2019-2020年高二数学上册 9.4《三阶行列式》教案(1) 沪教版
2019-2020年高二数学上册 9.4《三阶行列式》教案（1）沪教版
数学课堂教学是一个师生双方参与的动态的活动过程，学生是活动的主体，教师是这个过程的设计者和活动的指导者及合作者。在一堂课中，如何体现学生学习的主体作用，激发学生学习的积极性，使学生在学习活动的过程中，在知识、能力、情感等诸方面得到发展，需要我们进行科学的设计。下面就本人在06年9月执教的《三阶行列式》的教学设计过程为例，谈谈如何进行数学课堂教学设计。
一、了解学生现状和班级实际水平。
在教学设计时，应该了解所教学生的现状和班级的实际水平，只有了解了学生对本课时有关的基本知识和技能、数学方法和数学思想的掌握程度，所需的知识、能力与以往经验之间的差异等。才能通过恰当的处理教材内容，让学生顺利完成本节课的学习要求，同时使40分钟的教学效率较高。
我执教的高二（2）的学生对已有知识和能力的现状是：三阶行列式是学生学习了二阶行列式后紧接着学习的内容，他们对二阶行列式的学习是比较成功的，他们初步知道了二阶行列式的有关知识，知道如何利用二阶行列式解二元一次方程组和讨论二元一次方程组解的情况。
学生在能力和情感的现状是：对数学有一定的兴趣，有一定的类比推广能力，对化归的数学思想有所体会，也有部分学生具有初步的数学审美情趣。
二、了解所教内容的地位，确定教学目标。
了解所教内容在本章节、在高中数学乃至在整个数学中的地位，了解本节课内容在数学结构和学生知识结构中所处的地位和作用。教材作为一个载体，分析是否具有在能力、情感态度价值观等方面有挖掘的方面。以确定较全面、科学的教学目标。
课程标准对《三阶行列式》的学习要求是：掌握三阶行列式的对角线展开法则，以及三阶行列式按某一行（列）展开的方法；会用三阶行列式表示相应的特殊算式。
结合课程标准的学习要求，如果我们在设计时，重知识、轻能力，重结果、轻过程，重记忆、轻概念的形成过程，那么这节课的设计很可能显得平淡，学生可能会在大量的模仿、记忆和练习中，达到课程标准的学习要求，但长期这样下去，学生的能力得不到培养，学生可能会失去对数学的兴趣甚至厌学，更不要说对情感态度价值观的培养了。
我认为，尽管三阶行列式作为一个非高考内容，但它却是一个不可多得的让学生体验类比推广过程，体会化归思想，培养学生数学审美情趣的好教材。
基于以上原因，我把这节课的教学目标确定为：
1。让学生掌握三阶行列式的对角线展开法则，能把三阶行列式按某一行（列）化为二阶行列式；知道余子式和代数余子式的概念，并能把三阶行列式按某一行（列）化成二阶行列式，并求值。
2。在学习过程中，让学生体验类比推广的过程，体会化归思想。让学生体会数学的思维方式。
3。进一步让学生体会数学之美（高度的和谐、化归等），激发学生学习数学的积极性。
三、教学过程
数学学习的意义在于通过数学学习而学习一种思维方式，进而培养学生的思维能力。所以在教学过程的设计中，应该留出时间与空间，引导学生独立思考，自主探索，合作交流，重视概念、方法等的形成过程，使学生在理解和掌握数学知识的同时，既获得数学活动的经验，又得到美的熏陶。对每一步的推导和变形，必须严密，以培养学生的理性精神。
在本节课的教学设计过程中，我通过学生类比二阶行列式的有关知识，让学生猜想三阶行列式的定义、对角线法则等内容，一方面是培养学生的类比能力，另一方面也让学生体会到这样定义三阶行列式的定义与对角线法则是合理的，进一步让学生体会到数学内部高度的和诣。在引入余子式和代数余子式时，通过学生把式子改写为二阶行列式，探求二阶行列式中的元素在原行列式中位置，从而很自然地引进了余子式和代数余子式的概念，这样可让学生一方面体会到引入这些概念的必要性与过程（数学概念并不是凭空想象出来的，而是为数学本身的发展或社会发展服务的），也暗示学生数学内部无处不存在美。
本节课的教学过程简述如下： （一）概念的形成：
（教师）我们学习了二阶行列式的概念、对角线展开法则和它的应用，请同学们思考：组成二阶行列式需要四个数（式），那么如果要组成一个三阶行列式，需要几个数（式）？他们应该如何排列？你能模仿二阶行列式的定义，给出三阶行列的定义吗？
二阶行列式有对角线展开法则，请你注意主对角线和副对角线的方向，及主对角线和副对角上都是两个元素之积这个事实，你觉得三阶行列式是否有主、副对角线呢？如有，它们的方向是怎样的呢？应该是几个元素之积呢？你能给出三阶行列式的对角线展开法则吗？
（二）按某一行（列）展开
对三阶行列式的对角线展开法则，按第一行的元素进行整理得：a 1b 2c 3+a 2b 3c 1+a 3b 1c 2- a 3b 2c 1- a 2b 1c 3- a1b 3c 2=a 1(b 2c 3-b 3c 2)+b 1(a 3c 2-a 2c 3)+c 1(a 2b 3-a 3b 2),请学生观察，每一个括号都是二个数字积的差，它们能否用行列式表示？
在这个过程中，对学生给出的各种形式的二阶行列式，与这些元素在原行列式中的位置对照，得出一个合理的行列式。但中间的行列式，其元素与原位置不同，如何处理，才能使其位置与原位置一致，以达到高度的和谐？学生通过思考，有学生说：提出一个负号，这样元素与原位置一致了。（让理想与现实产生冲突，激发学生的思维积极性）
至此，学生受到了数学高度和谐美的冲击，有学生情不自禁地说：数学真美！ 师：如果对其它行（列）进行整理，结果又会如何呢？ 由此可以很自然地引进余子式和代数余子式的概念了。 （三）范例与练习
例1．用对角线法则计算三阶行列式的值：1
3
231
2
203
-- 。 学生练习：课本12页。
例2．按下列要求，对行列式1
11c
b
c a
b
a ---进行展开，并化简。 （1）对角线法则。 （2）按第一行展开。 （3）按第一列展开。 学生练习：
以上是本人对数学课堂教学设计的粗浅体会，以上管见，如有不当，恳请同行，不吝赐教。
2019-2020年高二数学上册 9.4《三阶行列式》教案（2）沪教版
一、教学内容分析
三阶行列式按一行(或一列)展开是三阶行列式计算的另外一种法则，学习这种法则有助于学生更好地理解二阶行列式、三阶行列式的内在联系，同时这个法则也是较复杂的行列式计算的常用方法，这个法则更是蕴涵了数学问题研究过程中将复杂问题转化为简单问题的研究方法．本节课的教学内容主要围绕代数余子式的符号的确定研究三阶行列式按一行(或一列)展开法则．
二、教学目标设计
⑴掌握余子式、代数余子式的概念；
⑵经历实验、分析的数学探究，逐步归纳和掌握代数余子式的符号的确定方法和三阶行列式按一行(或一列)展开方法，体验研究数学的一般方法；
(3)体会用简单（二阶行列式）刻画复杂（三阶行列式）、将复杂问题简单化的数学思想．
三、教学重点及难点
三阶行列式按一行(或一列)展开、代数余子式的符号的确定．
四、教学过程设计
一、情景引入
(1)将下列行列式按对角线展开：
_______________ _______________
_______________
111
222
333
a b c
a b c
a b c
=_______________
(2)对比、分析以上几个行列式的展开式，你能将三阶行列式
111
222
333
a b c
a b c
a b c
表示成含有几
个二阶行列式运算的式子吗？
[说明]
(1)请学生展开几个行列式的主要目的是：巩固复习前面学习的知识；同时，有意识地设
计这几个行列式的展开，有助于学生发现三阶行列式
111
222
333
a b c
a b c
a b c
与相应的二阶行列式间的关
系．
(2)将三阶行列式
111
222
333
a b c
a b c
a b c
表示成几个含有二阶行列式运算的式子，结果可能不唯一，
可以有
111
222222
222111
333333
333
a b c
b c a c a b
a b c a b c
b c a c a b
a b c
=-+等等．
二、学习新课１．知识解析
在刚才的实验中，将三阶行列式1
11
2
223
33a b c a b c a b c 表示成了含有三个二阶行列式运算的式子，主要有：
11122222222211
1
333333
333a b c b c a c a b a b c a b c b c a c a b a b c =-+
111221111
222123
33
33
22
333a b c b c b c b c a b c a a a b c a c b c a b c =-+ 111
221111
22212
3
3
3
3
3
2
2
3
3
3
a b c a c a c a c a b c b b b a c a c a c a b c =-+-等等． 请同学生选择其中的一个为例谈谈他们是如何发现这些等式的？
事实上，以1
112222222
2211
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
a b c b c a c a b a b c a b c b c a c a b a b c =-+为例，先将展开式
111
222123231312321213132333a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c =++---变形为： 111
2221231323122132313213
3
3
()()()a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c =-+-+-，然后分别提取公因式，可以得到
111
2221233213223123323
3
3
()()()a b c a b c a b c b c b a c a c c a b a b a b c =-+-+- 再利用已有的展开式
① ② ③ 从而很容易就得到结果了．
其中二阶行列式①、②、③分别叫做元素，，的余子式．．．，添上相应的符号(正号省略)，如
， 、、分别叫做元素，，的代数余子式．．．．．．于是三阶行列式可以表示为第一行的各个元素与其代数余子式的乘积之和：
11122
222
22221113
3
333
3
3
3
3
a b c b c a c a b a b c a b c b c a c a b a b c ??=+-+ ?
??
象这样的展开，我们称之为三阶行列式按第一行展开．类似的，我们可以将三阶行列式按第二行或按列展开．从上述研究，我们不难发现这种展开方法的关键是要找到三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式．不难发现，要确定某元素的代数余子式，我们可以先确定其余子式，然后确定代数余子式符号，而最主要的就是其符号的确定．
为了让学生有较深刻的体会，教师可以组织学生完成 总结代数余子式的确定方法：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
[说明]
(1)以上主要由学生合作完成，实验的目的主要是让学生经历实验、归纳、猜想、抽象并获得新知的过程；
(2)教师可以将学生分成数个学习小组，合作实验研究，并交流研究结果，最后由教师总结．
(3)通过上述研究，教师要引导学生发现：确定某个元素的余子式其实就是将这个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按照原来的位置关系所组成的二阶行列式；而这个元素的代数余子式与该元素所在行列式的位置(即第行，第列)有关，其代数余子式的正负号是“”．
一般地，三阶行列式可以按其任意一行(或一列)展开成该行(或该列)的各个元素与其代数余子式的乘积之和．其中，最关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式(尤其是其符号)．
２．例题解析
例题1 按要求计算行列式：3
0221
323
1
-- (1)按第一行展开； (2)按第一列展开．
[说明]
(1)一个三阶行列式可以按其任意一行(或一列)展开，其中，最关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式(尤其是其符号)；
(2)当一个三阶行列式的某一行(或某一列)元素中，0的个数较多，我们往往将行列式按照该行(或该列)，这样计算往往比较方便．
例题2.计算：
2222222
2
2
3
3
3
3
3
3
b c a c a b a b c b c a c a b -+
〖参考答案〗
描 述: 教学目标⑴掌握余子式、代数余子式的概念；⑵经历实验、对比、分析的数学探究，逐步归纳和掌握代数余子式的符号的确定方法和三阶行列式按一行(或一列)展开方法，体验研究数学的一般方法；(3)体会用简单（二阶行列式）刻画复杂（三阶行列式）、将复杂问题
简单化的数学思想．教学重点及难点三阶行列式按一行(或一列)展开、代数余子式的符号的确定．
四、课堂小结
(1)余子式、代数余子式的概念；
(2)三阶行列式按一行(或一列)展开方法．
五、作业布置
根据学生的具体情况，对习题册中的问题进行增减．
五、教学设计说明
本节课的教学内容是三阶行列式按一行(或一列)展开方法，从内容上看，这部分内容与上节课一样，同样概念性比较强，同样容易上成教师“一堂言”的枯燥无味的数学课，但是这部分内容却蕴涵了重要的数学思想方法．单纯的死记硬背不是好的学习方法，理解比记忆重要，能力比知识的本身重要．我把本节课的教学模式设计为通过实验探究、对比分析、大胆猜想、证实猜想，从而逐步获得新知，让学生体验数学学习的乐趣，感悟数学研究的一般方法．