工程数学试卷及标准答案
1．某人打靶3发，事件Ai 表示“击中i 发”，i=0,1,2,3. 那么事件A=A1∪A2∪A3表示( )。
A. 全部击中.
B. 至少有一发击中.
C. 必然击中
D. 击中3发 2．对于任意两个随机变量X 和Y ，若E(XY)=E(X)E(Y)，则有( )。
A. X 和Y 独立。
B. X 和Y 不独立。
C. D(X+Y)=D(X)+D(Y)
D. D(XY)=D(X)D(Y)
3．下列各函数中可以作为某个随机变量的概率密度函数的是（ ）。
A ． 其它1||0|)|1(2)(≤???-=x x x f 。 B. 其它2
||05.0)(≤?
??=x x f
C. 0
021)(2
2
2)(<≥???
?
???=--x x e x f x σμπ
σ D. 其它0
0)(>???=-x e x f x ，
4．设随机变量X ～)4,(2μN , Y ～)5,(2μN , }4{1-≤=μX P P ,
}5{2+≥=μY P P , 则有（ ）
A. 对于任意的μ, P 1=P 2
B. 对于任意的μ, P 1 < P 2
C. 只对个别的μ，才有P 1=P 2
D. 对于任意的μ, P 1 > P 2
5．设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ）
A ．D(X+c)=D(X). B. D(X+c)=D(X)+c. C. D(X-c)=D(X)-c D. D(cX)=cD(X)
6． 设3阶矩阵A 的特征值为-1，1，2，它的伴随矩阵记为A*， 则|A*+3A –2E|= 。
7．设A= ???
?
? ??-????? ??--10000002~011101110x ，则x = 。
8．设有3个元件并联，已知每个元件正常工作的概率为P ，则该系统
正常工作的概率为 。
9．设随机变量X 的概率密度函数为其它A
x x x f <
=≥)2
1
(X P 。
10．设二维连续型随机变量),(Y X 的联合概率密度函数为
其它当0
,00),()43(>>??
?=+-y x ke y x f y x ，则系数=k 。
11．求函数t e t f β-=)(的傅氏变换 (这里0>β)，并由此证明：
二、填空题（每空3分，共15分）
三、计算题（每小题10分，共50分）
t
e d t ββπωωβω-+∞
=+?2cos 0
22
12．发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“1”和“0”。由于通讯系统受到干扰，当发出信号“1”时，收报台未必收到信号“1”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“1”和“0”；同时，当发出信号“0”时，收报台分别以概率0.9和0.1收到信号“0”和“1”。求 （1）收报台收到信号“1”的概率；
（2）当收报台收到信号“1”时，发报台确是发出信号“1”的概率。
13．设二维随机变量),(Y X 的联合概率函数是
其它0
,00),()42(>>?
??=+-y x ce y x f y x
求：（1）常数c ；（2）概率P (X ≥Y )；（3）X 与Y 相互独立吗？请说
出理由。
14．将n个球随机的放入N个盒子中去，设每个球放入各个盒子是等可能的，求有球盒子数X的数学期望。
15．设一口袋中依此标有1，2，2，2，3，3数字的六个球。从中任取一球，记随机变量X为取得的球上标有的数字，求
(1)X的概率分布律和分布函数。(2)EX
12n )T，a
1
≠0,其长度为║a║，又A=aa T,
(1)证明A2=║a║2A；
(2)证明a是A的一个特征向量，而0是A的n-1重特征值；
(3)A能相似于对角阵Λ吗？若能,写出对角阵Λ.
四、证明题（共10分）
五、应用题（共10分）
17.设在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量X是随机变量,它在[2000,4000]( 单位：吨 )上服从均匀分布，又设每售出这种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但假如销售不出而囤积在仓库，则每吨需保养费1万元。问需要组织多少货源，才能使国家收益最大。
参考答案及评分标准
一、 选择题（每小题3分，共15分）
1．B 2．C 3．D 4．A 5．A 二、 填空题（每小题3分，共15分）
6. 9
7. 1
8. 1–(1–P)3
9. 3/4 10. 12 三、计算题（每题10分，共50分） 11.解答：函数f(t)的付氏变换为：
F (w )=dt e dt e
dt e
e
e
t j t
j t
j t t ???+∞
--+∞
+--+∞
∞
---+==?0
)(0
)(|||
|][?β?β?ββ （3分）
=
2
2211?ββ
?β?β+=-++j j (2分)
由付氏积分公式有
f(t)=[1
-?F(w )]=
??π
?d e F t
j ?
+∞
∞
-)(21
(2分) =
????
ββ
π
d t j t ?+∞
∞-++)sin (cos 221
22 ==
??β?πβ???ββπ
d t
d t ??+∞
+∞
∞
-+=+0
2222cos 2cos 221
（2分） 所以 t
e d t ββπωωβω-+∞
=+?2cos 0
22 （1分）
12.解答:
设 A1=“发出信号1”，A0=“发出信号0”，A=“收到信号1” （2分）
(1)由全概率公式 （1分） 有 P(A)=P(A|A1)P(A1)+P(A|A0)P(A0) （2分） =0.8x 0.6+0.1 x0.4=0.52 （1分） (2)由贝叶斯公式 （1分） 有 P(A1|A)=P(A|A1)P(A1)/ P(A) （2分） =0.8x 0.6/0.52=12/13 （1分）
13.解答: