高考数列专项大题与答案
高考数列专项大题与答
案
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高考数列大题专项
1.(北京卷)设数列{a n }的首项a 1=a ≠41,且
11
为偶数21
为奇数
4n
n n a n a a n +???=??+??, 记
211
4n n b a -=-
,n ==l ,
2,3,…·.
(I )求a 2,a 3;
(II )判断数列{b n }是否为等比数列,并证明你的结论; (III )求123lim()
n n b b b b →∞
+++
+.
2.(北京卷)数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1=1,
11
3n n
a S +=,n =1,2,3,……,求 (I )a 2,a 3,a 4的值及数列{a n }的通项公式; (II )2462n
a a a a +++
+的值.
3.(福建卷)已知{n a }是公比为q 的等比数列,且231,,a a a 成等差数列.
(Ⅰ)求q 的值; (Ⅱ)设{
n
b }是以2为首项,q 为公差的等差数列,其前n 项和为S n ,当n ≥2时,比较S n 与b n 的
大小,并说明理由.
4. (福建卷)已知数列{a n }满足a 1=a , a n+1=1+n a 1
我们知道当a 取不同的值时,得到不同的数列,如
当a =1时,得到无穷数列:.
0,1,21:,21;,35,23,2,1---=得到有穷数列时当a
(Ⅰ)求当a 为何值时a 4=0;
(Ⅱ)设数列{b n }满足b 1=-1, b n+1=)
(11
+∈-N n b n ,求证a 取数列{b n }中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{a n };
(Ⅲ)若)4(223
≥< 5. (湖北卷)设数列}{n a 的前n 项和为S n =2n 2,}{n b 为等比数列,且.)(,112211b a a b b a =-= (Ⅰ)求数列}{n a 和}{n b 的通项公式; (Ⅱ)设n n n b a c = ,求数列}{n c 的前n 项和T n . 6. (湖南卷)已知数列 ))}1({log * 2N n a n ∈-为等差数列,且.9,331==a a (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅱ)证明. 111112312<-++-+-+n n a a a a a a 7. (江苏卷)设数列{a n }的前项和为n S ,已知a 1=1, a 2=6, a 3=11,且1(58)(52)n n n S n S An B +--+=+, ,,3,2,1 =n 其中A,B 为常数. (Ⅰ)求A 与B 的值; (Ⅱ)证明数列{a n }为等差数列; (Ⅲ)1m n >对任何正整数、都成立 . 8. (全国卷Ⅰ) 设正项等比数列{}n a 的首项 21 1= a ,前n 项和为n S ,且 0)12(21020103010=++-S S S 。 (Ⅰ)求{}n a 的通项; (Ⅱ)求{}n nS 的前n 项和n T 。 9. (全国卷Ⅰ) 设等比数列{}n a 的公比为q ,前n 项和 ) ,2,1( 0 =>n S n 。 (Ⅰ)求q 的取值范围; (Ⅱ)设1 223 ++-=n n n a a b ,记{}n b 的前n 项和为n T ,试比较n S 与n T 的大小。 10. (全国卷II) 已知{}n a 是各项为不同的正数的等差数列,1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列.又 21 n n b a = ,1,2,3,n =. (Ⅰ) 证明{}n b 为等比数列; (Ⅱ) 如果数列{}n b 前3项的和等于7 24,求数列{}n a 的首项1a 和公差d . 答案 1.(北京卷)解:(I )a 2=a 1+41=a +41,a 3=21a 2=21 a +81; (II )∵ a 4=a 3+41=21a +83, 所以a 5=21 a 4=41a +316, 所以b 1=a 1-41=a -41, b 2=a 3-41=21(a -41), b 3=a 5-41=41(a -41 ), 猜想:{b n }是公比为21 的等比数列· 证明如下: 因为b n +1=a 2n +1-41=21a 2n -41=21(a 2n -1-41)=21 b n , (n ∈N *) 所以{b n }是首项为a -41, 公比为21 的等比数列· (III ) 11121 (1)12lim()lim 2()1141122n n n n b b b b b a →∞ →∞ - ++ +===---. 2.(北京卷)解:(I )由a 1=1, 113n n a S +=,n=1,2,3,……,得 211111333a S a ===,3212114()339a S a a ==+=,431231116 ()3327a S a a a ==++= , 由1111()33n n n n n a a S S a +--=-=(n ≥2),得14 3n n a a +=(n ≥2),又a 2=31,所以a n =214()33n -(n ∴ 数列{a n }的通项公式为 2 1114()2 33n n n a n -=?? =???≥; (II )由(I )可知242,,,n a a a 是首项为31,公比为2 4()3项数为n 的等比数列,∴ 2462n a a a a +++ +=2224 1()1343[()1]43731()3n n -?=-- 3.(福建卷)解:(Ⅰ)由题设,2,21121213q a a q a a a a +=+=即 .012,02 1=--∴≠q q a . 21 1-=∴或q (Ⅱ)若. 2312)1(2,12n n n n n S q n +=?-+==则 当 . 02) 2)(1(,21>+-= =-≥-n n S b S n n n n 时 故.n n b S > 若. 49)21(2)1(2,212n n n n n S q n +-=--+=-=则 当 , 4) 10)(1(,21--- ==-≥-n n S b S n n n n 时 故对于.,11;,10;,92,n n n n n n b S n b S n b S n N n <≥==>≤≤∈+时当时当时当 4. (福建卷)(I )解法一: , 1 1,11n n a a a a +==+ . 0.11 111.1111.1111,.}{.11 ,1,1:)(.03 2 .32,11.21,11.1,01 1,0:.03 2.1223111 1211,11111112 1 21 231121 114222333 44342312=∴-==+ =+ =∴=+=+=∴=+=+=∴==+=∴-= -==-=-=∴+==∴+ =-=∴=+∴==-=++=+ =++=+=+=+=+=∴+----++n n n n n n n n n n n n n n a b b a a b b a a b b a a b a b a b a b b b b b b II a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a 中的任一个数不妨设取数列解法一时故当解法二时故当 故a 取数列{b n }中的任一个数,都可以得到一个有穷数列{a n } 5. (湖北卷) 解:(1):当;2,1 11===S a n 时 ,24)1(22,2221-=--=-=≥-n n n S S a n n n n 时当 故{a n }的通项公式为4,2}{,241==-=d a a n a n n 公差是即 的等差数列. 设{b n }的通项公式为. 41 ,4,,11=∴==q d b qd b q 则 故 .42 }{,4121111---=? -=n n n n n n b b q b b 的通项公式为即 (II ) , 4)12(422 411---=-== n n n n n n n b a c ] 4)12(4)32(454341[4],4)12(45431[13212121n n n n n n n n T n c c c T -+-++?+?+?=-++?+?+=+++=∴-- 两式相减得 ]. 54)56[(91 ] 54)56[(3 1 4)12()4444(2131321+-=∴+-=-+++++--=-n n n n n n n T n n T 6. (湖南卷) (I )解:设等差数列 )} 1({log 2-n a 的公差为d . 由,8log 2log )2(log 29,322231+=+==d a a 得即d =1. 所以 , )1(1)1(log 2n n a n =?-+=-即 .12+=n n a (II )证明因为n n n n n a a a 21 2 1111=-=-++, 所以n n n a a a a a a 21 21212111132112 312++++=-++-+-+ .121121121 212 1<-=-? -=n n 7. (江苏卷) 解:(Ⅰ)由11a =,26a =,311a =,得11S =,22S =,318S =. 把1,2n =分别代入1(58)(52)n n n S n S +--+An B =+,得28, 248A B A B +=-?? +=-? 解得,20A =-,8B =-. (Ⅱ)由(Ⅰ)知,115()82208n n n n n S S S S n ++---=--,即11582208n n n na S S n ++--=--, ① 又2215(1)8220(1)8n n n n a S S n ++++--=-+-. ② ②-①得,21215(1)58220n n n n n a na a a +++++---=-,即21(53)(52)20n n n a n a ++--+=-. ③ 又32(52)(57)20n n n a n a +++-+=-. ④ ④-③得,321(52)(2)0n n n n a a a ++++-+=, ∴32120n n n a a a +++-+=, ∴3221325n n n n a a a a a a ++++-=-==-=,又215a a -=, 因此,数列{}n a 是首项为1,公差为5的等差数列. (Ⅲ)由(Ⅱ)知, 54,()n a n n * =-∈N .考虑 55(54)2520mn a mn mn =-=-. 21)11m n m n m n a a a a a a =++++2515()9 m n m n =-++. ∴251)15()291522910 mn a m n -+-?-=>. 即 2 51)mn a > 1. 1. 8. (全国卷Ⅰ) 解:(Ⅰ)由 0)12(21020103010=++-S S S 得 ,)(21020203010S S S S -=- 即,)(220121********* a a a a a a +++=+++ 可得 .)(220121********* 10a a a a a a q +++=+++? 因为 >n a ,所以 ,1210 10=q 解得 21= q ,因而 . ,2,1,21 11 ===-n q a a n n n (Ⅱ)因为}{n a 是首项 21 1= a 、公比 21= q 的等比数列,故 .2,211211) 21 1(21n n n n n n n nS S -=-=--= 则数列}{n nS 的前n 项和 ),22221()21(2n n n n T +++-+++= ).2212221()21(212132++-+++-+++=n n n n n n T 前两式相减,得 1 22)212121()21(2 12+++++-+++=n n n n n T 1 2211) 211(214)1(++- -- +=n n n n n 即 .22212)1(1-+++=-n n n n n n T 9. (全国卷Ⅰ) 解:(Ⅰ)因为}{n a 是等比数列,.0,0,011≠>=>q S a S n 可得 当;0,1 1>==na S q n 时 1(1)11,0,0,(1,2,) 11n n n a q q q S n q q --≠=>>=--当时即 上式等价于不等式组:),2,1(,01, 01 =???<-<-n q q n ① 或),2,1(,01, 01 =???>->-n q q n ② 解①式得q>1;解②,由于n 可为奇数、可为偶数,得-1 (Ⅱ)由2132n a n b a a ++=-得. )23 (),23(22n n n n S q q T q q a b -=-= 于是)123(2--=-q q S S T n n n ). 2)(21 (-+=q q S n 又∵n S >0且-1 当 1 12q -<<- 或2q >时0n n T S ->即n n T S > 当1 22q -<<且q ≠0时,0n n T S -<即n n T S < 当1 2q =- 或q =2时,0n n T S -=即n n T S = 10. (全国卷II) (I)证明:∵1lg a 、2lg a 、4lg a 成等差数列 ∴22lg a =1lg a +4lg a ,即2 214a a a = 又设等差数列{}n a 的公差为d ,则(1a -d )2=1a (1a -3d ) 这样21d a d =,从而d (d -1a )=0 ∵d ≠0 ∴d =1a ≠0 ∴122111 (21)22 n n n n n n a a d db a d =+-== =? ∴{}n b 是首项为1b =12d ,公比为1 2的等比数列。 (II)解。∵ 1231117 (1)22424b b b d ++= ++= ∴d =3 ∴1a =d =30