圆锥曲线综合高考实战篇圆锥曲线实用讲义
前言
编者编写本书的初衷是以学生为中心，实用性优先，没有花里胡哨的冗杂
结论。本书筛选了2010-2018年的各地高考圆锥曲线大题并适当归类讲解，删去了思维跨度大，计算量极高的题，总计一百余题。考虑到高中生学习繁忙，编者尽可能的将本书压缩到了一百余页，并结合丰富的举例，偏向于去教学生怎么思考，往哪个方向思考，怎么去分析思路，并予以启发。
不建议基础知识不牢且计算功底弱的学生看这本书，否则效果适得其反。如果连一些基本算理都搞不清的话，则是开卷无益。
本书前半部分的讲解足以解决后半部分的习题，所以后半部分则以题目为主，部分内容借鉴了网上公开的免费视频与免费文档，对其分享的思路表示非常感谢！另外，编者对于圆锥曲线的第二第三定义及其衍生的结论并没有去细致讲解，请同学们依据课本自行完善。
由于本书核心部分来自孙斌老师。我做二次处理而成，加入了答案和少量自己的见解。如有疏漏与错误，还请包涵与指正。QQ:21113823
湖北省广水实高李大丹
目录
第一章题目信息转化为坐标表达/2
1.1距离公式与弦长公式/3
1.2题目核心条件转化为坐标/9
1.3转化为坐标后，怎么处理/16第二章获得点的坐标解决问题/25
2.1通过表示点的坐标解决问题/25
2.2怎么获取点的坐标/26
2.3设点与设直线结合起来/41
第三章定点定值/49
3.1什么样的直线过定点/49
3.2怎么解决直线过定点/50
3.3圆过定点与定值举例/58
第四章优化计算/60
4.1反设直线/60
4.2简化运算的技巧/63第五章面积与最值/66
5.1三角形的面积表达/66
5.2求最值之变量化一/77
5.3求最值之均值不等式/79
5.4求最值之借助导数/83第六章切线/86
第七章轨迹方程/98
第八章借助几何分析解决问题/108第九章探索类问题/136
第十章对称问题/143
第十一章弦中点与点差法/149
第一章题目信息转化为坐标表达
第一章题目信息转化为坐标表达/2
1.1距离公式与弦长公式/3
1.2题目核心条件转化为坐标/9
1.3转化为坐标后，怎么处理/16
总思路：
1.联立直线与曲线并且判断Δ>0?使用韦达定理得到x1＋x2＝,x1x2＝
(绝大部分学生能做到)
2.题目中核心信息?坐标表达式
(本课需要解决的问题，也是学生感觉最杂的问题。通过收集，归纳，整理可以解决。建议学生准备一个活页本，把试卷作业，例题都抄录下来，核心部分用红笔加注，每过一段时间回顾一下，并把同类题归类。到高三下学期，自成体系，圆锥曲线大题可以满分。)
3.计算表达式
(后期学生最缺的能力，圆锥曲线最难算的部分，学生最头痛的位置。建议初学者一定要心平气和对待，计算要一步三回头！！)
例：抛物线y2=4x，与直线l交于A,B,且O A⊥O B,求证AB过定点
设直线AB为：y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2).
OA⊥OB?x1x2+y1y2＝0?y12
4·y22
4＋y1
y2＝0?y1y2＝－16
y=kx＋m
y2=4x
?ky2－4y＋4m＝0y1y2＝
4m
k＝－16?m＝－4k
代入到直线方程?y＝kx－4k＝k(x－4)?直线过(4,0)
首先说一说为什么有些题要使用韦达定理解决：
拿椭圆来说
y=kx＋m
x2
a2＋
y2
b2＝1
联立得(b2＋a2k2)x2＋2k m a2x＋a2(m2－b2)＝0
而韦达定理x1＋x2＝－
2k m a2
b2＋a2k2
,x1x2＝a2(m2－b2)
b2＋a2k2
可以观察到：
第一，可以看出韦达定理右侧的式子跟椭圆与直线中的a2,b2,k,m这些参数有关。而我们题目中往往会要求我们求这些参数或者参数的范围。第二，题目中核心条件往往可以转化为与x1,x2,y1,y2有
关的坐标形式。
总之，韦达定理是一个桥梁，它连接了题干中的条件与方程中的参数。所以我们第一章的所有题的总思路，都是先把题目信息坐标化，然后联立直线与曲线，最后使用韦达定理。
1.1距离公式与弦长公式
一，距离公式
假设A (x A ,y A ),B (x B ,y B )，则A ,B 之间的距离：|AB|＝(x A －x B )2＋(y B －y A )2＝1＋k AB 2|x A －x B |＝
1＋1
k AB
2|y A －y B |
1.距离公式源于两点间距离公式，任何时候都能用，不是非得与曲线联立才能用，只要找横（纵）坐标和斜率共计三个量即可表示距离。
2.如果A 与B 是曲线上的两个点，那么上述式子称之为弦长公式。
3.弦长公式是万用的，只要是直线与曲线有两个交点A ,B .都可以用上述式子计算弦长。
我们看下面两个例子：例：椭圆
x 25
＋y 2
＝1的右焦点为F ，斜率为2且过点F 的直线l ,与该椭圆相交于A,B 两点,求|FA||FB|
解析：第一步：题目信息坐标化：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),因为F(2,0)|FA|＝1＋k F A 2|x A －x F |＝1＋22|x 1－2||FB|＝1＋k FB 2|x B －x F |＝1＋22|x 2－2|
|FA|·|FB|＝5|x 1－2||x 2－2|＝5|x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4|第二步：联立所得直线y ＝2x －2与椭圆x 25＋y 2
＝1得
21x 2－40x ＋15＝0其中x 1x 2＝1521=75
x 1＋x 2＝
40
21
.第三步：使用韦达定理
|FA|·|FB|＝2|x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4|学会使用方法，答案略。
思考：解答使用的是关于x 的距离公式，我们能否使用关于y 的距离公式？答：|FA|＝
1＋1
k AB
2|y A －y B |＝2|y A |,
|FB|＝
1＋
1k AB 2
|y A －y B |＝2|y B |
|FA|·|FB|＝2|y A y B |＝2|y 1y 2|
这里我们观察到:由于F点的纵坐标是0,使用关于y的
距离公式的话，结果变得非常简洁.联立时只需要消去x,保留y.这给我们的经验就是：可以留心有没有纵坐标为0，使得距离公式大幅简化.
【2015江苏】知椭圆x2
2＋y
2＝1,过右焦点F的直线l与椭圆交于A,B两点，AB的垂直平分线交x＝－2
和AB于点P,C,已知|PC|＝2|AB|，求k
思路：设A(x1,y1),B(x2,y2),A,B的中点为C(x1＋x2
2
,y1＋y2
2
),
设直线AB为y＝k(x－1),
因为PC⊥AB，所以k PC＝－1 k
|PC|＝1＋k PC2|x P－x C|＝1＋(－1
k )2|－2－x1＋x2
2
|＝1＋(－1
k
)2|2＋x1＋x2
2
|
|AB|＝1＋k2|x A－x B|＝1＋k2|x1－x2|
接下来的任务就是联立
x2
2＋y
2＝1
y＝k(x－1)
,使用韦达定理代换的过程了
答案：k＝±1
对距离公式的理解：不需要求解P点的纵坐标来算距离，只需要两个横坐标以及斜率即可。
二.抛物线中的弦长公式
①已知抛物线y2＝2p x(p＞0),过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点
设A(x1,y1),B(x2,y2)，那么
|A F|＝x1＋p
2|B F|＝x2＋p
2
|A B|＝|A F|＋|BF|＝x1＋x2＋p
②已知抛物线x2＝2p y(p＞0),过焦点F的直线与抛物线交于A,B两点
设A(x1,y1),B(x2,y2)，那么
同理：|A B|＝|A F|＋|BF|＝y1＋y2＋p
注意：
1.如果直线过焦点F，则不必使用弦长公式，而是使用更快捷的焦半径公式。
2.不要盲目使用，直线不过焦点的话，我们还是得乖乖的使用万能的弦长公式。
例：过点M(2，0)作直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A,B 两点，其中直线的斜率为1，求|A B |
例：过点M(1，0)作直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A,B 两点，其中直线的斜率为1，求|A B |
例：已知曲线C ：y 2＝4x ，已知过点（1，0）的直线与曲线C 交于A,B 两点求证：
1A F ＋1
BF
=1【2015湖南文】已知抛物线2
1:4C x y =的焦点F 也是椭圆22
222:1
y x C a b
+=(0)a b >>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为26，过点F 的直线l 与1C 相交于,A B 两点，与2C 相交于,C D 两点，且AC 与BD
同向。
（I）求2C 的方程；
（II）若AC BD =，求直线l 的斜率。
【答案】（I）22
198
y x +=；(II)64±
.试题解析：（I）由2
1:4C x y =知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，所以2
2
1a b -=①；又1C 与2C 的公共弦长为26，1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为2
1:4C x y =，由此易知
1C 与2C 的公共点的坐标为3(6,)2±，2296
1
4a b ∴+=②，
联立①②得2
2
9,8a b ==，故2C 的方程为22
1
98
y x +=。
（II）如图，设11223344(,),(,),(,),(,),
A x y
B x y
C x y
D x y 因AC 与BD
同向，且AC BD =，所以AC BD = ，
从而3142x x x x -=-，即3412x x x x -=-，于是2
2
34341212()4()4x x x x x x x x +-=+-③
设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1y kx =+，
由214y kx x y =+??=?得2440x kx --=，由12,x x 是这个方程的两根，12124,4x x k x x ∴+==-④由221189y kx x y =+???+=??得22(98)16640k x kx ++-=，而34,x x 是这个方程的两根，
3434
22
1664
,9898k x x x x k k +=-
=-++，⑤
将④、⑤代入③，得232
2221646416(1)(98)98k k k k ?+=+++。即
222
22
169(1)16(1)(98)k k k ?++=+所以22
(98)169k +=?
，解得4k =±
，即直线l
的斜率为4
±考点：直线与圆锥曲线的位置关系；椭圆的性质
提示：代数不行几何来帮忙，即|AC|=|BD |?|AB|=|CD|(等量加等量，和相等)建议记住的内容(你会发现节约大量运算时间的)：设椭圆
x 2a 2＋y 2
b 2
＝1与直线y=kx+m 交于A,B 两点则|AB|＝1＋k 2|x A －x B |
二次项系数指的是直线与椭圆联立后x 2的系数.
三.圆的弦长公式:圆的弦长可借助垂径定理与勾股定理来求解：
如图，圆O 的半径为R,OE ⊥AB ,其中AB 为圆O 的弦，AB 与直径CD 交于点E.|OE|=d ,则AB=2R 2－d
2
计算d 时，需要使用点到直线的距离公式.
(2014重庆)已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2
＝4相交于两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝
思路：结合图像：△AB C 等边，且圆的半径为2.所以AB =2.所以圆心到直线的距离为3,又圆心(1,a )到直线ax ＋y －2＝0的距离d =
2a-2a 2+1
解得a =4±15
(2014陕西文)已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>经过点(0,3)，离心率为1
2，左右焦点分别为
12(,0),(,0)F c F c -.
（1）求椭圆的方程；（2）若直线1
:
2
l y x m =-+与椭圆交于,A B 两点，与以12F F 为直径的圆交于,C D 两点，且满足
||53
||4
AB CD =
，求直线l 的方程.62.（1）由题意可得3
12222b c a b a c ?=?
?
=??
?=?
—解得2,3,1a b c ===∴椭圆的方程为22
143
x y +
=（2）由题意可得以12F F 为直径的圆的方程为2
2
1
x y +=∴圆心到直线l 的距离为2||5
d =
由1d <，即
15
<，可得5
||2
m <
22
2
42
||21215455
m CD d m ∴=-=-=-设1122(,),(,)
A x y
B x y 联立2
2
1214
3y x m x y ?=-+????+=??整理得22
30
x mx m -+-=由求根公式可得：12x x m +=，2
123
x x m =-
||AB ∴= ||53
||4
AB CD
=1=
解方程得3m =±
，且满足||2
m <∴直线l 的方程为1323y x =-+
或13
23
y x =--(2011天津文)（本小题满分13分）
设椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2。点(,)P a b 满足212||||.
PF F F =（Ⅰ）求椭圆的离心率e ；
（Ⅱ）设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，若直线PF 2
与圆2
2
(1)(16x y ++-=相交于m ，N
两点，且5
||||8
MN AB =
，求椭圆的方程。（Ⅰ）解：设12(,0),(,0)(0)F c F c c ->，因为212||||PF F F =，
2c =，整理得2
210,1c c c a a
a ??+-==- ???得（舍）
或
11
,.22
c e a ==所以
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知2,a c b ==
，可得椭圆方程为2223412x y c +=，直线FF 2
的方程为
).
y x c =-A ，B
两点的坐标满足方程组222
3412,).
x y c y x c ?+=??=-??消去y 并整理，得2
580x cx -=。解得
1280,5x x c ==
，得方程组的解21128,0,5,.
5x c x y y c ?
=?=???
??
=???=??不妨设833,55A c ??
? ???
，(0,)B ，
所以16||.5AB c =
于是5
||||2.8
MN AB c =
=
圆心(-到直线PF 2的距离||2|
.
22
c d -+=
=因为2
22
||42MN d ??+= ?
??
，所以223(2)16.4c c ++=整理得2
712520c c +-=，得26
7
c =-
（舍），或 2.c =所以椭圆方程为22
1.
1612
x y +=1.2题目核心条件怎么转化为坐标
圆锥曲线题目中的条件往往与坐标无关，那么具体如何转化为坐标表达，下面举出常见的案例（缺失部分自己请同学们自行查阅回顾）：
已知直线AB 与某曲线相交，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (2,0),O 为原点,将下列问题换为关于x 1,x 2,y 1,y 2的坐标表达式1.问：遇到O A ⊥O B 怎么办？答：OA ―→·OB ―→
=0?1.x 1x 2＋y 1y 2＝0 2.k OA ·k O B ＝－1
3.O A 2＋O B 2＝AB 2
2.问：遇到M A ⊥M B 怎么办？答：
3.问：遇到A M=2MB,怎么办答：
4.问：遇到|M A|＝|M B|,怎么办？答：(x 1-2)2+y 12＝(x 2-2)2+y 22
5.问：A ,B ,M 三点共线，怎么办？答：k M A =k M B ?
y 1x 1－2＝
y 2
x 2－2
6.问：遇到∠A M B 为锐角怎么办？答：M A ―→·M B ―→＞0
7.问：遇到O A 与M B 共线，怎么办？答：
8.问：M 在直线AB 上，|A M|=2|B M|
答：y 1=2y 2长度比换坐标比，注意是x 轴，还是y 轴上的交点。从而选用x ，还是y
9.
∠A MO 的面积等于∠B OM 的面积的2倍
答：y 1=2y 210.
∠A MO=∠B OM
答：k m A +k m B =0
y 1x 1－2+y 2
x 2－2
11.AB 的中垂线过点M
答：|A M|=|B M|?(x 1-2)2+y 12＝(x 2-2)2+y 22
又答：取AB 的中点为M 0，则k AB k MM0=－1,M 0代入直线AB 的方程等号成立.
12.点M 在以AB 为直径的圆上答：夹角为直角M A ―→·M B ―→
＝013.点M 在以AB 为直径的圆内,点M 在以AB 为直径的圆外答：夹角为钝角M A ―→·M B ―→
＜0，
夹角为锐角M A ―→·M B ―→
＞0
14.M 是以O A ,O B 为临边的平行四边形的顶点答：
15.T (1,0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)三点共线，则T A
―→T B ―→
答
y 1y 2
16.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),直线AB 的倾斜角为α，则|AB|sinα=|y 1-y 2|,|AB|cos α=|x 1-x 2|
17.若I 是△AB C 的内心，则AI ―→AB ―→A B ―→=AI ―→AC
―→A C ―→
18.若H 为△AB C 的垂心，则答：
19.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),C (x 3,y 3),则△AB C 的重心坐标(
x 1+x 2+x 33,y 1+y 2+y 3
3
)20.点M ,N 在x 轴上,点Q 在y 轴上,∠OQM=∠ONQ ?正切值相等?OM
OQ
=
OQ ON
21.y 2=2p x 在A (x 1,y 1)处的切线方程答：y 1y =p x 1+p x
22.x 2=2p y 在A (x 1,y 1)处的切线方程答：求导数写切线方程或x 1x =p y 1+p y
23.M A 与圆C 相切于点A ,M A 与圆C 相切于点B ,求∠A M B 答：sin ∠A MC=半径MC ，∠A MC=1
2∠A MB ,也可尝试正切入手
24.△A OM 中，∠AOm ＞∠A MO ?A M ＞O A 25.△M AB 中，设M A ⊥M B ,则AB sin ∠BA M =26.O A cos ∠AO B =OA ―→OB
―→
|OB|
―→(数量积与投影)
可以看出：上述案例转化后的落脚点都是长度、垂直、平行、向量表示、三点共线、直线方程。这是因为我们的长度有距离公式的坐标表达，像垂直、平行、向量都可转化为相应的坐标表达。对于角度的处理，我们往往借助三角函数，可以把角度转化为长度表达.有时候还需要借助几何分析:如初中三角函数定义，相似三角形，圆的相关几何定理，平行四边形的性质等。
例：已知直线l 交椭圆4x 2+5y 2=80于M ,N 两点，B 是椭圆于y 轴正半轴的交点，若△B MN 的重心恰好为椭圆的右焦点，则直线l 的方程为_________
2015新课标1已知过点(0,1)A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：22(2)(3)1x y -+-=交于,M N 两点．
（Ⅰ）求k 的取值范围；
（Ⅱ）若12OM ON ?=
，其中O 为坐标原点，求MN ．
62．【解析】（Ⅰ）由题设，可知直线l 的方程为1y kx =+．
因为l 与C
1<．
解得
4433k -+<<．所以k
的取值范围是443
3??+ ? ???．（Ⅱ）设1122(,y ),(,y )M x N x ．
将1y kx =+代入方程()()2
2
231x y -+-=，整理得2
2
(1)4(1)70k x k x +-++=，
所以1224(1)1k x x k ++=
+，12
2
7
1x x k =+．2121212122
4(1)
1181k k OM ON x x y y k x x kx x k
+?=+=++++=++ ，
由题设可得
2
4(1)
8=121k k k
+++，解得=1k ，所以l 的方程为1y x =+．故圆心在直线l 上，所以||2MN =．
（2017新课标Ⅲ）已知抛物线C ：2
2y x =，过点(2,0)的直线l 交C 与A ，B 两点，圆M 是以线段AB
为直径的圆．
(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；
(2)设圆M 过点(4,2)P -，求直线l 与圆M 的方程．25．【解析】（1）设()A x ,y 11，()B x ,y 22，l ：2
x ym =+由222x my y x
=+??=?可得y my --=2
240，则y y =-124又y x 21
1=
2，y
x 2
22=2
，故()
y y x x 2
1212=4
=4
因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y y x x ?1212-4
==-14
，所以OA OB ⊥．故坐标原点O 在圆M 上．
（2）由（1）可得y y m 12+=2，()x x m y y m +2
1212+=++4=24
故圆心M 的坐标为()m m 2
+2，，圆M 的半径
r =
由于圆M 过点(4,2)P -，因此0AP BP =
，
故()()()()121244++2+2=0x x y y --即()()x x x x y y y y -++++=121212124+2200由（1）可得y y 12=-4，x x 12=4．所以2m m --=2
10，解得m =1或m =-
12
．当1m =时，直线l 的方程为20x y --=，圆心M 的坐标为(3,1)，圆
M ，圆M 的方程为()()x y -+-=2
2
3110
当12m =-
时，直线l 的方程为240x y +-=，圆心M 的坐标为91
(,)42-
，圆M 的半径为4
，
圆M 的方程为2
2
9185(()4
2
16
x y -++=
．2015福建18.．已知椭圆E：22
221(a 0)x y b a b
+=>>
过点
，且离心率为2．
(Ⅰ)求椭圆E 的方程；
(Ⅱ)设直线1x my m R =-?，()交椭圆E 于A，B 两点，判断点G 9
(4
-,0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．
：解法一：(Ⅰ)由已知得222,2,b c a a b c ì=???=í
??=+??
解得2a b c ì=??
=í?
?=?所以椭圆E 的方程为
22
142
x y +=
．故22222
2
012222|AB|52553(m +1)25172|GH|my (m +1)y 042162(m 2)m 21616(m 2)
m m y +-=++=-+=>+++所以|AB||GH|>
2，故G 9
(4
-,0)在以AB 为直径的圆外．解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)设点1122(y ),B(,y ),A x x ，则112299
GA (,),GB (,).
44
x y x y =+=+
由2222
1(m 2)y 230,1
42x my my x y ì=-?+--=í?+=??得所以12122223
y +y =,y y =m 2m 2m ++从而12121212
9955
GA GB ()()(my )(my )4444x x y y y y =+++=+++ 222
12122252553(m +1)25
(m +1)y (y )4162(m 2)m 216
m y m y =+++=+
++22172
016(m 2)
m +=>+所以cos GA,GB 0,GA GB 狁
> 又，不共线，所以AGB D为锐角.故点G 9(4
-,0)在以AB 为直径的圆外．
(2010江西文)已知抛物线1C ：2
2
x by b +=经过椭圆2C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点.
(1)求椭圆2C 的离心率；
(2)设(3,)Q b ，又,M N 为1C 与2C 不在y 轴上的两个交点，若QMN ?的重心在抛物线1C 上，求1C 和
2C 的方程.
【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。解：（1）因为抛物线1C 经过椭圆2C 的两个焦点12(,0),(,0)F c F c -，
所以2
2
0c b b +?=，即2
2
c b =，由2
2
2
2
2a b c c =+=得椭圆2C
的离心率2
e =
.（2）由（1）可知22
2a b =，椭圆2C 的方程为：
22
22
12x y b b +=联立抛物线1C 的方程2
2
x by b +=得：2
2
20y by b --=，
解得：2
b
y =-或y b =（舍去）
，所以2x b =±，即66(,,2222
b b
M b N b -
--，所以QMN ?的重心坐标为(1,0).因为重心在1C 上，所以2
2
10b b +?=，得1b =.所以2
2a =.
所以抛物线1C 的方程为：2
1x y +=，椭圆2C 的方程为：2
212
x y +=.
(2010陕西文)如图，椭圆C：122
22=+b
y a x 的顶点为A 1,A 2,B 1,B 2,焦点为F 1,F 2,711=B A ,
S ?
A1B1A2B2
=2S ?
B1F1B2F2
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于P 点、与椭圆相交于A,B 1=OP ，是否存在上述直线l 使0O O =?B A 成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由解（1）由711=B A 知a 2+b 2=7,
①
由S ?A1B1A2B2
=2S ?
B1F1B2F2
知a =2c ,
②
又b 2=a 2-c 2
③
由①②③解得a 2=4,b 2=3,
故椭圆C 的方程为1
3
422=+y x (2010全国Ⅰ卷文、理)已知抛物线2
:4C y x =的焦点为F，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .
（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上；
（Ⅱ）设8
9
FA FB = ，求BDK ?的内切圆M 的方程.
16．解：设),(),,(),,(112211y x D y x B y x A -，l 的方程为).
0(1≠-=m my x （Ⅰ）将代入1-=my x x y 42
=并整理得
442=+-my y 从而.
4,42121==+y y m y y ①
直线BD 的方程为)(21
21
22x x x x y y y y -?-+=
-即)4
(4
22122y x y y y y -?-=
-令0=y ，得14
2
1==y y x 所以点F（1，0）在直线BD 上。（Ⅱ）由①知，
2
4)1()1(22121-=-+-=+m my my x x .
1)1)(1(2121=--=my my x x 因为)
,1(),,1(2211y x FB y x FA -=-=2
212121214841)()1)(1(m x x x x y y x x FB FA -=+++-=+--=?
故9
8482
=
-m 解得.3
4±
=m 所以l 的方程为.
0343,0343=+-=++y x y x 又由①知73
444)4(2
12±
=?-±=-m y y 故直线BD 的斜率
7
3
412±
=-y y 因而直线BD 的方程为
373,0373=--=-+y x y x 因为k F 为BKD ∠的平分线，故可设圆心)11)(0,(<<-t t M ，t t M 到)0,(及BD 的距离分别为
.4
|
1|3,5|1|3-+t t 由
4
|
1|35|1|3-=+t t 9,9
1
==
t t 或（舍去），故圆m 的半径.3
2
5|1|3=+=
t r 所以圆m 的方程为.9
4
)9
1(2
2
=
+-y x 1.3转化为坐标以后，怎么换算为可以使用韦达定理的形式
通过上一讲最后我们发现：题目信息如果能直接化为含有x 1x 2,x 1+x 2,y 1y 2,y 1+y 2的，当然最好，
直接联立代韦达定理即可。但如果转换结果为例如：(x 1+1)(x 2+1)，x 12+x 22，
y 1x 1－2＝y 2
x 2－2
，x 1=2x 2,y 1=－3y 2的，怎么办？这一讲我们来解决这个问题：方向一：代换
用直线方程代换掉式子中的y 1,y 21=kx 1+m 2=kx 2+m
用曲线代换掉式子中的y 1,y 212=2p x 122=2px 2
我们看两个简单的例子：
例：抛物线y 2=x,直线AB 与抛物线交于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),AB :x=ty+2设m(2,-1),若k m A k m B=－1
8
,求直线AB 的方程
提示：k m A k m B=y 1+1x 1－2y 2+1x 2－2=y 1+1ty 2y 2+1
ty 2
（这里是直线AB 做代换）,
例：y =4x 2
上有两个点A ,B ,抛物线在A 处的切线与在B 处的切线斜率之积为-16
m(0,1),求证：a,b,m三点共线
解析：反证法思路：设A(x1,y1),B(x2,y2),
要证三点共线，先证k m A=k m B y1－1
x1＝
y2－1
x2因为y1
=4x12y2=4x22
所以先证4x12－1
x1＝
4x22－1
x2化简约去公因式得要证－4x1
x2=1
对y=4x2求导得y'=8x,在A点的斜率为8x1,在B点的斜率为8x2,由题意得证.
很多证明题可以通过反证法入手！
总之，代换桥梁有两个：要么用直线代换，要么用曲线代换。甚至是椭圆也可以参与代换，比如:
例：椭圆x2
4＋y
2＝1,直线为y＝kx＋1
2
,直线与椭圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),
设M(0,1),N(0,1)，求－k N B
k M A的取值范围..
解析：即求x1(1+y2)
x2(1－y1)的取值范围，.
请读者动手实践用直线代换掉y1,y2，代换完之后，方便直接使用韦达定理么？
我们尝试用椭圆来代换，这时观察到有(1－y1),椭圆中可以用平方差公式凑得该式子,那么就有代换的可能性。尝试如下：
x12
4
＋y12＝1?x12＝4－4y12?x12＝4(1－y1)(1＋y1)?去代换掉(1－y1),
即会发现原式＝4(1+y1)(1+y2)
x1x2可以使用韦达定理
方向二：凑配
例：遇到x1－x2怎么办？
答：(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2例：遇到x12＋x22
答：x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2例：遇到x1＋x2
答：(x1＋x2)2＝x1＋x2＋2x1x2例：遇到(x1＋3)(x2＋3)怎么办?答：
例：遇到k=
y 1－y 2x 1－x 2
例：遇到x 12＋(y 1+1)2＝x 22＋(y 2＋1)2怎么办？答：平方差公式变形为x 1＋x 2＝
(y 2－y 1)(y 1y 2
2)
x 1－x 2
常见案列：遇到x 12x 2怎么办？答：凑配倒数关系x 1x 2＋x 2x 1＝2＋1
2
?
x 12＋x 22x 1x 2＝2＋12?(x 1＋x 2)2－2x 1x 2x 1x 2
＝2＋
1
2例：直线y ＝x ＋1与y 2＝2p x ，交于A,B 两点，与x 轴交于m 点，向量M B ―→＝2M A ―→
求抛物线的方程
解析：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，m(－1,0)，则M B ―→＝2M A ―→
?(x 2＋1,y 2)＝2(x 1＋1,y 1)所以抛物线方程为y 2＝9
2
x
2013福建如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分
别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为129,,....A A A 和129,,....B B B ，连结i OB ，过i A 做x 轴的垂线与i OB 交于点*
(,19)i P i N i ∈≤≤．
（1）求证：点*
(,19)i P i N i ∈≤≤都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；
（2）过点C 做直线l 与抛物线E 交于不同的两点,M N ，若OCM ?与OCN ?的面积比为4:1，求直线
l 的方程．
解：（Ⅰ）依题意，过*
(,19)∈≤≤i A i N i 且与x 轴垂直的直线方程为=x i
(10,) i B i ，∴直线i OB 的方程为10
=i
y x 设i P 坐标为(,)x y ，由10=??
?=??
x i
i
y x 得：2
110
=
y x ，即210=x y ，∴*(,19)∈≤≤i P i N i 都在同一条抛物线上，且抛物线E 方程为210=x y
（Ⅱ）依题意：直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为10
=+y kx 由2
1010=+??
=?y kx x y
得2
101000--=x kx 此时2
100+4000?=>k ，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点,M N
设：1122(,)(,)M x y N x y ，则121210100+=??
?=-?x x k
x x 4??= OCM OCN S S ∴12
4=x x 又120?< x x ，∴12
4=-x x 分别带入2
1010=+??
=?y kx x y
，解得3
2=±k 直线l 的方程为3
+102
=±
y x ，即32200-+=x y 或3+2200-=x y (2013陕西文)已知动点m (x ,y )到直线l :x =4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍.(Ⅰ)求动点m 的轨迹C 的方程;
(Ⅱ)过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ,B 两点.若A 是PB 的中点,求直线m 的斜率.【解析】(Ⅰ)点m (x ,y )到直线x =4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍，则
13
4)1(2|4|2
22
2
=+?+-=-y x y x x .
所以，动点M 的轨迹为椭圆，方程为1
3
42
2=+y x (Ⅱ)
P(0,3),设212122113202),,(B ),,(A y y x x y x y x +=+=，由题知：
椭圆),3-,0()3,0(和的上下顶点坐标分别是经检验直线m 不经过这2点，即直线m 斜率k 存在。
3:+=kx y m 方程为设直线.联立椭圆和直线方程，整理得：
2
2
1221224324
,432402424)43k x x k k x x kx x k +=?+-=
+?=+++（23
2
924)43()24(252)(2212221212211221±=?=?+-?=??-+?+=+k k k x x x x x x x x x x 所以，直线m 的斜率2
3
±
=k
2015陕西如图，椭圆E ：22221x y a b +=（a >b >0）经过点(0,1)A -
，且离心率为2
．
（Ⅰ）求椭圆E 的方程；
（Ⅱ）经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点,P Q （均异于点A ），证明：直线
AP 与AQ 的斜率之和为2．
40．【解析】
（Ⅰ）由题设知
2
c a =
，1b =结合2
2
2
a b c =+
，解得a =所以椭圆的方程式为2
212
x y +=．
（Ⅱ）由题设知，直线PQ 的方程式为1+1y k x =-（）(2)k ≠，代入2
212
x y +=，
得2
2
(12)4(1)2(2)0k x k k x k k +--+-=．
由已知Δ>0．
设11(,)P x y ，22(,)Q x y ,120x x ≠，则121222
4(1)2(2)
,1212k k k k x x x x k k
--+==++．从而直线,AP AQ 的斜率之和12121212
1122AP AQ y y kx k kx k k k x x x x +++-+-+=
+=+=121212
11
2(2)(
)2(2)x x k k k k x x x x ++-+=+-=4(1)
2(2)
22(1)22(2)
k k k k k k k k -+-=--=-．
2017新课标Ⅰ设A ，B 为曲线C ：2
4
x y =上两点，A 与B 的横坐标之和为4．
(1)求直线AB 的斜率；
(2)设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM BM ⊥，求直线AB 的方程．21．【解析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x ≠，2114x y =，2
224
x y =，x 1+x 2=4，
于是直线AB 的斜率1212
1214
y y x x k x x -+===-．
（2）由24x y =，得2
x
y'=．
设33(,)M x y ，由题设知312
x
=，解得32x =，于是(2,1)M ．
设直线AB 的方程为y x m =+，故线段AB 的中点为(2,2)N m +，|||1|MN m =+
．
圆锥曲线培优讲义
圆锥曲线培优讲义 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
一 原点三角形面积公式 1. 已知椭圆 的离心率为，且过点 ．若点M （x 0，y 0）在椭圆C 上，则点称为点M 的一个“椭点”． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若直线l ：y=kx +m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且A ，B 两点的“椭点”分别为P ，Q ，以PQ 为直径的圆经过坐标原点，试求△AOB 的面积． 2. 己知椭圆 x 2+2y 2=1，过原点的两条直线 l 1 和 l 2 分别与椭圆交于点 A ，B 和 C ，D ．记 △AOC 的面积为 S ． （1）设 A (x 1,y 1)，C (x 2,y 2)．用 A ，C 的坐标表示点 C 到直线 l 1 的距 离，并证明 S =1 2∣x 1y 2?x 2y 1∣； （2）设 l 1:y =kx ，C (√33, √3 3)，S =1 3，求 k 的值． （3）设 l 1 与 l 2 的斜率之积为 m ，求 m 的值，使得无论 l 1 与 l 2 如何变 动，面积 S 保持不变． 3. 已知椭圆()0,01:22 22 >>=+b b y x C αα的左、右两焦点分别为()()0,1,0,121F F -, 椭圆上有一点A 与两焦点的连线构成的21F AF ?中，满足 .12 7,12 1221π π = ∠= ∠F AF F AF （1）求椭圆C 的方程； （2）设点D C B ,,是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B 与点D 关于原点O 对称，设直线OC OB CD BC ,,,的斜率分别为4321,,,k k k k ，且4321k k k k ?=?，求 22OC OB +的值. 4. 在平面直角坐标系xoy 内，动点(,)M x y 与两定点(2,0),(2,0)-，连线的斜率 之积为1 4 -
最新如何用电饭煲做蛋糕(图解)上课讲义
如何用电饭煲做蛋糕（图解） 步骤或方法: 准备原料：鸡蛋三个，面粉满满三瓷勺，牛奶，白糖，淀粉一小勺，泡打粉一小勺（可用可不用，用了可以使蛋糕发的更好），两个大点的容器，一定要擦干。把面粉、淀粉、泡打粉均匀的掺在一起备用。 1、首先把鸡蛋蛋清和蛋黄分离在两个容器里 2、打蛋黄，加两勺白糖 3、加入大约两勺牛奶 4、加一半调配好面粉，然后拌均匀，注意不要转圈搅拌，要用勺子上下翻拌，颗粒可以用勺子压碎，拌到细腻的面糊后，再加入牛奶和剩下的面粉 5、面糊一定不能太稀，黏稠一些，拌好的就是这样子
6、然后打蛋清，打蛋清的器具一定要干净没有水，不然不容易打发，先往蛋清里加一勺白糖，用打蛋器不停的打，如果没有打蛋器，可以用三根筷子代替 7、当蛋清打到这个程度，再加入一勺白糖，如果不喜欢吃太甜可以少放一些，继续打，很辛苦的，但是打蛋清是蛋糕最后发起来的重要因素，很关键 8、蛋清打到这个程度就差不多了，打的时候感觉硬硬的转不动打蛋器的感觉，很细腻，容器倒置蛋清不会掉下来，整个过程大概需要15分钟左右。 9、把打好的蛋清分两次拌进刚才的面糊里，注意拌的时候还是不要转圈的搅拌，要用勺子上下的翻动，直至将面糊和蛋白掺均匀，再倒入另一半蛋白掺均匀 10、下面的关键，预热电饭煲，将电饭煲底和周围抹上薄薄的一层色拉油，避免蛋糕出锅时黏住电饭煲壁，按下煮饭键，让他自动弹起来，就可以倒入面糊了
11、倒入面糊，左右晃动一下，使面糊均匀的铺在电 饭煲里 12、按下电饭煲煮饭键，大约两分钟会自动弹起保温，不用管他，让他焖20分钟左右，再按下煮饭键，大概一两分钟又会弹起，再焖15-20分钟，就可以出锅了，如果你做的量比较多，可以再重复按下弹起焖10分钟左右。13、这样香喷喷的蛋糕就好了，凉几分钟把锅倒扣在盘子里，可以慢慢享用啦 蛋糕反面 蛋糕的正面 2019全国高考 - 圆锥曲线部分汇编
历年圆锥曲线高考题附答案
数学圆锥曲线高考题选讲 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2 ＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )32 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2 3＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点 在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ． 43 B ．7 5 C ．85 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） A.2 B. 22 3 C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(3,0)F -,右顶点为(2,0)D ,设点11, 2A ?? ??? ，则求该椭圆的标准方程为 。 11. (20XX 年高考全国新课标卷理科14) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在 x 轴上， 离心率为 2 2 。过l 的直线 交于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 。
高考一轮复习必备—圆锥曲线讲义
Ⅰ复习提问 一、直线l 与圆锥曲线C 的位置关系的判断 判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立 (,)0 Ax By C F x y ++=?? =?消去y 后得20ax bx c ++= （1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 与C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。 （2）当0a ≠时，0?>，直线l 与曲线C 有两个不同的交点；0?=，直线l 与曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0?<，直线l 与曲线C 相离。 二、圆锥曲线的弦长公式 相交弦AB 的弦长 1212AB AB AB x y y ? ?=???=???=-==-??? 三、中点弦所在直线的斜率 （1）若椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =-≠0 0x y ， 即22op b k k a =- ；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为202(0)a k y b =-≠0 x y ，即22op a k k b =- ； （2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0 x y ，即 22op b k k a = ； 若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0 x y ，即22op a k k b = ； （3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)p k y = ≠0 y ； 若方程为22x py =时，相应结论为k p =0 x 。
“圆锥曲线与方程”复习讲义
“圆锥曲线与方程”复习讲义 高考《考试大纲》中对“圆锥曲线与方程”部分的要求： (1) 圆锥曲线 ①了解圆锥曲线的实际背景,了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. ②掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质. ③了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质. ④了解圆锥曲线的简单应用. ⑤ 理解数形结合的思想. （2）曲线与方程：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系. 第一课时 椭 圆 一、基础知识填空： 1．椭圆的定义：平面内与两定点F 1 ，F 2的距离的和__________________的点的轨迹叫做椭圆。 这两个定点叫做椭圆的_________ , 两焦点之间的距离叫做椭圆的________. 2.椭圆的标准方程：椭圆)0b a (1 b y a x 22 22>>=+的中心在______，焦点在_______轴上, 焦点的坐标分别是是F 1 ______，F 2 ______； 椭圆)0b a (1 b x a y 22 22>>=+的中心在______，焦点在_______轴上,焦点的坐标 分别是F 1 _______，F 2 ______. 3.几个概念：椭圆与对称轴的交点，叫作椭圆的______.a 和b 分别叫做椭圆的______长和______长。 椭圆的焦距是_________. a,b,c 的关系式是_________________。 椭圆的________与________的比称为椭圆的离心率，记作e=_____,e 的范围是_________. 二、典型例题： 例1.（2006全国Ⅱ卷文、理）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23 ＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦 点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 例2.（2007全国Ⅱ文）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率为（ ） (A) 3 1 (B) 3 3 (C) 2 1 (D) 2 3 例3．（2005全国卷III 文、理）设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A B C ．2 D 1 例4.（2007重庆文）已知以F 1（-2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线04y 3=++x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ） （A ）23 （B ）62 （C ）72 （D ）24 三、基础训练： 1.(2007安徽文)椭圆142 2 =+y x 的离心率为（ ） （A ） 23 （B ）4 3 （C ） 22 （D ）3 2 2.（2005春招北京理）设0≠abc ，“0>ac ”是“曲线c by ax =+2 2为椭圆”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件 3．（2004福建文、理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆
历年高考数学圆锥曲线试题汇总
高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22221x y a b -=（ａ＞0，b>０）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于 （ Ｃ ） （A)3 (B)2 (Ｃ)5 （D ）6 ２.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ，右准线为l ，点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3FA FB =,则||AF = (A). 2 (B). 2 (C).3 （D ）. 3 3．过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是 （ ） A.2 B.3 C.5 D ．10 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直线 AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ) A ． 3 B ．22 Ｃ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ) A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” Ｄ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点)是“ 点” ６.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线ｙ=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 （ ）． Ａ. 4 5 B. ５ C. 2 5 D.5 2
高中数学讲义-圆锥曲线
高中数学讲义-圆锥曲线
高中数学讲义 圆锥曲线 【知识图解】 【方法点拨】 解析几何是高中数学的重要内容之一，也是 衔接初等数学和高等数学的纽带。而圆锥曲线是解析几何的重要内容，因而成为高考考查的重点。研究圆锥曲线，无外乎抓住其方程和曲线两大特征。它的方程形式具有代数的特性，而它的 圆锥曲线 双曲 椭圆 抛物 几何定义 几何 标准 定义 几何 标准 圆锥曲 定义 标准
图像具有典型的几何特性，因此，它是代数与几何的完美结合。高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。圆锥曲线问题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。 1. 一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质. 2.着力抓好运算关，提高运算与变形的能力，解析几何问题一般涉及的变量多，计算量大，解决问题的思路分析出来以后，往往因为运算不过关导致半途而废，因此要寻求合理的运算方案，探究简化运算的基本途径与方法，并在克服困难的过程中，增强解决复杂问题的信心，提高运算能力. 3.突出主体内容，要紧紧围绕解析几何的两大任务来学习：一是根据已知条件求曲线方程，其中待定系数法是重要方法，二是通过方程研究圆锥曲线的性质，往往通过数形结合来体现，应引起
重视. 4.重视对数学思想如方程思想、函数思想、数形结合思想的归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程 第1课 椭圆A 【考点导读】 1. 掌握椭圆的第一定义和几何图形,掌握椭圆的标准方程,会求椭圆的标准方程,掌握椭圆简单的几何性质; 2. 了解运用曲线方程研究曲线几何性质的思想方法；能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题. 【基础练习】 1．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆 2 213 x y +=上， 顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是______ 2.椭圆1 422 =+y x 的离心率为______ 3.已知椭圆中心在原点，一个焦点为F （－23， 0），且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是______
高中数学抛物线解题方法总结归纳
圆锥曲线抛物线 知识点归纳 1抛物线的定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线 的准线． 2抛物线的图形和性质： ①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 ②焦准距：FK p = ③通径：过焦点垂直于轴的弦长为2p 。 ④顶点平分焦点到准线的垂线段：2 p OF OK ==。 3抛物线标准方程的四种形式： ，，px y px y 2222-==。，py x py x 2222-== 特点：焦点在一次项的轴上，开口与“±2p ”方向同向 4抛物线px y 22=的图像和性质： ①焦点坐标是：?? ? ??02， p ，②准线方程是：2p x -=。 ③焦半径公式： （称为焦半径）是：02 p PF x =+， ④焦点弦长公式：过焦点弦长121222 p p PQ x x x x p =+ ++=++ ⑤抛物线px y 22 =上的动点可设为P ),2(2 y p y 或2(2,2)P pt pt 5一般情况归纳：题型讲解 （1）过点（－3，2）的抛物线方程为 ；y 2=－3 4x 或x 2=2 9y ， （2）焦点在直线x －2y －4=0 y 2=16x 或x 2=－8y ，
（3）抛物线 的焦点坐标为 ； （4）已知抛物线顶点在原点，焦点在坐标轴上，抛物线上的点 到焦点F 的距离为5，则抛物线方程为 ； 或 或 . （5）已知点),4,3(A F 是抛物线x y 82=的焦点,M 是抛物线上的动点,当 MF MA +最小时,M 点坐标是 )4,2( 例2．斜率为1的直线l 经过抛物线24y x =的焦点F ,且与抛物线相交于A B 、两点,求线段AB 的长． 解：法一 通法 法二 设直线方程为1y x =-， 1122(,)(,)A x y B x y 、， 则由抛物线定义得1212||||||||||22p p AB AF FB AC BD x x x x p =+=+=+++=++， 又1122(,)(,)A x y B x y 、是抛物线与直线的交点，由24, 1, y x y x ?=?=-?得2610x x -+=， 则126x x +=，所以||8AB =． 例3．求证：以通过抛物线焦点的弦为直径的圆必与抛物线的准线相切． 证明：（法一）设抛物线方程为22y px =，则焦点(,0)2p F ，准线2 p x =-．设以过焦点F 的弦AB 为直径的圆的圆心M ，A 、B 、M 在准线l 上的射影分别是1A 、1B 、1M ， 则11||||||||||AA BB AF BF AB +=+=， 又111||||2||AA BB MM +=， ∴11 ||||2 MM AB =，即1||MM 为以AB 为直径的圆 的半径，且准线1l MM ⊥， ∴命题成立． （法二）设抛物线方程为22y px =，则焦点(,0)2 p F ， 准线2 p x =-．过点F 的抛物线的弦的两个端点11(,)A x y ，22(,)B x y ，线段AB 的 中点00(,)M x y ，则1212||22 p p AB x x x x p =+++=++， ∴以通过抛物线焦点的弦为直径的圆的半径1211 ||()22 r AB x x p ==++． M 1M
高考数学圆锥曲线历年高考真题
浙江省高考数学圆锥曲线真题 22 04. 若椭圆 x 2 y 2 ab 1（a > b > 0）的左、右焦点分别为 F 1、F 2, 线段 F 1F 2被抛物线 y 2=2 bx 的焦点 分成 5∶ 3的两 段 , 则此椭圆的离心率为 16 (A) 1167 05．过双曲线 2 x 2 a 4 17 (B) 17 2 b y 2 1(a b 4 (C)45 (D) 255 5 0,b 0） 的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M 、 N 两点 , 以 MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点 则双曲线的离心率等于 07. 已知双曲线 2 x 2 a 2 y 2 1(a 0,b b 2 0） 的左、右焦点分别为 F 1,F 2, P 是准线上一点 , PF 1 PF 2,|PF 1| |PF 2| 4ab , 则双曲线的离心率是 B ） 3 （C ） 2 （D ） 3 △ ABP 的面积为定 则动点 P 的轨迹是A ． 圆 B ． 椭圆 C ． 一条直线 D ． 两条平行直线 09. 2 x 过双曲线 2 a 2 y b 2 1(a 0,b 0） 的右顶 点 条渐近线的交点分别为 B,C uuur ．若 AB 1 uuur BC , 2 A ． 2 B ．3 C 08．如图 , AB 是平面 的斜．线．段． ） B A P 第 10 题） A 作斜率为 1的直线 , 该直线与双曲线的两 则双曲线的离心率 是 ( ) ．5 D ． 10 A 为斜足 , 若点 P 在平面 内运动 , 使得 点 A （0,2） 。若线段 FA 的中点 B 在抛物线上 2 10. （13）设抛物线 y 2 2px （p 0） 的焦点为 F, 则 B 到该抛物线准线的距离为 近线与以 C 1 的长轴为直径的圆相交于 A, B 两点 ( ) 13 2 B ． a 2＝ 13 1 D ． A ．a 2＝ C ．b 2＝ b 2＝2 2 2 2 11. 设 F 1, F 2分别为椭圆 x 2 3 y 2 1的 左、 右焦点 22 x y 2 11. 已知椭圆 C 1： 2 2 =1 (a > b > 0)与双曲线 C 2： x 2 ab 则点 A 的坐标是 _______ 2 y 1有公共的焦点 , C 2 的一条渐 4 若 C 1 恰好将线段 AB 三等分 , 则 uuur uuuur 点 A, B 在椭圆上． 若 F 1A 5F 2B ,
圆锥曲线综合高考实战篇圆锥曲线实用讲义
前言 编者编写本书的初衷是以学生为中心，实用性优先，没有花里胡哨的冗杂 结论。本书筛选了2010-2018年的各地高考圆锥曲线大题并适当归类讲解，删去了思维跨度大，计算量极高的题，总计一百余题。考虑到高中生学习繁忙，编者尽可能的将本书压缩到了一百余页，并结合丰富的举例，偏向于去教学生怎么思考，往哪个方向思考，怎么去分析思路，并予以启发。 不建议基础知识不牢且计算功底弱的学生看这本书，否则效果适得其反。如果连一些基本算理都搞不清的话，则是开卷无益。 本书前半部分的讲解足以解决后半部分的习题，所以后半部分则以题目为主，部分内容借鉴了网上公开的免费视频与免费文档，对其分享的思路表示非常感谢！另外，编者对于圆锥曲线的第二第三定义及其衍生的结论并没有去细致讲解，请同学们依据课本自行完善。 由于本书核心部分来自孙斌老师。我做二次处理而成，加入了答案和少量自己的见解。如有疏漏与错误，还请包涵与指正。QQ:21113823 湖北省广水实高李大丹 目录 第一章题目信息转化为坐标表达/2 1.1距离公式与弦长公式/3 1.2题目核心条件转化为坐标/9 1.3转化为坐标后，怎么处理/16第二章获得点的坐标解决问题/25 2.1通过表示点的坐标解决问题/25 2.2怎么获取点的坐标/26 2.3设点与设直线结合起来/41 第三章定点定值/49 3.1什么样的直线过定点/49 3.2怎么解决直线过定点/50 3.3圆过定点与定值举例/58 第四章优化计算/60 4.1反设直线/60 4.2简化运算的技巧/63第五章面积与最值/66 5.1三角形的面积表达/66 5.2求最值之变量化一/77 5.3求最值之均值不等式/79 5.4求最值之借助导数/83第六章切线/86 第七章轨迹方程/98 第八章借助几何分析解决问题/108第九章探索类问题/136 第十章对称问题/143 第十一章弦中点与点差法/149
圆锥曲线历年高考题(整理)附答案
数学圆锥曲线测试高考题 一、选择题： 1. （2006全国II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的一条渐近线方程为y ＝4 3x ，则双曲线的离心率为（ ） （A ）53 (B )43 (C )54 (D )3 2 2. （2006全国II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2 ＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 3.（2006全国卷I ）抛物线2 y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是（ ） A ． 43 B ．7 5 C ．85 D ．3 4．（2006广东高考卷）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ） B. C. 2 D. 4 5.（2006辽宁卷）方程22520x x -+=的两个根可分别作为（ ） Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 6.（2006辽宁卷）曲线 22 1(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m +=<<--的（ ） (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同 7．（2006安徽高考卷）若抛物线2 2y px =的焦点与椭圆22 162 x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．4 8.（2006辽宁卷）直线2y k =与曲线2222 918k x y k x += (,)k R ∈≠且k 0的公共点的个数为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 二、填空题： 9. （2006全国卷I ）双曲线2 2 1mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m = 。 10. (2006上海卷)已知在平面直角坐标系xOy 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(F ,右顶点为(2,0)D ,
圆锥曲线讲义(带答案)
个性化辅导授课教案 学员姓名 ： 辅导类型（1对1、小班）： 年 级： 辅 导 科 目 ： 学 科 教 师 ： 课 题 圆锥曲线专题 课 型 □ 预习课 □ 同步课 □ 复习课 □ 习题课 授课日期及时段 年 月 日 时间段 教 学 内 容 圆锥曲线知识点总结 1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 ()2 2101c b e e a a ==-<< 3、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12 F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。
高中数学竞赛教案讲义(11)圆锥曲线
第十一章 圆锥曲线 一、基础知识 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0 §18直线和圆，圆锥曲线 课后练习 1．已知点A 为双曲线122=-y x 的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，ABC ?是等边三角形，则ABC ?的面积是 （A ） 33 （B ）2 33 （C ）33 （D ）36 2．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5 4 35+=x y 的距离中的最小值是 （A ）17034 （B ）8534 （C ）201 （D ）30 1 3．若实数x, y 满足(x + 5)2+(y – 12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 4．直线13 4=+y x 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 5．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y ＋b ＝0和曲线bx 2＋ay 2＝ab 的图形是 A B 6．过抛物线y 2＝8(x ＋2)的焦点F 作倾斜角为60o 的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于 A ． 3 16 B ． 3 8 C ． 3 3 16 D ．38 7．方程 13 cos 2cos 3sin 2sin 2 2=-+-y x 表示的曲线是 A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在x 轴上的双曲线 C. 焦点在y 轴上的椭圆 D. 焦点在y 轴上的双曲线 8．在椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B 。若 该椭圆的离心率是 2 1 5-，则ABF ∠= 。 9．设F 1，F 2是椭圆14 92 2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1| : |PF 2|＝2 : 1，则三 角形?PF 1F 2的面积等于______________． 江苏历年高考理科数学试题及答案汇编十圆锥曲线 （2008-2018）试题 1、9．（5分）（2008江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为A （0，a），B（b，0），C（c，0），点P（0，p）在线段AO上的一点（异于端点），这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F，某同学已正确求得直线 OE的方程为，请你完成直线OF的方程：． 2、12．（5分）（2008江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆M，若过作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为． 3、13．（5分）（2009江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆 的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为． 4、6．（5分）（2010江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离是 ． 5、8．（5分）（2010江苏）函数y=x 2（x ＞0）的图象在点（a k ，a k 2 ）处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1，k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5= ． 6、9．（5分）（2010江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2 =4上有且仅有四个点到直线12x ﹣5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是 ． 7、14．（5分）（2011江苏）设集合 222{(,)| (2),,},{(,)|221,,} 2 m A x y x y m x y B x y m x y m x y =-+∈=++∈R R 若,A B ≠? 则实数m 的取值范围是______________． 8、8．（5分）（2012江苏）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线 的离心率为 ，则m 的值为 ． 9、12．（5分）（2012江苏）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2+y 2 ﹣8x+15=0，若直线y=kx ﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 ． 10、3．（5分）（2013江苏）双曲线 的两条渐近线方程为 ． 11、12．（5分）（2013江苏）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为（a ＞b ＞0），右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2，若d 2= ，则椭圆C 的离心率为 ． 12、9．（5分）（2014江苏）在平面直角坐标系xOy 中，直线x+2y ﹣3=0被圆（x ﹣2）2 +（y+1）2 =4截得的弦长为 ． 13、10．（5分）（2015江苏）在平面直角坐标系xOy 中，以点（1，0）为圆心且与直线mx ﹣y ﹣2m ﹣1=0（m ∈R ）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ． 14、12．（5分）（2015江苏）在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2﹣y 2 =1右支上的一个动点，若点P 到直线x ﹣y+1=0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为 ． 15、3．（5分）（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 ﹣ =1的焦距是 ． 16、10．（5分）（2016江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点，直线y=与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC=90°，则该椭圆的离心率是 ． Ⅰ复习提问 一、直线l 及圆锥曲线C 的位置关系的判断 判断直线l 及圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）代入圆锥曲线C 的方程F （x ，y ）=0，消去y （也可以消去x ）得到关于一个变量的一元二次方程，即联立0 (,)0 Ax By C F x y ++=?? =?消去y 后得20ax bx c ++= （1）当0a =时，即得到一个一元一次方程，则l 及C 相交，有且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 及双曲线的渐近线平行；若C 为抛物线，则直线l 抛物线的对称轴平行。 （2）当0a ≠时，0?>，直线l 及曲线C 有两个不同的交点；0?=，直线l 及曲线C 相切，即有唯一公共点（切点）；0?<，直线l 及曲线C 相离。 二、圆锥曲线的弦长公式 相交弦AB 的弦长 1212AB AB AB x y y ? ?=???=???=-==-??? 三、中点弦所在直线的斜率 （1）若椭圆方程为22 221(0)x y a b a b +=>>时，以P 00（x ,y ）为中点的弦所在直线斜率 202(0)b k y a =-≠0 0x y ，即22op b k k a =-；若椭圆方程为22221(0)y x a b a b +=>>时，相应结论为 202(0)a k y b =-≠0 x y ，即22op a k k b =-； （2）P 00（x ,y ）是双曲线22221x y a b -=内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率202(0)b k y a =≠0 x y ， 即22op b k k a =； 若双曲线方程为22221y x a b -=时，相应结论为202(0)a k y b =≠0 x y ，即22op a k k b =； （3））P 00（x ,y ）是抛物线22y px =内部一点，以P 为中点的弦所在直线斜率0(0)p k y =≠0 y ； 若方程为22x py =时，相应结论为k p = x 。 Ⅱ 题型及方法 一、直线及圆锥曲线的位置关系 （1）直线及圆锥曲线有两个不同的公共点的判断：通法为直线代入曲线判断0?>；另一方法就是数形结合，如直线及双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率及双曲线渐近线的斜率大小得到。 （2）直线及圆锥曲线只有一个公共点则直线及双曲线的一条渐近线平行，或直线及抛物线的对称轴平行，或直线及圆锥曲线相切。 例1.已知两点5(1,)4M ，5(4,)4N --， 给出下列曲线方程：①4210x y +-=②22 +y =3x ③2212x y += ④2 212 x y -=在曲线上存在点P ，满足PM PN =的所有曲线方程是 （填序号）。 练1:对于抛物线C ：24y x =，我们称满足2004y x <的点M （00,x y ）在抛物线的内部，若点M （00,x y ）在抛物线的内部，则直线l ：002()y y x x =+及抛物线C 的位置关系是 。 一、选择题： 1.(2007安徽文)椭圆1422=+y x 的离心率为（ ） （A ） 23 （B ）43 （C ）22 （D ）32 2.(2008上海文)设p 是椭圆2212516x y +=上的点．若12F F ，是椭圆的两个焦点，则12PF PF +等于（ ） A ．4 B ．5 C ．8 D ．10 3．（2005广东）若焦点在x 轴上的椭圆1 22 2=+m y x 的离心率为21，则m=（ ） A ．3 B ．23 C ．38 D ．32 4．（2006全国Ⅱ卷文、理）已知△ABC 的顶点 B 、 C 在椭圆x 23 ＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是（ ） （A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 5．（2003北京文）如图，直线022:=+-y x l 过椭圆的左焦点F 1和 一个顶点B ，该椭圆的离心率为（ ） A ．51 B ．52 C ．55 D ．552 6．（2002春招北京文、理）已知椭圆的焦点是 F 1、F 2、P 是椭圆上的一个动点．如果延 长F 1P 到Q ，使得|PQ|=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线的一支 （D ）抛物线 7．（2004福建文、理）已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若△ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） （A ）32 （B ） 33 （C ）22 （D ）23 8.（2007重庆文）已知以F 1（-2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ） 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴 为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 最新高中数学奥数竞赛试题直线和圆，圆锥曲线 课后练习 1．已知点A 为双曲线122=-y x 的左顶点，点B 和点C 在双曲线的右支上，ABC ?是等边三角形，则ABC ?的面积是 （A ） 33 （B ）2 33 （C ）33 （D ）36 2．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5 4 35+=x y 的距离中的最小值是 （A ）17034 （B ）8534 （C ）201 （D ）30 1 3．若实数x, y 满足(x + 5)2+(y – 12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 4．直线13 4=+y x 椭圆191622=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 5．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y ＋b ＝0和曲线bx 2＋ay 2＝ab 的图形是 A B 6．过抛物线y 2＝8(x ＋2)的焦点F 作倾斜角为60o 的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于 A ． 3 16 B ． 3 8 C ． 3 3 16 D ．38 7．方程 13 cos 2cos 3sin 2sin 2 2=-+-y x 表示的曲线是 A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在x 轴上的双曲线 C. 焦点在y 轴上的椭圆 D. 焦点在y 轴上的双曲线 8．在椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 中，记左焦点为F ，右顶点为A ，短轴上方的端点为B 。 若该椭圆的离心率是 2 1 5-，则ABF ∠= 。 9．设F 1，F 2是椭圆14 92 2=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1| : |PF 2|＝2 : 1，则 三角形?PF 1F 2的面积等于______________．高中数学竞赛讲义-直线和圆、圆锥曲线(练习题)
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