完成下列练习)

1、以下各组数为边长，能组成直角三角形的是（）．

A．5，6，7 B．10，8，4 C．7，25，24 D．9，17，15 2、以下各组正数为边长，能组成直角三角形的是（）．

A．a-1，2a，a+1 B．a-1，a+1

C．a-1a+1 D．a-1a，a+1

3、什么是命题？什么是逆命题？

4、根据下列命题写出其逆命题，并判断正误

原命题：猫有四只脚．

逆命题：

原命题：对顶角相等

逆命题：

原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等．

逆命题：

原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．

逆命题：

5.△ABC的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，如果△ABC是直角三角形，它应该与直角

边是

a，b的直角三角形全等．实际情况是这样的吗？?我们画一个直角三角形A′B′C′，使B′C′=a，A′C′=b，∠C′=90°（课本图18．2-2），再将画好的△A?′B′C′剪下，放到△ABC上，请同学们观察，它们是否能够重合？试一试!

6、以下列各组线段为边长，能构成三角形的是____________(填序号)，能构成直角三角形的是____________．

①3，4，5 ②1，3，4 ③4，4，6 ④6，8，10 ⑤5，7，2 ⑥13，5，12 ⑦7，25，

24

二、自展：(典型例题解析)

例1：一个零件的形状如下图所示，按规定这个零件中∠A和∠DBC都应为直角．工人师傅量出了这个零件各边尺寸，那么这个零件符合要求吗?

例2：若△ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判定△ABC 的形状．

例3：已知：在△ABC中，AB＝13cm，BC＝10cm，BC边上的

中线AD＝12cm．求证：AB＝AC．

三、自评：

1、请完成以下未完成的勾股数：

（1）8、15、_______；（2）10、26、_____．

2、△ABC中，a2+b2=25，a2-b2=7，又c=5，则最大边上的高是_______．

3、以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（）．

A．3+1，3-1，22B．7，24，25

C．4，7.5，8.5 D．3.5，4.5，5.5

4、一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么它的最长边上的高是（）．

A．12.5 B．12 C．152

2

D．9

5、如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，那么斜边扩大到原来的( )

A.1倍

B. 2倍

C. 3倍

D. 4倍

6、下列各命题的逆命题不成立的是( )

A.两直线平行,同旁内角互补

B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等

C.对顶角相等

D.如果a=b,那么a2=b2

7、五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中

正确的是（）

715

24

25

20

715

20

24

25

15

7

2520

24

25

720

2415

(A)(B)(C)(D)

8、已知：如图，∠ABD=∠C=90°，AD=12，AC=BC，∠DAB=30°，求BC的长．

9、已知：如图，AB=4，BD=12，CD=13，AC=3，AB⊥AC，求证：BC⊥BD．

10、在四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD

的面积

11、 如图所示的一块地，已知AD =4m ，CD =3m ， AD ⊥DC ，AB =13m ，BC =12m ，求

这块地的面积.

12、 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中∠A 和∠DBC 都应为直角．工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？

A

B

C

D

A B

C

D

512

13

13、下图中的（1）?是用硬纸板做成的形状大小完全相同的直角三角形，两直角边的长分

别为a 和b ，斜边长为c ；下图中（2）是以c 为直角边的等腰直角三角形，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明出勾股定理的图形．

（1）画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形． （2）用这个图形推出a 2+b 2=c 2（勾股定理）．

（3）假设图中的（1）中的直角三角有若干个，你能运用图中的（1）所给的直角三角形拼出另一种能推出a 2+b 2=c 2的图形吗？请画出拼后的示意图．（无需证明）

A D C B

14、 如图，E 、F 分别是正方形ABCD 中BC 和CD 边上的点，且AB =4，CE =4

1

BC ，F 为CD 的中点，连接AF 、AE ，问△AEF 是什么三角形？请说明理由.

15、 勾股数又称商高数，它有无数组，是有一定规律的.比如有一组求勾股数的式子：

a =m 2-n 2,b=2mn ,c =m 2+n 2（其中m ，n 为正整数，且m ＞n ）.你能验证它吗？利用这

组式子，完成下表，通过表格，你会发现勾股数有哪些规律？请查阅有关资料，相信你 1

2

3

4

5

6

(2)

3 4 5 6

…

…

…

…

…

…

…

…

A

勾 股 数

n

m

单元程序导学案

编号课题勾股定理的逆定理(二) 主备教师徐斌学科组长

一.学习目标

1.勾股定理逆定理在方位角中的应用;

2. 勾股定理逆定理在几何中的应用.

二.重难点: 勾股定理及逆定理在几何中的应用.

三.课时安排(预习+展示)2课时

四.预习笔记要求(根据学科特点提出要求,学科组长检查签字)

结合所学知识,自己认真写出每一题的过程.

导学案

一、自学（自学课本P75例2,完成下列练习）

1、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？

2、小明向东走80m 后,沿另一方向又走了60m,再沿第三个方向走100m 回到原地.小明向东走80m 后又向哪个方向走的?

3、一架25分米长的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离墙底端7分米.如果梯子的

顶端沿墙下滑4分米，那么梯足将滑动多少？

4、如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐 角走“捷径”，在花铺内

走出了一条“路”．他们仅仅少走了 步路（假设2步为1米）， 却踩伤了花草． 5、一个矩形的抽斗长为24cm ，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是 ．

6、已知直角三角形中30°角所对的直角边长是32cm ，则另一条直角边的长是（ ）

A. 4cm

B. 34cm

C. 6cm

D. 36cm

7、△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，则△ABC 的周长为（ ）

A ．42

B ．32

C ．42 或 32

D ．37 或 33 8、在△ABC 中，∠C ＝90°，（1）已知 a ＝2.4，b ＝3.2，则c ＝ ；（2）已知c ＝17，b ＝15，则△ABC 面积等于 ；（3）已知∠A ＝45°，c ＝18，则a ＝ .

二、自展：(典型例题解析)

例1：问题：A 、B 、C 三地两两距离如下图所示，A 地在B 地的正东方向，C 地在B

地的什么方向?

例2：如图，某会展中心在会展期间准备将高5m,长13m ，宽2m 的楼道上铺地毯,

已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱?

例3：有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m 的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？

例4：将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为320cm，

在无风的天气里，彩旗自然下垂，如右图. 求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度

h.彩旗完全展平时的尺寸如左图的长方形（单位：cm）.

120

90

三、自评：

1、如图，你能计算出各直角三角形中未知边的长吗？

2、一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为．

3、一个矩形的抽斗长为24cm，宽为7cm,在里面放一根铁条，那么铁条最长可以是．

4、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12cm ，S △ABC ＝30cm 2，则AB ＝ .

5、在△ABC 中，,,A B C ∠∠∠的对边分别为,,a b c ，且ab c b a 2)(2

2

+=+，则（ ）

A.A ∠为直角

B.B ∠为直角

C.C ∠为直角

D.不能确定

6、放学后，小明先去同学小华家玩了一回，再回到家里。已知学校C 、小华家B 、小明家A 的两两距离如图所示，且小华家在学校的正东方向，则小明家在学校的（ ） A.正东方向 B.正南方向 C.正西方向 D.正北方向

7、已知△ABC ，在下列条件：①∠A ＝∠B －∠C ；②∠A ：∠B ：∠C=3：4：5；

③2

22c a b -=； ④2:3:1::=c b a ；⑤2

2

2

2

,2,n m c mn b n m a +==-=（m 、n

为正整数，且m>n ）中,使△ABC 成为直角三角形的选法有（ ）

A. 2种

B. 3种

C. 4种

D. 5种

8、 “中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h.如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方30m 处，过了2s 后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m ，这辆小汽车超速了吗？

9、如图, △ABC 的三边BC=3，AC=4、AB=5,把△ABC

AB 翻折后得到△ABC ′，则CC ′的长等于（ ） A.

5

6 B.512 C.513 D.524

10、给出一组式子：32＋42＝52，82＋62＝102，152＋82＝172，242＋102＝262．

(1)你能发现上面式子的规律吗?请你用发现的规律，给出第5个式子； (2)请你证明你所发现的规律．

11、小红和小军周日去郊外放风筝，风筝飞得又高又远，他俩很想知道风筝离地面到底有多高，你能帮助他们吗?

C

12、如下图所示是一尊雕塑的底座的正面，李叔叔想要检测正面的AD 边和BC 边是否垂

直于底边AB ，但他随身只带了卷尺． (1)你能替他想想办法完成任务吗? (2)李叔叔量得AD 的长是30厘米，AB 的长是40厘米， BD 的长是50厘米，AD 边垂直于AB 边吗?

(3)小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能有办法检验AD 边是否垂直于AB 边吗?BC 边与AB 边呢?

13、如图，长方形ABCD 中，AD=8cm,CD=4cm.

⑴若点P 是边AD 上的一个动点,当P 在什么位置时PA=PC?

⑵在⑴中,当点P 在点P ＇时，有C P A P ''=，Q 是AB 边上的一个动点,若4

15AQ =

时, QP' 与C P '垂直吗？为什么？

14、如图，南北向MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海驶来，便立即通知正在MN 线

D

C

A

B

上巡逻的我国反走私艇B.已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？

15、 学习了勾股定理以后,有同学提出“在直角三角形中,三边满足2

2

2

c b a =+,或许其他的三角形三边也有这样的关系”.让我们来做一个实验！

(1)画出任意的一个锐角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是=a ______mm ；=b _______mm ；较长的一条边长=c _______mm 。 比较2

2

2

_____c b a +

(2)画出任意的一个钝角三角形,量出各边的长度(精确到1毫米),较短的两条边长分别是

=a ______mm ； =b _______mm ；较长的一条边长=c _______mm 。

比较2

2

2

_____c b a +

(3)根据以上的操作和结果,对这位同学提出的问题, 你猜想的结论是: 。

⑷对你猜想22a b +与2c 的两个关系，任选其中一个结论利用勾股定理证明。

N

单元程序导学案

编号 课题 勾股定理的逆定理(三) 主备教师 徐斌 学科组长 一.学习目标

勾股定理逆定理的综合应用

二.重难点: 勾股定理及逆定理所涉及的数学思想. 三.课时安排(预习+展示)2课时

四.预习笔记要求(根据学科特点提出要求,学科组长检查签字) 运用勾股定理及其逆定理的相关知识,认真完成下面每一题.

导 学 案

一、自学

1、下列说法正确的是（ ）

A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2

B.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2＋b 2＝c 2

C.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，ο90=∠A ，则a 2＋b 2＝c 2

D.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，ο90=∠C ，则a 2＋b 2＝c 2

2、如图所示，在△ABC 中，三边a ,b ,c 的大小关系是（ ）

A.a ＜b ＜c

B. c ＜a ＜b

C. c ＜b ＜a

D. b ＜a ＜c 3、直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，

则直角三角形的周长为（ ）

A ．121

B ．120

C ．90

D ．不能确定

4、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ，则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为_______cm 2.

5、在△ABC 中，∠C =900,，BC =60cm,CA =80cm,一只蜗

牛从C点出发，以每分20cm的速度沿CA-AB-BC的路径再回到C点，需要分的时间.

6、有一个边长为1米的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口，圆的直径至少

7、在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=12cm，S△ABC=30cm2，则AB=________．

二、自展：(典型例题解析)

例1：（方程思想）有一个直角三角形，两直角边AC=5,BC=10, 将这个三角形折叠，使B与A重合，折痕为DE，则CD长为多少？

例2：（分类讨论思想）在△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为了12，求△ABC的面积．

例3：（类比思想）分别以直角△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你说明S1、S2、S3的关系。

若以直角△ABC三边向外作三个正方形，S1、S2、S3又是怎样的关系？

若以直角△ABC三边向外作三个等边三角形呢？

例4：（转化思想）△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且DE⊥DF若BE=12,CF=5,求EF长。

三、自评：

1、等边△ABC的高为3cm，以AB为边的正方形面积为.

2、在△ABC中，∠C＝90°，

（1）已知a＝2.4，b＝3.2，则c＝；

（2）已知c＝17，b＝15，则△ABC面积等于；

（3）已知∠A＝45°，c＝18，则a＝.

3、．如图，?某人欲横渡一条河，?由于水流的影响，?实际上

岸地点C?偏离欲到达点B200m，结果他在水中实际游了520m，则该河流的宽度为_____m 4、欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需多长的梯子?

5、.一根旗杆在离地面9m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12m处，旗杆折断之前有多高?

6、一个门框的尺寸如右图所示，一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么?

7、蚂蚁沿图中的折线从A 点爬到D 点，一共爬了多少厘米？

（小方格的边长为1厘米）

8、如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m ，高3m ，长20m ，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.

9、下面是数学课堂的一个学习片段, 阅读后, 请回答下面的问题:

学习勾股定理有关内容后, 张老师请同学们交流讨论这样一个问题: “已知直角三角形

ABC 的两边长分别为3和4, 请你求出第三边.”

同学们经片刻的思考与交流后, 李明同学举手说: “第三边长是5”; 王华同学说: “第三边长是7.” 还有一些同学也提出了不同的看法…… （1）假如你也在课堂上, 你的意见如何? 为什么?

（2）通过上面数学问题的讨论, 你有什么感受? (用一句话表示)

10.如图，在中，，，点为的中点，于点，求的长.

11、.一个3m 长的梯子AB ，斜靠在一竖直的墙AO 上，这时AO 的距离为2.5 m ，如果

梯子的顶端A 沿墙下滑0.5m ，那么梯子底端B 也外移0.5 m 吗?

12、一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B点，那么沿哪条路爬最近?你能帮它找出来吗?(这个长方体的长为15厘米，宽为10厘米，高为20厘米，点B离点C5厘米)

13、如图所示，某人在B处通过平面镜看见在B正上方5米处的A物体，巳知物体A到平面镜的距离为6米，问B点到物体A的像A'的距离是多少?

14.如图所示的长方体是某种饮料的纸质包装盒，规格为5×6×10(单位：㎝)，在上盖中开有一孔便于插吸管，吸管长为13㎝，小孔到图中边AB距离为1㎝，到上盖中与AB相邻的两边距离相等，设插入吸管后露在盒外面的管长为h㎝，则h的最小值大约为多少㎝?（精确到个位，参考数据：）

15、在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3分米，一阵风吹来；水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6分米，问这里的水深是多少?

16、如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC上的点F处，已知AB=8cm，BC=?10cm，求EC的长．

17、台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力．如下图，据气象观测，距沿海城市A的正南方向260千米B处有一台风中心，沿BC的方向以15千米／时的速度向D移动，已知AD是城市A距台风中心的距离最短，且AD＝100千米，求台风中心经过多长时间从B点移到D点?

18如图8,C为线段BD上一动点,分别过点B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,连接AC、EC.已知AB=5,DE=1,BD=8,设CD=x.

(1)用含x的代数式表示AC＋CE的长；

(2)请问点C满足什么条件时,AC＋CE的值最小?

(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式的最小值.