最新第36届国际数学奥林匹克试题合集

第36届国际数学奥林匹克试题

1．（保加利亚）

设A 、B 、C 、D 是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC 、BD 为直径的圆相交于X 和Y ，直线XY 交BC 于Z 。若P 为XY 上异于Z 的一点，直线CP 与以AC 为直径的圆相交于C 和M ，直线BP 与以BD 为直径的圆相交于B 和N 。试证：AM 、DN 和XY 三线共点。

证法一：*设AM 交直线XY 于点Q ，而DN 交直线XY 于点Q ′（如图95-1，注意：这里只画出了点P 在线段XY 上的情形，其他情况可类似证明）。须证：Q 与Q ′重合。

由于XY 为两圆的根轴，故XY ⊥AD ，而AC 为直径，所以

∠QMC=∠PZC=90°

进而，Q ，M ，Z ，B 四点共圆。

同理Q ′，N ，Z ，B 四点共圆。

这样，利用圆幂定理，可知

QP ·PZ=MP ·PC=XP ·PY ，

Q ′P ·PZ=NP ·PB=XP ·PY 。

所以，QP= Q ′P 。而Q 与Q ′都在直线XY 上且在直线AD 同侧，从而，Q 与Q ′重合。命题获证。

分析二*

如图95-2，以XY 为弦的任意圆O ，

只需证明当P 确定时，S 也确定。

证法二：设X （0，m ）,P （0，y 0），

∠PCA=α，

m 、y 0是定值。有2

0.yx x x ctg y x C A c =?-=但α， 则.0

2

αtg y m x A -= 因此，AM 的方程为 ).(0

2

ααtg y m x ctg y ?+=

令0

2,0y m y x s ==得，即点S 的位置取决于点P 的位置，与⊙O 无关，所以AM 、DN 和ZY 三条直线共点。

2．（俄罗斯）设a 、b 、c 为正实数且满足abc=1。试证：

.2

3)(1)(1)(1333≥+++++b a c a c b c b a 证法一：**设γβα++=++=++=---------1111111112,2,2b a c a c b c b a ， 有.0=++γβα于是，

)

(4)(4)(4333b a c a c b c b a +++++ )(4)(4)(4333b a c a b c a c b a b c c b a a b c +++++=

112

111121111211)()()(------------+++++++++++=b

a b a c c b c b c b γαβα 21112

1112111111)()()()(2)(2γβαγβα------------+++++++++++=b a a c c b c b a

.6132)111(23=?≥++≥abc

c b a ∴原不等式成立。

背景资料：陕西省永寿县中学安振平老师在《证明不等式的若干代换技巧》一文中运用“增量代换”给出证法一，还用增量代换法给出第 6届IMO 试题的证明。什么是增量代换法？——

由α≤+=≥0,,其中令a b a b a 称为增量。运用这种方法来论证问题，我们称为增量代换法。

题1 设c b a ,,是某一三角形三边长。求证：

.3)()()(222abc c b a c b a c b a c b a ≤-++-++-+

（第6届IMO 试题）

证明 不失一般性，设.,0,0,0,,,y x z y x z y x c y x b x a >≥≥>++=+==且 abc c b a c b a c b a c b a 3)()()(222--++-++-+则

+

++++-+++++-++++=x z y x y x x z y x y x x z y x y x x [)()]()[()(])()[(222

)])((3)()(z y x y x x z y x y x +++-++-+

))((3)()()()()2(222z y x y x x z x z y x z x y x z y x x +++--++++++++= .0)2(3222≤++++-=xyz z yz xz xy

∴原不等式成立。

同时，安振平老师用二元代换法给出第25届IMO 试题的证明。

什么是二元代换法？——

若.,,2t a y t a x a y x -=+==+则可设运用这种方法来论证问题，我们称为二元代换法。

题 2 已知.1,,,=++z y x z y x 且都是非负实数求证：

.27

720≤

-++≤xyz zx yz xy （第25届IMO 试题） 证明 不妨设,.32,31,1.

0从而易得由≥+≤=++≥≥≥y x z z y x z y x .3

22xy xy xyz ≤≤ .02≥-++∴xyz xy zx yz 另一方面，令则).3

10(31,32≤≤-=+=+t t z t y x )21()(z xy y x z -++

??

? ??+??? ??++??? ??+??? ??-≤??? ??++??? ??+??? ??-=t t t t t xy t t 231231323123132312 .27

7)21(2772≤--=t c t 还有，安振平老师用对称代换法给出了第24届IMO 试题的证明。

什么是对称代换法？——

任意三个正实数c b a ,,构成某一三角形三边的充要条件是存在着三个正实数.,,,,,y x c x z b z y a z y x +=+=+=使得用这种方法来处理问题，我们称为对称代换法。

题3 设c b a ,,是三角形的边长，求证：

.0)()()(222≥-+-+-a c a c c b c b b a b a