七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第二十讲质数与合数

第二十讲质数与合数

趣题引路】

由超级计算机运算得到的结果2対川3_1是一个质数，则泸9433+1是（）

A.质数

B.合数

C.奇合数

D.偶合数

解析V2859433-l, 2溯33, 2*眇*33+1.是三个连续正整数，T2859433 — 1的末位数字是1. 285

同学们，你们知道什么是“哥徳巴赫猜想”吗？二百多年前，徳国数学家哥徳巴赫发现：任一个不小于6的偶数都可以写成两个奇质数之和.如6=3 + 3, 12=5+7等.对许多偶数进行检验，都说明这个猜想是正确的，但至今仍无法从理论上加以证明，也没有找到一个反例.到目前最好的结论是我国数学家陈景润证明的"1+2”，即任一充分大的偶数，都可表示成一个质数加上一个质数或两个质数的积，这一结论被命名为"陈氏定理”.

知识延伸】

1.正整数依据不同的标准可以有各种分类，这里依据它们的正约数的个数可以分为三类：

（1）只有一个正约数的数，它只能是1：

（2）只有两个正约数的数，如2, 3, 11这样的数叫质数：

（3）有两个以上正约数的数，如4, 10, 12这样的数叫合数.

2.（1> 2是最小的质数，也是唯一的偶质数：除2以外，苴余的质数都是奇数。

（2）质数有无穷多：合数也有无穷多.

证明假设只有有限多个质数,设为P2, P、，…,几考虑P1P2P3…几+1,由假设可知，PxPzPy- 几+1是合数，它一定有一个质因数P,显然，P不同于巴，Pi，A，…，P”，这与假设Pi，B，A，…，几为全部质数矛盾.

3.质数可以采用埃拉托色尼筛选法进行判左.如判断2003为质数，可以这样操作：分别用质数2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 43来除2003,它们都不能整除2003,而下一个质数47,它的平方472 = 2209大于2003,由此就可判定2003为质数。

4.算术基本定理

对于一合数，如果将它分解为若干质数的连乘积的形式，并不考虑质因数的排列顺序，那么这种分解

式将是唯一的，即正整数M>1）可以唯一表示为N = p「py…

其中，Pl, Pit…，Pm为质数,且Pl "1, "2，…，如为正整数.

5.对于正整数N的质因数标准分解式N = PJPr…P/

根据乘法原理，它的正约数个数为（1+山）（1+"2）…（1+如）.它的所有约数之和为

S（N） = （1+R+…+厅）（1+￡ +…+冒）…（1+化+ --+瞭，）

门一1 必一1 几一1

而且仅当/V为平方数时，它的正约数个数为奇数.

例1用正反向的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为x (cm)规格的地砖，恰用“块：若选用边长为y (cm)规格的地砖，则要比前一种刚好多用224块.已知X 、y 、“都是正整数，且(.r,y) = l.试问: 这块地有多少平方米？

解析设这块地的而积为S,则Sn 用=(” + 124))，,得…(x 2-/) = 124/.

x> y.(x,y) = \:\x 2 -y\ v 2) = 1 得(x 2 -/)|124.

x + y = 2x 3L A - - y = 2.

解之得E —此时心笞= 9。。. 故这块地的面积为 S = nx 2

=900xl62 = 230400(cnr )=23.04(nr). 点评虽然同一块地有不同的铺法，但是这块地的而积不变，利用面积不变建立x 、y. n 的等式，寻找解题的突破口.

例2 “是质数，//+3仍是质数，求p 5+3的值.

解析???"是质数，???//+3>3

又p + 3为质数，.?.//+3必为奇数，???//必为偶数，:?p 必为偶数.

乂 p 是质数，p=2. p 5 +3=2' + 3=35.

点评本题利用了2是唯一的偶质数这一性质.

例3已知正整数"和q 都是质数，且7" +彳与07 + 11也都是质数，试求P- + qP 的值.

解析W + 11>11且凶+ 11是质数，+ 必为正奇质数，pg 为偶数，而/八q 均为质数，故p = 2或 (7 = 2 ? 当"2时,有14 + q 与2g + ll 均为质数.当厂3R + 1(22)时，则14 + g = 3仏+5)不是质数：

当q = 3k + 2(“N)时，2g + ll=3(2R+5)不是质数，因此，q = 3k,且彳为质数，故§ = 3.

当“2时，有lp + q 与2卩+ 11均为质数.当P = 3k + i(k>2)时，7" + 2=3(7& + 3)不是质数：当

" = 3R + 2(keN)时，2“ + ll = 3(2k + 5)不是质数，因此，p = 3k ,当“为质数，故卩=3.

故 p 。+7r =23 +32 =17.

点评在所有质数中2时唯一的偶质数，可知B/ + 11是奇质数，皿是偶数,进而可求卩或g,最终达到求解的目的.

例4已知"和8於+1都是质数，求证：8p 2-p + 2也是质数.

解析先研究"和8/F+1都是质数时，卩应满足的条件可先从最小的质数开始考察.

证明：若p = 2,贝Ij8/r+l = 33是合数；

&+y = 31,

< /一〉ul;

若卩=3,贝Ij8/r+1 = 73是质数：

若p = 5,贝IJ8/ +1 = 201是合数：

若 P = 7 ,贝ij 8/r +1 = 393 是合数：

由此猜测：当"为大于3的质数时，8/r+1为合数.下而对这一猜测给岀证明.

若卩＞3,把"按3除的余数可分为3—1.3R,3k + l(“N)三类.由于”时质数，所以，"只能为形如弘±1

的数，则8/r +1=8(3^±1)2 +1 = 3(24疋± \6k + 3).

显然，8//+1是合数.

因此,满足条件的p = 3.

故当p = 3时，8/r-P + 2=71是质数.

点评本例的i正明是由具体数字着手讨论的，这种“归纳一一猜想一一证明”的方法在以后的学习中要经常用到.

例5若“为自然数，“+ 3与“ + 7都是质数，求“除以3所得的余数.

解析我们知道"除以3的余数只能为0、1. 2三种.

若余数为0,即“ = 3R (k是一个非负整数，下同)，贝!J” + 3 = 3R + 3 = 3(R + 1),所以3|“ + 3,又3工” + 3, 故〃+ 3不是质数，与题设矛盾.

若余数为2,即“ = 3R + 2,则“ + 7 = 3k + 2 + 7 = 3(k + 3),故3|“ + 7,” + 7不是质数，与题设矛盾.所以“除

以3所得的余数只能为1.

点评一个整数除以加以后，余数可能为0, 1,…，山-1,共m个，将整数按除以加所得的余数分类，可以分成加类?如川=2时，余数只能为0与1,因此可以分为两类，一类是除以2余数为0的整数，即偶数：另一类是除以2余数为1的整数，即奇数.同样，加=3时，就可以将整数分为三类，即除以3余数分别为0、1、2这样的三类.通过余数是否相同来分类是一种重要的思想方法，有着广泛的应用.

例6把一个两位质数接写在另一个与它不同的两位质数的右边，得到一个四位数.已知这个四位数恰能被这两个质数之和的一半整除，试求岀所有这样的四位数.

解析设x =亦茴均为两位质数，且x = 依题意，四位数亦= 100.亦+石= lg2y,能被斗

乙

整除，则100x + y = /n (加为正整数),即198x = (加-2)(x+y).

V W-2是整数，A(x + y)|198x

又(x,A + y) = (x,y) = l,事实上，两个不同的质数是互质的.

???(* +)，)| 198.

??? x和y是不同的两位质数，???x和y均为不小于11且不大于99的不同质数，二x + y应是小于24且不大于196的偶数.

容易求得198的不小于24且不大于196的正偶约数只有66,把66分拆成两个不同的两位素数之和，有

66 = 13 + 53 = 19 + 47 = 23 + 43 = 29 + 37 ,

故符合条件的四位数共有8 个：1353、5313、1947、4719、2343、4323、2937、3729.

点评在上而的求解过程中，用到了最大公约数的一个性质：(儿x+y) = (x,y)?

好题妙解】

佳题新题品味

例1设“、b、c、d都是自然数，且a2+b2=c2+d2,证明：a + b + c + d—泄是合数.

证明???/+，和“b同偶数,c2+d2与c + d同奇数,又u2+b2=c2+d2,

a2 +b2与+d2同奇偶，因此a + b与c + d同奇偶.

.，? a + b + c + d 是偶数，且a + 方 + c + d 2 4 ,

a +力+ c + N—定是合数.

点评偶数未必都是合数，所以a + b + c + d> 4在本题中是不能缺少的.

例2正整数加和“是两个不同的质数，〃? + “ + 〃/的最小值是/八求冬二二的值.

解析要使〃的值最小，而川和舁都是质数，则加和〃分别取2和3,于是"二加+ 〃 + 〃加=11 ,故m2 +「13

~~j?121*

点评要使p的值最小,则川和“尽可能取较小的值，而加、"是两个不同的质数,故加和"分别取2和3, 从而"值可求.

中考真题欣赏

例1若“、b、c是1988的三个不同质因数，且a

解析V 1998 = 2x3x3x3x37 ?而a、b、c 为质数.

??，、b、c的值分别为2、3、37.

b = 3,

c = 37 ,得(b + c)" =1600.

点评先对1998分解质因数，再根据a

例2四个质数的倒数之和是空，则这四个质数之和是 _____________ .

199>

解析V 1995 = 3x5x7x19 ,丄 + 丄 +丄 += ,

3 5 7 19 1995

??.这四个质数为3、5、7、19.

因此，这四个质数的和为3+5+7+19=34.

1111 1454

点评设这四个质数分别为小b、c.几则丄+丄+丄+丄二空?由于小b、c. d均为质数,所以

a b c d 1995

1995=0加d .故考虑将1995分解质因数.

竞赛样题展示

例1 "是不小于40的偶数，试证明：“总可以表示成两个奇合数的和.

解析因为“是不小于40的偶数，所以，"的个位数字必为0、2、4、6、&现在以"的个位数字分类：

（1）若"的个位数字为0,则n = \5 + 5k（k>5为奇数）：

（2）若"的个位数字为2,则n = 21 + 5k（k>3为奇数）：

（3）若”的个位数字为4,贝hi=9 + 5k（k>7为奇数）：

（4）若"的个位数字为6,则n = 2\+5k（k>5为奇数）：

（5）若"的个位数字为&贝\}n = 33 + 5k（k>3为奇数）：

综上所述，不小于40的任一偶数，都可以表示成两个奇数之和.

点评本题证明一个不小于40的偶数可以表示成两个奇合数之和，其难度与“哥徳巴赫猜想”当然不可同日而语，但本题证明时使用了构造的方法，值得大家注意.

例2 41.劣运动员所穿运动衣号码是1,2,…，40,41这41个自然数，问：

（1）能否使这41爼运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号码之和是质数？

（2）能否让这41名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？

若能办到，请举一例；若不能办到，请说明理由.

解析（1）能办到.注意到41与43都是质数，据题意，要使相邻两数的和都是质数，显然，它们不能都是奇数，因此，在这排数中只能一奇一偶相间排列，不妨先将奇数排成一排：1,3,5, 7,…，41.在每两数间留有空挡，然后将所有的偶数依次反序插在各空挡中，得1,40,3,38,5,36,7,34,…，8,35,6,37,4,39,2,41, 这样任何相邻两数之和都是41或43,满足题目要求.

（2）不能办到.若把1,2,3,…，40,41排成一圈，要使相邻两数的和为质数，这些质数都是技术，故圆圈上任何相邻两数比为一奇一偶，但现有20个偶数，21个技术，总共有41个号码，由此引出矛盾，故不能办到.

点评站成一排和站成一圈虽只一字之差，但却有着质的不同，因为一圈形成了首尾相接的情形.

例3 （第62届莫斯科竞赛题）写岀5个正整数，使它们的总和等于20,而它们的积等于420.

解析设这5 个正整数为X],x,,A-J,x4,,则x{ x2 x3■ A4? x5 =420=2' x 3x5 x 7 ,而+x2 +x3 +.v4 +x s=20 , 故知这5个数分别为2、4、3、5、7.

点评在420的分解式中，把才看作2x2 （即两个数相乘）还是一个数4,是否再增加一个因数1,这取决于对求和式的观察.

例4若自然数“ + 3与“ + 7都是质数，求“除以6的余数.

解析不妨将"分成六类，" = 6k," = 6k + l,...,〃= 6k + 5,然后讨论.

当“ =6R 时，n + 3 = 6k + 3 = 3（2R +1）与“ + 3 为质数矛盾：

当“ =6k + 1 时，“ + 3 = 6* + 4 = 2（2k + 2）与“ + 3 为质数矛盾；

当〃=6￡ + 2时，川+ 7 = 6* + 9 = 3(2* + 3)与“ + 7为质数矛盾：

当川=6k + 3时，〃+ 3 = 6k + 6 = 6(k + 1)与畀+ 3为质数矛盾：

当“ = 6R + 5时，” + 7 = 6“12 = 6甘+ 2)与"+ 7为质数矛盾：

所以只有“=6斤+4,即“除以6的余数为4.

点评本题利用分类讨论进行.

过关检测】

A级

1.有三个正整数，一个是最小的奇质数，一个是最小的奇合数，另一个既不是质数，也不是合数，求这三个数的积.

2?有三个数，一个是偶质数，一个是大于50的最小质数，一个是100以内最大的质数，求这三个数的和. 3?设口与p2是两个大于2的质数，证明p, + p2是一个合数.

3?若p是一个质数，/r+3仍为质数，求值：//+3也是一个质数.

5?若p与卩+ 2都是质数，且p>3.求。除以3所得的余数.

6?若自然数叫＞n 2 f 且一居一 2厲一 2n 2 =19,求“］、/2?的值?

7 ?有四个不同质因数的最小的自然数是多少？

&求2000的正约数的个数，并求它的所有质因数的和.

9?若n = 4s45 + 5454 ,则〃是 ______ 数（选填“质”或“合”）.

10.若质数m. n 满足5m + 7〃 = 129，贝9m + n= ____________ .

B 级

i ?p 和//+3均为质数，则p l,-47= _____________ ?

2?已知三个质数朴小“的积等于三个质数的和的5倍则,/r + /r + p 1 = ______________ 1 1 3

4. （ 1998年北京市岀而数学竞赛试题）若y 和z 均为质数，且x = yz,x 」,z,满足丄+ - = -,则

x y z

1988.V + 5y + 3z = _______ ?

5. （1997年“迎春杯”初一数学竞赛试题）若"和彳都是质数，并且关于x 的一元一次方程用+ 5q = 97的根是1，则p 2

-q=________________ ? 6?已知mb.ab = bbb ,其中a 和b 是1~9中的数字，肋表示个位数字为b,十位数字为a 的一个两位数，bbb 表示个位数字都是方的三位数，求d 和方的值.

3. （ 1997年北京市初一数学竞赛试题） 1- 斗_4（“_3只） =2片_ ---------- 3 的解是最小质数的倒数，则

7?已知甲、乙、丙三人的年龄都是正整数，甲的年龄是乙的2倍，乙比丙小7岁，三人年龄之和是小于70 的质数，且该质数的各位数字之和为13.求甲、乙、丙三人的年龄.

8.（1997年“五羊杯”竞赛试题）已知pp + 2丿+ 6丿+ &p + 14都是质数,则这样的质数p共有多少个?

第二十讲质数与合数

1. 3x9*1=27

2. 2 +5^+97 = 152

3.P\与Pi为奇质数，故Pi +Pi为偶数，即2” *2,又Pi +Pi >2,所以pi +p2为合数.

4.由题意屮=2,故仍为质数

5 2

6?时一讦一2小-2? =(6 *心)(从?2(叫?％)二(小?％)(如7厂2) =19,由19为质数.

7.2x3x5x7=210

8.2000= 丫*51所以它的所有正约数的个数为(4 + 1) x(3*l)=2O.它的质因数有2和5■它们的和

为2+5=7.

9.合数I0?L9或25

1.2001 ?提示/ 43是质数；p&是偶数，知p是偶数，而P是质数，故卫=

2.当p=2时才-47左2001.

2.78.提示：由已知得mnp =5(m +n +p),因mg卫都是质数，知m“、p中一定有一个是5,可令

5,有np =5 + n +卩,由乘法分配律，得(n-l)(p-l) *6,可得p、n的值分别为7、2或3、4??「p^n 是质数,???之值分别为7、2.故m J+n2 +p2 =78.

3.磊提示;???最小质数是2.J.该方程的解为"*将"艸人方程，得a嗥

4.2000

5.提示；由已知，得产+垃二3巧v??x=yz f.\ x4?=3^y. V 兀*0匸?三3齐当”2 时，则厂1与已知矛

盾，故2屛2.因此"Z必为奇质数,3y为偶数，得y=2是质数，此时"5 ,* = 10.代入式中?得1998r-?-5y+3^ = 1998 x10 +5 x2+3 x5 =20005?

5.-15.提示:把工=1代入已知方程，得卩+5厂97,.?.p与5g中有一个是偎数，而p、？是质数，故P =

2或g=2?当p=2时，则5g =95.g =： 19.p*-15；当时t p=87.而87不是质数与题设矛盾\ 故p2— 9 = -15.

_ _

6.a=3t A=

7.提示：由已知得a ? b?狂= 1116,知。?aS = lll=3x37t iraa6 是一个两位数■故a =3,6 =7.

7.甲的年龄为30岁，乙为13岁，丙为22岁.提示：设乙的年静为工,则甲的年龄为N,丙的年龄为为十7.因

小于70的质数的数字之和为13 =6 +7 =5 +8 =4 *9,故数字和为13且小于70的质数只有67, 依题意，得2r+x4-7+r=67,x=15,2^=30,z+7=：22.故甲、乙、丙三人的年龄分别为刃岁、15岁、22岁.

8.L 个-提示:p 是质数，卩卫+2,/)*6三(卩*1)十5,p+8 = (p+3) + 5 ,p + 14 = (p+4) +2x5,^lp,p + 2,p+6,p+8,p +

14它们除以5的余数各不相同?因此，这3个质数必有一个能被5整除，但质数中能被5整除的只有5.

若p=5,则5个数分别为5、7、1I、13、19.，符合题意?若p+2*+6,p十8,p + 14 的值中有尊于5的数,那么这5个数不都是质数,故这样的质数P只有1个"

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人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程（10）二元一次方程组解的讨论【知识精读】 1．二元一次方程组???=+=+222 111c y b x a c y b x a 的解的情况有以下三种： ① 当2 12121c c b b a a ==时，方程组有无数多解。（∵两个方程等效） ② 当2 12121c c b b a a ≠=时，方程组无解。（∵两个方程是矛盾的） ③ 当 2121b b a a ≠（即a 1b 2－a 2b 1≠0）时，方程组有唯一的解： ??? ????--=--=12212 11212211221b a b a a c a c y b a b a b c b c x （这个解可用加减消元法求得） 2．方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按二元一次方程整数解的求法进行。 3．求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例2、3）【分类解析】例1. 选择一组a,c 值使方程组???=+=+c y ax y x 275 ① 有无数多解， ②无解， ③有唯一的解解： ①当 5∶a=1∶2=7∶c 时，方程组有无数多解解比例得a=10, c=14。 ② 当 5∶a ＝1∶2≠7∶c 时，方程组无解。解得a=10, c ≠14。 ③当 5∶a ≠1∶2时，方程组有唯一的解，即当a ≠10时，c 不论取什么值，原方程组都有唯一的解。例2. a 取什么值时，方程组? ??=+=+3135y x a y x 的解是正数？解：把a 作为已知数，解这个方程组

七年级数学培优竞赛教案

奥数培训之趣味数学生活中的数学： 1、诗仙李白豪放豁达，有斗酒诗百篇的美名，为唐代“饮中八仙”之一，民间流传李白买酒歌谣，是一道有趣的数学问题：李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一抖，三遇店和花，喝完壶中酒。试问：酒壶中原有多少酒？解：设酒壶中原有酒x 斗，“三遇店和花”意思是李白三遇店，同时也三见花。第一次见店又见花后，酒有：12-x ；第二次见店又见花后，酒有：1-122）（ -x ；第三次见店又见花后，喝完壶中酒，所以依题意，得 ()[]0111222=---x 解方程，得 87= x 答：酒壶中原有酒8 7斗。 2、有甲乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍。”乙回答说：“最好还是把你的羊给我一只，我们的羊数就一样了”，求两个牧童各有多少只羊。解：设甲有x 只羊，乙有y 只羊。依题意，得 ()? ??+=--=+11121y x y x 解方程组，得? ??==57y x 所以甲牧童有羊7只，乙牧童有5只。 3、一片牧场上的草长得一样快，已知60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完．那么，若在120天里将草吃完，则需要（）头牛 A 、16 B 、18 C 、20 D 、22 分析：设草一天增加量是a ，每头牛每天吃的草的量是b ，原有草的量是c ，根据60头牛24天可将草吃完，而30头牛60天可将草吃完，列方程组，用其中一个未知数表示另一个未知数即可求解。

解：设草一天增加量是a ，每头牛每天吃的草的量是b ，原有草的量是c 。根据题意，得 ???==???+=?+=?b c b a a c b a c b 120010606030242460解得，则若在120天里将草吃完，则需要牛的头数是20120120=+b a c 。故选C 。 4、杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A ．一样多． B ．多了． C ．少了． D ．多少都可能．解：设杯中原有水量为a ，依题意可得，第二天杯中水量为a ×(1－10%)=0.9a ；第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a ；第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为199.01.19.01.19.0<=?=??a a 。所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C ． 5、甲杯中盛有2m 毫升红墨水，乙杯中盛有m 毫升蓝墨水，从甲杯倒出a 毫升到乙杯里（0＜a ＜m ），搅匀后，又从乙杯倒出a 毫升到甲杯里，则这时( )。 A ．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少． B ．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多． C ．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同． D ．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定．解：从甲杯倒出a 毫升红墨水到乙杯中以后：乙杯中含红墨水的比例是a m a +，乙杯中含蓝墨水的比例是 a m m +，再从乙杯倒出a 毫升混合墨水到甲杯中以后：乙杯中含有的红墨水的数量是毫升a m ma a m a a a +=+?- ①

数学培优竞赛新方法(九年级)-第22讲几何最值

第22讲几何最值知识纵横几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积等）的最大值或最小值。求几何最值问题的基本方式有： 1.特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，在进行一般情况下的推证。 2.几何定理（公理）法：应用几何中的不变量性质、定理. 3.数行结合法：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等。例题求解【例1】如图，在锐角ABC ?中，24=AB ，45=∠BAC ，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，点M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BN BM +的最小值。（陕西省中考题）思路点拨画折线为直线，综合运用轴对称、垂线段最短等知识。例1

例2 【例2】如图，在ABC ?中，AB=10，AC=8，BC=6，经过点C 且与AB 相切的动圆与CB 、CA 分别相交于点E 、F ，则线段EF 的最小值（）。 A.24 B.4.75 C.5 D4.8 （兰州市中考题）思路点拨设O 与AB 相切与T ，连OC 、OT,EF 为O 直径，则EF=OE+OF=OC+OT,将问题转化为求OC+OT 的最小值。【例3】如图，正方形ABCD 的边长为4cm ，点P 是BC 边上不与点B 、C 重合的任意一点，连接AP ，过点P 作PQ ⊥AP 交DC 于点Q ，设BP 的长为x cm ，CQ 的长为y cm. (1) 求点P 在BC 上运动的过程中y 的最大值； (2) 当4 1 = y cm 时，求x 的值. （河南省中考题）思路点拨利用相似形建立y 与x 的函数关系式，由此导出y 的最大值例3

(完整版)七年级数学(下)培优试题

七年级数学（下）培优竞赛试题 1、已知直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，∠1：∠3=3：1， ∠2=20度，求∠DOE 的度数。 2、如图所示,O 为直线AB 上一点,∠AOC=1 3 ∠BOC,OC 是∠AOD 的平分线。 ①求∠COD 的度数； ②判断OD 与AB 的位置关系，并说明理由。 3、如图，两直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOD ，如果∠AOC ：∠AOD=7：11， ①求∠COE ； ②若OF ⊥OE ，∠AOC=70°，求∠COF 。 4、如图⑺，在直角 ABC 中，∠C ＝90°，DE ⊥AC 于E,交AB 于D . ①指出当BC 、DE 被AB 所截时，∠3的同位角、内错角和同旁内角. ②试说明∠1＝∠2＝∠3的理由.（提示：三角形内角和是1800） 5、如图是一个3×3的正方形，则图中∠1＋∠2＋∠3＋…＋∠9= 。 6,（安徽中考）如图，已知AB ∥DE ，∠ABC= 80 ，∠CDE= 1400 ，则∠BCD= . 3 21O F E D C B A O D C B A A B C D O E F 6 3 2 １ 9 8 7 5 4

7、如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ，（1）若∠A=60°。求∠Q （2）若∠A=100°、120°，∠Q 又是多少？（3）由（1）、（2）你发现了什么规律？当∠A 的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？（提示：三解形的内角和等于180°） 8、如图所示，AB ⊥EF 于G ，CD ⊥EF 于H ，GP 平分∠EGB ，HQ 平分∠CHF ，试找出图中有哪些平行线，并说明理由． 9，（北大）如图所示，图（1）是某城市古建筑群中一座古塔底部的建筑平面图，请你利用学过的知识设计测量古塔外墙底部的∠ABC 大小的方案，并说明理由，（注：图（2）、图（3）备用）（1）（2）（3） 10、已知点B 在直线AC 上，AB=8cm ，AC=18cm ，P. Q 分别是AB. AC 的中点,则PQ 为多少cm? （自己构造图） A B C D E F G H P Q

七年级数学竞赛培优(含解析)专题24 相交线与平行线

专题24 相交线与平行线阅读与思考在同一平面内，两条不同直线有两种位置关系：相交或平行. 当两条直线相交或两条直线分别与第三条直线相交，就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角，善于从相交线中识别出以上不同名称的角是解相关问题的基础，把握对顶角有公共顶点，而同位角、内错角、同旁内角没有公共顶点且有一条边在截线上，这是识图的关键．两直线平行的判定方法和重要性质是我们研究平行线问题的主要依据． 1．平行线的判定 (1)同位角相等、内错角相等，或同旁内角互补，两直线平行； (2)平行于同一直线的两条直线平行； (3)在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线平行． 2．平行线的性质 (1)过直线外一点，有且只有一条直线和这条直线平行； (2)两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补； (3)如果一条直线和两条平行线中的一条垂直，那么它和另一条也垂直. 熟悉以下基本图形：例题与求解【例1】 (1) 如图①，AB ∥DE ，∠ABC ＝0 80，∠CDE ＝0 140，则∠BCD ＝__________. （安徽省中考试题） (2) 如图②，已知直线AB ∥CD ，∠C ＝0 115，∠A ＝0 25，则∠E ＝___________. （浙江省杭州市中考试题）

图② A 解题思路：作平行线，运用内错角、同旁内角的特征进行求解. 【例2】如图，平行直线AB ，CD 与相交直线EF ，GH 相交，图中的同旁内角共有( )． A ．4对 B ．8对 C ．12对 D ．16对（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角，从对原图进行分解入手． C D B 例2题图例3题图【例3】如图，在△ABC 中，CE ⊥AB 于E ，DF ⊥AB 于F ，AC //ED ，CE 是∠ACB 的平分线，求证：∠EDF ＝∠BDF . （天津市竞赛试题）解题思路：综合运用垂直定义、角平分线、平行线的判定与性质，由于图形复杂，因此，证明前注意分解图形．【例4】如图，已知AB ∥CD ，∠EAF ＝ 41∠EAB ，∠FCF ＝41∠ECD .求证：∠AFC ＝4 3 ∠AEC . （湖北省武汉市竞赛试题） D E C A B 图1

8年级数学培优竞赛试题1-25题(含详解)

八年级第1题：下列命题：（1）全等三角形的对应边上的中线、高、角平分线对应相等；（2）两边和其中一边上的中线（或第三边上的中线）对应相等的两个三角形全等；（3）两角和其中一角的角平分线（或第三角的角平分线）对应相等的两个三角形全等；（4）两边和其中一边上的高（或第三边上的高）对应相等的两个三角形全等。其中正确命题的个数有( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个答案：B 解析：（1）全等三角形的中线、高、角平分线对应相等，正确（2）可以先证明两边的夹角相等，再证明两三角形全等，正确（3）可以用AAS或ASA判定两个三角形全等，正确（4）参考等高模型，两三角形不一定全等，错误第2题：如图，在△ABC中，IB，IC分别平分∠ABC和∠ACB，过点I作DE ∥BC，分别交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形； ②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE周长等于AB＋AC，其中正确的是（） A．①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④

答案：C 解析： ①因为IB 平分ABC ∠ 所以CBI DBI ∠=∠ 因为DE 平行BC 所以CBI DIB ∠=∠ 所以DIB DBI ∠=∠ 所以BD=DI 所以DBI ?是等腰三角形 ②因为BAC ∠不一定等于ACB ∠ 所以IAC ∠不一定等于ICA ∠ 所以ACI ?不一定是等腰三角形 ③因为三角形角平分线相交于一点，BI 、CI 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线所以AI 平分BAC ∠ ④因为DI BD =,同理可得EC EI = 所以ADE ?的周长AE EC BD AD AE EI DI AD +++=+++ 第3题：已知△ABC 的三条边长分别为3,4,6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（） A ．6条 B.7条 C.8条 D.9条答案：B 解析：根据当11AC BC =，2CC AC =，3BC AB =，44CC AC =，5AC AB = 6AC AB =，77CC BC =时，都可以得到符合题意的等腰三角形所以共有7条

七年级数学竞赛培优(含解析)专题27 以形借数

27 以形借数——借助图形思考阅读与思考数学是研究数量关系与空间形式的科学，数与形以及数和形的关联与转化，这是数学研究的永恒主题，就解题而言，数与形的恰当结合，常常有助于问题的解决，美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思维就整体地把握了问题，并且能创造性地思考问题的解法”．将问题转化为一个图形，把问题中的条件与结论直观地、整体地表示出来，是一个十分重要的解题方法，现阶段借助图形思考是指以下两个方面： 1．从给定的图形获取解题信息数学问题的表述方法很多，既有用文字叙述的，也有通过图形（如数轴、图表、平面图形等）来呈现的，善于从给定的图形获取解题信息是一个重要技能． 2．有意地画图辅助解题图形能直观、形象地表示数量及关系，解题中有意地画图（如画直线图、列表、构造图形等）能帮助分析理顺复杂数量关系，使问题获得简解．阅读与思考【例1】如图，圆周上均匀地钉了9枚钉子，钉尖朝上，用橡皮筋套住其中的3枚，可套得一个三角形，所有可以套出来的三角形中，不同形状的共有____________种。（“五羊杯”竞赛试题） x y z则解题思路：圆周长保持不变，设圆周长为9，套成的三角形三边所对应的弧长分别为,,, ≤≤，借助图形分析，找出满足条件的整数解即可。 ++=。不妨设x y z 9 x y z

【例2】一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为．．．．．．．．y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系。根据图像进行一下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为___________km。（2）请解释图中点B的实际意义。图像理解（3）求慢车和快车的速度。（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围。问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同。在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇。求第二列快车比第一列快车晚车发多少小时？（江苏省南京市中考试题）解题思路：函数图像包含了两种不同层次的信息：有慢车行驶900km用了12h等可直接感知的浅层结构信息，也有在0～4小时之间以及稍后的一段时间内，快车和慢车的速度之和为定值和C点表示快车在某一时刻已到达终点等需要经过分析或运算才能获得的深层结构的信息。

初一数学培优专题讲义一有理数及其运算(完整资料).doc

此文档下载后即可编辑初一数学培优专题讲义一有理数及其运算一、有理数的基本概念梳理与强化：（一）几个小知识点的梳理与强化：小知识点是常考的考点，也是易错点。理清小知识点，减少失误 1.字母可以表示任意有理数，不能说a 一定是正数，-a 也不一定是负数 2.相反数等于本身的数是；平方等于本身的数是；立方等于本身的数是；倒数等于本身的数是。 3.互为相反数的两个数的绝对值相等。若|－x |=|2 1-|，则x =______；若|x |=|－4|，则x =____；若-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿；若-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿ 4.互为相反数的两个数的平方相等。如果，那么a=____；若 x 2=(－2)2，则x =_______. 5.注意乘方中括号的作用。（－2）3的底数是_______，结果是_______；－32的底数是_______，结果是_______；n 为正整数，则（－1）2n =_ __, (－1) 2n +1=_ __。计算：（1） = ；（2） = ；（3） = ；（4） = （5） = 6.a 的相反数是；a+b 的相反数是；a-b 的相反数是；-a+b-c 的相反数是；变式训练：若a ＜b ，则∣a-b ∣= ，-∣a-b ∣= （二）突破绝对值的化简： 7.绝对值即距离，则0≥a 8.绝对值的代数定义用式子可表示为：（体现分类讨论的思想）（a ＞0） |a| = （a ＝0 ）（a ＜0 ） 9.绝对值的非负性： 162=a

（1）若|a|＝0，则a ；（2）若|a|＝a ，则a ；（3）若|a|＝—a ，则a ；（4），则______||=a a ；（5）0