高三联考数学试题

2020届高三5月学情调查

数学Ⅰ试题

一、填空题：本题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸

的指定位置上. 1.已知集合{}0,1,2M =，集合

N =0,2,4{}

，则M N ?= ▲ ．

{0,1,2,4}

2.已知复数 z =1+2i （ i 为虚数单位），则 z 2

的值为 ▲ ． -3+4i

3.袋中装有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2 只黄球从中一次随机摸出 2只球，则这 2只球颜色不同的概率为 ▲ ．

5

6 4.某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600．现用分层抽样的方法

在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则=n ▲ ．63 5.执行如图所示的伪代码，输出的结果是 ▲ ．8 6.若曲线

f (x )=mxe x

+n 在 (1,f (1))处的切线方程为 y =ex ，则

m +n = ▲ . e +12

7.在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是抛物线2

4y x =与双曲线

22

2

1(0)4x y b b -=>的一个交点.若抛物线的焦点为F ，且5FA =，则双曲线的渐近线方程为 ▲ .

y =±

3

x 8.已知{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和．若32a =，1264S S =，则9a 的值为 ▲ ．6 9.已知直三棱柱

ABC -A 1B 1C 1的所有棱长都是 a ，点 P ,Q 分别为棱

CC 1,BC 的中点，四面体

A 1

B 1

PQ 的体积为

2

，则 a 的值为 ▲ .2 S ←1 I ←2

While S ≤100 I ←I ＋2 S ←S ×I

注意事项：

1.本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分.本试卷满分为160分，考试试卷为120分钟.

2.答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级写在答题卡上.试题的答案写在答题卡上对应题目

10. 已知 a ?(0,p 2)且 cos2a =35，则

tan(p

4-a )tan(p 4+a )= ▲ . 19

11.若关于,x y 的方程组：1mx y x y n

+=??

+=?在[1,2]x ∈上有解，则22m n +的最小值为 ▲ .95

12.已知正实数 a ,b 满足 a +2b =2，则

(a +

4a )(b +1b )的最小值为 ▲ . 25

2

13.在平面直角坐标系

xOy 中， A ,B 是圆

C :x 2-4x +

y 2=0上两动点，且

AB =2，点 P 坐标为

，则的取值范围为 ▲ .

14. 已知函数

f (x )=-x 3+4x 2+b ,

x <0

2x ,x 30ìí??, 若函数 g (x )=f [f (x -1)]恰有三个不同的零点，则

实数 b 的取值范围是 ▲ . b <

2-

二、解答题：本答题共

6分，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把

答案写在答题卡的指定区域内.

15.（本小题满分14分）

在 D ABC 中，角 A ,B ,C 的对边分别为 a ,b ,c ，已知

cos A

=-

10

b =

c =

（1）求边

a 的值；（2

）求

cos(B -

A

)的值.

解：（1）在ABC ?中，cos 10

A =-

，b =c =

2222cos 252(9a b c bc A ∴=+-=+

-=，

，3a ∴

=.…………………………………………………………………6分

（2）在ABC ?中，cos 10A =-

Q ，(,)2

A π

π∴∈， sin 10

A ∴===

，……………………………………………8分

在ABC ?中，

sin sin a b A B =，即32

sin 31010

B

=

，5sin 5B ∴=，………………………10分 又(

,)2A π

π∈，(0,)2B π∴∈，22525

cos 1sin 1()55

B B ∴=-=-=

. 251053102

cos()cos cos sin sin ()51051010

B A B A B A ∴-=+=

?-+?=.……………14分 16. （本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中． （1）若AD ⊥平面PAB ，PB PD ⊥，求证：平面PBD ⊥平面PAD ； （2）若AD ∥BC ，2AD BC =，E 为PA 的中点，求证：BE ∥

平面PCD ．

16．（1）因为AD ⊥平面PAB ，PB ?平面PAB ，

所以AD PB ⊥， 又因为PB PD ⊥，

且AD PD D =I ，AD PD ?，平面PAD ， 所以PB ⊥平面PAD ， 又因为PB ?平面PBD ，

所以平面PBD ⊥平面PAD .…………………6分 （2）取PD 的中点F ，连结EF ，

因为E F ，分别是PA ，PD 的中点，

所以//EF AD ，且=2AD EF ，又因为四边形ABCD 为直角梯形且//

AD BC ，2AD BC =，所以//EF BC 且EF BC =，所以四边形EFCB 是平行四边形， 所以//BE CF ， 又CF ?平面PCD ，BE ?平面PCD ， 所以//BE 平面PCD ． ……………………………………14分

17. （本小题满分14分）已知椭圆 C :x 2a 2+y 2

b

2=1(a >b >0)的左右顶

点为 A ，左、右焦点分别为 F 1,F 2，离心率为 1

2

， P 是椭圆上的一个动

P

A

B C

D

（第

16题图）

点（不与左右顶点重合），且D PF

1F

2

的周长为6，点P关于原点的对称点为Q，直线AP,QF

2

交

于点M.

（1）求椭圆的方程；（2）若直线PF

2与椭圆交于另一点N，且S D AF

2

M

=4S

D AF

2

N

，求点P的坐标.

解（1）因为椭圆的离心率为1

2

，D PF

1

F

2

的周长为6，设椭圆的焦距为2c，则

2a+2c=6

c

a

=

1

2

b2+c2=a2

ì

í

?

?

?

?

?

解

得：a=2,c=1,b=

x2

4

+

y2

3

=1………………………………4分

（2）设P(m,n)，则m2

4

+

n2

3

=1,Q(-m,-n)，所以AP的方程为y=

n

m+2

(x+2)①

若m=-1，则QF2方程为x=1②，由对称性不妨令P在x轴上方，则P(-1,3

2

),Q(1,-

3

2

)，联立

①②解得M(1,9

2

),PF

2

方程为y=-

3

4

(x-1)，代入椭圆方程得N(

13

7

,-

9

14

).故

S

D AF

2

M

S

D AF

2N

=

|y

M

|

|y

N

|

=714，不合题.…………………………6分

若m1-1，则QF

2方程为y=

n

m+1

(x-1)③.联立①③可得

x=3m+4

y=3n

ì

í

?

，

M(3m+4,3n).………8分

因为S

D AF

2M

=4S

D AF

2

N

，所以|y

M

|=4|y

N

|.又因为M,N位于x轴异侧，所以y

N

=-

3n

4

.

由直线PF

2方程y=

n

m-1

(x-1)得：x

N

=

7-3m

4

，………………………………………10分

将点N(7-3m

4

,-

3n

4

)代入椭圆方程得

(

7-3m

4

)2

4

+

(-

3

4

n)2

3

=1，又

m2

4

+

n2

3

=1，……12分

故(

7

3

-m)2

4

+

n2

3

=

16

9

即

(

7

3

-m)2

4

-

m2

4

=

7

9

所以

m =

12， n =

±4 P 坐标为 (12,

4或 (12

,

-4.…………………14分 解法二：设 P (m ,n )，则 m 24

+n 2

3=1,Q (-m ,-n )，所以 AP 的方程为 y =n m +2(x +2)① QF 2

方程为

x =

m +1

n

y +1②，联立①②解得 M (3m +4,3n )，…………………8分 因为

S D AF 2

M

=4S D AF 2

N ，所以

|y M

|=4|y N

|.又因为 M ,N 位于 x 轴异侧，所以

y N =-3n 4

. 由直线

PF 2方程

x =

m -1n y +1得：

x N =7-3m

4（下同法一）. …………………10分 18. （本小题满分16分）如图，建筑公司受某单位委托，拟新建两栋办公楼AB ，CD （AC 为

楼间距），两楼的楼高分别为 m a ， m b ，其中b a >．由于委托单位的特殊工作性质，要求配电房设在AC 的中点M 处，且满足两个设计要求：① 90BMD ∠=?，②楼间距与两楼的楼高之和

的比(0.8,1)λ∈． （1）求楼间距AC （结果用a ，b 表示）； （2）若45CBD ∠=?，设

k =

k 表示l ，并判断是否能满足委托单位的设计要求？ 18.解：（1）∵在ABM ?中，2tan 2

a a

BMA c c ∠=

=

，在CDM ?中，2tan 2b b

DMC c c ∠==

，∵90BMD ∠=?，∴90BMA DMC ∠+∠=?，∴tan tan 1BMA DMC ∠?∠=，即24c

ab =，∴c = ----6

分

（2）

l =a +b =2k 1+k 2

=

2

k +1k ---------------------8分 在CBD ?中，过点B 作CD 的垂线，垂足为E ，

∴tan a CBE c ∠=

，tan b a

DBE c

-∠=， ∴

tan DCBD =tan(DCBE +DDBE )=

tan DCBE +tan DDBE

1-tan DCBE ×tan DDBE

=

1-

=

1-4b =1，

=32+a

2b ，因为 k =

k =32+12k 2

即32

2310k k --=， ………10分 设

f (x )=2x 3-3x 2-1， x >1，

∴

￠f (x )=6x 2-6x =6x (x -1)>0，∴函数 f (x )单调递增，

若(0.8,1)λ∈，则

2

1k <5

2

，即 1

2<0，

f (2)=3>0，

∴ 1

答：（1）楼间距AC 为;(2)能满足委托单位的设计要求． ………………16分

19. （本题满分16分）已知函数

f (x )=e x ax 2

+bx +1，其中 a >0,b ?R ,e 为自然对数的底数. （1）若 b =1,x ?[0,+￥)，①若函数

f (x )单调递增，求实数 a 的取值范围；②若对任意 x 30，

f (x )31恒成立，求实数 a 的取值范围.

（2）若 b =0，且

f (x )存在两个极值点 x 1,x 2，求证：

1+3

2a

ax 2

+x +1单调递增，所以

￠f (x )=e x [ax 2+(1-2a )x ](ax 2+x +1)230对任意 x ?[0,+￥)恒成立，即 ax 32a -1对任意 x ?[0,+￥)恒成立， \2a -1￡0，即 0

2； ②由①当 0

f (x )=e x

ax 2+x +1单调递增，故 f (x )31成立， 当

a >

12时，令 ￠f (x )=0得 x =2a -1a ，\ f (x )在 (0,2a -1a )上递减，\

f (2a -1

a )

（2）因为f(x)=

e x

ax2+1

,x?R存在两个极值点x

1

,x

2

所以￠f(x)=e x(ax2-2ax+1)

(ax2+1)2

=0有两个不同的解，故D=4a2-4a>0，又a>0，所以a>1，

设两根为x

1,x

2

(x

1

2

)，则x

1

+x

2

=2,x

1

x

2

=

1

a

，故0

1

<1，

f(x

1)+f(x

2

)=

e x1

ax

1

2+1

+

e x2

ax

2

2+1

=

e x1

x

1

x

2

+1

+

e x2

x

2

x

1

+1

=

e x1x

2

+e x2x

1

x

1

+x

2

=

e x1(2-x

1

)+e2-x1x

1

2

令F(x)=e x(2-x)+e2-x x

2

，因为￠F(x)=

e x(1-x)+

e2(1-x)

e x

2

>0，所以F(x)在(0,1)上递增，

所以F(x)

又2[f(x

1)+f(x

2

)]-

3

a

=e x1(2-x

1

)+

e2x

1

e x1

-3x

1

(2-x

1

)

令G(x)=e x(2-x)+e2x

e x

-3x(2-x),x?(0,1)，则

￠G(x)=(1-x)(e x+

e2

x

-6)，令￠G(x)=0得

e x=3±x?(0,1)，则e x=3-x=ln(3-，记为x

，则G(x)

在(0,x

)上递增，在(x

,1)上递减，又G(0)=2,G(1)=2e-3>2，所以G(x)>G(0)=2，即

f(x

1

)+f(x

2

)>1+

3

2a

，综上：1+

3

2a

1

)+f(x

2

)

解法二：由（1）当x30时，

e x

1

2

x2+x+1

31恒成立，所以有当x>0时，e x>

1

2

x2+x+1所以

f(x

1

)+f(x

2

)=

e x1

ax

1

2+1

+

e x2

ax

2

2+1

=

e x1

x

1

x

2

+1

+

e x2

x

2

x

1

+1

=

e x1x

2

+e x2x

1

x

1

+x

2

>

x

2

(

1

2

x

1

2+x

1

+1)+x

1

(

1

2

x

2

2+x

2

+1)

2

=1

2x 1x 2(x 1+x 2)+2x 1x 2+x 1+x 2

2=1+32x 1x 2=1+

32a

----------------16分

20. （本题满分16分）

已知数列 {a n }满足奇数项

{a 2n -1}成等差，公差为 d ，偶数项

{a 2n }成等比，公比为

q ，且数列

{a n }

的前n 项和为n S ，

a 1=1,a 2=2.

（1）若 S 5

=2a 4+a 5,a 9=a 3+a 4

.

①求数列 {a n }的通项公式；②若

a m a m +1=a m +2，求正整数m 的值；

（2）若 d

=1， q >1，对任意给定的 q ，是否存在实数l ，使得

|l |

恒成立？若存在，求出l 的取值范围；若不存在，请说明理由.

（1）①因为 S 5=2a 4+a 5,a 9=a 3+a 4，所以 a 1+a 2+a 3=a 4,a 9=a 3+a 4，即 4+d =2q

3d =2q

ìí?

解得

d =2,q =3.

当 n 为奇数时，设 n =2k -1，则 a n

=a 2k -1=a 1+(k -1)d =2k -1=n

当 n 为偶数时，设 n =2k ，则

a n =a 2k =a 2q

k -1

=2×3n 2

-1

综上

a n =n ,n =2k -12×n

2-1,n =2k ìí???,k ?N *

. ②当 m 为奇数时， m ×2×3

m -1

2

=m +2，即

2×3

m -12

=1+

2

m

，当 m =1时，不合题；当 m 33时，右边小于2，左边大于2，等式不成立；

当 m 为偶数时， m +1=3,所以 m =2.综上， m =2. （2）当 l

=0时，由于

a 2n -1=n ,a 2n

=2q

n -1

各项，所以

a 2n -1

a 2n

>0，所以 l =0合题； 当 l

10时，假设

|l |<

a 2n -1a 2n

对任意 n ?N *恒成立，即 n

2q

n -1>|l |对任意 n ?N *恒成立，

所以n

q n

>

2|l|

q

，令l

=

2|l|

q

，即

n

q n

>l

对任意n?N*恒成立

先证：ln x<

x>0恒成立

令f(x)=

-ln x，则￠f(x)=

1

x

=

-2

2x

，所以f(x)在(0,4)上递减，在(4,+￥)上

递增，

所以f(x)

min =f(4)=2-ln4>0，即

ln x0恒成立，所以

ln n<

所以ln q n-ln n2=n ln q-2ln n>n

ln q-

=

q-2)，所以当n>

4

ln2q

时，q n>n2,

即n

n2

>

n

q n

>l

，解得n<

1

l

，所以当n>

1

l

且n>

4

ln2q

时，

n

q n

<

n

n2

=

1

n

这与

n

q n

>l

对

任意n?N*恒成立矛盾，所以当l10时不合题；综上l的取值范围为{0}.