第五章第五节 圆周运动

第五章第五节 圆周运动

费县第二中学 编者:潘保兵 审阅: 赵磊

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物体沿圆周的运动是一种常见的曲线运动，而在圆周运动中，最简单的是匀速圆周运动，了解并掌握圆周运动的有关知识对今后研究日常生产生活的许多实际问题及对天体的运动规律的研究等方面起到很重要的作用。本节主要学习圆周运动的线速度和角速度等概念。

【自学探究】

1. 形形色色的圆周运动

质点运动的轨迹是圆周的运动，我们称之为圆周运动。圆周运动是一种常见的运动。正如教材所述：日常生活中，电风扇工作时叶片上的点、时钟的分针和时针上的点、田径场弯道上赛跑的运动员等，都在做圆周运动。科学研究中，大到地球绕太阳的运动。小到电子绕原子核的运动。小到电子绕原子核的运动，也常用圆周运动的规律来讨论。除此之外，你还能举出一些物体做圆周运动的实例吗？

2. 如何描述圆周运动的快慢

本节教材在第一个“思考与讨论”栏目中提出了这

样的问题：如图1所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后

轮是相互关联的三个转动部分，行驶时，这三个轮子上

各点在做圆周运动。那么，哪些点运动得更快些？也许它们运动得一样快？

需要指出的是，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮上各点在做圆周运动的说法是有条件的。我们知道，当轮子的轴心（圆心）固定不动（如把自行车后轮架起停放在路面上），而轮子在转动时，轮子上各点确实是围绕它们的轴心（圆心）做圆周运动。但当自行车行驶时，轮子在转动的同时，轮子的轴心也在向前运动，轮子上各点相对轴心而言仍是在做圆周运动，而相对地面则不是在做圆周运动，它们的运动情况较为复杂。所以，这里所比较的运动快慢，实际上只是比较轮子上各点相对轴心的运动快慢。

我们经过仔细观察即可知道：三个轮子中后轮的半径最大，大齿轮的半径其次，小齿轮的半径最小；大齿轮和小齿轮通过链条相连，所以两齿轮上各点在相同时间内转过的弧长总是相等的；小齿轮和后轮是一起绕同一个轴心转动的，这两个轮子在相等的时间内转过的圈数（角度）是相等的。根据以上分析，你的回答可能有多种，如：后轮上的点运动得快些，大小齿轮上的点运动得一样快；后轮与小齿轮上的点转动得一样快，而大齿轮上的点转动得较慢等等。

上述这些说法其实都是有一定道理的。之所以有不同的结论，是因为到目前为止，关于圆周运动，还没有大家认可的描述方法。而在直线运动的研究中，则没有出现这种情况，这是因为在直线运动中，大家都认可用“速度”来描述物体运动的快慢，在一定时间内物体发生的位移越大，或发生一定大小位移所用的时间越短，就表明物体运动得越快，反之，就表明物体运动得越慢。

那么，我们如何来描述圆周运动的快慢呢？

描述圆周运动的快慢，主要可通过线速度、角速度等物理量。

3. 线速度的概念

我们知道，描述物体直线运动快慢，是通过定义“速度”这一概念实现的。速度可分为平均速度和瞬时速度，平均速度定义为物体发生的某一段位移x 与所用时间t 的比值，即t x v =；当时间间隔很小很小时，我们就可得到瞬时速度，记做t

x v ??=（Δt →0）。

图1

我们尝试用平均速度来描述物体做圆周运动的快慢，如图2，设圆周半径为1m ，质点从A 出发，顺时针方向以一定的快慢转动（如钟表的指针针尖一般），经1s 到达B 点，经2s 到达C 点，经3s 到达D 点，经4s 回到A 点，则由平均速度定义式可得

质点由A 运动至B 的过程中，AB v ＝ 2 m/s ；

质点由A 运动至C 的过程中，AC v ＝1m/s ；

质点由A 运动至D 的过程中，AD v ＝13 2 m/s ； 质点转过一圈的过程中，v ＝0。 虽然，我们只是讨论了一些特殊情况，但明显可以看出，用平均速度来描述物体做圆周运动的快慢是不恰当的。

其实，我们还常用“速率”来描述物体运动的快慢。速率是物体经过的路程与时间的比值，表达式常写作t

l

v =（注意，这里的l 指路程），速率也有平均速率和瞬时速率之分，当时间间隔很小很小时，我们就得到了瞬时速率，记做t

l v ??=

（Δt →0）。再看上面的问题，我们发现，不论选取哪一段过程讨论，物体的平均速率都是定值，等于2πm/s ，这一结果很好地描述了运动的实际情况。

所以，我们用物体通过的路程（圆周运动中就是弧长）与所用时间的比值来量度圆周运动的快慢。

设物体沿圆弧运动，时间t 内经过的圆弧长为l ，这样，比值t l 反映这一段时间内物体运动的平均快慢，记做t

l v =（注意，v 指平均速率）。 为描述物体经过某一位置（或某一时刻）运动的快慢，我们可从这时刻起，取一段很小很小的时间间隔Δt （即Δt →0），物体在这段时间内通过的弧长为Δl ，则比值

t l ??就反映了物体在这一瞬间运动的快慢，我们称为线速度，记做 t

l v ??= （注意，这里的v 指瞬时速率）。

其实，当Δt →0时，瞬时速率定义式中的Δl 与瞬时速度定义式中的Δx （前者指路程，后者指位移）大小已经没有差别，具体到圆周运动这一问题中，就是弧长与弦长已经没有差别，所以t

l v ??=实际上就是瞬时速度的大小。为区别于角速度，我们将这个瞬时速度命名为线速度。 当然，之所以用线速度而不用瞬时速率来描述圆周运动，还有一个原因就是描述运动方向的需要。线速度是矢量，线速度的方向沿圆周的切线方向。 4. 角速度的概念 在对自行车的大、小齿轮及后轮上各点运动快慢的讨论中，“后

C A B 图2 M

N

A B O r

△l △θ

图3

轮上与小齿轮上的点转动得一样快，而大齿轮上的点转动得较慢”这一说法确有道理。原因是后轮与小齿轮围绕同一轴转动，它们转过相同圈数所需时间总是一样的。而大小齿轮相比较，它们转过相同圈数所需时间是不相同的，仔细观察易知，相同时间内小齿轮转过的圈数较多。但这一说法用“线速度”不易解释。为此，我们还需引入“角速度”这一概念，用来量度圆周运动的快慢。

如图3所示，物体在△t 时间内由A 运动到B ，半径OA 在这段时间内转过的角为△θ。它与所用时间△t 的比值，描述了物体绕圆心转动的快慢，这个比值称为角速度，用符号ω表示，

ω＝t

??θ。 5. 角速度的单位

角的单位大家都熟知的是“度”，如周角为360°，平角为180°，直角为90°等，但是，“度”这个单位并不属于国际单位制。

在国际单位制中，角的单位为弧度。由于在半径一定时，圆弧的弧长l 与圆弧所对圆心

角θ成正比，因此，角的大小可用弧长l 与半径r 的比值 l r

来表示，即 θ＝ l r

。 对于周角，用角度量是360°，用弧度量是2π弧度；对于平角、直角，用角度量分别为180°、90°，用弧度量分别是多少呢？

半径为r 的整个圆周长是2πr ，其半圆周、14 圆周长分别为πr 、12

πr ，它们与半径r 之比就是用弧度表示的平角和直角，即平角是π弧度、直角是π2

弧度。 以弧度量度角、以秒量度时间，所以在国际单位制中，角速度的单位是弧度每秒，符

号是rad/s 或s －1。

在用弧度表示角时，经常出现字母π。要注意，π不是单位符号，而是一个数字：圆周率3.14……，所用的单位仍是弧度。

弧度不是通常意义上的单位，所以，带单位计算时，不要把“rad ”或“弧度”代到算

式中，这时角速度的单位应该写为s －1。

6. 线速度与角速度的关系

在图6－73中，设物体做圆周运动的半径为r ，由A 运动到B 的时间为△t ，AB 弧长为△l ，AB 弧对应的圆心角为△θ。当△θ以弧度为单位时，△θ＝△l r ，即

△l ＝r △θ。

由于△l ＝v △t ，△θ＝ω△t ，代入上式后得到

v ＝rω。

这表明，在圆周运动中，线速度的大小等于半径与角速度大小的乘积。但是，在半径不能确定的情况下，不能由角速度的大小判断线速度的大小，也不能由线速度的大小判断角速度的大小。

7. 转速与周期

描述物体做圆周运动的快慢，除了用线速度、角速度外，还可以用转速与周期。

① 转速 如果在一定时间内物体转过的圈数越多，我们就说物体转动得越快，所以技术上常用转速来描述圆周运动的快慢。转速是指物体单位时间内所转过的圈数，常用符号

n 表示。转速等于物体转过的圈数与所用时间的比值，单位为转每秒（r/s ）或转每分（r/min ）。

r/s 和r/min 都不是国际单位制中的单位，运算时要把它们换算成弧度每秒。如：

1r/s ＝2π rad/s ，1r/min ＝602πrad/s ＝30

πrad/s 。 ② 周期 做匀速圆周运动的物体，经过一周所用的时间叫做周期，用T 表示。显然，周期越短，表明物体转动得越快，反之，周期越长，表明物体转动得越慢。

8. 匀速圆周运动的特点

物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫做匀速圆周运动。

做匀速圆周运动的物体，在单位时间里所通过的弧长相等，转过的角度也相等，因此也可以说，匀速圆周运动是角速度不变的运动。

做匀速圆周运动的物体，在单位时间内所转过的圈数相等，每转一周所用的时间也相等，因此，匀速圆周运动的转速与周期也保持不变。

但是，由于线速度是矢量，虽然其大小不变，但其方向在不断变化，因此，线速度是个变量，不变的只是速率，匀速圆周运动中的“匀速”两字应理解为“匀速率”，所以匀速圆周运动是变速运动，而不是匀速运动。

9. 对教材“思考与讨论”问题的说明

本节教材在第二个“思考与讨论”栏目中提出：“砂轮转动时，砂轮上各个砂粒的线速度是否相等？角速度是否相等？”

对这一问题不难作出如下解答：砂轮转动时，在相同的时间内各个砂粒转过的角度都相等，因此砂轮上各个砂粒的角速度相等。但是，它们的线速度则不一定相等：如这些砂粒离轴心的距离（即转动半径）相等，则它们的线速度大小也相等，但方向不一定相同；如半径不相等，它们的线速度与半径成正比，它们的线速度大小当然就不相等。

10. 为什么要用线速度和角速度两个物理量描述圆周运动的快慢？

线速度和角速度都是描述物体做圆周运动的快慢的物理量，线速度描述了做圆周运动的物体通过弧长的快慢；而角速度则描述了物体转过角度（即物体与圆心连线扫过角度）的快慢。它们都有一定的局限性，任何一种速度（线速度或角速度）都无法全面准确地反映做匀速圆周运动质点的运动状态。例如地球绕太阳运动的线速度大小约为3×104m/s ，这个数

值是较大的，但地球绕太阳转动的角速度却很小，其值约为2×10－7rad/s 。我们不能从它线

速度大就得出它做圆周运动快的结论，同样也不能从它的角速度小就得出它做圆周运动慢的结论。事实上是因为地球绕太阳做圆周运动的轨道半径很大，所以线速度较大，但由于一年才转一圈，角速度就很小。因此为了全面准确地描述质点做圆周运动的状态必须用线速度和角速度。

11. 线速度、角速度与转速、周期的关系

我们已经知道，线速度与角速度的关系式为

v ＝rω。

由于转速是指物体单位时间所转过的圈数，做匀速圆周运动的物体，经过一周所用的时间叫做周期，所以若单位时间取作s ，则转速与周期间存在倒数关系，即

T

n 1=。 对匀速圆周运动而言，每转过一圈所用的时间即为周期，而每转过一周，转过的弧长l ＝2πr ，转过的角度即周角，大小等于2π弧度，所以

v ＝T r π2＝2πrn ，ω＝T

π2＝2πn 。 （以上各式中的转速的单位均取作r/s ）

本节知识的应用主要涉及圆周运动、匀速圆周运动的基本概念，以及线速度、角速度、转速、周期的理解与计算。

例1 静止在地球上的物体都要随地球一起转动，下列说法中正确的是（ ）

A. 它们的运动周期都相同

B. 它们的线速度都相同

C. 它们的线速度大小都相同

D. 它们的角速度可能不同

提示 不同纬度处的物体做匀速圆周运动的半径不同。

解析 如图4所示，地球绕自转轴转动时，地球上各点的运动周期及

角速度都是相同的。物体随地球一起转动，其运动的平面是物体所在的纬度

线平面，其圆心分布在自转轴上，不同纬度处物体做圆周运动的半径是不同

的，只有同一纬度处的转动半径相等，根据v=r ω知，线速度的大小才相同，

但即使物体的线速度大小相同，方向也各不相同。正确选项为A 。

点悟 处理该问题时，应先画出草图，然后根据草图分析地球是怎样

转动的，地表不同位置处物体随地球自转做圆周运动的圆心位置及半径大小不同。同时，还要注意线速度是矢量，线速度的方向沿轨迹切线方向。

例2 如图5所示，两个小球固定在一根长为l 的杆的两端，绕杆上的O 点做圆周运动。当小球A 的速度为v A 时，小球B 的速度为v B ，则轴心O 到小球A 的距离是（ ）

A. l v v v B A A )(+

B. B A A v v l v +

C. A B A v l v v )(+

D. B

B A v l v v )(+ 提示 两个小球固定在同一根杆的两端一起转动，它们的角速度相等。

解析 设轴心O 到小球A 的距离为x ，因两小球固定在同一转动杆的两端，故两小球做圆周运动的角速度相同，半径分别为x 、l －x 。根据r v =ω有 x

l v x v B A -=， 解得 B

A A v v l v x +=， 正确选项为

B 。

点悟 根据题意，挖掘两球运动的角速度相同，是对本题作出正确判断的关键。 例3 如图6所示的皮带传动装置中，右边两轮固定在一起同轴转动，图中A 、B 、C 三轮的半径关系为r A ＝r C ＝2r B ，设

皮带不打滑，则三轮边缘上的一点线速度之比v A ∶v B ∶v C ＝ ，角速度之比ωA ∶ωB ∶ωC ＝ 。 提示 寻找线速度、角速度和半径之间的关系，注意问题中相同的物理量与不同的物理量。

图6

图

4 图5

解析 A 、B 两轮由皮带带动一起转动，皮带不打滑，故A 、B 两轮边缘上各点的线速度大小相等。B 、C 两轮固定在同一轮轴上，同轴转动，角速度相等。但是由于两轮的半径不等，由v ＝rω可知，B 、C 两轮边缘上各点的线速度大小不等，且C 轮边缘上各点的线速度是B 轮边缘上各点线速度的两倍，故有

v A ∶v B ∶v C ＝1∶1∶2。

因A 、B 两轮边缘上各点的线速度大小相等，同样由v ＝rω可知，它们的角速度与半径成反比，即 ωA ∶ωB ＝r B ∶r A ＝1∶2。

点悟 在分析传动装置中各物理量间的关系时，要首先明确什么量是相等的，什么量是不相等的。例如，同一轮子或同轴传动的轮子上各点运动的角速度ω、转速n 和周期T 均相等，线速度则与半径成正比。靠皮带、齿轮或摩擦传动的轮子，在不打滑的情况下，轮子边缘上各点的线速度大小相等，角速度则与半径成反比。

例4 一台走时准确的时钟，其秒针、分针、时针的长度之比为l 1∶l 2∶l 3＝3∶2∶1，试求：

（1） 秒针、分针、时针转动的角速度之比；

（2） 秒针、分针、时针针尖的线速度之比。

提示 由日常生活经验不难知道，走时准确的时钟，其秒针、分针、时针匀速转动的周期分别为60s 、60min 、12h ，由描述圆周运动的物理量之间的关系可求得它们转动的角速度之比以及它们针尖的线速度之比。

解析 走时准确的时钟，其秒针、分针、时针匀速转动的周期分别为

T 1＝60s 、T 2＝60min 、T 3＝12h 。

（1）由ω＝T

π2可得秒针、分针、时针转动的角速度之比 ω1∶ω2∶ω3＝

12T π∶22T π∶32T π＝602π∶60602?π∶6060122??π＝720∶12∶1。 （2） 因v ＝rω，故秒针、分针、时针针尖的线速度之比

v 1∶v 2∶v 3＝l 1ω1∶l 2ω2∶l 3ω3＝(3×720)∶(2×12)∶(1×1)＝2160∶24∶1。

点悟 求解本题应注意挖掘秒针、分针、时针转动周期的隐含条件。另外，实际生活中的机械钟表的指针并不是真正做匀速圆周运动，如秒针通常是跳跃式运动，但就其运动的整个过程而言，可理想化地看作是匀速圆周运动，对其转动周期、角速度、线速度等物理量的研究也无大的影响。

例5 若近似认为月球绕地球公转与地球绕日公转的轨道在同一个平面内，且均为正圆，又知这两种转动反向，如图7所示，月相变化的周期为29.5天。（图示是相继两次满月时，月、地、日相对位置的示意图） 求：月球绕地球一周所用的时间T （因月球总是一面

朝向地球，故T 恰是月球的自转周期）。（提示：可借鉴恒

星日、太阳日的解释方法） 提示 本题可根据地理学中的恒星日、太阳日知识或应用物理学中的角速度、周期、线速度关系求解。

解析 下面提供两种解法。

解法一：月球在M 1位置时是满月，下一次满月是在M 2位置，期间相隔29.5天，这个图7

过程中地球相对太阳转过θ角，月球相对地球转过了（2π＋θ）角，花了29.5天，月球真正自转一周2π，相对地球是在M 1′方向上。

由比例关系可得月球公转时360°＋θ29.5 ＝360°T

地球公转时：、θ29.5 ＝360°365

联立两式，消去θ可得T ＝27.3天，即为月球绕地球转一周所用的时间。

解法二：地球绕太阳公转每天转过的角速度ω＝2π365

弧度/天（取回归年为365天）。从上次满月到下次满月地球公转了θ角，用了29.5天。所以

θ＝ωt ＝2π365

×29.5弧度 月球在两次满月之间转过（2π＋θ）用了29.5天，所以月球的角速度

ω′＝2π＋θ29.5

弧度/天 根据周期公式可得月球公转T ＝2π×29.52π＋θ 天＝2π×29.52π＋2π÷365×29.5

天＝27.3天。 点悟 在地理教材中我们已经学习了什么是恒星日、太阳日，但并没有涉及其物理原理和数学计算方法。同样，在物理教材中也会涉及该现象，而且相关的内容如周期、角速度以及数学计算方法在本章中都学习过。显然，这是一类涉及地理知识、物理原理和数学方法的综合问题。正确解决这类问题，要求我们对地理知识非常了解，明晰地球、月球的运动情况；当然，理解掌握匀速圆周运动的基本知识是解决这类问题的基础。

例6 雨伞边缘半径为r ，且高出水平地面的距离为h ，如图8所

示，若雨伞以角速度ω匀速旋转，使雨滴自雨伞边缘水平飞出后在地面上形成一个大圆圈，则此圆圈的半径R 为多大？

提示 雨滴自雨伞边缘水平飞出时，具有与雨伞边缘相同的速度，

离开雨伞后在重力作用下做平抛运动。

解析 作出雨滴飞出后的三维示意图，如图9所示。

雨滴飞出的速度大小为 v ＝rω，

在竖直方向上有 h ＝12

gt 2， 在水平方向上有 s ＝vt ，

又由几何关系可得 R ＝22s r +，

联立以上各式可解得雨滴在地面上形成的大圆圈的半径

R ＝ r g h g g 2

22ω+。 点悟 因为雨滴是由于雨伞的旋转而飞出的，所以雨滴沿圆周切线方向飞出而做平抛运动，但常有同学误认为雨滴沿雨伞的半径方向飞出，如图10所示，由此得到错误的结果 R ＝r （1＋ωg

h 2）。 由本例的分析解答可知，变换角度巧作图可以启发自己的思维，

培养和增强自己的作图能力、空间想象能力和解决实际问题的能力。

图10

图8