八年级数学第13章轴对称知识点

第十三章 轴对称知识点总结及常见题型

1、轴对称图形：

一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 2、轴对称：

两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。 这条直线叫做对称轴。互相重合的点叫做对应点。 3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：

（1）区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。

（2）联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。 4、轴对称的性质：

（1）成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。 （3）对应点到对称轴的距离相等。 （4）对应点的连线互相平行。

5、线段的垂直平分线：

（1）定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。 如图2，

∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，

∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。

（2）性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。

如图3，

∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，点P 是直线m 上的点。

∴PA=PB 。

（3）判定：与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

如图3，

∵PA=PB ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，

∴点P 在直线m 上 。

6、等腰三角形：

（1）定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。 ①相等的两条边叫做腰。第三条边叫做底。 ②两腰的夹角叫做顶角。 ③腰与底的夹角叫做底角。 说明：底角顶角?-=2180ο

顶角顶角底角2

1

-902180?=-?=

可见，底角只能是锐角。

（2）性质：

①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”，只有一条。 ②“等边对等角”：等腰三角形的两个底角相等。 如图5，在△ABC 中 ∵AB=AC

∴∠B=∠C 。

③三线合一：顶角平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合。 （3）判定方法：

①定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 如图5，在△ABC 中， ∵AB=AC

∴△ABC 是等腰三角形 。 ②判定（“等角对等边”）：有两个角相等的三角形是等腰三角形。 如图5，在△ABC 中 ∵∠B=∠C

∴△ABC 是等腰三角形 。 7、等边三角形：

（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。

说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。 （2）性质：

①等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线” ，有三条。

②三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。

③等边三角形的三个内角都等于60°。 如图6，在△ABC 中 ∵AB=AC=BC

∴∠A=∠B=∠C=60°。 （3）判定方法：

图6

m C A

B

D'D C'

B'A'

K J I

H 图1

图2 m

C

A

B

P

图3 底边

底角底角顶角

腰

腰

D

C

B A 图5 A B

C 图4

①定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。 如图6，在△ABC 中 ∵AB=AC=BC

∴△ABC 是等边三角形 。

②判定1：三个内角都相等的三角形是等边三角形。 如图6，在△ABC 中 ∵∠A=∠B=∠C

∴△ABC 是等边三角形 。

③判定2：有一个内角是60°的等腰三角形是等边三角形。 如图6，在△ABC 中

∵AB=AC （或AB=BC,AC=BC ）

∠A=60°（∠B=60°，∠C=60°） ∴△ABC 是等边三角形 。

（4）重要结论1：在Rt △中，30°角所对直角边等于斜边的一半。 如图7，

∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30° ∴BC=2

1

AB 或AB=2BC

（5）重要结论2：在Rt △中，所对如果一条直角边等于斜边的一半，这条直角边所对的角是ο

30。 8、平面直角坐标系中的轴对称： （1）),()

,(b a x b a -横不变，纵反向轴对称关于 （2）),(),(b a y b a -横反向，纵不变

轴对称

关于

说明：要作出一个图形关于坐标轴（或直线）成轴对称的图形，只需根据作出各顶点的对称点，再顺次连结各对称点。对称点的作法见12（1）。 9、对称轴的画法：

在一个轴对称图形或成轴对称的两个图形中，连结其中一对对应点并作出所得线段的垂直平分线。

注意：①有的轴对称图形只有一条对称轴，有的不止一条，要画出所有的对称轴。 ②成轴对称的两个图形只有一条对称轴。 10、常见的轴对称图形： （1）英文字母。

A B D E H I K M O T U V W X Y

（2）中文。日，目，木，土，十，士，中，一，二，三，六，米，山，甲，由，田，天，又，

只，支，圭，凹，凸，出，兰，合，全，仝，人，关，甘，等等。

（3）数字。0 3 8 （4）图形。

说明：①圆有无数条对称轴。对称轴为每一条直径所在的直线。 ②正n 边形有n 条对称轴。 11、其他结论

（1）三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离相等。

（2）三角形三个边的中垂线（垂直平分线）交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 12、掌握几个作图：

（1）作出点A 关于直线m 对称的点A / 。 作法：如图

①以点A 为圆心，适当的长为半径画圆弧。使圆弧与直线MN 交于两点C 、D 。 ②分别以点C,D 为圆心，大于

CD 2

1

的长为半径画圆弧，设两条圆弧交于点E 。 ③作射线AE ，设交直线mn 于点F 。

○

4在射线AE 上截取FA /=FA ，点A /即为所求。 （2）课本62页例题1、63页例题2。 （3）课本37页10、12题。 （4）课本82页第8题。

13、作图题专练

图7

1、如图：已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．

2．、已知：

．．．．A．、．B．两点在直线

．．．．．l．的同侧，试分别画出符合

．．．．．．．．．．．

条件的点

．．．．M．．．

（．1．）如图，在

．．．．．l．上求作一点

．．．．．M．，使得

．．．AM

．．＋．BM

．．最小．

．．．（4）如果两点位于直线异侧，请你去解决上述问题

A

C

·

·D O B