)2,(-∞),2(+∞
C.1=a
D.3
1=
a 28.在函数x x y 83-=的图象上,其切线的倾斜角小于
4
π
的点中,坐标为整数的点的个数是( ) A .3 B .2 C .1 D .0
29.函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ,导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示,则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点( ) A .1个 B .2个
C .3个
D .4个 30.下列求导运算正确的是( ) A 、3211)1(x
x x -='+
B 、(log 2x )′=1xln2
C 、(x 2cosx )′=?2xsinx
D 、 (3x )′=3x log 3e 31.已知函数f (x )=ax 2+c ,且(1)f '=2,则a 的值为( ) A .0 B .2 C .-1 D .1 32.函数3y x x =+的递增区间是( )
A .),0(+∞
B .)1,(-∞
C .),(+∞-∞
D .),1(+∞ 33. 函数y =x ln 的导数为( )
A .2x x ln
B .
x x ln 2
C .
x
x ln 1 D .
x
x ln 21
34.设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦,则AB 的最小值为( )
A .
2
p
B .p
C .p 2
D .无法确定 35.函数x x y 33-=的极大值为m ,极小值为n ,则n m +为( ) A .0 B .1 C .2
D .4
36.函数x
x y 1
42+=单调递增区间是( )
A .),0(+∞
B .)1,(-∞
C .),21
(+∞ D .),1(+∞
37.函数在上( )
A .是增函数
B .是减函数
C .有最大值
D .有最小值 38.函数x
x
y ln =
的最大值为( ) A .1-e B .e C .2e D .
3
10 二.填空题
1.()f x '是31
()213f x x x =++的导函数,则(1)f '-的值是 。
2.已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是1
22
y x =
+,则(1)(1)f f '+= 。
3.曲线32242y x x x =--+在点(13)-,
处的切线方程是 。 4.若y =(2x 2-3)(x 2-4),则y ’= 。 5.若y =3cosx -4sinx ,则y ’= 。
6.与直线2x -6y +1=0垂直,且与曲线y =x 3+3x 2-1相切的直线方程是 。
7.质点运动方程是s =t 2(1+sin t ),则当t =2
π
时,瞬时速度为 。
8.求曲线y=x3+x2-1在点P (-1,-1)处的切线方程 。 9.若2
1,2x
y x +=
-则y’= 。 10.若423335
,x x y x -+-=
则y’= 。 11.若1cos ,1cos x
y x
+=
-则y’= 。
12.已知f (x )=
3
54
33
7x
x x x ++,则f ′(x )=___________。
x x x f sin 2)(-=),(+∞-∞
13.已知f (x )=
x
x
++
-1111,则f ′(x )=___________。
14.已知f (x )=
x
x
2cos 12sin +,则f ′(x )=___________。
15.若y=(sinx-cosx 3),则y’= 。 16.若y=2cos 1x +,则y’= 。 17.若y=sin 3(4x+3),则y’= 。
18.函数y =(1+sin3x )3
是由___________两个函数复合而成。 19.曲线y =sin3x 在点P (3
π
,0)处切线的斜率为___________。 20.函数y =x sin (2x -
2π)cos (2x +2
π
)的导数是______________。 21.函数y =)3
2cos(π
-x 的导数为______________。
22.函数y =cos 3
x 1
的导数是___________。
23.在曲线y =
5
9
++x x 的切线中,经过原点的切线为________________。 24.函数y =log 3cos x 的导数为___________。 25.函数y =x 2lnx 的导数为 。 26.函数y =ln (lnx )的导数为 。 27.函数y =lg (1+cosx )的导数为 。
28.设y =x
x e e 2
)12(+,则y ′=___________。 29.函数y =x
22的导数为y ′=___________。
30.曲线y =e x -e ln x 在点(e ,1)处的切线方程为___________。
31.()f x '是31
()213f x x x =++的导函数,则(1)f '-的值是 。
32.曲线3x y =在点()1,1处的切线与x 轴、直线2=x 所围成的三角形的面积为__________。
33.已知曲线314
33
y x =+,则过点(2,4)P “改为在点(2,4)P ”的切线方程是
______________。
34.已知()()n f x 是对函数()f x 连续进行n 次求导,若65()f x x x =+,对于任意
x R ∈,都有()()n f x =0,则n 的最少值为 。 35.函数y =
x
x
sin 的导数为_________________。 36.函数2cos y x x =+在区间[0,]2
π
上的最大值是 。
37.若32()(0)f x ax bx cx d a =+++>在R 增函数,则,,a b c 的关系式为是 。
38.曲线x y ln =在点M(e,1)处的切线的方程为_______________。
三.计算题
1.求函数y =ln 2
2132x x +-的导数。
2.求函数y =
3.求函数y =ln (21x +-x )的导数。
4.求函数y=e 2x lnx 的导数。
5.求函数y =x x (x >0)的导数。
6.设函数)(x f 在点0x 处可导,试求下列各极限的值. (1)x
x f x x f x ?-?-→?)
()(lim
000
;
(2);2)
()(lim
000
h
h x f h x f h --+→
(3)若2)(0='x f ,则。2)
()(lim
000
k
x f k x f k --→
7.求函数x y =在1=x 处的导数。
8.求函数b ax x y ++=2(a 、b 为常数)的导数。
9.利用洛必达法则求下列极限:
0e e (1)lim x x
x x -→-;
1
ln (2)lim
1
x x
x →-;
3232132
(3)lim 1x x x x x x →-+--+;
2
ln()
2(4)lim tan x x x ππ
+
→
-;
(5)lim (0,e
n
ax
x x a n →+∞>为正整数)
(6)lim ln (0)m
x x x m +
→>;
011
(7)lim()e 1
x x x →--;
1
(8)lim(1sin )x
x x →+;
sin 0
(9)lim x
x x +
→;
10.求下列函数的单调增减区间:
2(1)365y x x =++;
(2)y =x 4?2x 2+2;
2(3)1x y x =+;
11.求下列函数的极值:
32(1)37y x x =-+;
2
2(2)1x
y x =+;
2(3)e x y x -=;
(4)3y =
(5)(y x =-;
3
2
(6)(1)
x y x =-;
四.解答题
1.求曲线y=x3+x2-1在点P (-1,-1)处的切线方程。
2.求过点(2,0)且与曲线y =x
1
相切的直线的方程。
3.质点的运动方程是23
,s t t
=+求质点在时刻t=4时的速度。
4.求曲线2211
(2,)(3)4
y M x x =-在处的切线方程。
5.求曲线sin 2(,0)y x M π=在处的切线方程。
6.已知曲线C :x x x y 2323+-=,直线kx y l =:,且直线l 与曲线C 相切于点
()00,y x 00≠x ,求直线l 的方程及切点坐标。
7.已知()1323+-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值范围。
8.设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值。 (1)求a 、b 的值;
(2)若对于任意的[03]x ∈,,都有2()f x c <成立,求c 的取值范围。
9.已知a 为实数,()()
()a x x x f --=42。求导数()x f ';(2)若()01'=-f ,求()x f 在区间[]2,2-上的最大值和最小值。
10.设函数3()f x ax bx c =++(0)a ≠为奇函数,其图象在点(1,(1))f 处的切线与直线670x y --=垂直,导函数'()f x 的最小值为12-。 (1)求a ,b ,c 的值;
(2)求函数()f x 的单调递增区间,并求函数()f x 在[1,3]-上的最大值和最小值。
11.已知曲线x x y 1+
=上一点)2
5
,2(A ,用斜率定义求: (1)点A 的切线的斜率 (2)点A 处的切线方程
12.已知函数???????>+≤+=)1)(1(2
1)1)(1(2
1)(2
x x x x x f ,判断)(x f 在1=x 处是否可导?
13.已知函数()c bx ax x x f +++=23,当1-=x 时,取得极大值7;当3=x 时,取得极小值.求这个极小值及c b a ,,的值。
14.已知函数a x x x x f +++-=93)(23。 (1)求)(x f 的单调减区间;
(2)若)(x f 在区间[-2,2].上的最大值为20,求它在该区间上的最小值。
15.设0≠t ,点P (t ,0)是函数c bx x g ax x x f +=+=23)()(与的图象的一个公共点,两函数的图象在点P 处有相同的切线。 (1)用t 表示c b a ,,;
(2)若函数)()(x g x f y -=在(-1,3)上单调递减,求t 的取值范围。
16.设函数()32()f x x bx cx x R =++∈,已知()()()g x f x f x '=-是奇函数。 (1)求b 、c 的值。
(2)求()g x 的单调区间与极值。
17.用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?
18.已知函数3211
()32f x x ax bx =++在区间[11)
-,,(13],内各有一个极值点。 (1)求a 2?4b 的最大值;
(2)当a 2?4b =8时,设函数y =f(x)在点A(1,f(1))处的切线为l ,若l 在点A 处穿过函数y =f(x)的图象(即动点在点A 附近沿曲线y =f(x)运动,经过点A 时,从l 的一侧进入另一侧),求函数f(x)的表达式。
19.设函数ln(1)0()1
kx x f x x
x +?≠?
=??-=?,若()f x 在点0x =处可导,求k 与(0)
f '的值。
20.设函数21cos 0
()0110
e 1x
x x x f x k
x x x -?>??
==???-<-?,当k 为何值时,()f x 在点0x =处连续。
21.设2ln(1)y x =+,求函数的极值,曲线的拐点。
22.利用二阶导数,判断下列函数的极值:
2(1)(3)(2)y x x =--;
(2)2e e x x y -=+
23.曲线32y ax bx cx d =+++过原点,在点(1,1)处有水平切线,且点(1,1)是该曲线的拐点,求,,,a b c d 。
24.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值:
42(1)25[2,2]y x x =-+-;
2(2)ln(1)[1,2]y x =+-;
2
1
(3)[,1]12
x y x =
-+;
(4)[0,4]y x =+。
25.已知函数32()6(0)f x ax ax b a =-+>,在区间[1,2]-上的最大值为3,最小值为29-,求,a b 的值。
26.欲做一个底为正方形,容积为3108m 的长方体开口容器,怎样做所用材料最省?
27.确定下列曲线的凹向与拐点:
23(1)y x x =-;
2(2)ln(1)y x =+;
13
(3)y x =;
2
2(4)1x
y x =
+;
(5)e x y x =;
(6)e x y -=
28.某厂生产某种商品,其年销量为100万件,每批生产需增加准备费1000元,而每件的库存费为0.05元,如果年销售率是均匀的,且上批销售完成后,立即再生产下一批(此时商品库存数为批量的一半),问应分几批生产,能使生产准备费及库存费之和最小?