七升八数学暑期衔接班讲义

暑期七升八衔接班讲义

第一讲 与三角形有关的线段

知识点1、三角形的概念

? 不在一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。 ? 三角形的表示方法 三角形用符号“△”表示，顶点是A,B,C 的三角形，记作“△ABC ” 三角形ABC 用符号表示为△ABC 。三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示.

知识点2、三角形的三边关系

【探究】任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？

? 三角形的两边之和大于第三边，可用字母表示为a+b ＞c ，b+c ＞a ，a+c ＞b

拓展：a+b ＞c ，根据不等式的性质得c-b ＜a ，即两边之差小于第三边。 即a-b ＜c ＜a+b （三角形的任意一边小于另二边和，大于另二边差） 【练习1】一个三角形的两边长分别为3cm 和7cm ，则此三角形的第三边的长可能是（ ） A ．3cm

B ．4cm

C ．7cm

D ．11cm

【练习2】有下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？

(1)3，5，8； (2)5，6，10； (3)5，6，7. (4)5,6,12

【辨析】有三条线段a 、b 、c ，a+b ＞c ，扎西认为：这三条线段能组成三角形.你同意扎西的看法吗？为什么？

【小结】三角形的两边之和是指任意两边之和

【例1】用一条长为18㎝的细绳围成一个等腰三角形。（1）如果腰长是底边的2倍，那么各边的长是多少？（2）能围成有一边长为4㎝的等腰三角形吗？为什么？

知识点3 三角形的三条重要线段 ? 三角形的高

(1)定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高（简称三角形的高） (2)高的叙述方法 AD 是△ABC 的高 AD ⊥BC ，垂足为D

点D 在BC 上，且∠BDA=∠CDA=90度

a

b

c (1)C

B A

[练习]

画出①、②、③三个△ABC 各边的高,并说明是哪条边的高.

① ② ③ AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ AB 边上的高是线段____ BC 边上的高是_________ BC 边上的高是_________ BC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ AC 边上的高是_________ [辨析] 高与垂线有区别吗？_____________________________________________

[探究] 画出图1中三角形ABC 三条边上的高，看看有什么发现？如果△ABC 是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？试着画一画 【结论】________________________________________ ? 三角形的中线

（1）定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线 [练习]

画出①、②、③三个△ABC 各边的中线,并说明是哪条边的中线.

① ② ③

AB 边上的中线是线段____ AB 边上的中线是线段____ AB 边上的中线是线段____ BC 边上的中线是_________ BC 边上的中线是_________ BC 边上的中线是_________ AC 边上的中线是________ AC 边上的中线是_________ AC 边上的中线是_________ 图中有相等关系的线段：

___________________________________________________

[探究1]观察△ABC 的三条边上的中线，看看有什么发现？如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？ 【结论】_________________________________ [探究2]如图，AD 为三角形ABC 的中线，△ABD 和△ACD 的面积相比有何关系？

【结论】__________________________________________

【例2】如图，已知△ABC 的周长为16厘米，AD 是BC 边上的中线，AD=

4

5

AB ，AD=4厘米，△ABD 的周长是12厘米，求△ABC 各边的长。

? 三角形的角平分线

A B C A B C B A

C

A B C A B C B

A C D C

B A

（1）定义：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

[辨析] 三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？

画出△ABC各角的角平分线, 并说明是哪角的角平分线.

[探究]观察画出的三条角平线，你有什么发现？______________________________________ [自我检测]如图，AD、AE、CF分别是△ABC的中线、角平分线和高，则：

(1)BD=______=1

2

________；(2)BC=2_______=2_______；

(3)∠BAE=_______=1

2

_______；(4)∠BAC=2_______=2_______；(5)_______=________=90

知识点4 三角形的稳定性

三角形的三边长一旦确定，三角形的形状就唯一确定，这个性质叫做三角形的稳定性。四边形则不具有稳定性。

钢架桥、屋顶钢架和起重机都是利用三角形的稳定性，伸缩门则是利用四边形的不稳定性。你还能举出一些例子吗？

【试一试】

1、如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD比△ACD的周长大6cm，则AB与AC的差为_______

2、如图，D为△ABC中AC边上一点，AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一点，且△ABC的面积等于△DEC面积的2倍，则BE的长为（）

3、若点P是△ABC一点，试说明AB+AC＞PB+PC

A

B C B

A

C

F

E

D

C

B

A

[课后作业]

1、一位同学用三根木棒拼成如图所示的图形，其中符合三角形概念的是（）

C．D．

A．

B．

2、如果三条线段的比是：①1∶3∶4；②1∶2∶3；③1∶4∶6；④3∶3∶6；⑤6∶6∶10；⑥3∶4∶5，其中可构成三角形的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

3、已知三角形两边长分别为4 cm和9 cm，则下列长度的四条线段中能作为第三边的是（）

A．13 cm B．6 cm C．5 cm D．4 cm

4、为估计池塘两岸A、B间的距离，阳在池塘一侧选取了一点P，测得PA=16 m，PB=12

m，那么AB间的距离不可能是（）

A．5 m B．15m C．20 m D．28m

5、一个三角形的周长是偶数，其中的两条边分别为5和9，则满足上述条件的三角形个数为（）

A．2个B．4个C．6个D．8个

6、三角形的角平分线、中线和高都是（）

A．直线B．线段C．射线D．以上答案都不对

7、如图，如果把△ABC沿AD折叠，使点C落在AB上的点E处，那么折痕（线段

AD）是△ABC的（）

A．中线B．角平分线

C．高D．既是中线，又是角平分线

8、如图，AC⊥BC，CD⊥AB，DE⊥BC，下列说法中，错误的是（）

A．△ABC中，AC是BC边上的高

B．△BCD中，DE是BC边上的高

C．△ABE中，DE是BE边上的高

D．△ACD中，AD是CD边上的高

9、若a、b、c表示△ABC的三边长，则|a-b-c|+|b-c-c|+|c-a-b|=________.

10、三角形的两边长分别为5 cm和12 cm，第三边与前两边中的一边相等，则三角形的周长为________.

11、如图所示，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，AF是高，填

空：

（1）BD＝________＝________;

（2）∠BAE＝________＝________；

（3）∠AFB＝________＝90°；

（4）∠B 的余角是________，∠C 与________互余； （5）S △ABC ＝________，S △ABD ________S △ADC ＝________．

12、如图，AD 是△ABC 的中线，DE=2AE ，若△ABC 的面积是18cm 2，则△ABE 的面积=__________

13、如图，3AOD

S

=,4AOB

S

=,6COD

S

=,求BOC

S

14、已知在△ABC 中，三边长a,b,c 都是整数，且满足a ＞b ＞c,a=8，那么满足条件的三角形共有多

少个？

15、如图，在三角形ABC 中，AD 是BC 边上的中线，三角形ABD 的周长比三角形ACD 的周长小5，

你能求出AC 与AB 的边长的差吗？

16、如图所示，已知P 是△ABC 一点，试说明PA+PB+PC ＞

1

2

（AB+BC+AC ）．

17 、在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，若△ABD 和△ADC 的周长之差为4（AB ＞AC ），AB 与AC 的和为14，求AB 和AC 的长．

第二讲 与三角形有关的角

知识点1、三角形的角和定理：三角形的角和等于1800。

【导入】我们在小学就知道三角形角和等于1800，这个结论是通过实验得到的，这个命题是不是真命题还需要证明，怎样证明呢？回顾我们小学做过的实验，你是怎样操作的？ 把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD 的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。

想一想，还可以怎样拼？

①剪下∠A ，按图（2）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。

图2

②把B ∠和C ∠剪下按图（3）拼在一起，可得到∠A+∠B+∠ACB=1800。 如果把上面移动的角在图上进行转移，由图1你能想到证明三角形角和等于1800的方法吗？ 证明：已知△ABC ，求证：∠A+∠B+∠C=1800。

【例1】如图，C 岛在A 岛的北偏东30°方向，B 岛在A 岛的北偏东100°方向，C 岛在B 岛的北偏西

55°方向，从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB 是多少度？

知识点2、三角形的外角

定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 [自我探究] 画出图中三角形ABC 的外角

1、判断图中∠1是不是△ABC 的外角：_______________

2、如图，(1)∠1、∠2都是△ABC 的外角吗？________________

(2)△ABC 共有多少个外角？___________________ 请在图中标出△ABC 的其它外角.

3、探究题：如图，这是我们证明三角形角和定理时画的辅助线，你能就此图说明∠ACD 与∠A 、∠B 的

关系吗？

∵CE ∥AB ， ∴∠A=_____，_____=∠2 又∠ACD=_______+________ ∴∠ACD=_______+________

结论1______________________________________________ 结论2_____________________________________(外角两性质)

【小结】三角形每个顶点处有两个外角，便在计算三角形外角和时，每个顶点处只算一个外角，外角和就是三个外角的和。 外角的作用：

1、已知外角和与它不相邻的两个角中的一个，求另一个

2、可证一个角等于另两个角的和

3、证明两个角不相等的关系。

[练习]填空：求出下列各图中∠1的度数.

(1)如图，∠1=______；(2)如图，∠1=______；(3)如图，∠1=______；

(1)

1B

A

C

D

(3)

1

A

B

C

D

(4)

A B

C

D 1(5)

E

A

B

C D

1

(6)

E A

B

C

D 1

2

A

B

C

1

(2)

1A

B C

D

1

B A

C D

第4题(1)30?30? (1) 1

B A

C

D 第4题(2)40?

35?

(2) A

B C

D

1

第4题(3)40? (3)